智轩考研数学模拟题1

第一套试题

数学（一）试题（1-1）

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。） （1）若01

12cos 2cos lim

2

≠=-+-→a x x

x x ，则（ ）

。 （A ）22-==a k ， （ B ）22-=-=a k ， （C ）22==a k ， （D ）22=-=a k ，

（2）设),,(0000z y x P 是条件极值问题⎪⎩⎪⎨⎧=----++=0

1)1(.32),,(min 2

22

22y x z t s z

y x z y x u 的解，且22

0202032R z y x =++。又设1π，2π分别是曲面222232R z y x =++和曲面

01)1(22=----y x z 在点),,(0000z y x P 的切平面，则（ ）。 （A ）1π与2π互相垂直 （B ）1π与2π重合 （C ）1π与2π的法线的夹角是0

45 （D ）A ，B ，C 都不正确

（3）设常数0>α，正项级数

∑∞

=1

n n

a

收敛，则级数

∑∞

=+++-1

2

2

cos 1)

1(n n n

n a α

（ ）。

（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）敛散性与α的值有关

（4）设由zx yz xy e z

++=确定的隐函数为),(y x f z =，则),(y x f z =存在的充分条件

与曲面),(y x f z =在点)0,1,1(处的切平面方程分别为（ ）。

（A ）0≠--y x e z 与2=++z y x （B ）0≠++y x e z

与2=++z y x

（C ）0≠--y x e z 与2=--z y x （D ）0≠++y x e z

与2=--z y x

（5）设10<

x ⎰⎰≤+++=2222

21等于（ ）。 （A ）4σd xy e y x R y x y

x ⎰⎰>>≤+++0

,02222

2

1 （B ）2σd xy e x R y x y x ⎰⎰>≤+++0

2

222

2

1 （C ）4

σd xy

e y x R y x y

x ⎰⎰

<>≤+++0

,02

22

2

21 （D ）0

（6）若)(x f 在)1,1(-内可微，且A f f ==)0(,0)0('''存在，则极限

3

))

1(ln()(lim

x

x f x f x +-→（ ）。 （A ）等于A （B ）等于A - （C ）等于

A 2

1

（D ）不存在 （7）设1λ，2λ是3阶矩阵A 的两个不同的特征值，1α，2α是A 的属于1λ的线性无关的特征向量，2α是A 的属于2λ的特征向量，则31ααA +，)(32αα-A ，31αα+A 线性相关的充分必要条件是（ ）。

（A ）01=λ或121=λλ （B ）02=λ或121=λλ （C ）01≠λ且121≠λλ （D ）02≠λ且121≠λλ

（8）对3阶矩阵A 的伴随矩阵*

A 先交换第1行和第3行，然后将第2列的-2倍加到第3列，得到矩阵E -，其中E 是3阶单位矩阵，则=A （ ）。

（（A ）1121⎛⎫ ⎪-

⎪ ⎪⎝⎭或1121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （B ）1121⎛

⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭或1211⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）1121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭或1211-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （D ）1211⎛

⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭或1211-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （9）设41)|()|(==A B P B A P ，()

3

2

=A P ，则（ ） （A ）A 与B 独立，且12

5

)(=⋃B A P

（B ）A 与B 独立，且)()(B P A P = （C ）A 与B 不独立，且12

7)(=

⋃B A P （D ）A 与B 不独立，且()

)|(|B A P B A P =

（10）设总体X 二阶矩存在，n X X X ,,,21 是其简单的样本1>n ，样本均值为X ，则对

X 期望估计是，（ ）

（A ）2/)(1X X +不是无偏，但它比X 更有效 （B ）2/)(1X X +比X 更有效

（C ）利用切贝雪夫定理，2/)(1X X +以概率收敛于0，因此是一致估计

（D ）X 比2/)(1X X +更有效

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （11）设)(x y y =在任意点),0(+∞∈x 满足)()sin (x x x x x y y ∆+∆+=∆ο，若02=⎪⎭

⎫

⎝⎛πy ，则=)(x y ________________。

（12）设{}

0,0,1)1(|),,(2223≥≥≤-++∈=Ωy x z y x R z y x 则

=++Ω⎰⎰⎰

Ω

2

2

2

z

y x d _______________________。

（13）若n x nx x f )1(2)(-=，记[]

{})(m a

x 1,0x f M x n ∈=，则=∞

→n n M l

i m ____________________。

（14）假设在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族中，有一条曲线L ，是沿该曲线从O 到A 的积分

⎰+++L

dy y x dx y

)2()1(3

的值达到最大，则该曲线为_____________________。

（15）设321,,ααα是3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，),,(123ααα=B ，

B A

C -=2，已知1||=A ，则=||C _______________。

（16）设总体),0(~2

σN X ，设1521,,,X X X 为其简单样本，则

∑∑==-15

11

2

10

1

)1(2i i

i

i X

X 服从的分布是_____________________。

三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分10分）求幂级数∑∞

=+11n n n x 的和函数，并求∑∞

=+-1

1

)1(n n n 的和。

（18）（本小题满分11分）设)(x f 在[]b a ,上一阶可导，在),(b a 内二阶可导，

0)()(==b f a f ，0)()(''>b f a f ，证明：

（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ； （2）存在),(b a ∈η，使)()('

'

'ηηf f =；

（3）存在),(b a ∈ζ，使得)()('

'ζζf f =。

（19）（本小题满分10分）设函数)(x y y =在),(+∞-∞内具有二阶导数，且