上册一元二次方程期末知识点复习人教版九级数学全一册优秀ppt
(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
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解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
5．用适当的方法解下列方程： (1)12x2＝2； x1＝2，x2＝－2 (2)(x－2)2－16＝0； x1＝－2，x2＝6 (3)x2＋4x－5＝0； x1＝－5，x2＝1
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12．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教 育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5 000万元，2018 年投入教育经费7 200万元． (1)求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率； (2)若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率， 请预算2019年该地区投入教育经费为多少万元．
知识点3 一元二次方程的根的判别式 6．方程x2－x＋3＝0的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
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知识点4 实际问题与一元二次方程
10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比
赛了21场，则下列方程中符合题意的是( B )
A．x(x－1)＝21
B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21
D．x(x＋1)＝42
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7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
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第二十一章 一元二次 方程
知识点1 一元二次方程的定义与方程的解 1．若方程(m－1)x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 m≠1 .
2．已知关于x的一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个根为1. (1)求a的值； (2)求该一元二次方程的另一根．
解：(1)把x＝1代入x2＋ax－2＝0，得 12＋a－2＝0，解得a＝1. (2)该方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2， 故该一元二次方程的另一根为－2.
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解：(1)∵方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－k)＞0，解得k＞－94. (2)将k＝4代入方程，得x2－3x－4＝0， 则(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1.
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11．如图，在长为10 m、宽为8 m的矩形场地上修建两条宽 度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面 积为48 m2，则道路的宽应为 2 m.
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∵(m－3)2≥0，∴4(m－3)2＋4＞0，即Δ＞0，
∴不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－10＝0总 有两个不相等的实数根．
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9．求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－ 10＝0总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(－2m)2－4×1×(6m－10)＝4m2－24m＋40＝4(m －3)2＋4.
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
C．(x－4)2＝14
D．(x－4)2＝8
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解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
5．用适当的方法解下列方程： (1)12x2＝2； x1＝2，x2＝－2 (2)(x－2)2－16＝0； x1＝－2，x2＝6 (3)x2＋4x－5＝0； x1＝－5，x2＝1
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12．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教 育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5 000万元，2018 年投入教育经费7 200万元． (1)求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率； (2)若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率， 请预算2019年该地区投入教育经费为多少万元．
知识点3 一元二次方程的根的判别式 6．方程x2－x＋3＝0的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
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知识点4 实际问题与一元二次方程
10．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比
赛了21场，则下列方程中符合题意的是( B )
A．x(x－1)＝21
B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21
D．x(x＋1)＝42
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7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
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第二十一章 一元二次 方程
知识点1 一元二次方程的定义与方程的解 1．若方程(m－1)x2＋mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 m≠1 .
2．已知关于x的一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个根为1. (1)求a的值； (2)求该一元二次方程的另一根．
解：(1)把x＝1代入x2＋ax－2＝0，得 12＋a－2＝0，解得a＝1. (2)该方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2， 故该一元二次方程的另一根为－2.
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解：(1)∵方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4×1×(－k)＞0，解得k＞－94. (2)将k＝4代入方程，得x2－3x－4＝0， 则(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1.
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11．如图，在长为10 m、宽为8 m的矩形场地上修建两条宽 度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面 积为48 m2，则道路的宽应为 2 m.
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
∵(m－3)2≥0，∴4(m－3)2＋4＞0，即Δ＞0，
∴不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－10＝0总 有两个不相等的实数根．
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9．求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx＋6m－ 10＝0总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(－2m)2－4×1×(6m－10)＝4m2－24m＋40＝4(m －3)2＋4.
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
C．(x－4)2＝14
D．(x－4)2＝8
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
第21章 一元二次方程 小结与复习 人教版数学九年级上册课件(29张PPT)
Δ<0,方程无实数根
根
b
*根与系数的关系
x1 x2 c
a
x1 x2 a
解法
直接开平方法： 形如 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) 的方程
配方法： 一般形式的方程先配方为 (mx + n)2 = p
(p≥0) 的形式再求解
公式法： x b b2 4ac (b2 4ac ≥ 0) 2a
因式分解法：若方程可变形为 (mx + n)(px + q) = 0
(mp≠0)，则
x1
=
n m
，x2
=
q p
列一元二次方程解实际问题的步骤：审 解、、设验、、列答、
应用 几种常见类型
传播问题 单(双)循环问题 平均变化率问题 销售问题 数字问题 几何图形面积问题
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次 方程，则 m 的取值范围是（ A ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须 有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0.
【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的 值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意.
针对训练
2. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 −1 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解， 则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 7 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2023 的值为___2_0_2_2__.
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
一元二次方程人教数学九年级上册PPT课件
A．﹣2
B．2 C．﹣4
D．4
课堂检测
基础巩固题 1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
课堂检测
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件；
解（根）
使方程左右两边相等的未知数的值.
感谢您的聆听
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 _______．
课堂检测
能力提升题
如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去
一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖
去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积
区 别 未知数最
高次数为2
特 （1）这两个方程的两边都是整式； 点 （2）都只含一个未知数x；
（3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的.
探究新知
一元二次方程的概念
像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满 足三个特征）.
人教版 数学 九年级 上册
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人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十一章 一元二次方程 章末复习
6.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠， 国家卫计委严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的 百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得，200(1 －x)2＝98，解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%
Thank you!
解：由题意得：k＋1＝±2(k－1)，∴k＝3 或 k＝1 3
4.解下列方程： (1)．2(x－3)2＝x2－9.
解：x1＝3，x2＝9
(3)．(x－1)2－2(x－1)＝0. 解：x1＝3，x2＝1
(2)．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2. 解：x1＝－1＋2 6 ，x2＝－1－2 6
几种常见类型 单(双)循环问题 方案设计问题 数字问题
随堂训练 基础巩固
1．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( D ) A．8 B．16 C．－16 D．±16
2．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝_±__3_．
3．已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方 式，求k的值．
R·九年级上册
第二十一章 一元二次方程 章末复习
新课导入
导入课题
通过对一元二次方程这章的学习，你掌握了哪些知识？ 这些知识点间又有哪些联系呢？如何运用这些知识解决问 题呢？
复习目标
（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. （2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程， 知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系， 并能利用它们解决有关问题. （3）列一元二次方程解决实际问题. （4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即 降次）的理解与运用.
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
上册一元二次方程期末知识点复习人教版九年级数学全一册精品系列PPT
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21