数学竞赛教材系列
高中数学竞赛校本教材【全套共30讲】(原创Word版,含答案,278页)
高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
高中数学竞赛标准教材(共18讲)
定理 4 容斥原理；用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A Υ B = A + B − A Ι B ,
A Υ B Υ C = A + B + C − A Ι B − A Ι C − B Ι C + A Ι B Ι C ，需要 xy 此结论可以
∑ 推广到 n 个集合的情况，即
定义 3 交集， A Ι B = {x x ∈ A且x ∈ B}.
定义 4 并集， A Υ B = {x x ∈ A或x ∈ B}.
定义 5 补集，若 A ⊆ I ,则C1 A = {x x ∈ I ,且x ∉ A}称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集， A \ B = {x x ∈ A,且x ∉ B} 。
（3） C1 A Υ C1 B = C1 ( A Ι B ); （4） C1 A Ι C1 B = C1 ( A Υ B).
【证明】这里仅证（1）、（ 3），其余由读者自己完成。
（1）若 x ∈ A Ι (B Υ C) ，则 x ∈ A ，且 x ∈ B 或 x ∈ C ，所以 x ∈(A Ι B) 或 x ∈ ( A Ι C) ，即 x ∈ ( A Ι B) Υ ( A Ι C) ；反之， x ∈ ( A Ι B) Υ ( A Ι C) ，则 x ∈ ( A Ι B ) 或 x ∈ ( A Ι C) ，即 x ∈ A 且 x ∈ B 或 x ∈ C ，即 x ∈ A 且 x ∈ ( B Υ C) ，即 x ∈ A Ι (B Υ C).
然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 ∅ 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
攻略高中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单
攻略⾼中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单挤进清北等优质名校是众多⾼中⽣的梦想，有梦想是好的，但现实很残酷，这些⾼校招⽣名额有限！尤其在招⽣⽅式改⾰后，⾼考裸分被录取的可能性更⼩。
因此，通过学科竞赛拿奖牌获得降分优惠或直接被保送，成为许多考⽣的必然选择。
但你知道，学科竞赛应该如何备考才能拿到⾼含⾦量的奖牌吗？学科竞赛⽹（jingsai985）根据多年经验，总结出⼀份⾼含⾦量的数学竞赛备考秘籍。
我们从不轻易告诉外⼈，但今天很⾼兴与你分享，因为我们是⾃家⼈！（⼀）先看赛程数学预选赛（初赛）在各地市学校举⾏，评选出的奖项分为市⼀、市⼆、市三，考核优秀的学⽣晋级参加数学联赛。
数学联赛（⼀试、⼆试）全省在指定的⼀个或⼏个地⽅进⾏选拔考试，评选出的奖项分为省⼀（含省队）、省⼆、省三，考核优秀的学⽣晋级参加全国数学决赛，即冬令营（CMO）。
冬令营全国统⼀指定⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出的奖项分为国⼀（含集训队）、国⼆、国三，考核优秀的学⽣晋级参加国家集训队。
最终选出6名优秀选⼿代表中国参加IMO。
IMO全世界在指定的⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出国际⾦牌，国际银牌，国际铜牌。
（⼆）重点看时间安排和阶段备考内容⾼中学业较之前本来就繁重，还要挤出时间备战数竞，因此，进⾏科学规划显得尤为重要。
从初赛到国决⼤略可分为以下五个阶段：1、第⼀阶段：初三暑假到⾼⼀上学期⼤部分学⽣的竞赛之路是从初三毕业那个暑假开始的，虽然某些省份呈低龄化趋势，但并⾮主流。
这个阶段多数竞赛⽣学习必备知识，由于预选赛（初赛）和⼀试的内容均是⾼中知识，且初赛难度较⼩，所以，⽆需单独备考初赛，准备⼀试即可。
此阶段，你需要配合⽼师的课堂教学，以最短时间尽可能⾃学完成⾼考要求掌握的数学知识，同时要注意做题训练。
可以从数学53（五年⾼考三年模拟）【⽂末附详细书单】开始练习，若做起来⽐较顺⼿，就跳过直接刷浙⼤版《⾼中数学竞赛培优教程：⼀试》（第四版），偶尔选53重要题型练⼿感；若做起来有难度，还是要坚持先把53弄懂吃透，奠定⾼考基础。
奥数书籍推荐
打星号的是强烈推荐的，其他的书也是非常值得一读的，但是时间有限的情况下，可以暂时搁置。
通用书籍：中等数学（无论是刚入门还是国家队）第零阶段知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修3-X（忘了哪本）：初等数论初步》第一阶段：全国高中数学联赛各赛区预赛1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用高中数学联赛备考手册华东师范大学出版社*3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社*4、单樽《解题研究》*5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几）6、《平面几何》浙江大学出版社7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著第二阶段：全国高中数学联合竞赛第一部