118-6-1迭代法原理
迭代法
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题(一般是解方程或者方程组)的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法(Iterative Method)。
一般可以做如下定义:对于给定的线性方程组x=Bx+f(这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式)，用公式x(k+1)=Bx(k)+f(括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法(或称一阶定常迭代法)。
如果k 趋向无穷大时lim x(k)存在，记为x*，称此迭代法收敛。
显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。
跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x+3= 4。
一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。
但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法(例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理)，这时候或许可以通过迭代法寻求方程(组)的近似解。
最常见的迭代法是牛顿法。
其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作:折叠确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
折叠建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。
折叠对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。
第六章 迭代法-数值分析
由极限存在准则得 即
k
lim xi( k ) xi =0
k
(i 1, 2, , n)
, n)
lim xi( k ) xi
(i 1, 2,
定义：设{ A( k ) }为n阶方阵序列，A为n阶方阵，如果 lim A( k ) A 0
k
其中 为矩阵范数，则称序列{ A( k ) }收敛于矩阵A，记为 lim A( k ) A
g
n
其中bij
aij aii
, (i j , i, j 1, 2,
, n), g i
bi (i 1, 2, aii
, n).
迭代公式x ( k 1) Bx ( k ) g (k 0,1, 2, )用方程组表示为
(k ) (k ) (k ) ( k 1) b13 x 3 b1n x n g x b 1 12 x 2 1 (k ) (k ) (k ) ( k 1) b 23 x 3 b 2 n x n g x2 b 21 x 1 2 ( k 1) (k ) (k ) (k ) b n1 x1 b n 2 x 2 b n,n 1 x n 1 g x n n 因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，需同时保留两个
k k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
k
(k ) (k ) lim x x lim 0 所以 等价于 k
( k 1)
x
( k 1)
x
由
x ( k 1) Mx ( k ) g
x Mx g
则可得
( k 1)
第三章 迭代法s1s2 二分法和迭代法原理
有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根 研究 内容: 在有根的前提下求出方程的近似根。
根的估计
| xk x*| L | xk1 x*| L2 | xk2 x*| Lk | x0 x*|
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
babab对于给定的精度可估计二分法所需的步数k简单易用无法求复根及偶重根要求不高只要连续即可收敛速度慢标本无需切片处理而代之在标本表面涂上一层铂金当电子撞击标本表面各点时便产生次及电子呈现立体状态可观察标本的形状及表面的特征
第三章迭代法
§3.1 二分法 §3.2 迭代法原理 §3.3 Newton迭代法和迭代加速 §3.4 解线性方程组的迭代法
0 1.5 1 2.375 2 3 12.4 1904
精确解x* =
1.3247179...
怎么判断迭代公式收敛或发散呢？
不动点原理
