2020届河北省衡水中学高三下学期第九次调研考试数学(理)试题
衡水中学2019—2020学年度高三下学期第九次调研考试
数学（理科）
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共60分.) 1.已知集合12
{|02},{|log 2}A x x B x x =<
<=<，则A ∪B=()
A. R
.{|02}B x x << C. {x|x>0}
1
.|
2}4
{D x x << 2.复数5i
z
i
=
+的虚部为() 5.
26
A
5.
26
B i
5.26
C -
5.26
D i -
3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为
ˆ 1.1630.75,y
x =-以下结论中不正确的为()
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米 4.函数
()||(a
f x x a x
=-∈R) 的图象不可能是
( )
5.某几何体的三视图如图，该几何体表面。
上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A,B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（）
.5A
.6B
.22C
.10D
6.设m, n 为正数，且m+n=2,则
13
12
n m n ++
++的最小值为( ) 3.
2
A
5.
3
B
7.
4
C
9.
5
D 7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为:在△ABC 中，角A, B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S=222221[()()]42
a b c ab +--根据此公式，若acosB+ (b +
3c)cosA=0,且2
2
2
2,a b c --=则△ABC 的面积为()
.2A
.22B
.6C
.23D
8.执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为()
A. -3
1
.
3
B
1.2
C -
D.2
9.若0<a<b<1,x=a b ,y=b a ,z=log b a,则x,y,z 大小关系正确的是 A.x<y<z
B.y <x<z
C. z <x<y
D.z<y<x
10.已知双曲线C:22
221(0,0),x y a b a b -=>>点00(,)P x y 是直线bx- ay+4a=0上任意一点，若圆
2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是()
A. (1, 2]
B. (1, 4]
C.[2,+∞)
D.[4，+∞)
11.直线y= a 与函数
()tan()(04
f x x π
ωω=+>)的图象的相邻两个交点的距离为2π,若f(x)在(-m,m) (m> 0)
上是增函数,则m 的取值范围是( )
.(0,]4
A π
.(0,]2
B π
3.(0,
]4
C π
3.(0,
]2
D π 12.已知函数2
()(2),x
f x x x e =-若方程f(x)=a 有3个不同的实根1231,,(x x x x 23),x x <<则22
a
x -的取值范围是( )
1
.[,0)A
e
-
.(B .(C
.D
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)
7
113.()7x x
-
的展开式的第2项为____ 14.已知△ABC 中，AB=3, AC=5, BC=7,若点D 满足11,32
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 则DB DC ⋅=u u u
r u u u r ____
15.记等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若241718,459,a a S +==则数列3(}{1)n
n a -⋅的前n 项和n T =____ 16.已知三棱锥D 一ABC 的所有顶点都在球O 的表面上,AD ⊥平面
,ABC AC =1,cos ,
2BC ACB ACB AD =∠=∠=,则球O 的表面积为_____
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.) 17.设
2()sin cos cos ().4
f x x x x π
=-+
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC 中,角A, B, C 的对边分别为a, b, c.若()0,2
A
f a == 1,求△ABC 面积的最大值.
18.如图，在三棱锥P- ABC中，已知AC = 2，AB = BC =2,
PA=顶点P在平面ABC上的射影为△ABC 的外接圆圆心.
(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若点M在棱PA上，||
,
||
AM
AP
λ
=且二面角P- BC- M的余弦值为
533
,试求λ的值.
19.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元;方案②规定每日底薪100 元，快递业务的前44单没有提成,从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[25,35)，[35, 45), [45, 55), [55, 65)，[65, 75), [75, 85), [85, 95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案①的概率为1
,
3
选择方案②的概率为
2
.
3
若甲、乙、丙三名骑
手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案①的概率;
(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
20.如图，椭圆
22
122
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左右焦点分别为
12
,,
F F离心率为
3
,
2
过抛物线2
2
:4
C x by
=
焦点F的直线交抛物线于M,N两点,当
7
||
4
MF=时，M点在x轴上的射影为
1
F.连接NO,MO并延长分别交
1
C于
A,B两点,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为
OMN
S
∆
和,
OAB
S
∆
设.
