数学竞赛教师辅导用教材

数学竞赛辅导用教材根据《2011北京市高职高专大学生数学竞赛大纲》规定的竞赛内容及要求，现将微积分各章节的知识点、典型题及解题思路和技巧等为同学们梳理出来，意在帮助同学们自行复习，同时也作为教师为竞赛班开班辅导的指导素材。

第一部分 函数、极限、连续㈠ 竞赛内容大纲1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立． 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数性质及其图形、初等函数． 4．数列极限与函数极限的直观描述性定义及基本性质，函数的左极限与右极限． 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较． 6．极限的四则运算、两个重要极限．7．函数的连续性概念（含左连续与右连续）、函数间断点的判定（不区分类型）． 8．连续函数的性质和初等函数的连续性．9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)．㈡ 知识点及典型题1. 两个函数相等（函数两要素：定义域、对应规则）这两条只要有一条不满足两函数就不同）例1：判断下列各对函数是否相同（1） f(x)=ln(x 2-4)与g(x)=ln(x+2)+ln(x-2) （2）f(x)=sinx 与)2sin()(t t g +=π解：（1）f(x)的定义域x 2-4>0，即x>2。

g(x)的定义域20,20x x +>⎧⎨-<⎩得x>2 。

由于f(x)、g(x)的定义域不同，因此两函数不同。

（2）f(x)的定义域),(+∞-∞，g(t)的定义域),(+∞-∞,且g(t)=sin(2π+t)=sint,说明了f(x)、g(t)的定义域及对应规则都相同（註：函数是否相同与变量所用字母无关），因此f(x)与g(t)相同。

例2：求下列函数定义域（1）6arctan 5x y -=; （2）()21,101,02x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩ .解：(1) 由60615x y x ->⎧⎪=-⎨≤⎪⎩得 616x x <⎧⎨≤<⎩.（2）分段函数定义域为：取各范围定义域之并！()[](]{}1,00,2D f x x =∈-，即：()[]{}1,2.D f x x =∈-例3：求函数值 已知()1,1xf x x-=+求：()()()()()()()110,1,,,1,1,,.f f f u f x f x f x f x f x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭解：,11)(1)(1)(,11)(,01111)1(,0101)0(x xx x x f u u u f f f -+=-+--=-+-==+-=+-=,121111)(,2)1(1)1(1)1(x x x x f x x x x x f +=++-=++-=+++-=+x x x x x f x x x x xf -+=+-=+-=+-=11111)(1,111111)1( ，由此看出：()()11;f x f x +≠+ ()11.f x f x ⎛⎫≠⎪⎝⎭ 例4：设 ()cos ,21,2x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ， 求：()()()()1,2,,,.2f f f f f x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭解: 这是分段函数，注意x 在不同区间上()f x 的表达式不同。

()1cos1,f =()2213,f =+= cos 0,22f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭() 1.f ππ=+⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤--=-212cos 212)cos()(ππππx x x x x x x x x f2．函数的性质（1） 有界性：若存在正数M ，使D x ∈∀，有M x f ≤)(，称f(x)在D 上有界。

例：()1f x x=在[1，2]上有界，但在[-1，1]上无界。

（2） 奇偶性：设D 为对称区间[],a a -, 若D x ∈∀，恒有f(-x)= -f(x), 称f(x)是奇函数；若D x ∈∀，恒有f(-x)= f(x), 称f(x)是偶函数。

例：讨论函数 ()11x x a f x a -=+的奇偶性.解: ()()11,11x x x x a a f x f x a a -----===-++ ∴()11x x a f x a -=+为奇函数。

注意：1）讨论奇偶性应在对称区间上。

2） 奇偶性判别除了用定义外，还常用下列性质：ⅰ）奇函数之和（差）仍是奇函数；偶函数之和（差）仍是偶函数。

ⅱ）奇函数之积（商）是偶函数；偶函数之积（商）是偶函数。

ⅲ）奇函数与偶函数之积（商）是奇函数。

（3）周期性：若,D x ∈∀有()()f x T f x +=,称()f x 是以T 为周期的周期函数。

显然nT(n= ,2,1±±)也是f(x) 的周期。

一般周期是指f(x+T)=f(x)成立的最小正数。

例：设周期函数()f x 是以T 为周期的周期函数，证明()(),0f ax a >是以Ta为周期的周期函数。

分析：要证明()T f a x f ax a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：因为()f x 是以T 为周期的周期函数，所以()()f ax T f ax +=,于是：()()T f a x f ax T f ax a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()(),0f ax a > 是以Ta为周期的周期函数。