定理 (压缩映像定理，不动点原理) 3.1 设 (x)在[a, b]上连续， 且一阶导数连续，若 (1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立 封闭性 (2) 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立 压缩性
牛顿迭代法：介绍、原理与运用
⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤介绍⽜顿迭代法是⼀个可以求⼀个任意函数的零点的⼯具。
它⽐⼆分法快得多。
公式是：x=a-f(a)/f'(a)。
其中a是猜测值，x是新的猜测值。
不断迭代，f(x)就越来越接近0。
原理我们将f(x)做泰勒⼀阶展开：f(x)∼f(a)+(x-a)f'(a)。
令f(x)=0∴f(a)+(x-a)f'(a)=0∴f(a)+xf'(a)-af'(a)=0∴xf'(a)=af'(a)-f(a)∴x=a-f(a)/f'(a)实例：⽜顿迭代法求√2的近似值∵x = √2∴x2 = 2∴x2 -2 = 0令f(x)=⽅程左边，则f(x)∼0↔x∼√2。
f'(x) = 2x。
于是可以得到迭代公式：x=a-f(a)/f'(a)=a-(a2-2)/(2a)=a-a/2+1/a=a/2+1/a代码如下（要求误差⼩于1e-6）：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(int argc, char const *argv[]){double a = 2.0;double expect_error = 0.000001;double x;double actual_error;unsigned iteration_count = 0;do {if (a == 0.0) a = 0.1; /* 避免0做分母 */x = a/2 + 1/a;actual_error = fabs(2 - x*x);a = x;++iteration_count;printf("%d\t%.9f\t%.9f\n", iteration_count, a, actual_error);} while (actual_error >= expect_error);return 0;}输出：1 1.500000000 0.2500000002 1.416666667 0.0069444443 1.414215686 0.0000060074 1.414213562 0.000000000迭代了4次。
迭代法
迭代方法（也称为“折返”方法）是一个过程，在该过程中，不断使用变量的旧值来递归推导新值。
与迭代方法相对应的是直接方法（或称为第一求解方法），即问题已解决一次。
迭代算法是使用计算机来解决问题的一种基本方式，它利用计算机的运行速度，适合于重复操作的特性，让计算机对一组指令（或步骤）必须每次都重复执行在执行的这组指令（或这些步骤）中，由于变量的原始值是新值，因此迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代”）属于近似迭代方法。
迭代方法的主要研究主题是构造收敛的迭代方案，并分析问题的收敛速度和收敛范围。
迭代方法的收敛定理可以分为以下三类：（1）局部收敛定理：假设问题的解存在，则得出结论：当初始逼近足够接近解时，迭代法收敛。
（2）半局部收敛定理：结论是，迭代方法根据迭代方法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解，而不假定解的存在。
（3）大范围收敛定理：得出的结论是，迭代方法收敛到问题的解，而无需假设初始近似值足够接近解。
迭代法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。
迭代法是一种迭代法，用于数值分析中，它从初始估计值开始寻找一系列解决问题的迭代解法（通常为迭代法），以解决问题（迭代法）。
通常，可以做出以下定义：对于给定的线性方程组（x，B和F都是矩阵，任何线性方程组都可以转换为这种形式），公式（表示通过迭代获得的x k次，并且初始时间k = 0）逐渐替换为该方法以找到近似解，这称为迭代方法（或一阶时间不变迭代方法）。
如果存在，则将其表示为x *，并称迭代方法收敛。
显然，x *是该系统的解，否则称为迭代散度。
迭代方法的对应方法是直接方法（或第一种解决方法），它是对问题的快速一次性解决方案，例如通过求平方根来求解方程x + 3 = 4。
通常，如果可能，直接解决方案始终是首选。
但是，当我们遇到复杂的问题时，尤其是当未知数很多并且方程是非线性的时，我们无法找到直接解（例如，第五和更高阶代数方程没有解析解，请参见Abelian 定理）。
第二章迭代法的一般原理知识分享