OMN
OAB
S
S
λ∆
∆
=
(1)求椭圆
1
C和抛物线
2
C的方程;
(2)求λ的取值范围.
21.已知函数2
()1
x
f x x ae
=--
(1)若f(x)有两个不同的极值点
12
,,
x x求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下，求证:12
4
.
x x
e e
a
+>
选考题:共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
22cos
2sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
( θ为参数)，直线l
的参数方程为
2
1
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(t为参数),以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C以及直线l的极坐标方程;
(2)若A(0.1),直线l与曲线C相交于不同的两点M，N,求
11
||||
AM AN
+的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+ 1|.
(1)解不等式f(x)> 3- |x + 2|;
(2)已知a>0,b>0,
且2
a b
+=求证
:()||
f x x
-≤。
河北衡水中学2020年第二学期高三年级第九次调研考试理科综合卷参考答案
高三下学期第九次调研考试理科综合生物部分1—6BDCABC29（9分）（1）S M CDK2（2）G0物质和能量的浪费（3）G23（4）71430.（11分）（1）①高脂肪低糖类（KD）②IAV感染3天后，实验组的生存率显著高于对照组(2分)③无明显变化显著增加（2）①a：A基因敲除小鼠b：KD饮食c：KD饮食d：小鼠生存率②1组小鼠的生存率显著低于2组(2分)31.（9分）（1)能量在流动过程中逐级递减，经过五个营养级后剩余的能最不足以维持一个种群的生长发育和繁殖。
（2分）（2)错误（1分）；食物链是从生产者开始的（2分）。
（3)直接（1分）（4)不合理（1分）：大量捕杀蝙蝠会破坏生态系统原有的营养结构和生物多样性，导致生态系统稳定性降低，不利于生态系统的稳定（2分）。
(答案合理即可）31.（10分）（1）B1对B2、B3为显性，B2对B3为显性Z B2W和Z B3W多节数：中节数：少节数=8:5:3（2）设计方案：F1中多只多节数雄性家蚕蛾分别与中节数雌性家蚕蛾挑选方案：中节数雌性家蚕蛾（或不出现少节数家蚕蛾）37.（15分）(1)乳酸（1分）；(2)提供无氧环境（2分）；防止杂菌污染（2分）；(3)D（2分）；(4)玫瑰红（2分）；标准显色液（2分）；标准显色液设计浓度范围太窄，使待测浓度不在区间内；（2分）增大标准显色液的浓度范围进一步实验（2分）（或者：标准显色液浓度梯度过大，使待测浓度难以找到相近的；缩小浓度梯度至，进一步实验）38、（除标注外，每空2分，共15分）（1）自然界物质循环的规律少消耗、多效益、可持续（2）物质循环再生物种多样性人类的干扰（3）浮床生态工艺法垃圾分类处理掩埋（1分）化学部分7.C8.A9.A10.D11.C12.B13.D26.（14分）（1）CO(NH2)2+H2O2=CO(NH2)2·H2O2（2分）（2）b（1分）温度过高会导致过氧化氢、尿素分解（2分）（3）聚四氟乙烯化学性质稳定，铁质材料易被氧化（1分）（4）4H2O2+Cr2O72-+2H+=2CrO5+5H2O（2分）4CrO5+12H+=4Cr3++6H2O+O2↑（2分）（5）滴入最后一滴KMnO4标准溶液时，溶液变为浅粉色，且半分钟内不褪色（2分）（6）16%（2分）27.（14分）（1）+6（1分）重结晶（1分）（2）MoO3、SO2（2分）（3）MoO3+CO32-=MoO42-+CO2↑（2分）将焙烧产品粉碎、搅拌、适当升高温度或适当提高Na2CO3溶液的浓度等（答出合理的两点即可）（2分）（4）98.5（2分）（5）①Cl-促进碳钢的腐蚀，SO42-抑制碳钢的腐蚀；硫酸浓度增大，会使碳钢钝化（2分）②替代空气中氧气起氧化剂作用（2分）28.