运筹学1
运筹学1
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
运筹学(1)
一、绪论§1 运筹学的简史运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。
英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。
如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
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•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
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例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
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1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法
（2）写出初始基本可行解 ）写出初始基本可行解——
根据“ 用非基变量表示基变量的表达式” 根据 “ 用非基变量表示基变量的表达式 ” ， 非基变量取0 算出基变量， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。 初始基本可行解。 2、建立判别准则： 建立判别准则： （1）两个基本表达式的一般形式 LP限制条件中全部是 LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 限制条件中全部是“ 类型约束， 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述： 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述 ：
2、处理人工变量的方法： 处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 在约束条件中人为地加入非负 的人工变量， 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。 成单位阵。 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 目标函数中， 在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对 值很大的负系数M>>0 迭代过程中， 值很大的负系数 -M （ M>>0 ） ， 迭代过程中 ， 只要基变量中还存在人工变量， 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不 可能实现极大化——惩罚！ 惩罚！ 可能实现极大化 惩罚
σj =cj −zj =cj −∑ a c
i= 1
m
' n+i ij
（2）最优性判别定理
若 X = (0,0,L0,b ,b ,Lb ) 是对应于基B的基本 是对应于基B , , 可行解， 的检验数， 可行解，σ j 是非基变量 x (j0) 的检验数，若对 于一切非基变量的角指标j 于一切非基变量的角指标j，均有 σ j ≤0，则 X(0)为最优解。 为最优解。
最优性判别定理； 最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理 有限最优解”
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
运筹学 第一讲
标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
（二）线性规划问题一般形式
max(min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
（三） 线性规划模型的隐含假设： 1、比例性：决策变量在目标函数及约束条件中严格按比 例变化，不存在实际经济活动中的边际效用递减效应。
2、可加性：决策变量独立，相互之间不发生关联，且不
• 运筹学（Operations Research）是用数学方法研究各种系统的最优化问
题，运筹学强调发挥现有系统的效能，应用数学模型求得合理利用各种资
源的最佳方案，为决策者提供科学决策的依据。 • 运筹学的内容有数学规划、运输问题、图与网络分析、排队论、存储论、
决策论和对策论等，其中数学规划又包括线性规划，整数规划，非线性规
术求得系统运营的最优解。
４、运筹学的研究动机是为决策者提供科学决策的依据。 运筹学在工业，农业，商业，物流，经济计划，人力资源，军事等行业都有着非
常广泛的应用。有人曾对世界上500家著名的企业集团或跨国公司进行过调查，发现
其中95%曾使用过线性规划，75%使用过运输模型，90%使用过网络计划技术，90%使用 过存储模型，43%使用过动态规划。 由此可见运筹学一门应用性很强的学科。特别是随着计算机技术的不断发展，计 算机成为运筹学最强有力的运算工具，运筹学越来越显示出其广泛的使用价值。
0 4KG/件
8台时
16KG 12KG
该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品 Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产获利最多？
决策变量 价值系数 技术系数
x1
2 1 4 0
x2
3 2 0 4
资源系数 8 16 12
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《运筹学参考综合习题》（我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考）资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师）可能出现的考试方式（题型）第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分）——考查知识点：几个基本、重要的概念第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分）——参考范围：1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题）2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解）3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。
4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆）5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法）6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决）——未知是否必考的范围：1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）；2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单）※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。
第一部分 填空题复习参考一、线性规划部分：㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。
定义：达到目标的可行解为最优解。
由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集；②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶；③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。
㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡，则：∑∑===nj jmi i ds 11二、网络分析中的一些常用名词：定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。
定义：赋“权”图称为网络。
定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。
闭链称为圈。
闭回路又称为回路。
定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。
无重复边与自环的图称为连通图。