第二章迭代法的一般原理知识分享迭代法是一种解决问题的常用方法，其基本原理是将问题分解为一系列子问题，并通过逐步逼近的方式逐步求解，直到达到预期的解决方案。
迭代法通常由以下几个步骤组成：初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果。
迭代法的一般原理可以总结为以下几点：1.初始化：迭代法通常需要一个初始解，该解可能是问题的近似解或一个具有特定条件的解。
这个初始解将作为迭代的起点，进而逐步逼近最终的解。
2.迭代：在每一次迭代中，通过使用前一次迭代的结果作为输入来计算下一次迭代的结果。
迭代过程可以使用数学公式、算法或其他适当的方法来进行计算。
3.判断停止条件：在每一次迭代中，需要判断是否满足停止条件。
停止条件通常与所求解的问题有关，可以根据预先设定的要求来判断是否已经达到了足够的精度或满足了特定的条件。
4.更新：根据迭代的结果，需要更新迭代变量的值。
这个更新可以是简单的赋值操作，也可以是需要进行复杂计算或使用迭代公式来进行计算。
5.输出结果：当满足停止条件时，迭代过程结束，并输出最终的解。
这个解可能是问题的数值解、近似解或其他形式的解决方案。
迭代法的优点在于它可以通过逐步逼近的方式不断提高解的精度，不需要一次性找到完美的解决方案。
这使得迭代法在处理复杂问题时非常有用，因为往往很难找到问题的精确解。
迭代法的应用非常广泛，可以用于解决数值计算、优化问题、图像处理、机器学习等领域的问题。
例如，在求解非线性方程时，可以使用牛顿迭代法来逼近方程的根；在求解线性方程组时，可以使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法来逼近方程的解。
需要注意的是，迭代法并不是万能的，不是所有问题都适合使用迭代法来解决。
在选择是否使用迭代法时，需要考虑问题的特性和求解方法的适用性。
总结起来，迭代法是一种通过逐步逼近的方式来解决问题的方法。
它的基本原理是通过初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果等步骤来逼近最终的解决方案。
迭代法广泛应用于各个领域，是解决复杂问题的常用手段之一。
计算方法第六章迭代法
计算方法第六章迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，在数学和计算机科学中有广泛的应用。
本章将介绍迭代法的基本概念、原理和应用，以及相关的数学原理和计算技巧。
首先，我们来了解迭代法的基本概念。
迭代法是通过逐步逼近的方式得到一个问题的解。
迭代法的基本思路是从一个初始值开始，通过重复计算和更新，得到更加接近最终解的近似值。
迭代法的优点是简单和灵活，但需要注意选择合适的迭代公式和初始值，以及控制迭代的停止条件。
迭代法的原理可以用以下的一般形式表示：```x_(n+1)=f(x_n)```其中，x_n表示第n次迭代得到的近似值，x_(n+1)表示第(n+1)次迭代的近似值，f是一个函数，表示迭代公式。
迭代法的思想是通过不断迭代更新x的值，直到满足一些停止条件为止。
迭代法的应用非常广泛，特别是在求解非线性方程和优化问题方面有重要的应用。
在求解非线性方程时，我们可以将方程转化为形式为f(x)=0的等式，然后通过迭代法逼近方程的根。
在优化问题中，我们可以通过最小化或最大化一个函数来寻找最优解，也可以使用迭代法逐步逼近最优解。
在迭代法的实际应用中，我们需要注意一些数学原理和计算技巧。
首先，迭代法的收敛性是关键的，即通过迭代公式逐步逼近的值是否趋于问题的解。
在评估迭代法的收敛性时，常用的方法有判断迭代序列的极限是否存在和是否满足一些收敛条件。
其次，选择合适的迭代公式和初始值对于迭代法的成功应用非常重要。
迭代公式应该是简单和有效的，能够在迭代过程中逐步逼近问题的解。
初始值的选择也会直接影响迭代的结果，通常需要根据问题的特点和经验进行选择。
另外，迭代法的计算精度和计算效率也是需要考虑的问题。
在迭代过程中，我们需要根据问题的要求不断调整迭代的次数和迭代的停止条件，以达到较高的计算精度。
同时，我们也需要通过优化迭代公式和使用更加高效的计算技巧来提高计算的效率。
最后，迭代法的应用还可以进一步扩展到其他领域。
例如，在图像处理中，我们可以使用迭代法逐步改进图像的质量；在机器学习中，我们可以使用迭代法来调整模型的参数，以求得更好的拟合效果。
方程求根的迭代法原理与对比
方程求根的迭代法原理与对比方程求根是数学中常见的问题之一，迭代法是解决方程求根的一种常用方法。
本文将介绍迭代法的原理，并对比几种常见的迭代法，以帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、迭代法的原理迭代法是一种通过反复逼近来求解方程根的方法。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。