（15分）I.（1）-90.77kJ·mol-1（2分）（2）较低温度（1分）（3）①200（L/mol）2（2分）②C（2分）II.（1）＜（2分）（2）＞（2分）（3）①CH3OCH3-12e-＋3H2O＝2CO2＋12H+（2分）②（2分）35.（15分）[化学——选修3：物质结构与性质]（1）；17；sp2、sp3；sp2、sp3（每空1分）（2）①羟氯喹仅比氯喹多一个羟基，可以与水形成更多的氢键，故水溶性更好。
河北衡水中学2020届高三下期第九次调研考试理科综合卷(参考答案)
高三下学期第九次调研考试物理部分二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.D [金属的逸出功是由金属自身决定的，与入射光频率无关，A 项错误；光电子的最大初动能E km 与入射光的强度无关，B 项错误；根据爱因斯坦光电效应方程E km ＝hν－W 0，可知最大初动能E km 随入射光频率增大而增大，但不成正比，C 项错误；E km －ν图线的斜率与普朗克常量有关，D 项正确。
]15．C [由v t 图线可求得两图线交点的横坐标为t ＝2 s 。
有a 甲＝0－105 m/s 2＝－2 m/s 2，a乙＝6－02－1 m/s 2＝6 m/s 2，所以|a 甲|∶a 乙＝1∶3，故D 错；由图象可求得甲的位移x 甲＝12×10×5 m ＝25 m ，乙的位移x 乙＝12×6×1 m ＋6×3 m ＝21 m 。
t ＝5 s 时两物体位于同一位置，所以t ＝0时甲物体在乙物体后4 m ，故C 正确；运动过程中，t ＝2 s 前甲的速度大于乙的速度，t ＝2 s 后乙的速度大于甲的速度，所以前面甲追乙，后面乙追甲，故A 错；2 s ～5 s 时间内，甲物体位移x 1＝12×6×3 m ＝9 m ，乙物体位移x 2＝6×3 m ＝18 m ，t ＝5 s 时两物体位于同一位置，所以t ＝2 s 甲物体在前，乙物体在后，故B 错。
]16.B [粒子运动周期T ＝2πmqB ，可知速度变化前后，粒子的两次运动周期不变，设以速率v射入磁场时运动轨迹的半径为R 1，画出粒子运动过程图如图甲所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中运动所转过的圆心角θ1＝90°，半径R 1＝r 。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期第九次调研试题文(含解析)
【详解】 BC AC AB (1, a 2) ,
由| BC | 1,可得 (1)2 (a 2)2 1 ,解得 a 2 ,
则 AB AC 2 1 2 2 6 ,
故选:C.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.
5.已知 a log5 2 ， b log0.5 0.2 ， c 0.50.2 ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）
c2 2
b2
2
，若
a2
sin
C
5 sin
A
,
(a
c)2
16
b2
，则用“三斜
求积”公式求得 ABC 的面积为（ ）
3
1
A. 2
B. 3
C. 2
பைடு நூலகம்
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可求得 ac ,进而可求得 a2 c2 b2 6 代入“三斜求积”公式即可求得结
果.
【详解】 a2 sin C 5sin A ， a2c 5a ， ac 5 ,因为 (a c)2 16 b2 ，
设
2
a
，则 f x的极大值恒小于 0 等价于 g x恒小于 0.
gx a x
∵
x
a x2 x
0
在
0,
a
上在恒成立
∴ g x在 0,
a
上单调递增
g x g a a ln a 3 a 0 ln a 3
∴
2
，即
2.
