经典弯矩分配法
建筑力学弯矩分配法
M M1143
3i131 S131 i141 S141
(a)
M15 4i151 S151
②由结点1的平衡条件:
M1 0
即:
MM12M13M14M150
M12
M(S12S13S14S15)1
得:
1
M S12S13S14S15
(b)
M M13
1
M14
1
M15
得:
M
12
S 12 M S
12 M
200.9 120
B
0.5 0.5 +250.0 -187.5
+32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2
+237.4 -237.4 237.4
375
300
C
+112.5 -23.7 -1.2
+87.6 87.6
D
M图(kn.m)
§14—3 用力矩分配法计算无侧移刚架
89.83
2042
40kn.m
850.7443.88
C CA
144
B
A
40 D
6.86
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
-3.43
M图(kn.m)
0. 最后弯矩 -89.83 +50.7 -6.86 -43.88 0.0 -3.43
B
Mf BC
MB=
Mf BA
+MBf C
(c)
M’=－MB
A
B C
弯矩分配法分配系数
弯矩分配法分配系数弯矩分配法是结构分析中常用的方法之一，用于求解梁、柱等结构中的内力和变形。
在应用这种方法的时候，就需要使用弯矩分配法中的分配系数。
下面让我们来详细了解一下这个概念。
什么是弯矩分配法分配系数？弯矩分配法是一种基于互制定理对结构进行分析的方法。
而弯矩分配法分配系数则是指将集中力分布到相邻的两个支座上所需要的一系列系数。
这些系数可以表示不同位置的分配比例，通过它们可以将集中力分布到不同的支座上，从而使分布力的计算更加准确。
弯矩分配法分配系数的计算方法弯矩分配法分配系数的计算方法相对比较简单，在这里给大家简单说明一下。
如果我们有一个梁，上面有两个支点，然后在两个支点之间有一个集中力F，那么我们需要计算出这个力分布到两个支点上的比例。
具体的计算方法如下：首先，我们需要计算出两个支点之间的长度L，然后将这个长度分为n 个小段，每一个小段的长度为Δx。
接着我们需要计算出每一个小段的弹性模量EI，这个值可以用来计算每一个小段内的弯矩。
然后我们就可以得到每一个小段的弯矩M。
接下来，我们需要计算出F对应的弯矩。
我们将整个梁看作是一个支点在左侧的梁，这样我们就可以得到F对应的弯矩为MF=F*(L-a)，其中a表示集中力F距离左边支点的距离。
由于已知F的大小，所以我们只需要计算出a的值就可以得到MF。
最后，我们就可以使用分配系数来计算出F分布到每一个支点上的大小。
分配系数的取值可以通过下面的公式来计算：k1=(2n-1-i)/(n*(n+1))，其中i表示第一个支点右侧的小段数。
k2=(2i)/(n*(n+1))，其中i表示第二个支点右侧的小段数。
将k1和k2代入公式中，我们就可以计算出F在两个支点上的分配比例了。
总结弯矩分配法分配系数是一种计算机构内力和变形的方法。
这种方法的优势在于它比较简单易懂，并且可以提高计算的准确性。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况选择不同的分配系数来计算集中力的分布。
如果大家对这个概念还有什么疑问，可以进一步了解一下相关的资料和论文。
弯矩二次分配法
弯矩二次分配法弯矩二次分配法是一种钢结构设计中常用的计算方法，其基本思想是根据节点处的位移来分配节点上的弯矩，以达到平衡整个结构的弯矩。
下面对弯矩二次分配法进行详细介绍。
一、基本概念1、刚度法刚度法是一种以刚度为基础的计算方法。
在此方法中，我们将受力结构看作由若干个刚度性能已知的元件构成的刚性系统，根据受力原理对每个元件计算弯矩以及位移，最终得到完整结构的弯矩和位移。
2、节点法弯矩二次分配法是一种常用的节点法计算方法，其基本原理如下：1、首先将结构分成若干截，根据节点的位移和角位移分别计算每截内部的弯矩；2、根据弯矩平衡条件，推断出每个截面的弯矩；3、通过利用每个截面上的弯矩平衡条件，把原来被认为是剪力作用的分量分离出来，并计算出其大小；4、根据剪力大小，重新计算每截的弯矩，并迭代计算至弯矩平衡条件满足为止。
1、假设结构内部没有产生任何形变，即所有截面处的弯矩相等；2、对于一个结构，它的初始刚度矩阵和转动角度矩阵分别为：K = [M] / δθ = [K]·[P]其中，[M]是结构的初始均布荷载矩阵，δ是结构的初始弯矩；[P]是节点位移矩阵，[K]是结构的初始刚度矩阵。
3、经过第一次迭代后，结构的弯矩为:M' = K'·δ'其中，δ'是第一次迭代后的位移矩阵，K'是经过调整后的刚度矩阵。
6、根据每个截面上的剪力和弯矩重新计算每截的弯矩；7、重复步骤4~6，直至迭代计算出的弯矩满足平衡条件；8、得到最终的弯矩分布图。
优点：1、计算结果精确，特别适用于刚梁、钢架等结构的计算；2、计算实现简单，易于应用于各种计算软件中；3、计算时间相对较短，计算效率高。
1、操作复杂，需要依次进行多个迭代计算；2、计算过程中需要多次使用刚度矩阵，可能会造成精度误差；3、计算结果不太适用于拉杆、压杆等主要受轴向载荷的结构计算。
经典弯矩分配法
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
21 iBC 8 4
iCD
1 6
B SBA
4
1 6
2 3
S BC
4
1 4
1
2
BA
1
3
2
3
0.4
BC 0.6
C SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
由结点B 开始
§11-3 剪力分配法的基本原理
一 抗剪刚度与抗剪柔度 1.两端固定的等截面柱
2.一端固定另端饺接的等截面柱
3.下端固定上端饺接的单阶柱
二.并联体系
三.串联体系
§11-4 用剪力分配法计算水平荷载作用的排架和刚架
一、柱顶有水平荷载作用的铰结排架
P
Δ
Δ
Δ
侧移刚度（Di）及柱顶发生
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。
1、解题思路
P1
(a) A MAB
弯矩分配法
CM
d BA
M
C CB
CM
d BC
例1.计算图示梁,作弯矩图
解:
EI
SBA 4 8 0.5EI
EI SBC 3 6 0.5EI
BA
0.5EI (0.5 0.5)EI
0.5
BC
0.5EI (0.5 0.5)EI
0.5
40
45
40kN
10kN / m
40
40kN
A EI
4m 4m
10kN / m
3、分配系数
A EI
B EI