具体的迭代公式可以表示为：x_(n+1) = f(x_n)其中，x_n 表示第 n 次迭代的值，x_(n+1) 表示第 n+1 次迭代的值，f(x) 表示方程的函数表达式。
通过不断迭代，当 x_n 逐渐接近方程的根时，x_(n+1) 也会越来越接近方程的根。
当两者的差值小于预设的精度要求时，即可认为找到了方程的近似根。
二、常见的迭代法1. 不动点迭代法不动点迭代法是最简单且常见的迭代法之一。
它的迭代公式为：x_(n+1) = g(x_n)其中，g(x) 是一个满足条件的函数，通常通过选取合适的 g(x) 来使得迭代收敛。
例如，对于方程 x^2 - 2 = 0，可以选择 g(x) = sqrt(2 + x)。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种较为高效的迭代法，其迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中，f(x) 和 f'(x) 分别表示方程的函数和导数。
牛顿迭代法的关键在于利用函数的切线来逼近方程的根，通过不断迭代，可以快速地找到根的近似值。
3. 弦截法弦截法是一种基于线性插值的迭代法。
其迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)(x_n - x_(n-1))/(f(x_n) - f(x_(n-1)))弦截法通过连接两个迭代点的直线与 x 轴的交点来逼近方程的根。
相比于牛顿迭代法，弦截法不需要计算导数，适用于一些无法直接求导的函数。
三、迭代法的对比不同的迭代法在收敛速度、稳定性和适用范围上有所差异。
牛顿迭代法通常收敛速度较快，但对于某些特殊情况可能发散；弦截法相对稳定，但收敛速度较慢；不动点迭代法则是最简单但收敛速度相对较慢的方法。
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迭代解
{1.1,
-2.5,
{0.96,
-1.92,
{0.998, -2.026,
{0.9972, -1.998,
{0.99932, -2.00164,
3.6 } 2.82 } 3.024 } 2.9892 } 3.00024 }
误差 3.6 0.78 0.204 0.0348 0.01104
代
MATH程序
( A)
max{
1 i n
i
}
A的谱定义为｛：1, 2 ,...,n｝ 迭
代 常用结论：
法
( Ak ) [( A)]k Ax x Ak x k x
原
( A) A
理
事实上：对A的i及特征向量ui , i ui iui Aui A ui
i A 由i的任意性： 当A对 称 时 ， ( A) A 2
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理 2 Jacobi迭代法 3 Gauss迭代法 4 松弛迭代法 5 迭代法的收敛性与稳定性
迭代法的基本思想 相关概念 收敛条件 基本迭代法
迭代法的基本思想
引 例1 求解方程 3xex = 0
迭代过程如图所示：
方程变形： x = ex/3
迭代法的基本思想
思考
对于任何一个方程组x Bx f (由Ax b变形得到的 等 价 方 程 组)， 由 迭 代 法 产 生 的 向 量序 列x ( k ) 是 否 一 定 逐 步 逼 近 方 程 组 的 解x呢 ？
请考虑用迭代法解下述方程组：
x1 x2
2x2 3 x1
5, 5.
并不是所有的
理
由此可见：考察 x(k) 的收敛性.
就要研究B在什么条件下有: lim (k) 0 k
亦即要研究B满足什么条件时有:
Bk 0(零矩阵)(k ).
收敛定理
定理
lim
k
x(k)
x
lim
k
x j(k)
xj
j
1,2,..., n,
x j(k )及x j分别是向量x(k)及x的第j个分量.
迭
求解，一般选择为A的某种近似，称M 为分裂矩阵.
基本迭代法
于是，求解Ax b 转化为求解Mx Nx b，即求解
Ax b 求解 x M 1Nx M 1b.
可构造一阶常迭代法
迭 代 法 原
x(0) (初始向量)，
x
(
k
1)
Bx( k )
f
(k 0,1,2, ..., ),
理
其中B M 1N M 1(M A) I M 1 A, f M 1b.
(
A)
max
1 i n
i
A
收敛条件
定 理
设A
aij
, 则lim Ak
nn
k
（0 零 矩 阵 ） 的 充 要 条 件是 :
A 1
证明：（必要性）
迭
代 法
lim Ak 0 lim Ak 0
k
k
原
理
0 ( Ak ) [( A)]k Ak
lim[(A)]k 0 (A) 1 k
称B I M 1 A为迭代法的迭代矩阵，选取 M 阵，
就得到解Ax b 的各种迭代法.
