第二十章 力矩分配法

M AB = S ABθ A = 4i ABθ A
M AC = S ACθ A = 4i ACθ A
M AD = S ADθ A = 3i ADθ A
由结点A的力矩平衡方程得 由结点 的力矩平衡方程得
S ABθ A + S ACθ A + S ADθ A = m A
mA θA = 故有 （20-1） ∑ SA 此处Σ 表示汇交于A点各杆的转动刚度之和 点各杆的转动刚度之和。 此处ΣSA表示汇交于 点各杆的转动刚度之和。 有了θ 即可由（ ）式求出各杆A端弯矩 有了θA值，即可由（a）式求出各杆 端弯矩
图20-6
20- 用力矩分配法作图20 20例 20-1 用力矩分配法作图 20-7a 所示连续梁的 弯矩图。 弯矩图。 先计算分配系数、 固端弯矩、 解 ： 先计算分配系数 、 固端弯矩 、 不平衡力 然后进行分配与传递， 矩 ， 然后进行分配与传递 ， 再计算最终杆 端弯矩， 端弯矩 ， 画 M 图 。 将这些过程可在一张表 格上进行（如图20 20- 所示） 格上进行（如图20-7a所示）
C M BA = CM μ AB
（20-5）
其中， 称为分配弯矩。 其中，MμAB称为分配弯矩。
第二节 单结点的力矩分配法
力矩分配法，按其计算方法来分， 力矩分配法，按其计算方法来分，可分为单结点的力矩分配 法与多个结点的力矩分配法。下面通过图20-6所示两跨 法与多个结点的力矩分配法。 下面通过图2020 连续梁，具体说明单结点力矩分配法的计算步骤。 连续梁，具体说明单结点力矩分配法的计算步骤。 首先，在结点B加一阻止其转动的附加刚臂， 首先 ， 在结点 B 加一阻止其转动的附加刚臂 ， 然后承受荷载 的作用（ 20的作用 （ 图 20-6b ） ， 这样将原结构分隔成两个单跨超 静定梁AB BC。这时各杆杆端将产生固端弯矩， AB和 静定梁AB和BC。这时各杆杆端将产生固端弯矩， 其值可 由表19 查得。取结点B为脱离体（ 2019由结点B 由表19-1查得。取结点B为脱离体（图20-6c）,由结点B 的力矩平衡条件， 即可求得附加刚臂阻止结点B 的转动 的力矩平衡条件 ， 即可求得附加刚臂阻止结点 B 而产生的约束力矩为
C AB = M BA 2iϕ A 1 = = M AB 4iϕ A 2
图20-5
对不同的远端支承情况，其传递系数也将不同， 对不同的远端支承情况，其传递系数也将不同，如表 20-1所示。 所示。 所示
分配弯矩由传递系数传到远端的弯矩，称为传递弯矩，用符号 所示。 分配弯矩由传递系数传到远端的弯矩，称为传递弯矩，用符号MCAB所示。即
图20-2
图20-3
2．分配系数 ．
在结点上施加力矩强迫结点转动时，与此结点联结的各杆必将发生变形和内力。 在结点上施加力矩强迫结点转动时，与此结点联结的各杆必将发生变形和内力。为了计算 此时各杆的端弯矩，引入分配系数的概念。 表示只有一个结点的简单刚架， 此时各杆的端弯矩 ， 引入分配系数的概念 。 图 20-4表示只有一个结点的简单刚架， 设 表示只有一个结点的简单刚架 有力矩m 施加于刚结点A，并使其发生转角θ 然后达到平衡状态。 有力矩 A施加于刚结点 ， 并使其发生转角 θA，然后达到平衡状态 。 由转动刚度的定 义知，各杆在A端的弯矩为 义知，各杆在 端的弯矩为
分配弯矩＝分配系数×不平衡弯矩的负值
传递弯矩＝传递系数×分配弯矩
单结点力矩分配的计算步骤
