排列组合二项式定理和概率期望
排列组合
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
（2010年高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种
【答案】B
【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有4
4A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1
3
33A A =18?种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B 。
（2009全国I ）设集合{}1,2,3,4,5I
=。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最
大的数，则不同的选择方法共有
A ．50种
B ．49种
C ．48种
D ．47种
解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有2
5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3
5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有4
5C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有5
5C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3
5C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有4
5C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有5
5C =1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有4
5C =5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有5
5C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有5
5C =1种；总计有
49种，选B.
二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.
从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m
n A 表示. ?排列数公式：
),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=
+--=
注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1
111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11
--=m n m n nA A 规定10
==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!
!...!!
21k n n n n n
=
.
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!
2!1)!
21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!
3!3==n .
（2010年高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3
22
32
A A ＝24个 ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共322
22A A ＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
三、组合.
1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?组合数公式：)!
(!!!
)
1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m
m
m
n m n -=
+--==
?两个公式：①;m n n m n C C -= ②m
n m n m n C C C 11+-=+
①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是
含红球选法有1m n 111m n C C C --=?一类是不含红球的选法有m n C ）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1
-m n ，如果不取这
一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n
种，依分类原理有m n m n m n C C C
11+-=+.
?排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
n n n n n n C C C 2
210=+++
1
1
11
112115314201
1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：
)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!
1
)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413
353433+=+++n n C C C C C .
vi. 构造二项式. 如：n n
n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n
x 的系数，左边为
2
2120022110)
()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?-- ，而右边n
n C 2= (2010年高考数学湖北卷理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、
导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是
A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有2
3
3318C A ?=；若有1人从事司机工作，则方案有
123
343108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B 正确.[来
源:Z 四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.
（2010年高考重庆卷文科10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有[来源:Z 。（A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种
【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即
221211
6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2
4C =6种排法
甲、乙不同组，有
112
432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法. ( 2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
.18A .24B .30C .36D
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是2
4C ，顺序有3
3A 种，而甲乙被分在同
一个班的有33A 种，所以种数是233
43330C A A -=
（2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
解：用间接法即可.2
224
4430C C C ?-=种. 故选C
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个
元素必相邻的排列有m m m n m n A A ?+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m
m A 则是“局部排列”.
又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 22
1
1A A n ?-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有22
11A A n
n ?--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有11
2--?n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.
（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62
22
3
=A C 种不同排法）
，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。
解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62
22
3
=A C 种不同排法）
，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2
2
2
2
6A A =24种排法； 第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有2
26A ＝12种排法
第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。
此时共有2
26A ＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m
m n m n m n A A 1
+---?（插空法） （2010年高考北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A ）
8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C
解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有8
8A 种排法，然后将两位老师插入9个空
中，共有
29A 种排法，因此一共有82
89A A 种排法。
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起
到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有
m m
n n A A 种排列方法.
例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）
m
m n n A A /.
⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
k k
n
n
n n k n kn A C C C )1(-?.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!
22
4=C （平均分组就用不着管组
与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!
2/1020
2
2
818C
C C P =
）
注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？
有m
m
m m n m n m n A A A /1+---?， ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的
解的组数等于插隔板的方法数311C .
注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-?=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1
-+n n A C .
⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r
k r n r
r A A --.
例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
x 1x 2x 3x 4
固定在某一位置上：11
--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----?+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。先C 后A
策略，排列k k r k r n r r A C C --；组合r
k r n r r C C --.
ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。先C 后A
策略，排列k k k r n A C -；组合k r n C -.
iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个
元素中的s 个元素。先C 后A 策略，排列k k s k r n s r A C C --；组合s k r n s r C C --.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k k
A . 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575
/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44
222224262819110/A A C C C C C C ? ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m
A A ? 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：33
5538210A C C C ???种. 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有33
4538210A C C C ?种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为
m
m
r r A A A ?/. 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为332
2
4
448210A A C C C ?
④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，
不管是否分尽，其分法种数为1m n C A =2
1m m -n C …k
m
)m ...m (m -n 1-k 21C +++
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三
组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003
729110=C C C .