∴ a e3 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转
sin
由 f (x) 在 4 内有且只有两个极值点可得 6 10 ，再由
2019-2020学年河北省衡水中学高三第二学期第九次调研(理科)数学试卷 解析版
2019-2020学年高三第二学期第九次调研（理科）数学试卷一、选择题.1．已知集合A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|＜2}，则A∪B＝（）A．R B．{x|0＜x＜}C．{x|x＞0}D．{x|＜x＜} 2．复数z＝上的虚部为（）A．B．C．D．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米4．函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．6．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2C．D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．29．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A．（1，2]B．（1，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）11．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，] 12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．[，0）B．（，0）C．（，）D．（0，）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13．（x﹣）7的展开式的第2项为．14．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足，则•＝15．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n 项和T n＝．16．已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC ＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．19．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．如图，椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为的F1、F2，离心率为；过抛物线C2：x2＝4by焦点F的直线交抛物线于M、N两点，当|MF|＝时，M点在x 轴上的射影为F1．连结NO，MO并延长分别交C1于A、B两点，连接AB；△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，设λ＝．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1．（1）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：+＞．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且，求证：．参考答案一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分.）1．已知集合A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|＜2}，则A∪B＝（）A．R B．{x|0＜x＜}C．{x|x＞0}D．{x|＜x＜}【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵，∴A∪B＝{x|x＞0}．故选：C．2．复数z＝上的虚部为（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴复数上的虚部为．故选：A．3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米【分析】就会图形对各个选项分别判断即可．解：对于A，身高极差大约是25，臂展极差大于等于30，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B正确；对于C，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10厘米的两人展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D错误；故选：D．4．函数f（x）＝|x|﹣（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】讨论a的范围，利用导数判断f（x）的单调性得出答案．解：f（x）＝，∴f′（x）＝．（1）当a＝0时，f（x）＝，图象为A；（2）当a＞0时，1+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令﹣1+＝0得x＝﹣，∴当x＜﹣时，﹣1+＜0，当﹣＜x＜0时，﹣1+＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，图象为D；（3）当a＜0时，﹣1+＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，令1+＝0得x＝，∴当x＞时，1+＞0，当0＜x＜时，1+＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，图象为B；故选：C．5．某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点P与点Q在正视图与侧视图上的对应点分别为A，B，则在该几何体表面上，从点P到点Q的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知该几何体是长方体，结合题意画出图形，结合图形求出点P到Q 的最短距离．解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示；其展开图中，有三种情况，从点P（A）到Q（B）的最短距离为＝2．故选：C．6．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由，结合已知m+n＝2可考虑利用基本不等式求解．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．根据此公式，若a cos B+（b+3c）cos A＝0，且a2﹣b2﹣c2＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2C．D．2【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos A ＝﹣，由余弦定理可得bc的值，根据公式即可求解△ABC的面积公式．