运筹学及答案

运筹学习题及参考答案这里选择了部分运筹学习题，供教学练习参考。

这些习题主要选自教材《物流决策分析技术》和《物流运筹学方法》（个别习题内容有所变动），其中习题的提示与答案未经仔细验算和检查, 仅供参考。

一、线性规划1.在用单纯形法解线性规划问题时，我们假定“目标函数求极小”和“等式约束”。

那么，遇到目标函数求极大怎么办？约束条件中包含不等式，将如何处理？提示：当目标函数是求极大时，可将目标函数的系数乘于负1，则变为目标函数求极小的线性规划问题。

当约束条件为不等式时，求解前在不等式的较小的一边加一个辅助变量，变为等式约束。

2．解如下线性规划问题：Max.F＝2X1＋X2＋8X3Subject to:2X1－X2＋3X3＝46X1＋X2－5X3＝2X1＋X2＋X3≤5X1，X2，X3≥0参考答案：X＝（1.11，2.47，1.42）3．解如下线性规划问题：Max.F＝5X1＋4X2＋10X3＋8X4Subject to:X1＋X2＋X3＋X4≤120X1＋2X2＋4X3＋4X4≤4202X1＋4X2＋2X3＋4X4≤3804X1＋5X2＋5X3＋2X4≤400X1，X2，X3，X4≥0参考答案：X＝（20，0, 40，60）4．解如下线性规划问题：Max.F＝5X1＋7X2＋6X3Subject to:10X1＋2X2＋X3≤1003X1＋13X2＋4X3≤1502X1＋3X2＋12X3≤120X1，X2，X3≥0参考答案：X＝（7.79，7.65, 6.79）5．解如下线性规划问题：Min.F＝5X1－7X2＋6X3Subject to:10X1＋2X2＋X3＝1003X1＋13X2＋X3≤1502X1－3X2＋10X3≥100X1，X2，X3≥0参考答案：X＝（7.06，9.04, 11.30）6．某流通加工中心按客户要求，要把长度为1800（毫米）的圆钢截取为长度为200和125的甲、乙两种单件，共加工600套, 每套含甲2件，乙1件。

怎样截法才能使圆钢的残料最少？提示:截取方式共有10种。

参考答案：X1＝100, X6＝75, 其它X=07.电力分配问题。

某市拟以新增加的18亿千瓦的电力发展机械、化工、建材和电子四个行业的生产。

据测算，各行业获得部分电力后可增加的利润由表2-012给出，表中数字单位为亿元。

如何分配这些电力可使该市从中获得最大的利润？提示:由利润表数据可以看出,各行业增加的电力大于6时,利润不再增加，即保持一个常量。

可用动态规划中的资源分配程序求解。

8.某货运站有三个装卸队，可以装卸A、B、C三种物资，对这三种物资的卸车收费标准分别为每吨50元、70元、60元。

表2-02给出了三个装卸队完成三种物资卸车任务的时间和每天能提供的总时间能力。

表2-02现有一大批装载这些物资的车辆等待卸货，即卸货任务供大于求。

试求能获得最大收益的作业调配方案。

提示：此题最优解很显然，可直观看出。

可用线性规划模型验证。

参考答案：X12=100，X22=150，X32=120。

9．某加工配送中心应客户要求，加工配送甲、乙两种产品，而这两种产品的加工可使用A、B、C三种加工设备。

每种设备对两种产品的加工的效率不同，如表2-01所示。

该配送中心具有A、B、C设备各1台，试合理安排加工任务，使一个工作日内成套（每套包含甲产品2件、乙产品1件）产品最多。

参考答案：非整数解为X11＝15，X21＝20，X31＝16，X32＝25.5。

取整得X11＝15，X21＝20，X31＝15，X32＝25。

即每天生产25套产品。

10.生产安排问题。

某工厂可生产两种产品，每单位产品所需要的资源量（设备和原料）、所创造的利润以及工厂每天能提供的各种资源的总量由表2-055给出。

工厂应如何安排两种产品的生产量，才能获得最大的利润?表2-05参考答案：X1＝4，X2＝2。

11. 人员配制问题。

某医院急症室需昼夜24小时值班，将24小时分成六个时段，每个时段所需值班人数由表2-06给出，每位值班人员在某一时段的开始时刻上班，连续工作两个时段后下班。

问医院每天至少配备多少名值班人员才能满足急症室的需要？提示：这个题比较简单，可直观推出。

列出线性规划形式：设各时段新上班的人数分别为X1，X2，X3，X4，X5，X6ST：X1= 8X2=12－X1X3=10－X2X4=8－X3X5=6－X4X6=4－X5X1≥0，X2≥0。

参考答案：X1＝8，X2＝4，X3＝6，X4＝2，X5＝4，X6＝0。

12.任务分配问题。

某公司拟生产4种产品，可分配给下属的三个工厂生产，由于工厂的地理位置和设备不同，每个工厂生产每种产品的成本不相同，加工能力也不相同。

有关数据分别由表2-07和表2-08给出。

公司应如何给下属各工厂分配任务才能保证完成每种产品的任务的条件下，使得公司所花费的成本最少？提示参考答案：X11＝60，X22＝20，X23＝50，X32＝60，X34＝40，其它X＝0。

13. 资金借贷问题。

某工厂计划在三个月内开发一项新产品，有A，B两个型号，且预计第一批至少有A型产品50件，B型产品25件投入市场。

由于在产品开发期间必须支付成本费用，而当产品投入市场后才能获得收益，现工厂可用于产品开发的内部资金仅有3万元，故须向银行贷款。

银行同意给该厂总数不超过10万元的三个月短期贷款，年利率为12%时附加如下的信贷保证：工厂三个月后的资金（含产品的应收款）不的少于贷款的及应付利息之和的两倍。

关于产品开发的其他数据由表2-09给出。

在这样的情况下，工厂应如何考虑产品与向银行贷款的数额？参考答案：X1=50，X2=45,X1＋1000X2）－30000=25000＋45000－30000=4000014. 配料问题。