分：一试《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社*《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社第二部分：加试（我怎么可能会说二试这种词语呢）平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选*2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选*3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》4、浙大小红皮《平面几何》5、沈文选《三角形的五心》6、田廷彦《三角与几何》7、田廷彦《面积与面积方法》不等式1、《初等不等式的证明方法》韩神2、9、命题人讲座《代数不等式》计神3、10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》苏淳19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲第三部分：通用《中等数学增刊：高中数学联赛模拟题》*《多功能题典：高中数学竞赛》《数学奥林匹克研究教程》单樽奥林匹克小丛书第二版《高中数学竞赛中的解题方法与策略》第三阶段：中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上（本渣不自量力，竟然敢给这个阶段的大神推荐书籍，如果大神们虐题审美疲劳的话，也不妨一看）命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》今天仔细看了看。
外国数学竞赛书
外国数学竞赛书
以下是一些外国数学竞赛的推荐书籍：
1. "The Art of Problem Solving: Volume 1" by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky - 这本书是美国数学竞赛协会推荐的经典教材，适合有一定数学基础的初学者。
2. "The Art of Problem Solving: Volume 2" by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky - 这本书是继《The Art of Problem Solving: Volume 1》之后的延伸教材，更加深入地讲解了数学竞赛中的高级问题。
3. "Problem-Solving Strategies" by Arthur Engel - 这本书是德国数学竞赛教材的经典之作，包含了丰富的数学问题和解题策略。
4. "Mathematical Olympiad Challenges" by Titu Andreescu and Razvan Gelca - 这本书主要面向初中和高中水平的学生，提供了大量的数学竞赛题目和解题技巧。
5. "Mathematical Circles" by Dmitri Fomin, Sergey Genkin, and Ilia Itenberg - 这本书是俄罗斯数学竞赛的教材，注重培养学生的数学思维和创造力。
这些书籍对于提高数学竞赛的解题能力和思维能力都非常有帮助。
然而，建议根据个人的数学水平和兴趣来选择适合的教材。
48 初中数学竞赛小蓝本
《初中数学竞赛小蓝本》是一套适合初中数学竞赛的辅导教材。
它涵盖了初中数学竞赛的所有考点，并提供了大量的例题和习题，
以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这套书的内容非常丰富，包括代数、几何、数论等多个方面的
知识。
每个章节都配备了相应的概念描述和公式标注，以便学生更
好地理解和记忆。
同时，习题部分也是该书的亮点之一，题目难度
适中，从基础到高级，适合不同层次的学生进行练习。
此外，《初中数学竞赛小蓝本》还注重培养学生的解题思路和
方法。
通过大量的例题和习题，学生可以逐渐掌握数学竞赛的解题
技巧和方法，提高自己的解题能力和思维能力。
总的来说，《初中数学竞赛小蓝本》是一套非常适合初中数学
竞赛的辅导教材，可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。
高思学校竞赛数学课本一年级
“数学就像一首诗，既有优美的旋律，又有深邃的内涵。”
这句话将数学比喻为一首诗，让学生们感受到数学的诗意和美感。数学中的公 式和定理就像诗歌中的词语和句子，它们既有简洁明了的表达方式，又有深刻 的内涵和意义。
“数学就像一座山，只有攀登到山顶，才能看到更美丽的风景。”
这句话鼓励学生不断攀登数学的巅峰，让他们明白只有通过不断的学习和努力， 才能达到更高的水平，看到更美丽的风景。
内容摘要
这本书还注重数学思维的培养。在每个章节中，都会介绍一些重要的数学思想和方法，如归纳、 演绎、类比等。这些思想和方法不仅有助于解决数学问题，还对其他学科的学习和日常生活都有 所帮助。 《高思学校竞赛数学课本一年级》是一本全面、系统、深入的小学一年级数学竞赛教材。它不仅 涵盖了小学一年级数学的主要知识点，还通过丰富的例题和练习题帮助学生巩固知识、提高技能。 这本书还注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的未来学习和发展打下坚实的基础。
精彩摘录
《高思学校竞赛数学课本一年级》是一本深受广大学生喜爱的数学教材。这本 书的内容涵盖了小学一年级数学竞赛的所有知识点，并且通过生动有趣的故事 和实例，让学生们在轻松愉快的氛围中学习数学知识。