20- 等于图20 20- 叠加图20 20图 20-6a 等于图 20-6b 叠加图 20-6d ， 故原结构的各杆端最后 弯矩， 应等于各杆端相应的固端弯矩、 弯矩 ， 应等于各杆端相应的固端弯矩 、 分配弯矩与传递 整个 计算过程 的关键在于 弯 矩 之代 数 和 。 其 整个计算过 程 的关 键在于 “ 力矩分 故称这种方法为力矩分配法，或弯矩分配法。 配”，故称这种方法为力矩分配法，或弯矩分配法。 单结点力矩分配的计算步骤，可以形象地归纳为三步： 固定（ 锁住） 结点： 即在刚结点处加上附加刚臂， （ 1 ） 固定 （ 锁住 ） 结点 ： 即在刚结点处加上附加刚臂 ， 此 时各杆固定端有固端弯矩， 而结点上有不平衡力矩， 时各杆固定端有固端弯矩 ， 而结点上有不平衡力矩 ， 它 暂时由刚臂承担。 在此需指出的是， 为了简化计算， 暂时由刚臂承担 。 在此需指出的是 ， 为了简化计算 ， 也 可不在刚结点处加附加刚臂，而只在意识中加了就行。 可不在刚结点处加附加刚臂，而只在意识中加了就行。 放松结点： 即取消刚臂， 使结构恢复到原来状态。 （ 2 ） 放松结点 ： 即取消刚臂 ， 使结构恢复到原来状态 。 这 相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩， 于是不平 相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩 ， 衡力矩被取消而结点获得平衡， 衡力矩被取消而结点获得平衡 ， 此时各杆近端获得分配 弯矩，而远端获得传递弯矩。 弯矩，而远端获得传递弯矩。 将各杆在固定时的同端弯矩与在放松时的分配弯矩、 （ 3 ） 将各杆在固定时的同端弯矩与在放松时的分配弯矩 、 传递弯矩叠加起来， 就得到原杆件的最终杆端弯矩。 传递弯矩叠加起来 ， 就得到原杆件的最终杆端弯矩 。 将 最终杆端弯矩与将各杆看成是简支梁时在荷载作用下的 弯矩相叠加，即得结构最终弯矩图。 弯矩相叠加，即得结构最终弯矩图。
二、力矩分配法的三要素
1．转动刚度S ．转动刚度 对于任意支承形式的单跨超静定梁iK，为使某一端（设为i端 产生角位移θ 对于任意支承形式的单跨超静定梁 ，为使某一端（设为 端）产生角位移θi， 则须在该端施加一力矩M 则须在该端施加一力矩 iK。 时所须施加的力矩， 杆在i端的转动刚度， 当θi=1时所须施加的力矩，称为 杆在 端的转动刚度，并用 iK表示，其中 端为 时所须施加的力矩 称为iK杆在 端的转动刚度 并用S 表示，其中i端为 施力端，称为近端 近端， 端则称为远端 所示。 施力端，称为近端，而K端则称为远端，如图 端则称为远端，如图20-2a所示。 所示 同理， 端产生单位转角位移θ 所须施加的力矩应为iK杆 端的转 同理，使iK杆K端产生单位转角位移θk=1 时，所须施加的力矩应为 杆K端的转 杆 端产生单位转角位移 动刚度，并用S 表示，如图20-2b所示。 所示。 动刚度，并用 Ki表示，如图 所示 当近端转角θ 则必有M 当近端转角θi≠1（或θk≠1）时，则必有 iK=SiK·θi（或MKi=SKi·θK）。 （ ） θ K θ 由位移法所建立的单跨超静定梁的转角位移方程知，杆件的转动刚度S 由位移法所建立的单跨超静定梁的转角位移方程知 ，杆件的转动刚度 iK除与杆 件的线刚度i有关外 还与杆件的远端（ 有关外， 件的线刚度 有关外，还与杆件的远端（即K端）的支承情况有关。 端 的支承情况有关。 中分别给出不同远端支承情况下的杆端转动刚度S 图 20-3中分别给出不同远端支承情况下的杆端转动刚度 Aj的表达式 ， 在应用中 中分别给出不同远端支承情况下的杆端转动刚度 的表达式， 可以查用。 可以查用。