定义：树是无圈的连通图。
树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链；②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；③有n个顶点的树有n－1条边；④任何一个具有p个顶点，p－1条边的连通图必为树。
有关网络最大流的几个概念：网络的每条弧上的最大通过能力称为该弧的容量。
若f ij=c ij，称弧（c i，c j）为饱和弧；若f ij<c ij，称弧（c i，c j）为非饱和弧。
第一部分到此结束第二部分 分步设问题复习参考除了已公布的《运筹学》复习参考资料.doc 中的题目外，补充几个参考题目：※给出问题，要求建立线性规划模型的补充题：补例1：某厂生产两种不同类型的通信电缆，出售后单位产品的收益分别为6万元和4万元，生产单位甲产品要消耗2单位的A 资源（铜）和1单位的B 资源（铅）；生产单位乙产品要消耗1单位的A 资源和1单位的B 资源。
现该厂拥有10单位的A 资源、8单位的B 资源。
经调查，市场对乙产品的最大需求量为7单位，对甲产品的需求没有限制。
问：该厂应如何组织生产才能使产品的售后的收益为最大？（只要求建立线性规划模型，不必进行求解）解：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2 ∵ x 1、x 2≥0设z 是产品售后的总收益，则max z= 6x 1 +4x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x 补例2：某工厂生产中需要某种混合料，它应包含甲、乙、丙三种成份。
这些成份可由市场购买的A 、B 、C 三种原料混合后得到。
已知各种原料的单价、成份含量以及各种成份每月的最低需求量如下表：费的资金为最少？（该题只要求建立线性规划模型，不必进行求解）解：现设x 1、x 2、x 2为A 、B 、C 原料的购买数量，∵ x 1、x 2、x 3≥0设z 为总的耗费资金，则min z= 6x 1+3x 2+2x 3s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++≥++≥++0,102641212120321321321321x x x x x x x x x x x x ，※运输规划问题补充题：类型一：供求平衡的运输规划问题（又称“供需平衡”、“产销平衡”）补例：课本P52例1—10（此题务必熟悉） 解：用“表上作业法”求解。
⑴先用最低费用法（最小元素法）求此问题的初始基础可行解：∴初始方案：3020 341 402023240101 33运费Z=9×30+6×20+3×40+7×20+6×40+9×10=980元 ⑵对⑴的初始可行解进行检验（表上闭回路法）：从上表可看出，所有检验数σ＜0，已得最优解。
（上述初始方案就是最优方案，不需要调整）∴最优方案的运费就是Z=9×30+6×20+3×40+7×20+6×40+9×10=980元类型二：供求不平衡的运输规划问题若∑∑==>nj jmi id s 11，则是供大于求（供过于求）问题，可设一虚销地B n+1，令c i,n+1=0，d n+1=∑∑==-nj j mi i d s 11，转化为产销平衡问题。
若∑∑==<nj j mi i d s 11，则是供小于求（供不应求）问题，可设一虚产地A m+1，令c m+1,j =0，s m+1=∑∑==-mi i nj js d 11，转化为产销平衡问题。
（，2，…，m ；，2，…，n ）解：∑∑==<nj jmi i ds 11，此为供小于求（供不应求）问题，可设一虚产地A 4，令c 4,j =0，s 4=∑∑==-4131i ij j sd ，（i=1,2,3,4；j=1,2,3）转化为产销平衡问题。
仍用“表上作业法”求解。
⑴先用最低费用法（最小元素法）求此问题的初始基础可行解：∴初始方案：Z=1×10+6×70+6×10+3×5+2×10=525⑵对⑴的初始可行解进行迭代（表上闭回路法），求最优解：用表上闭回路法调整后，从上表可看出，所有检验数σ＜0，已得最优解。
∴最优方案：最小运费Z=1×10+6×60+4×10++6×10+3×15=5157010B 1B 3A 2B 2 10A 1 510B 1B 2A 3B 210A 1B 2 106010B 1B 3A 2B 115A 3※任务分配（工作指派）问题补充题：类型一：求极小值的匈牙利法：（重点掌握这种基本问题）补例：某游泳队教练需选派一组运动员去参加4×200混合接力赛，候选运动员有甲、乙、丙、丁、戊五位，他们游仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳的成绩，根据统计资料算得平均值（以秒计）如下表：问：教练应选派哪四位运动员，各游什么泳姿，才能使总的成绩最好？解：用“匈牙利法”求解。
因人数多于任务数，作如下处理：（c ij）=⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)0(9.13.29.502.15.03.0)0(8.26.122.99.7)0(8.20)0(03.00)0(25.73.2****至此已得最优解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000010010001000 ∴使总成绩最好（耗时最少）的分配任务方案为：甲→自由泳，乙→蝶泳，丙→仰泳，丁→蛙泳 此时总成绩W=29.2+28.5+33.8+34.7=126.2秒类型二：求极大值的匈牙利法：min z=－max （－z ）（c ij ）→（M －c ij ）=（b ij ），（c ij ）中最大的元素为M max z=∑∑jij ij ix c =∑∑-jij ij ix c M )(=∑∑-jij ij ix c M )(－∑∑jij ij ix c补例：有四个人分别操作四台机器，每人操作不同机器的产值如下表：求对四个工人分配不同的机器使得总产值为最大的方案。
解：用求极大值的“匈牙利法”求解。
效率矩阵表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛65342112654378910⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4576899845673210⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛013211001233210 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛)0(02200)0(00)0(13310)0(******∴使总产值为最大的分配任务方案为：甲→A ，乙→C ，丙→B ，丁→D 此时总产值W=10+5+1+6=22※动态规划问题（只要求“最短路问题”）补充题：补例：某旅游者要从A 地出发到终点F ，他事先得到的路线图如下： 各点之间的距离如上图所示数值，旅游者沿着箭头方向行走总能走到F 地，试找出A →F 间的最短路线及距离。
解：此为动态规划之“最短路问题”，可用逆向追踪“图上标号法”解决如下：最佳策略为：A →B 2→C 1→E 1→D 2→F 此时的最短距离为5+4+1+2+2=14补例1求v 1到v 7的最短路径和最短距离。
解：此为网络分析之“最短路问题”，可用顺向追踪“TP 标号法”解决如下：v 1到v 7的最短路径是：v 1→v 3→v 4→v 7，最短距离为1+4+2=7。
补例2：教材P124图4—8补例3图中为（C ij ，f ij ）解：此为网络分析之“寻求网络最大流问题”，可用“寻求网络最大流的标号法（福特—富克尔逊算法）”解决如下：㈠标号过程：1、给v s 标上（0，∞）；2、检查v s ，在弧（v s ，v 1）上，f s1=0，C s1=3，f s1<C s1，给v 1标号(s ， (v 1))，其中{}{}303min )(),(min )(111=-∞+=-=，s s s f C v l v l ，同理，给v 2标号(s ， (v 2))，其中{}{}505min )(),(min )(222=-∞+=-=，s s s f C v l v l ，3、检查v 1，在弧（v 1，v 3）上，f 13=0，C 13=4，f 13<C 13，给v 3标号(1， (v 3))，其中{}{}3043min )(),(min )(131313=-=-=，f C v l v l ，（s ，5）（s ，5）（2，2）检查v 2，同理，给v 4标号(2， (v 4))，其中{}{}2025min )(),(min )(242424=-=-=，f C v l v l ，4、检查v 4，在弧（v 4，v t ）上，f 4t =0，C 4t =2，f 13<C 13，给v t 标号(4， (v t ))，其中{}{}2022min )(),(min )(444=-=-=，t t t f C v l v l ，v t 得到标号，标号过程结束。