在这本书中，有许多精彩的摘录，它们不仅展示了数学的魅力和趣味性，还为 学生们提供了学习和思考的方向。以下是一些摘录的例子：
“数学就像一座宝藏，只有通过不断的探索和挖掘，才能找到其中的宝藏。”
这句话鼓励学生探索数学，让他们明白数学不是枯燥无味的，而是一座充满宝 藏的宝库。只有通过不断的学习和思考，才能发现数学的奥秘和美丽。
“数学就像一扇门，打开它就能看到更广阔的世界。”
这句话让学生们明白数学是一种工具，它可以帮助我们打开通向更广阔世界的 大门。通过学习数学，我们可以更好地理解和解决生活中的各种问题，从而拓 宽我们的视野和思维方式。
数学竞赛书目
s004 高中数学竞赛培训教材高一分册 浙江大学 22
s005 高中数学竞赛培训教材高二分册 浙江大学 23
s006 高中数学竞赛培训教材高三分册 浙江大学 26
高中各科竞赛实战演练丛书
s015 国内高中数学竞赛真题库 浙江大学 14
s016 国外数学竞赛真题库 浙江大学 25
s017 高中数学竞赛2000题 浙江大学 40
特级教师解密
s064 奥赛小丛书.高中卷14 组合几何 华东师大 7
s065 奥赛小丛书.高中卷15 图论 华东师大 9
s066 奥赛小丛书.高中卷16 组合极值.论证与构造 华东师大 10
s052 奥数小丛书.高中卷2 函数与函数方程 华东师大 12
s053 奥数小丛书.高中卷3 三角函数 华东师大 13
s054 奥数小丛书.高中卷4 平均值不等式与柯西不等式 华东师大 11
s055 奥数小丛书.高中卷5 不等式的解题方法与技巧 华东师大 12
《赛前集训》系列
s049 高中数学联赛专题辅导 华东师大 15
s050 高中数学联赛考前集训 华东师大 7
《数学奥林匹克小丛书》
s051 奥数小丛书.高中卷1 集合 华东师大 12
高中各学科竞赛丛书国家数学奥林匹克竞赛学会审定
s001 高中数学竞赛培优教程(一试) 浙江大学 26
s002 高中数学竞赛培优教程(专题讲座) 浙江大学 26
s003 高中数学竞赛题典 浙江大学 14
《高中奥赛试题评析》丛书
s029 高中数学奥赛试题评析 南京师大 18
启东中学奥赛训练教程
s030 启东中学奥赛训练教程.高中数学 南京师大 24
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初一数学竞赛讲座第2讲 数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？ 解：开始只有1枚1分硬币，没有1角的，所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1，这是奇数。
每使用一次该机器，1分与1角的总枚数记为Q。
下面考查Q的奇偶性。
如果塞入1枚1分的硬币，那么Q暂时减少1，但我们取回了1枚1角的硬币（和1枚5分的硬币），所以总数Q没有变化；如果再塞入1枚5分的硬币（得到4枚1角硬币），那么Q增加4，而其奇偶性不变；如果塞入1枚1角硬币，那么Q增加2，其奇偶性也不变。
所以每使用一次机器，Q的奇偶性不变，因为开始时Q为奇数，它将一直保持为奇数。
这样，我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况，因为如果我们有P枚1分硬币和（P+10）枚1角硬币，那么1分和1角硬币的总枚数为（2P+10），这是一个偶数。
矛盾。
例 4在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？解：因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。
如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！ 所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
五、构造法 构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。
例5 9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？ 解：9999能。
因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下： 9999=（9998-98）+（9998-96）+…=（9998-2）+9998+（9998+2）+…=（9998+96）+（9998+98）。
99！不能。
因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。
说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。
例6 从1，2，3，…，999这999个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。
应划去哪些数？ 解：我们可划去2，3，…，30，31这30个数，因为划去了上述这30个数之后，余下的数中，除1以外的任何两个数之积将大于322=1024＞999。
另一方面，可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。
（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…， （30，33，30×33），（31，32，31×32）。