（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360
B. 188
C. 216
D. 96
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=A A C A 种，其中男
生甲站两端的有
1442
223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188
解析2：由题意有2
22112222
2
322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。
练习题
1．（2010全国一）如图，一环形花坛分成
A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供
选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A ．96
B ．84
C ．60
D ．48
答案B
2.（2011安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A ．2
28
3C A
B ．2
6
8
6
C A
C ．2
2
8
6
C A
D ．2
28
5C A
答案C
3.（2008湖北）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A. 540
B. 300
C. 180
D. 150 答案D
4.（2009福建）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48
答案A
5.（2011海南）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）
A. 20种
B. 30种
C. 40种
D. 60种
答案A
6．（2007福建）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000???????”到“9999???????”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） Ａ．2000
Ｂ．4096
Ｃ．5904
Ｄ．8320
D B
C
A
答案 C
7．（2011辽宁文）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，
若11a ≠，33a ≠，
55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）
A ．18
B ．30
C ．36
D ．48
答案B
8．（2009全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A ）150种
(B)180种
(C)200种
(D)280种
答案A
9．（2011山东）已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 答案A
10．（2006天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种 答案A
11.(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承
担，现在从10人中选派4人承担这项任务，不同的选派方法共有( ) A ．1260种 B ．2025种 C ．2520种 D ．5040种 答案：C
12.(河南省许昌市2008年上期末质量评估)5个大小都不同的实数，按如图形式排列，设第一行中的最大数为a ，第二行中的最大数为b ，则满足a
A ．144
B ．72
C ．36
D ．24 答案：B
13.(湖北省八校高2008第二次联考)某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的
奥运宣传广告，一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A ．48种
B ．98种
C ．108种
D ．120种
答案：C
14.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为
A ．3
B ．6
C ．12
D ．18
答案：C
15.(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A ．150种
B ．147种
C ．141种
D ．142种 答案：C
五、二项式定理.
1. ?二项式定理：n
n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .
展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；
② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C
③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.
n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.
?二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．
最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12
+n
项，它的二项式系数2n
n C 最大；
II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第12
1
++n 项，它们的二项式系数21
21+-=n n
n n C C
最大. ③系数和：
1
314201022
-=++=+++=+++n n n n n n n
n n n n C C C C C C C C
附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．
时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组111
11(,+-+-+?
??≤≤??
?≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.
?如何来求n c b a )(++展开式中含r
q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把
n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r
n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，
故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r
r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---?-=
!
!!!)!(!)!()!(!!.
设
88
018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解：由题知)8,2,1,0(8 ==i C a i i ，逐个验证知18
808
==C C ，其它为偶数，选A 。 在
)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是
（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274
解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4
x 的项的系数为
(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-
（1）
n n n n n n C C C C 13
21393-++++ 等于 （ ） A.n
4 B.n 43? C.134-n D.31
4-n
（2）若n 为奇数，则
77771
2211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是 （ ） A. 0 B. 2 C. 7 D. 8 若
()
4
32-x =44332210
x a x a x a x a a ++++，求（1）()
2
420a a a ++―
()231a a +的
值。（2）
3
210a a a a +++的值。
如果在n
x x ????
?
?+4
21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
六、.概率
（1）事件与基本事件：
基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：
（4）古典概型与几何概型：
古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式：
古典概型的概率计算公式：
()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数．
几何概型的概率计算公式：
()A P A =
构成事件的区域长度(面积或体积)
试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．
两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式 ①事件
A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．
②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件
A 与
B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．
（7） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是pn(k)
= C k n
pk(1―p)n ―k. 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项.
（8）独立重复试验与二项分布
①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；
②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为
()(1)(012k k n k n P X k C p p k n -==-= ，，，，，．此时称随机变量X 服从二项分布，记作~()X B n p ，，
并称
p 为成功概率．
事件 定义 集合角度理解
关系 互斥事件 事件A 与B 不可能同时发生 两事件交集为空 事件
A 与
B 对立，则A 与
B 必为互斥事件；
事件A 与B 互斥，但不一
是对立事件
对立事件
事件
A 与B
不可能同时发
生，且必有一个发生
两事件互补
(江苏)在平面直角坐标系
xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原
点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。 解：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此
2
144
16P ππ
?=
=
?。 答案 16π
(山东理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为
（A ）511
（B ）681 （C ）3061
（D ）408
1
解：基本事件总数为
31817163C =??。 选出火炬手编号为
13(1)n a a n =+-，11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；
12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。
4441.
1716368P ++=
=??
（重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A ．
1
55
B ．
355
C ．
14
D ．
13
解析因为将12个组分成4个组的分法有
4441284
33
C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法有
3144
3984
22C C C C A ，
故个强队恰好被分在同一组的概率为3
1
4
4
2
4
4
4
3
99842128433
C C C C A C C C A =55
。 高考题选讲
1.（2010辽宁理）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23
和34
，两个零件是
否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （A ）
1
2
(B)
512
(C)
14 (D)
1
6
【答案】B
【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则
P(A)=P(A 1)+ P(A 2)=
211335+=43412
?? 2.（2010江西理）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用
方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p ，则
A.