例题
例6.1 求解方程组 Ax b ，其中
迭
9 1 1
x1
7
A 1 10 1，x x2 ，b 8
1 1 15
x3
13
即
9 x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3 8 x1 x2 15x3 13
理 将这些值代入(2)式右边，得到新的
值
x(1) ( x1(1) , x2(1) , x3(3) )T (2.5,3,3)T
x1
(
0
)
x1
(1)
x1(k
)
x (0) x2(0) , x (1) x2(1) , ..., x (k ) x2(k ) , ...
x
3
(
0)
x
3
(1)
x
3
(
k
)
迭代法的基本思想
迭
x1
1 8
3 x2
2x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
x3
1 12
6 x1
3x2
36
.
x (k1) 1
x (k1) 2
(3x2(k) 2x3(k)
(4 x1(k )
x (k) 3
20) 33)
8 11
x3(
k
1)
(6 x1(k )
1 8
3 x2
2 x3
20
,
x2
1
11
4 x1
x3
33
,
x3
1
12
6 x1
3 x2
36
.
迭
代 法 原 理
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
x1(0) x2(0)
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
于是： lim Ak ＝lim A k 0 即 lim Ak 0
k
k
k
收敛条件
定 理 (迭代法基本定理)
设有方程组x Bx f , 及 一 阶 定 常 迭 代 法x(k1) Bx(k) f .
迭 对任意选取初始向量x(0) , 迭代法收敛的充要条件是 :
代
（B) 1.
法
原
证明： （k） x(k ) x B (k1) ... Bk (0) 0
收敛条件
（充分性） 引用：设A为n阶方阵，则对任意的 , 存在一种矩阵的范数. 使得： A ( A)
迭
若 ( A) 1, 则对 1 ( A) 1, 必存在一种范数. ，使得
2
代 法 原
A ( A) 1 ( A) 1
2
lim A k 0 k
理
而： Ak A k (范数定义)
代
方程组的精确解为 x* （1，1，1）T
法 原
依次从三个方程中分别分离出x1, x2 , x，3 把方程组等价变形为
理
x1
1 9
x2 x3 7
,
x2
1 10
x1 x3 8
,
建立迭代公式
x3
1 15
x1 x2 13
.
x (k1) 1
x (k1) 2
( x2(k) ( x1(k )
1 1.4422 3.0000 8 1.8175 1.8136
迭
x x3 x2 1 1 (x)
2 1.6537 1.4444 9 1.8385 1.8554 3 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294
代 法 原 理
x 3 x2 x 1
x
1
1 x
1 x2
2 ( x) 3(x)
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
x1(0)
x 1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
(0) 2
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
是
原方程
的根
。
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
{0.999696, -2.00011, 2.99921 }
0.001528
4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454 5 1.8209 1.9554 12 1.8392 1.8355 6 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.8416 7 1.8354 1.8822
对于给定的方程 f(x) = 0, 有多种方式将 它改写成等价的形式 x = j (x)。但重要的 是如何改写使得序列收敛？
0.2
左边 0.607 0.612 0.615 0.616 … 右边 0.612 0.615 0.616 0.617 …
0
0
0.5 0.616
1
迭代法的基本思想
引 例2 用迭代方法解 x3 -x2 -x-1 = 0。
计算结果:
序号 j 2(x) j 3(x)
序号 j 2(x) j 3(x)
第一步 构造迭代函数：
3 x2
2 x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
(2)
x3
1 12
6 x1
3 x2
36
.
0
3 8
2 8
20
8
B
4 11
0
1 11
f
33 11
.
6
3
0
36
12
12
12
迭代法的基本思想
取一组数(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
代
人
方
程
右侧，若
x1
6 0.999958 0.99996 0.99997
7 0.999992 0.999993 0.999995