上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31×32=992。
如果划去的数少于30个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满足题设条件。
所以，30是最少的个数。
六、配对法 配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。
传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。
像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。
将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998， (4999999)5000000各对的数码和都是9×7=63。
这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。
若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。
例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。
试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
解：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。
由于9999是奇数，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。
例9已知最简分数可以表示成： 。
试说明分子m是质数89的倍数。
解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的办法，将和 ①②两式相加，得 从而2m×88！=89×k（k是正整数）。
因为89为奇质数，所以89不能整除 88！，从而89|m。
解法二：作配对处理 将括号内的分数进行通分，其公分母为1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！， 从而m×88！=89×k（k=n×q）。
因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。
七、估计法 估计法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以获取有关量的本质特征，达到解题的目的。
在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。
例10已知一个整数等于4个不同的形如（是整数）的真分数之和，求这个数，并求出满足题意的5组不同的真分数。
解：因每一真分数满足，而所求的数整S是四个不同的真分数之和，因此2＜S＜4，推知S=3。
于是可得如下5组不同的真分数： 例11 已知在乘积1×2×3×…×n的尾部恰好有106个连续的零，求自然数n的最大值。
分析：若已知n的具体数值，求1×2×…×n的尾部零的个数，则比较容易解决，现在反过来知道尾部零的个数，求n的值，不大好处理，我们可以先估计n大约是多少，然后再仔细确定n的值。
解：当=400时，数1，2，3，…，400中共有个数是5的倍数，其中有个数是52的倍数，有个数是53的倍数。
因此，乘积1×2×3×…×400中含质因数5的个数为80+16+3=99（个）。
又乘积中质因数2的个数多于5的个数，故n=400时，1×2×…×n的尾部有99个零，还需 7个零，注意到425中含有2个质因数5，所以 当n=430时，1×2×…×n的尾部有106个零； 当n=435时，1×2×…×n的尾部有107个零。
因此，n的最大值为434。
练习2 1．将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？2．如下图，给定两张3×3方格纸，并且在每一方格内填上“+”或“-”号。
现在对方格纸中任何一行或一列进行全部变号的操作。
问：可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？3．你能在3×3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1999吗？若能，请举出一例；若不能，请说明理由。
示，求出表达式；若不能表示，请给出证明。
5．公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
试说明，所有幸运车票号码的和能被13整除。
6．N是由5个不同的非零数字组成的五位数，且N等于这5个数字中取3个不同数字构成的所有三位数的和，求出所有的这种五位数N。
7．证明：没有最大的质数。
练习2 答案： 1．不可能。
因为45045是奇数，所以它只能表示成3个奇数的连乘积，但是对任何两个奇数x和y（x＜y）来说，y-x都是偶数，从而45045≠xy（x-y）。
而如果x和y中有偶数，则亦不可能。
2．不能。
假设图（1）在第一、二、三行经过m1，m2，m3次操作，而第一、二、三列经过n1，n2，n3次操作变成图（2）。
由于图（1）和图（2）左上角符号相反，而从“+”号变到“-”号要进行奇数次变号，故（m1+n1）是奇数。
同理（m1+n2）是偶数，（m2+n1），（m2+n2）都是奇数。
这样（m1+n1）+（m1+n2）+（m2+n1）+（m2+n2）是奇数。