高中数学竞赛系列辅导材料 集合
高中数学名校竞赛专题讲义第一章 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ∉。
例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ⊆,例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属于A ,则A 叫B 的真子集。
定义3 交集,}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集,}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集,若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集,},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ,B ,C ,有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3）,其余由读者自己完成。
高中数学奥赛讲义：集合
高中数学奥赛讲义：集合内容综述：本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。
然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。
要点讲解：§1．基本理论除了课内知识外，我们补充以下知识相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
A，B，C为三个集合，就有下面的定律。
（1）分配律（2）零律（3）排中律（4）吸收律（5）补交转换律（6）德·摩根律的相对形式例题分析：例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。
那么，对于n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。
那么，我们也就很容易解决这个问题了。
解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。
高中数学竞赛讲义(一)──集合与简易逻辑
高中数学竞赛讲义（一）──集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。
数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。
当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。
为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。
与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。
而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。
我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。
总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。
高中数学竞赛校本教材 (全套 共30讲 有详解)
高中数学竞赛校本教材(共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
高中数学名校竞赛专题讲义第一章 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ∉。
例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3}；描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ⊆,例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属于A ,则A 叫B 的真子集。
定义3 交集,}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集,}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集,若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集,},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质:对任意集合A ,B ,C ,有:（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3）,其余由读者自己完成。
高中数学竞赛讲义01：集合与简易逻辑
集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A 的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。
高中数学竞赛讲义(1)集合与简易逻辑
高中数学竞赛讲义（一）──集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。
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集合（一）
内容综述：
本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、
交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分
配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。
然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以
上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。
要点讲解：
§1．基本理论
除了课内知识外，我们补充以下知识
相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或
差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有
，
其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
A，B，C为三个集合，就有下面的定律。
（1）分配律
（2）零律
（3）排中律
（4）吸收律
（5）补交转换律
（6）德·摩根律的相对形式
例题分析：
例1：对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”
如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例
如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的
交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。
分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数
目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交
替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替
和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么，
我们也就很容易解决这个问题了。
解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，
把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设
这是把结合为一组，显然，每组中，“交替和”
之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为
。
说明：我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是“对应”的
方法，“对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。
例2：设A={1，2，……，2n.}，证明：A的任意n+1阶子集中，存在两个数，一
个可被另一个整除。
分析：对于2n个数中取n+1个数，我们应该有一个直觉就是把这2n个数分成n
组，每组都必然满足题目条件，那么由抽屉原则命题就解决了。
证明：前2n个自然数中，共有n个奇数。根据自然数的一种有用的表达形式；
n=(2k-1)·2
(,L为非负整数)考查A的下列n个子集，
……
容易看到：
考虑A中任意n+1个元素，根据抽屉原则知，至少有两个元素是上述n个集合中
同一个集合中的元素，这两个数中，必有一个可被另一个整除。
说明：把一个集合分成若干个两两不交的子集的并，也则分拆，这种分拆的方法
在解决集合的问题时为常用方法之一。
例3：某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，
物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。化学数学都优
秀8人。这个班有5人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的
三科分别有多少个人。
分析：自然地设A={数学总评优秀的人}
B={物理总评优秀的人}
C={化学总评优秀的人}
则已知|A|=21 |B|=19 |C|=20
这表明全班人数在41至48人之间。
仅数学优秀的人数是
可见仅数学优秀的人数在4至11人之间。
同理仅物理优秀的人数在3至10人之间。
同理仅化学优秀的人数在5至12人之间。
解：（略）。
说明：先将具体的实际生活中的问题数学化，然后根据数学理论来解决这个
问题不仅是竞赛中常见情况，也是在未来学习中数学真正有用的地方。
例4：n元集合具有多少个不同的不交子集对？
分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可
以求出总的子集对来了。
解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，
则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是
种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为种，那么k从o变到n，总的情况可
能就是。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序
不同的子集对不认为不同，则对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它
个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此
有个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为
分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不
同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第
一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对
的总数，以下同解法一。
说明：本题为1973年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异很
大的两个解法，解法一从题目要求想起，很容易想到，但解出最后解却不见得那么简
单，而解法二的想法是类似于集合分析的想法，很难想到，但想出后比较容易求解，
两个解法对比一下正体现了数学思维的两方面，一个是纯代数想法，以计算的方法替
代对题目更深层次的研究，另一个则是控掘题目本身的内在关系，找出最合适的解答，
我们当然推荐第二种做法。
例5：1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数
学家两两合作过。
分析：在与一个人A合作的人中我们找到B。再说明一定有人与A和B都合
作过为C。最后再说明有人与A、B、C都合作过为D，那么A、B、C、D就是找的
人了。
证明：一个人A。不妨设B与之合作。那么
。即C与
A和B均合作过，分别表示与A、B合作过的人的集合。同样地，
。
所以存在。则A、B、C、D就是所求，证毕。
说明：把一个普通的叙述性问题转化为集合的语言描述的问题通常为解题的
关键之处，也是同学们需加强的。
例6：集合X由n个元素构成，对两个子集，求得集合的
元素个数，
证明：所有求得个数之和为。
分析：我们先考虑一个简单情况，n=2.这时有四个集合，记为
。
交集情况就是。那么对于n很
大时，我们有的不只是4个集合却可以以此形式分组。
证明：因为集合X总共有个不同子集，所以不同的有序子集对共有
，将所有子集对分为个4元组：其中
表示子集的补集X-A。交换子集对的4元组中子集对的次序，得到的是同一
个四元组，事实上，由子集对得到的4元组与由得到的完全相同，且
。
说明：复杂的问题先考虑简单的特殊的情况是一种最常用的方法，从中找到
共性后就很容易得到原题目有答案了。
1．一个集合含有10个互不相同的十进制两位数，证明：这个集合必有两个无公
共元素的子集合，这两个子集元素和相等。
2．是否存在两个以非页整数为元素的集合A、B，使得任一个非负整数都可以被
A、B之中各取一数之和唯一表出。
3．对每个使得在n元集合中，可以取出k个子集，其中任意
两个的交非合。
4．能否把分成两个积相等的不交集合。
参考答案
1．10个元素的集合共有个非空子集，每一个这个集合的非空
子集中数字之和小于， 由抽屉原则知，必有两个子集，它们有相同的
元素和，设为 满足题目要求条件。
2．十进制为第1位。为第i位，考虑如下的A、B：
A为奇位为o的那些非负整数组成。
B为偶位为o的那些非负整数组成。
不难验证这样的A B是符合题目要求的。
3．在集合中取定一个元素，并只考虑含的子集，这
类子集的个数为集合的子集的个数，即为。因此。另一方面，
设从集合X至少取出个子集，将集合X的所有子集分成对。每一对由一
个子集与它的补集组成，由抽屉原则，所取子集至少有两个组成一对，因此它们不交，
于是。
4．对7取模，由于均不能为7的位数，所以
(mod7).
所以n·（n+1）·(n+2)·(n+3)·(n+4)·(n+5) (mod7)，而若能拆分应为
0、1、4、2 （mod7），所以集合不能拆成满
足要求的集合。