卡西米力及卡西米尔效应(The Casimir Effect)

卡西米尔效应（The Casimir Effect）是量子场论的一个重要结果。

在量子力学创建之后，人们理解了由于海森伯不确定性原理（The Heisenberg Uncertainty Principle），真空不是空的，而是充满了量子涨落（Quantum Fluctuation）。

量子涨落带来非零的真空能量，物理上称之为零点能（Zero Point Energy）。

卡西米尔效应正是零点能存在的一个直接结果。

如果去计算真空的零点能，由于不确定性原理，所有频率的量子场涨落模都需要考虑，零点能形如：E≌(1/2)∫dω hω. 由于没有频率的截断，这个计算显然会带来无穷大的零点能，这正是量子场论紫外发散的体现。

1948年，荷兰物理学家 Hendrik Casimir 有了一个绝妙的想法：如果我们去扰动真空（Disturb the Vacuum）会怎么样？虽然真空能是无穷大，可是会不会在扰动真空之后，扣除掉原先的真空能，会得出一个有限大小的能量呢？
这是一个极具物理趣味的想法。

因为，物理体系是需要被测量的。

在一个体系中引入外加可控约束条件，研究体系对该条件的响应，正是物理的研究方法。

并且，我们知道，除了引力之外，所有其他的物理理论中能量只具有相对意义。

Casimir于是在真空中引入了两个平行的中性理想导电金属平板，要求平板是无穷大和无穷薄的。

经过数学计算，Casimir发现扣除掉原先的真空能后，约束的两平板真空能量是一个随着板间距离变化的有限能量，如果计算该变化率，可以得到两板之间的一个吸引力，著名的卡西米尔力（The Casimir Force）公式如下：
(1)
注意，由于字母录入限制，这里的h=h\bar=h/(2\pi)。

a是板间距离。

这是两平板之间单位面积的力量大小，又称为卡西米尔压（The Casimir Pressure）。

从卡西米尔力的公式可以知道：1. 由于h的存在，这个
力在经典电动力学是不存在的（两个中性导体板之间没有经典力），卡西米尔力是一个纯粹的量子效应。

2. 由于c的存在，卡西米尔力的计
算中有相对论效应（Relativity Effect）。

3. 负号代表这是一个吸引力量。

卡西米尔力有多大？我们可以做一个简单估算，考虑一个相对于微观尺度较大的间距：a=1微米，代入各个常数后，卡西米尔压大约是1.3 mPa，这已经是一个宏观的数值。

因此，令人惊叹的是，真空量子
涨落导致的卡西米尔力可以具有宏观的效应，卡西米尔力是量子效应在宏观上的体现。

（I）故事
是什么动机引导Casimir作如上计算的呢？这里有一段有趣的故事，我们会看到，卡西米尔力的研究不是出于基础物理的考虑，而是有着非常实际（Down to Earth）的动机。

Casimir是在研究胶体的稳定性问题（Stability of Colloids）时，启发了卡西米尔力的计算。

这个故事要从 Casimir 的前辈，著名
的荷兰物理学家 Van der Waals 说起。

我们知道 Van der Waals 方程是对理想气体状态方程的重要修正，它是第一个重要的平均场理论处理。

Van der Waals在研究状态方程时，需要考虑一般的分子之间相互作用，即Van der Waals力。

Van der Waals 力有几种情形，其中最一般的情形是两个中性的可极化分子之间的相互作用，最早的计算是由London
所做的，这个力量被称为色散力（Dispersion Force），原因是这个力量计算里需要考虑极化率（Polarizability）。

London计算发现这两个中性分子间的 Dispersion Interaction 是一个(1/r6)的吸引相互作用。

粗略地来理解，这个(-6)指数是因为：该力量是分子的诱导偶极-诱导偶极相互作用，由于量子涨落，分子1
产生诱导偶极，诱导偶极产生的诱导电场是E∽1/r3，分子2在E下产
生诱导偶极p∽αE∽1/r3，这里α是分子的极化率，相互作用能 V∽
-p·E∽-1/r6。

这个分子间的Van der Waals吸引力被用于胶体稳定性的研究，它带来胶体的不稳定性，如果该力量大于胶体之间的排斥力，胶体体系就会发生凝聚而失去稳定性。

Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO)将London 的 dispersion interaction 引入了他们的胶体稳定性理论。

可是在这个研究中，Verwey和Overbeek发现，实验中分子之间的吸引力比1/r6衰减的更快，实际上应该是1/r7。

Verwey 和Overbeek 因此评论说，这是因为在London理论里，没有考虑相对论效应，而胶体的间距相对于特征微观尺度是较大的，需要考虑相对论修正。

Casimir接受了这个建议，与Polder合作，重新研究了London 理论，加入了相对论效应带来的所谓 retardation 效应，推导出了分子间的Casimir-Polder相互作用，是1/r7的色散吸引力。

在得到该结果之后，Casimir进一步思考两个宏观物体之间的色散力，当他向波尔（Bohr）谈论这项工作时，波尔嘟囔着说这一定与零点能有关。

受到启发后，Casimir完成了两平板之间力量的计算，得到了著名的卡西米尔力公式（1）。

（II）计算
下面，我们不做具体的量子力学计算，而是利用标度讨论（Scaling Argument）迅速得出两个中性分子之间的色散力，包含London的不包含相对论效应的non-retarded情况和Casimir-Polder 的考虑相对论修正的retarded情况。

让我们考虑两个体积分别为V1和V2的中性分子，其电子运动的特征频率是ω0。

基于标度分析，间距为r的两分子间相互作用采取如下形式：
(2)
其中，负号是因为吸引力，r6是基于两个体积乘积的量纲，c/ω0是体系的特征距离，f(x)是一个无量纲标度函数（dimensionless scaling function）用于在non-retarded 和retarded两种情形之间进行过渡。

（1）在短距离时，即r<(c/ω0)，两分子之间的信号传递时间小于特征时间，不需要考虑相对论效应，我们取f(x)=constant, 这样就得到London的结果。

（2）在长距离时，即即r>(c/ω0)，两分子之间的信号传递时间大于特征时间，需要考虑相对论效应。

此时力量应该不再依赖于表征特征时间的ω0，为了抵消掉ω0，我们取f(x)=1/x, 这就得到Casimir-Polder
的结果: V(r)≌-hc(V1V2/r7)。

卡西米尔物理已经远远超出了Casimir最初工作的范畴，在量子场论里，卡西米尔力产生于有约束的场论模型。

这个约束可以是由外加的边界条件，也可以是在非零温的情况下，通过松原理论（Matsubara Formulation)将温度引入量子场论时带来的周期性条件约束，还可以是在处理非欧空间时（Non-Euclidean）由无边界空间的拓扑性质（Topology）引入的“Identification”约束等。

另一方面，在上世纪70年代，人们认识到，作为同是处理无穷多自由度的理论，统计力学和量子场论之间有着深刻的联系，因此在统计力学中，人们也研究了由临界点序参量涨落导致的临界卡西米尔力（Critical Casimir Force），以及统计n-矢量模型中由零质量戈德斯通模（Goldstone Mode）导致的卡西米尔力。

近年来，在非平衡统计力学的研究中，人们发现由体系动力学的约束，也可以在体系中带来满足幂率无标度衰减的长程关联，进而带来卡西米尔力。

从这些研究中，可以看出，产生卡西米尔力的两个条件是：1.幂率衰减的长程关联；2.约束。

这些进展都促使卡西米尔物理（Casimir Physics）成为一个物理丰富的有趣研究题目。