解：由a cos B+（b+3c）cos A＝0，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A＝0，即sin（A+B）+3sin C cos A＝0，即sin C（1+3cos A）＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝﹣，由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc cos A＝bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝＝＝．故选：A．8．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A．﹣3B．C．D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当i＝1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝2；当i＝2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣，i＝3；当i＝3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝，i＝4；当i＝4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝2，i＝5；当i＝5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a＝﹣3，i＝6；a的值是以4为周期的循环，由2020÷4＝505，故当i＝2021时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D．9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x【分析】根据0＜a＜b＜1即可得出a b＜a a＜b a＜1，log b a＞1，从而得出x，y，z的大小关系．解：∵0＜a＜b＜1；∴a b＜a a＜b a＜b0＝1，log b a＞log b b＝1；∴x＜y＜z．故选：A．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A．（1，2]B．（1，4]C．[2，+∞）D．[4，+∞）【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d，根据圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，可得d≥1，解得即可．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+4a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+4a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥1，∴≥1，即e＝≤4，又e＞1，故e的取值范围为（1，4]，故选：B．11．直线y＝a与函数f（x）＝tan（）（ω＞0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f（x）在（﹣m，m）（m＞0）上是增函数，则m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]【分析】根据直线y＝a与函数f（x）图象的相邻两个交点距离为一个周期，求出ω的值，写出f（x）的解析式，求出它的单调增区间，再求m的取值范围．解：直线y＝a与函数f（x）＝tan（）图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则T＝2π，所以ω＝＝，所以f（x）＝tan（x+），由kπ﹣＜x+＜kπ+，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，（k∈Z）；所以函数f（x）在（﹣，）上是单调增函数；又f（x）在（﹣m，m）上是单调增函数，即（﹣m，m）⊆（﹣，），解得0＜m≤；所以m的取值范围是（0，]．故选：B．12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，若方程f（x）＝a有3个不同的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则的取值范围是（）A．[，0）B．（，0）C．（，）D．（0，）【分析】先求导，判断函数的单调性，可得x2的范围，再构造函数g（x）＝xe x，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出a的范围．解：由f（x）＝（x2﹣2x）e x，∴f′（x）＝（x2﹣2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝±，当x＞或x＜﹣，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当﹣＜x＜，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，由图象可得﹣＜x2＜0，又＝＝x2，设g（x）＝xe x，（﹣＜x＜0），∴g′（x）＝（x+1）e x，∴g′（x）在（﹣，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数，由g（﹣1）＝﹣，g（﹣）＝﹣，g（0）＝0，可得的取值范围为[﹣，0），故选：A．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13．（x﹣）7的展开式的第2项为﹣x5．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得（x﹣）7的展开式的第2项．解：（x﹣）7的展开式的第2项为T2＝••x5＝﹣x5，故答案为：﹣x5．14．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足，则•＝﹣12【分析】利用向量的加减法以及向量的平方化简，通过向量的数量积转化求解即可．解：＝，所以：，以及AB＝3，AC＝5，BC＝7，cos∠BAC＝＝﹣可得＝＝，所以＝（）•（﹣）＝＝＝﹣12．故答案为：﹣12．15．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4＝18，S17＝459，则{（﹣1）n•a3n}的前n 项和T n＝．【分析】根据题意，求出数列{a n}的通项公式，进而可得数列{a3n}构成首项为9，公差为9的等差数列，据此分n为奇数、偶数两种情况讨论，求出{（﹣1）n•a3n}的前n项和，综合即可得答案．解：因为{a n}是等数差数列，S17＝459⇒17a9＝459⇒a9＝27，而a2+a4＝18，所以，解得d＝3，a1＝3，则a n＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*；数列{a3n}构成首项为9，公差为9的等差数列；若n为偶数，则，若n为奇数，则T n＝﹣9+18﹣27+36+…﹣9（n﹣2）+9（n﹣1）﹣9n＝﹣，故T n＝；故答案为：．