1p =2p B. 1p <2p C. 1p >2p D 。以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲
的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为
110 ，总概率为0010
101(0.1)(0.9)C -；同理，方法二：每箱的选中的概率为15
，总事件的概率为
005514
1()()55
C -，作差得1p <2p 。
3.（2010安徽文）（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （A ）
318 （A ）418 （A ）518 （A ）6
18
【答案】C
【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.
【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.
4.（2010北京文）?从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）
45
(B)
35 （C ）25
(D)
1
5
【答案】D
5.（（2010湖北理）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A
512 B 1
2
C
712 D 3
4
练习题
1.（2011上海）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张 均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。 【答案】
3
51
2.（2010湖南文）11.在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。 【答案】
13
3.（2010辽宁）（13）三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行， 恰好排成英文单词BEE 的概率为 。 【答案】
1
3
4.（2011重庆理）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
16
25
，则该队员每次罚球的命中率为____________. 5.（2010江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ） A ．
16 B ．14
C ．
13 D ．1
2
答案 D
6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ） A ．
3181 B ．3381 C ．4881 D ．50
81
答案 D
7.（四川）若同时掷二枚骰子（各面分别标有数学1－6的正方体）分别得到的点数分别作为点M 的坐标，则M 点落在区域E ：2
236x y +≤内的概率是( D )
A ．
512
B ．
1736
C ．
1318
D ．
1118
8.（2009宁波十校联考）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,b c ，则方程2
x bx c ++=有实根的概率为
（ ）
A
1936
B
1
2 C
59 D 17
36
答案 A
分布列与期望
(2010湖南卷理)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.1
2
、
13、1
6
，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A ,1B ,1C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，1A ,1B ,1C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=，P （1B ）=13，P （1C ）=16
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P （1
A 2
B 3
C ）=6P （1A ）P （2B ）P （3C ）=6?
12?13?16=1
6
(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由己已知，η-B （3，
13
），且ξ=3η。 所以P （ξ=0）=P （η=3）=1
3
C 31()3=127， P （ξ=1）=P （η=2）= 23C 3
1()3 2()3= 29
P （ξ=2）=P （η=1）=13C 1()322()3=49 P （ξ=3）=P （η=0）= 0
3C 32()3= 827
故ξ的分布是
ξ
0 1 2 3
P
127 29
49
827
ξ的数学期望E ξ=0?127+1?
2
9+2?
49
+3?
827
=2 （2009重庆卷理）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
2
3
和
12
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．
解 设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2
l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2
则
k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
2221()()()33k k k k P A C -= , 2211
()()()22l l l l P B C -= .
据此算得
01()9P A =
, 14()9P A = , 24
()9P A = .
01()4P B = , 11()2P B = , 21
()4
P B = .
(Ⅰ) 所求概率为
2111412
()()()929
P A B P A P B ?=?=?=
.
(Ⅱ) 解法一：
ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
0000111
(0)()()()9436P P A B P A P B ξ==?=?=?= ,
011011411
(1)()()92946
P P A B P A B ξ==?+?=?+?= ,
021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==?+?+?=?+?+?=13
36
,
122141411
(3)()()94923
P P A B P A B ξ==?+?=?+?= .
22411
(4)()949
P P A B ξ==?=?= .
综上知ξ有分布列
ξ
0 1 2 3 4 P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
从而，ξ的期望为
111311012343663639E ξ=?
+?+?+?+?7
3
=（株） 解法二：
分布列的求法同上
令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则
12ξξ::2
1B(2,)，B(2,)32
故有121E E ξξ?
=?=241
=2=，2332
从而知127
3E E E ξξξ=+=
(2011高三冲刺)甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、 “迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上 的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达次 时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ （1）求掷骰子的次数为7的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望E ξ。
解：（1）当ξ=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中 必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
2
1，因此
)7(=ξP =64
52121)21()21(2415=???C
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m ，向上的点数是偶数出现的次
数为n ，则由??
?
??≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：当655,00,5======m n m n m ；当时，或ξ
1=n 或1=m ，6=n 时，7=ξ当7=m ，2=n 或.9,7,2===ξ时n m 因此ξ
的可能
取值是5、7、9
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是
.2
163= 64
55
6451611)9(,645)7(,161)21(2)5(5=--=====?==ξξξP P P
所以ξ的分布列是：
ξ
5 7 9
P
16
1
64
5
64
55
32
275
6455964571615=
?+?+?=ξE
练习题
（20011第一次调研）体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达
标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标（例如前3次都未投中等情形），则停止投篮．同学甲投篮命中率为，3
2
且每次投篮互不影响． (Ⅰ)求同学甲恰好投4次达标的概率；
(Ⅱ)设测试中甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.