某糖果厂用原料A，B，C加工生产三种牌号的糖果。

各种牌号的糖果中对原料A，B，C含量的限制、原料成本、加工费用和售价和每月原料限量由表2-010给出。

该厂如何安排生产，才能获得最大利润？提示:从原料成本考虑, 应尽量少用原料A, 尽量多用原料C，而产品配方对它们含量都有起码量的限制，我们就取其极限值，对无限制的各项应尽量取成本较低的原料。

参考答案：X1=3090.9，X2=969.7, X3=0。

15.设备配置问题。

某工厂准备用原有的厂房，有效面积为600平方米，安装甲、乙两种自动生产线。

已知每条生产线需要占用有效面积100平方米，购买每条甲种和乙种生产线的资金分别需要50万和90万元。

预计设备安装后甲种生产线每天可创造的利润为5千元，而乙种为8千元。

现在工厂准备用于购买设备的总资金数为450万元，问应如何配置设备可使工厂获得利润最多？参考答案：X1=2.25, X2=3.75 ;整数解: X1=3, X2=3。

16.项目审批问题。

某基金委员会收到n个科研项目的申请报告。

经专家初步评议，第j个项目的学术价值为Cj，需基金数为a j，如果拟投入总额为b的基金支持部分科研项目，应批准哪些项目？提示:MAX F=C1X1＋C2X2＋…＋C n X nST:a1X1＋a2X2＋…＋a n X n≤b其中X j=1 表示基金支持的项目X j=0 表示基金不支持的项目17.运输方式抉择问题。

某工厂欲将一批产品运往销地。

产品可分为n类，每类产品装入一定规格的包装箱内。

第j类产品每箱的重量为wj，售后可获利C j。

工厂可选择公路运输或铁路运输。

公路运输的运费较高但没有载重量的限制，铁路运输的运费较低但限制载重量，设公路运输可运送的货物总量为b1, 运费为d1, 铁路运输的运货量限制为b2(b2＜b1)，运费为d2(d2＜d1)。

问工厂应选择哪种运输方式，装运各类产品各为多少箱可使去掉运输成本后所获利润最大？提示:设第j类产品运输数量为X j箱,MAX F=C1X1＋C2X2＋…＋C n X n对于公路运输的约束条件:W1X1＋W2X2＋…＋W n X n≤b1对于铁路运输的约束条件:W1X1＋W2X2＋…＋W n X n≤b2分别求出两种运输方式的最优解,计算出各自的利润F1= C1X1＋C2X2＋…＋C n X n－d1,F2= C1X1＋C2X2＋…＋C n X n－d1,进行比较, 从而选择利润值较大的运输方式。

18.仪器配备问题。

某工厂需配备一些仪器用于对m种产品进行质量检测。

有n种仪器可供选择，每种仪器可用于对一种或多种产品的检测。

若第j种仪器的价格为Cj，问应配备哪些仪器可对全部产品都能进行检测且购买这些仪器的总费用最少？提示:可对各种仪器功能进行附值,如果仪器i可用于第j种产品进行检测,则令A ij=1, 否则令A ij=0,发指可列出下表产品1 2 …m仪器1 A11A12 (1)2 A21A22 (2)……………n A n1A n2…A nm设各种仪器的购买数量分别为X j, 为非负整数。

MIN F= C1X1＋C2X2＋…＋C n X nST:A11X1＋A21X2＋…＋A n1X n≥1A12X1＋A22X2＋…＋A n2X n≥1……A1m X1＋A2m X2＋…＋A nm X n≥1A11X1＋A12X2＋…＋A1m X n≤1A21X1＋A22X2＋…＋A2m X n≤1……A n1X1＋A n2X2＋…＋A nm X n≤119. 指派问题。

某工厂拟派4个维修小组去维修4台机车，他们完成工作所需时间由表2-011给出。

如何给每个小组安排工作才能完成，任务的总时间最少？参考答案：X14=1，X22=1，X31=1，X43=1。

二、动态规划1. 动态规划解题与一般解题方法有什么不同？这种解题方法有那些优缺点？提示：动态规划与传统的解题方法不同，其解题思路是把一个复杂的问题，划分为一系列小问题（阶段），以便通过解这些小问题来求得全部问题的解决。

动态规划的优点是可把一个N维优化问题化成N个一维优化问题求解；求得最优解以后，可得所有子问题的最优解。

动态规划的缺点是没有统一的处理方法，不同的问题具有不同的模型，采用不同的求解方法，而且求解技巧要求比较高；状态变量维数不能太高。

2．某公司打算在三个地区设置4个销售点，根据市场预测，估计在不同地区设置不同数量的销售点每月的利润如表3-02所示。

试问在各个地区应如何设置销售点，才能获得最大的利润？其值是多少？表3-02 销售点设置数量及利润参考答案：地区1设2个, 地区2设1个, 地区3设1个。

3．某运输公司负责把一台精密机器从远在海外的制造厂A运送的用户E，由制造厂到出口港有三个港口（B1、B2、B3）可供选择，而进口港也有三个港口（C1、C2、C3）可供选择，进口后，可经由两个城市（D1、D2）到达目的地，其间的运输路线如图3-01所示，运输成本见表5—01和图中的数字，试求运费最低廉的路线。