16．已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝，BC ＝1，cos∠ACB＝sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为8π．【分析】由题意画出图形，分别设出三角形ABC与ADC的外接圆的圆心，作垂线找到三棱锥外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．解：如图：由cos∠ACB＝sin∠ACB，可得，则∠ACB＝30°．在△ABC中，∵AC＝，BC＝1，∠ACB＝30°，∴AB＝．则△ABC为等腰三角形，设△ABC的外心为G，连接BG交AC于E，由正弦定理求得BG＝1，求解三角形可得BE＝，则EG＝．取CD中点F，则F为三角形ACD的外心，过F作平面ACD的垂线，过G作平面ABC的垂线，两垂线相交于O，则O为三棱锥D﹣ABC的外接球的球心，其半径R＝＝．∴球O的表面积为．故答案为：8π．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）＝sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A，cos A，由余弦定理可得：bc，且当b＝c时等号成立，从而可求bc sin A≤，从而得解．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上，，且二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，试求λ的值．【分析】（1）设AC的中点为O，连接PO，推导出△ABC为直角三角形，点O为△ABC 的外接圆圆心．PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解：（1）证明：如图，设AC的中点为O，连接PO，由题意，得BC2+AB2＝AC2，则△ABC为直角三角形，点O为△ABC的外接圆圆心．又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．（2）解：由（1）可知PO⊥平面ABC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），设＝，λ∈[0，1]，＝（1，0，1），M（λ﹣1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，﹣1），＝（2﹣λ，0，﹣λ），设平面MBC的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，1，1），∵二面角P﹣BC﹣M的余弦值为，∴cos＜＞＝＝＝，解得，即M为PA的中点．19．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【分析】（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05，由此能估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率．（Ⅱ）设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件∁i 为“甲乙丙三名骑手中恰有i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”，则P（B）＝P（C2）+P（C3），由此能求出三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率．（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资求出随机变量Y1的分布列、EY1和随机变量Y2的分布列、EY2，由EY1＞EY2，建议骑手应选择方案（1）．方法2：求出快餐店人均日快递量的期望是62，方案（1）日工资约为50+62×3＝236，方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236，由此得到骑手应选择方案（1）．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2+0.15+0.05＝0.4所以P（A）估计为0.4．（Ⅱ）设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件∁i为“甲乙丙三名骑手中恰有i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”，则P（B）＝P（C2）+P（C3）＝所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以随机变量Y1的分布列为Y1140170200230260290320P0.050.050.20.30.20.150.05所以EY1＝140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05＝236同理随机变量Y2的分布列为Y1100130180230280330P0.10.20.30.20.150.05 EY2＝100×0.1+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05＝194.5因为EY1＞EY2，所以建议骑手应选择方案（1）方法2：快餐店人均日快递量的期望是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62因此，方案（1）日工资约为50+62×3＝236方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236故骑手应选择方案（1）．20．如图，椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为的F1、F2，离心率为；过抛物线C2：x2＝4by焦点F的直线交抛物线于M、N两点，当|MF|＝时，M点在x 轴上的射影为F1．连结NO，MO并延长分别交C1于A、B两点，连接AB；△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，设λ＝．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）求λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，以及双曲线的离心率公式可求出答案，（Ⅱ）设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理和弦长公式求出|OM|，|OA|，|OB|DE的长，再根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出λ的取值范围解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入x2＝4by有，即c2＝7b﹣4b2①又得到c2＝3b2代入①，解得，所以C1的方程为，C2的方程为x2＝4y；（Ⅱ）设直线MN的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得到x2﹣4kx﹣4＝0，则x1x2＝﹣4，设k ON＝m，k OM＝m'，则，所以，②设直线ON的方程为y＝mx（m＞0），由，解得x N＝4m，所以，由②可知，用代替m，可得，由，可得，所以，用代替m，可得，所以，，＝，（m＝1时等号成立）所以λ的取值范围为[2，+∞）．