如：sin ,cos x x 是以2π为周期的周期函数，tan ,cot x x 是以π为周期的周期函数。

因此sin3y x =的周期是23π, tan 2y x =的周期是.2π （4）单调性： ↑≤<∈∀)(),()(,,212121x f x f x f x x D x x 则时，总有当；↓≤<∈∀)(),()(,,212121x f x f x f x x D x x 则时，总有当 ；注：单调性还可用导数符号判断：↑>'∈∀)(,0)(,x f x f D x 则总有；()(),0,x D f x f x '∀∈<↓总有则3. 复合函数首先要熟悉六个基本初等函数的形式： （1） 常数函数 y = C （2） 幂函数 y = x a（3） 指数函数y =a x(a>0且a 1≠) （4） 对数函数y =log a x (a>0且a 1≠)（5） 三角函数 sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cscx （6）反三角函数arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx复合函数就是以这六个基本初等函数复合而成的函数。

例如：ln y =是由ln ,y u = sin ,u v =v =:4. 初等函数由基本初等函数经有限次四则运算或复合，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

如：2+=x y 是复合函数，也是初等函数；但2+=x y 只是初等函数，而不是复合函数。

5. 极限概念（1） 数列极限：对于数列{},n a 若当n 无限增大时，n a 无限趋进于某一确定的常数A ，则称A 为数列{}n a 的极限。

（2） 函数极限：对于函数()f x ，若在自变量的某一变化过程中) (0x x x →∞→或当，()f x 无限趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数()f x )(0x x x →∞→或的极限。

（3）单侧极限：左极限：()0lim x x f x A -→=，（自变量x 从x 0左侧趋于x 0时函数的极限）右极限：()0lim x x f x A +→=，（自变量x 从x 0右侧趋于x 0时，函数的极限）（4）极限存在条件： ()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=⇔==例：设 ()cos ,021,2x x f x x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ ， 求()3lim x f x π→，()2lim x f x π→.解：表达式一样，不是分界点，左、右侧30π=x 21cos lim )(lim 33==→→x x f x x ππ。

()f x 在02x π=是分界点，左右侧表达式不一样，()22lim lim cos 0,x x f x x ππ--→→== ()22lim lim 1 1.2x x f x x πππ++→→=+=+02x π=处的左、右极限不相等， 因此()2lim x f x π→不存在。

注：用左、右极限来判定极限的存在性，一般只对分段函数在分界点处求极限时使用!6. 求极限的方法归纳（1） 四则运算：设v u lim ,lim 皆存在，则)0lim lim lim lim(lim lim ,lim lim lim ,lim lim )lim(≠==⋅=⋅±=±v vuv u c u c cu v u v u v u v u （其中为常数），特别（2） 连续函数求极限代入法：()()0lim x x f x f x →=（3） 有理化： 例1. 求)()lim,x x →∞∞-∞型解：)3lim=.2x x x x →∞==例2. 求00x →⎛⎫⎪⎝⎭型解：))0011lim lim 1.22x x x x x→→→===（4） 消去零因子：例3. 1)1(lim 2)1)(2(lim 223lim 2222=-=---=-+-→→→x x x x x x x x x x（5） 自变量趋向于无穷大的情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>∞=++++++++----∞→nm n m b a n m b x b x b x b a x a x a x a n n n n m m mm x 当当当0lim 0001110111（可用分子、分母的最高次幂同除以分子、分母。

）例：0235121lim 23512lim 42422423=++++=++++∞→∞→x x x x x x x x x x x例：100701003070100307023)32()11()13(lim )32()1()13(lim=-+-=-+-∞→∞→x x x x x x x x例：11111lim 11lim3332=++=++∞→∞→x x x x x x x（6） 两个重要极限：（重点，必会！）（ⅰ） 1)()(sin lim ,1sin lim 1sin lim000==⇒=→→→x x x x x x x x x ϕϕ（ⅱ） ex e x e x e n x x xx x x n n =+=+⇒=+⇒=+→→∞→∞→)(10)(10)](1[lim ,)1(lim )11(lim )11(lim ϕϕϕ例1： 101sin1lim sinlim 11xx x x x x→∞→== （第一重要极限公式）例2： 0000tan 3sin 3sin 31limlim 3lim lim 3.cos33cos3x x x x x x x x x x x x→→→→==⋅=⋅例3：()2232200339lim lim9.sin sinxx xx xx→→⋅==例4：22sinsin2lim lim 1.2u xuxxuuxππππ→=-→⎛⎫-⎪⎝⎭=-=例5：()424224 222lim1lim1lim1.x xxx x xe x x x--⋅---→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦例6：111211lim111lim lim.111lim1xxx xxxx xxxxx ee x ex---→∞-→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫--⎢⎥⎛⎫⎣⎦====⎪⎪++⎝⎭⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭例7：23323-2211122233lim113222lim lim.11211lim122xxx xxx x xxx exx e xexx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭-→∞-⎛⎫→∞→∞--⋅- ⎪⎝⎭→∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎝⎭===⎪⎪-⎝⎭ ⎪-⎛⎫⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭=同除例8：22222 1111lim1lim1lim1lim11.2222n n nx x x xe en n n n+-+--→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭使用技巧如下：或或（7）无穷小量、无穷大量1）定义：以0为极限的量称为无穷小量。