第二十章 用力矩分配法计算 连续梁与无策移钢架
第一节 第二节 第三节 第四节 力矩分配法的基本概念 单结点的力矩分配法 多结点的力矩分配法 连续梁的内力包络图
第一节 力矩分配法的基本概念
设有图20-1a所示两跨连续梁 ABC ，承受一个集中 荷载F。用力矩分配法计算时，首先要取基本结 构，其基本结构的取法与位移法完全相同，即 图20-1a所示结构，可以看作只有一个可以转不 能移动的结点B （注意：鉸结点C 不需考虑）， 因此只需在结点B加一个附加 刚臂 “▼”， 得如图20-1b所示的基本结构。其次将荷载置于基本结 构上，求AB、BC两段杆件的固端弯矩。然后利用结点B的力矩平衡条件求 得B点处的约束力矩mB （亦称不平衡力矩 不平衡力矩）。 下一步就要转动结点B消除 不平衡力矩 mB，使基本结构变为实际结构。 力矩分配法与位移法的计算原理完全相同，只是在消除mB的方法上有所不 同而已。在结点B施加与mB大小相等而方向相反的力矩-mB ， 强迫连续梁 产生如图20-1c所示的变形，同时使两个杆端产生新的弯矩。把图20-1c 情况下的弯矩与图20-1b情况下的弯矩叠加，即得实际结构（图20-1a） 的弯矩。 用力矩分配法解题的基本思路是：首先在刚结点处设置约束转动的附加 刚臂，使产生约束力矩，以阻止转动；然后放松约束，即在刚结点处施 加与约束力矩大小相等而方向相反的力矩，以抵消约束力矩的影响，使 其恢复为原结构。
µ BC =
S BA = = 0.429 S BA + S BC 2 1 + 3 2
例20-1 20-
（1）计算分配系数 在荷载作用下，计算内力可以用相对刚度，设EI＝1，其转动刚度为 在荷载作用下，计算内力可以用相对刚度， EI＝
S BA＝4i BA = 4 2 3 1 = S BC＝3i BC = = 6 3 6 3
2 3
分配系数为 分配系数为
µ BA
S BA = = = 0.571 S BA + S BC 2 1 + 3 2
M μ ＝ µ BA ⋅ (− m B ) BA
M μ ＝ µ BC ⋅ (− m B ) BC
（20-7）
传递弯矩为 M C ＝C BA Mμ AB BA 一般形式为
M C ＝ C Bk Mμ kB Bk
M C ＝CBCMμ CB BC
μ 一般形式为 M Bj＝µ Bj ⋅ (− m B )
（20-8）
M AB =
M AC =
M D
图20-4
或写作
M Ai = µ Ai m A
S AB mA ∑SA
（20-3）
S AC mA ∑SA S = AD m A ∑SA
（20-2）
其中μAj按下式计算 S µ Ai = Ai （20-4） ∑ SA
μAj称为力矩分配系数。
2．分配系数 ．
各杆在 A 端的弯矩值与其转动刚度成正比，并且它们的和等 于在结点上施加的外力矩。力矩分配时，各杆所得到的A 端弯矩称为分配力矩。所谓分配力矩，也就是为使结点转 动而在结点上所施加的力矩，按各杆件的转动刚度之比分 配到各杆端的力矩。 综上所述，在力矩分配时只要知道各杆的转动刚度，即可按 式（20-4）算出各杆的力矩分配系数，然后由式（20-3） 求出各分配力矩（注：在此力矩即弯矩，以下称力矩为弯 矩）。 在此值得指出的是，一个结点，例如A结点，各杆的分配系 数应满足下式