21．已知函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1．（1）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：+＞．【分析】（1）讨论导函数f′（x）＝2x﹣ae x有两个实根，在分离参数a＝，然后讨论函数g（x）＝单调性得出结论；（2）利用结论不等式，变形成指数型不等式结论去证明．解：（1）函数f（x）＝x2﹣ae x﹣1，∴f′（x）＝2x﹣ae x，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴f′（x）＝2x﹣ae x＝0有两个根，即a＝，即y＝a与y＝g（x）＝有两个交点，∴g′（x）＝，当x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝，当x→﹣∞时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→0，∴当a∈（0，）时，y＝a与y＝g（x）＝有两个交点，∴实数a的取值范围（0，）．（2）证明：由f′（x1）＝2x1﹣ae＝0，f′（x2）＝2x2﹣ae＝0，有即；由不等式，设lnx1＝t1，lnx2＝t2，则，所以上述不等式变为；所以＜；故+＞成立．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C以及直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若A（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）依题意，曲线C：（x﹣2）2+y2＝4，故x2+y2﹣4x＝0，即ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ；直线l：y＝1﹣x，即x+y﹣1＝0，即ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，故；（Ⅱ）将直线l的参数方程（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0中，化简可得，设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝1，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且，求证：．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义，分类讨论解不等式f（x）＞3﹣|x+2|；（Ⅱ）对于任意x∈R，先根据绝对值不等式f（x）﹣|x|≤1，再根据基本不等式，即可证明．解：（Ⅰ）由f（x）＞3﹣|x+2|，可得|x+2|+|x+1|＞3，则或或，解得x＜﹣3或∅或x＞0，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），证明（Ⅱ）f（x）﹣|x|＝|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1，∵a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab≥2﹣2×（）2＝1，当且仅当a＝2b时，即a＝，b ＝时取等号，∴≥1，∴．。
2020年4月18日衡水中学2020届高三下学期第九次调研考试理科综合答案
且小于弹簧弹力的力时，物块不动。超过弹簧拉力时，摩擦力会反向向左，即若使物块运动，则要克服的
是摩擦力与弹簧拉力之和。在最右端时最大，也就是至少需要力 2μmg，所以 A 错误；物块开始运动时，
如果弹力向右，则 a＝F，如果弹力向左，则 a＝F－2μg，所以F－2μg≤a≤F，所以 B 正确；从物块开始
a＝a1＋a2＝x4＋x3－x2＋x1＝4.0 m/s2。
2
4t2
(2)滑块下滑过程中经过位置 3 时速度大小
v3＝x2＋2t x3＝0.0442×8＋0.00.5054 9 m/s≈1.0 m/s。
(3)由牛顿第二定律得 a＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝gsin 37°－μgcos 37°，
m 解得μ＝0.25。
2
[答案] (1)4.0(2 分) (2)1.0(2 分) (3)0.25(2 分) 23.[解析] (1)铜电线的直径 d＝1 mm＋12.5×0.01 mm＝1.125 mm。 (2)P 测量的电压大于 N 测量的电压，故 P 是电压表 V2，N 是电压表 V1。 (3)偏大，由于没考虑电压表 V1 的分流作用，使测得的铜电线的电阻偏大。
(4)分析电路可知，通过铜电线的电流 Ix＝IR＝UR1，Rx＝U2－Ix U1＝U2U－1U1R＝
，整理得U2 U1
＝
1＋
Rx·
1， R
根
据题
图
丙
可
知
斜
率
k＝Rx＝7.50－1.00 2.50－0
Ω＝2.60 Ω，S＝πr2＝πd2＝0.994 mm2，ρ＝RxS＝
正确；运动过程中，t＝2 s 前甲的速度大于乙的速度，t＝2 s 后乙的速度大于甲的速度，所以前面甲追乙，
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
2020届河北省衡水中学高三下学期第九次调研数学(理科)试题及其详细解析
(3)当 a 0 时, 1
a x2
0
,∴
f
(x) 在 (, 0) 上单调递减,
令1
a x2
0得x
a ,
∴当 x
a
时,1 Biblioteka a x20,当0 x
a
时,1
a x2
0,
第 3 页 共 25 页
∴ f (x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a , ) 上单调递增,图象为 B;
故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研 究函数的单调性，属于中档题.
2020 届河北省衡水中学高三下学期第九次调研 数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 A {x | 0 x 2} ， B x | log1 x 2 ，则 AUB （ ）
2
A． R
B． x | 0 x 2 C．x | x 0
D．
x
|
1 4
x
2
【答案】C
【解析】先化简集合 A，B，再求 A U B .
【详解】
D． 5 i 26
i 5 i
z
1
5
i ，所以 z
i
的虚部为 5 .
26 26 26
5i
26
故选： A
【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.