C
结点处，某杆的转动刚
10m
10m
度与围绕该结点所有杆
件转动刚度之和的比值，
记作μij
计算公式： ij
Sij Sij
i
4、分配弯矩（近端弯矩） BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571
结点处不平衡力矩的负 值与分配系数的乘积，
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429
B EI C
6m
M F 40
分 配
1.25
传
递
0.5 0.5 40 45 0
q 12kN / m
M
F AB
ql 2
/ 12
100kN .m
M
F BA
100kN .m
M
F BC
M
F CB
0
放松状态:
A EI
10m
B EI
10m
0.571 0.429
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M F 100
100 0
M
弯矩分配法
弯矩分配法
弯矩分配法是一种使用数学公式来确定流体流动状态的方法，通
常用于计算流体在受到外部影响的情况下的流动情况，这些情况包括
热量质量平衡，温度预测等。
虽然弯矩分配法可以用来计算一些基本
的物理现象，但它可以用来计算一个联合流体在复杂状况下的热量质
量平衡状态，或者用于计算上游水体在下游水体中产生的水柱高度等。
为此，弯矩分配法被广泛用于工程设计和分析，尤其是在水文学，水
动力学和环境工程中。
此外，该方法可以计算内流结构（包括湍流，
溃缩流和波浪等），进一步探索危险海域的流体性质。
连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法
附表25：等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）。
弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例）一、名词解释弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。
在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。
由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。
（一）线刚度i杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ：l EI i（a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=；（c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB =；（d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。
连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。
（二）转动刚度S转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。
杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。
施力端只能发生转角，不能发生线位移。
AB S 中的第一个角标A 是表示A 端，第二个角标B是表示杆的远端是B 端。
AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。
（三）分配系数μ⎪⎭⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=A AD A AD AD A AC A AC AC A AB A AB AB i S M i S M i S M θθθθθθ34 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅==++=++=++=∑∑∑∑M S S M M S S M M S S M SM S S S M M M M S S S M AD AD AC AC AB AB AD AC AB A ADAC AB A AD A AC A AB θθθθ各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。
第9章弯矩分配法
• 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 i EI l 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。 • 远端为固定支座：SAB 4i • 远端为铰支座： SAB 3i • 远端为定向滑动支座： SAB i
⑴AD杆件的处理：
（M图略）
DM端AgD的链?杆只SA产D 生 轴? 力，故
M
g AD
20kN 2m
40kNm,
SAD 0 。
⑵AC杆件的处理：
CS端AC既无?线C位C移A 又?无角位移，相当于固定端，故
S AC
4iAC
4 5EI 5
4
EI,
1 CCA 2
。
2020/5/17
弯矩分配法
弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。 理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构， 但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构， 以减少计算工作量。
⑵B结点的集中外力矩如何处理？
B点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为
M
u B
41
M
A 1 i
A SAB 4i
M BA 2i B
A 1 i
A SAB 3i
M BA 0 B
A 1 i
A SAB i
M BA i B
2020/5/17
弯矩分配法
▪ 放松状态内力分析
✓ 传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为 CAB 。
• 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。
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1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算每个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。