278
31)32(323==C P
.27
107
278527104313=?+?+?=ξE
（2011杭州二中第六次月考）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为
6
1
，用随机变量ξ表示取2个球的总得分．
（Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求ξ的分布列与期望． 解：（Ⅰ）4个黑球
（Ⅱ）9
14
361461336112311610=?+?+?+?+?
=ξ
E （四川省自贡市2010届高三三诊理科试题） 甲、乙、丙三名教师指导五名学生a 、b 、c 、d 、e 参加全国高中数学联赛，每位老师至少指导一名学生，教师甲资历最老，只指导其中的一名学生。 （I ）求教师甲指导学生a 的概率； （II ）求教师乙至少指导两名学生的概率；
（III ）设教师丙指导学生的人数为ξ，求ξ的分布列和期望。
解：（Ⅰ）511)(1
5
==
C A P (Ⅱ)设教师乙只指导一名学生为事件B ，则教师乙至少指导两名学生为事件B 的对立事件B ,
因为 72
)2
1()(22
241
41525=+=
A C C C A
B P 所以 7
5)(1)(=
-=B P B P （III ）
=
ξE 7
21?+732?+72
3?
排列组合二项式递推数列求通项常见
排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集 排列组合的常见题型及其解法 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。 复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 一.特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先 安排的方法。 例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故站法共有：A4-A5 = 48o（种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端， 有A种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A：种，故站法共有：A A4 = 480 （种） 二.相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一 个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 6 3 解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再进行排列，有A3种，所以排法共有：A6 A3 ^4320 （种）。 三?相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 种，所以排法共有：此A =1440 （种） 四.定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有A^种， m（m空n）个元素的全排列有A；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以 利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有虫种排列方法。 A m
排列组合与二项式定理知识点
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
排列组合与二项式定理精华总结
排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C （3）： 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. （2）：组合数公式：)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ （3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ （4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ，而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 （1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：
排列组合二项式定理知识点
排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例
3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k
(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．
二项式排列组合
二项式定理与多项式 1．二项工定理∑=-∈= +n k k k n k n n n b a C b a 0 *)()(N 2．二项展开式的通项 )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数 ).0(n r C r n ≤≤ 4．二项式系数的性质 （1）).0(n k C C k n n k n ≤≤=- （2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n （3）.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C （4）.2210n n n n n n C C C C =++++ （5）.21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C （6）.1 111----= =k n k n k n k n C k n C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C m m k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=?=?+---- 例题：求7)11(x x + +的展开式中的常数项. 【解】常数项为.3933 6672747172707=+++C C C C C C C 例题：求6 2)321(x x -+的展开式里x 5 的系数. 【解】 .16813)(35 6516464-=?+-?+C C C 例题：已知实数βα,均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为321,,x x x ，求 )111)((3 2 1 321x x x x x x ++++的值. 例题：d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中d c b a ,,,为常数，如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求)]0()4([4 1f f +的值 常见题型及解法 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x + 的展开式； 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x -的展开式 3．二项式展开式的“逆用” 例题：计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式= n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． 2007年高考数学试题分类汇编 排列、组合、二项式 1．（全国Ⅰ卷理科第10题）21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = （ D ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ） A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ） Ａ．()2 142610C A 个 Ｂ．24 2610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．2 42610A 个 7．（重庆理科第4题）若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A10 B.20 C.30 D.120 8．（重庆文科第4题）()221x -展开式中2x 的系数为（ B ） （A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）240 9．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ） （A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n . 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育， 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n 2010年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理 （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种，故选B. （2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有 246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C = （2010江西理数）6. (8 2展开式中不含．．4 x 项的系数的和为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。 采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4 x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0. （2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即221211 6454432C C C C C C -?+=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在15日，有2 4C =6种排法 高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说， 排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A. 排列组合 分类计数原理：完成一件事，有n 种不同的方法，在1类办法中有m 1种不同的办法，在第2类办法中有m 2种不同的方法······在第n 种办法中有m n 种不同的方法。那么完成这件事共有N= m 1 +m 2+······ m n 种不同的方法 分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的打方法·····做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m 1 ×m 2×······×m n 种不同的方法 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示 3．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤） 4 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=． 5．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 6 组合概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 8．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 9.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 10.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C C n 0+C n 1+…+C n n =2n 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 二、不相临问题——选空插入法 若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决 例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.排列组合与二项式定理及概率应用综合
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