3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测 第 1 页 共 25 页
量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展
Q 1 n3 1 1 1 m1 n 2 m1 n 2
m n3 1
5
1
2020衡水中学高三一调数学(理)试题(含标准答案)
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ）A ．[]12，B ．()12，C ．(12]，D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 4．函数()x e x f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ． B ．C ． D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题；②命题“∀x ＞0，有e x ≥1”的否定为“∃x 0≤0，有e x 0＜1”； ③“平面向量a ⃑ 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“a ⃑ •b <0”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sinA +sinB >cosA +cosB ；⑤{a n }为等差数列，若a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N ∗)，则m +n =p +q 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12nnp p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011 B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O 1,O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1,O 2的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2xcos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
河北衡水2020届高三调研考试理数试题
3 3河北衡水2020届高三调研考试理数试题一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）1．已知集合 A ＝{x ∈R|x +1＞0}，B ＝{x ∈Z|x ≤1}，则 A ∩B ＝A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{0，1}D ．{1}6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和B ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和C ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和D ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和2．复数 1+ i 1+ 2i 2 A ． 110C ． 3 10的共轭复数的虚部为B ． - 1 10 D ． - 310 7．如图 1，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M ，N ，Q 分别 是线段 AD 1，B 1C ，C 1D 1 上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为3．有一散点图如图所示，在 5 个（x ，y ）数据中 去掉 D （3，10）后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小 B ．相关系数 r 变小 C ．相关指数 R 2变小D ．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱35A ．2B ．1C ．D ．2 2⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫x 2 y 28．如图直角坐标系中，角α 0 < α < 2 ⎪ 、角 β - 2 < β < 0⎪4. 已知双曲线 C : - = 1 12 4，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与 C 的两条 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭5渐近线的交点分别为 P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ |＝ A ．2B ．4C ．6D ．8的终边分别交单位圆于 A 、B 两点，若 B 点的纵坐标为 - ，13α ⎛ α α ⎫ 15．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小 且满足 S= ，则 sin cos -sin ⎪ + 的值 球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时， ∆AOB 45 122 ⎝ 2 2 ⎭ 2 12 5 记取出的红球数为 ξ2，则（ ）A ．E ξ1＜E ξ2，D ξ1＜D ξ2B ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＞D ξ2C ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＜D ξ2D ．E ξ1＞E ξ2，D ξ1＞D ξ2A ． - 13B ．C ． -D ．13 13 13⎛ 2 3x ( 9. 已知函数 f (x ) = sin ωx - cos ωx (ω > 0) ，若集合{x ∈(0 ， π ) | f (x ) = -1} 含有 4 个元素， 二、填空题（共 4 题，每题 5 分）n则实数 ω 的取值范围是 ⎛ 13. 已知二项式 2x - 1 ⎫ ⎪ 的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 x 3 的系 A ． [ 3 , 5)2 2B ． ( 3 , 5]2 2C ． [7 , 25)2 6D ． (7 , 25]2 6⎝⎭ 数为10．已知抛物线 y 2 = 4x 上有三点 A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为 3，6，-2 ，则 的重心坐标为 ∆ABC 14. 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数 的一条性质：14( ,1) 9B ． 14 ,0)9C ． (14 , 0)27D ． (14 ,1)27甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增； 丙：函数 f （x ）的图象关于直线 x ＝1 对称；丁：f （0）不是函数的最小值． 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M 是对角线 AC 1 上的点（点 M 与 A、C 1 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是15. 已知△ABC 的一内角 A = π3, AB = 10, AC = 6 ，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设 AO = m AB + n AC ，则 m +3n 的值为16．已知 ∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 A = 2B ，则 c +2b 的取值ba①存在点 M ，使得平面 A 1DM ⊥ 平面 BC 1D ； ②存在点 M ，使得DM // 平面 B 1CD 1 ； 范围为 ．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【4月衡水九调理数】衡水中学2020届高三下学期第九次调研考试理科数学试卷及答案解析
A． 5 26
B． 5 i 26
C． 5 26
D． 5 i 26
3. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进
行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身
高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x﹣30.75，以下结论中不正 确的为（ ）
（2）若 A0,1 ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M ，N ，求 1 1 的值．
AM AN
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数
0,
2
C．
0,
3 4
D．
0,
3 2
第2页
12. 已知函数
﹣
，若方程
有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1
＜x2＜x3），则
x2
a
2
的取值范围是（
）
A．
1 e
,
0
B．
e
2
2
,
0
C．
e
2
2
,
2e
2
二、 填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
D． 0, 2e 2
17. 设
.
（1）求 的单调区间；
（2）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 若
，，
求 面积的最大值．
18. 如图，在三棱锥
中，已知
，
，顶点 在平面 上的射影为
的外接圆圆心．
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）若点 M 在棱 PA 上，
，且二面角
的
余弦值为 ，试求 的值．
19. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案①规 定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案②规定每日底薪 100 元， 快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元，该快餐连锁 店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为[25， 35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理 得到如图所示的频率分布直方图．