例2.用力矩分配法计算图示连续梁。
20kN/m
§11-1 力矩分配法的基本概念
一、杆件的转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于仅使杆端发生单 位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=i
1
SAB=3i
1
SAB=0
SAB与杆件的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆 长）及远端支承有关
二、传递系数（Cij）
杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
例题3: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
120kN B i=2 A
20kN/m i=1.5 D
i=2
4m
C
2m 3m
4m
结点
B
A
D
C
杆端
BA
AB AC AD DA CA
分配系数
0.39 0.39 0.22
固端弯矩 -86.4 +57.6 0.0 -40.0 0.0 0.0
分配传递 -3.43 -6.86 -6.86 -3.83
无剪力分配法：适于特殊的有侧移刚架。
回顾位移法
求系数和自出项
解位移未知量 计算各杆的杆端弯矩
位移法：附加刚臂承担的约束力矩RIP＝一60(负号表示绕结点 反时针转), 通过转动B点实际位移φ1消去附加刚臂的存有，从 而还原到原结构。
另一种办法消去附加刚臀的存在: 在B点叠加—个反向约束力矩 -RIP＝60 即：固定加放松还原到原结构。 新的问题：反向力矩（-RIP＝60）应该如何分配到BA和BC端 (近端)呢?又应该如何传递到远端（AB,CB)?这就是力矩分配法 要研究的内容。
1、解题思路
P1
(a) A MAB
MBA B MBC
P2 C
MCB
(b) A MfAB
MB P1
P2 C
MfBA B MfBC
MfCB
MfBA
MB MfBC
MB
M
f BA
M
f BC
(c) A MABc
M'
C MBAμ B MBCfμ MCBc
M MB
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
M12 4 i12φ1 S12 1
M M
13 14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M13
S13 S
M
μ13 M
M
14
S14 S
M
μ14 M
M15 4 i15φ1 S15 1
M
15
S15 S
M
μ15 M
四、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构
重点
力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
难点
单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架
线性代数方程组的解法
直接法 渐近法 近似法
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：渐近法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
C ij
M ji M ij
在结点上的外力矩按各杆分配系 数分配给各杆近端截面，各杆远端弯 矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系
4iφA EI
A φA
l
3iφA EI
A φA
l
2iφA 数。
B
CAB=2iA/ 4iA=1/2
0
CAB=0/ 3iA=0
B
iφA EI
A φA
l
-iφA
CAB=-iA/ iA=-1
(2)由结点1的平衡条件:
M
M1 0
即: M M12 M13 M14 M15 0
M12
M13
1
M14
M (S12 S13 S14 S15 )1
M15
得:
1
M S12 S13 S14 S15
M (b) S
(3) 代(b)入(a) , 得:
M
12
S12 S
M
μ12 M
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 相加，即得各杆的最后弯矩。
例2. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法（EI=常数）。
A
B
C
50kN D
1m
5m
A B
1m 50kN·m C
-1.5 -0.7
M -43.6 43.6
A
92.6 -92.6 92.6
90
B
41.3 -41.3
0
41.3 200
CM图（kN·m）D
iAB
1 6
21 iBC 8 4
iCD
1 6
B SBA
4
1 6
2 3
S BC
4
1 4
1
2
BA
1
3
2
3
0.4
BC 0.6
C SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
100kN
A
MF-60
EI=1 6m
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
B
三、分配系数（μij）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。
ij
Sij S
(i)
(1)杆端力:
3
1 M
1
4
2
1 1 1
5
M12 4 i12φ1 S12 1
M
13
M
14
3 i13φ1 S13 1 i14φ1 S14 1
(a)
M15 4 i15φ1 S15 1
50kN D1mຫໍສະໝຸດ 5m5/6 1/6
MF
25
分传 -20.8 -4.2
1m 50
M
-20.8 +20.8
A
B 20.8
1m
5m
+50 50
C 1m
50kN D M图（kN·m）
11.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第11章 弯矩分配法和剪力分配法 知识点
力矩分配法基本思想
力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
教学基本要求
掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 学会单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。 计算有多个结点的连续梁和刚架