1.1菱形的性质与判定(一)
1.1菱形的性质与判定(一)
教学
后记
2.随堂练习（A,B,C类必做）
3.数学理解4（A必做，B,C类选做）
4.菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则菱形的周长为，面积为。（B,C类做)
6.课堂Байду номын сангаас结
7．布置作业知识技能1.2
1号回答
分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
四.展示点拨，证明定理
教师活动：展示题目
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
五.拓展与应用
1、例1如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。（A,B,C类必做)
难点:运用菱形的性质解决与菱形有关的问题
教学
方法
探索引导法
主要教学过程
备注
一.自学检测
1.平行四边形的性质：
对边；对角，邻角；对角线
2.下面的平行四边形中,有什么共同的特征吗?
3.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来
的四边形叫做菱形。
二.问题呈现
小组的4号
回答第1个问题，2或者3号回答第2，3个问题
那么我们如何给菱行下定义？
三.合作探究，猜想性质
教师提出问题：（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
1.1+菱形的性质与判定++课件+++2024--2025学年北师大版九年级数学上册
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：
∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形， C
∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE.
B F
EA
又∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE. D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，
∴∠AFD=∠CBE.
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
练一练 如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ B ）
A.20
B.16
C.15
D.14
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
1.根据下图填一填：
（1）在菱形ABCD中，∠ABC=120 °，则∠BAC=___3_0_°__.
在等腰△ABD中,OB=OD，
∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
变式：试证明上题中的对角线是否都平分对角. ∵在等腰△ABD中,OB=OD，∴AO平分∠DAB, 同理可得BO平分∠ABC,CO平分∠BCD,DO平分∠ADC.
∴每条对角线平分一组对角.
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外还有 平行四边形所没有的性质.
问题1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，
AC=6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= 1 AC，BO= 1 BD.
1.1菱形的性质与判定
1.1菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠=度．⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图21CBAP HFE DCBAE F D B C A【巩固】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1HO DC BA图2DCBA图3E DP CF BA 图1DCBA【例7】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．板块二、菱形的判定 【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．图2DFEDCBADCAB FEDCBAODEFCAB【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？C'DC BA EAB CDEF P PF EDC B A GF E DCBAPMF E DG CBA HF DECBA三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________． 4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应M'M DCBAMPFABCDE DBFEDCBAEDCB A的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．FEDCBANMEFCBA。
1.1菱形的性质与判定(一)
B
已知:如图, 在菱形ABCD中， AB=AD，对角线AC,BD相交于点O. 求证:（1）AB=BC=CD=DA. （2）AC⊥BD
A
D O
C
（2）∵ AB = AD， ∴ △ABD 是等腰三角形． 又∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）． ∴ AO⊥ BD ，(等腰三角形三线合一） 即 AC ⊥ BD ．
解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD（菱形的四条边相等）， AC ⊥ BD（菱形的对角线互相垂直）， OB = OD = 1/2 BD = 1/2× 6 = 3 AC=2OA（菱形的对角线互相平分）． A 在等腰三角形 ABD 中， ∵ ∠BAD = 60°， ∴ △ABD 是等边三角形． ∴ AB = BD = 6． 在 Rt △AOB 中， OA2 + OB2 = AB2， ∴ OA = AB2 OB 2 62 32 3．3 ∴ AC = 2OA =
第一章 特殊平行四边形
第1节 菱形的性质与判定（一）
温故而知新
B
A
D
C
定义
性质
四 边 形
边
角
对边平行 且相等 对角相等 互相平分
平行四边形
两组对边 分别平行 的四边形
判定
对角线
对称性 中心对称图形
观察下面图片中的四Байду номын сангаас形，有何特征？
这种特殊平行四边形特殊在哪里？ 我们称它为菱形，你能给菱形下定义吗？
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线 所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂 直平分。 3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行 计算和推理。
1.1 菱形的性质与判定 (第1课时)
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD，AD=BC ∴AB=BC=CD=AD 又∵AB=AD， 在等腰△ABD中： （2）∵AB=AD ∵OB=OD ∴△ABD是等腰三角形； ∴AO⊥BD 又∵四边形ABCD是菱形； 即：AC⊥BD ∴OB=OD
三、新知探究：
1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 2、菱形的性质： （1）一般平行四边形的性质； （2）菱形所独有的性质？
1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 2、菱形的性质： （1）一般平行四边形所具有的性质； “边”、“角”、“对角线” （2）特别地：菱形的四条边相等； 菱形的对角线互相垂直；
一、旧知回顾：
1、什么是平行四边形？
B
A O
D
C
2、平行四边形的性质有哪些？ （1）“边”： （2）“角”: （3）“对角线”: 3、如何判定一个四边形是平行四边形？ （1）“定义法”： （2）“边”： （3）“角”： （4）“对角线”：
二、引入新课：
菱形
第一章：特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定 （第1课时）
北师大九年级数学上册--第一单元 1.1 菱形的性质与判定 1 课件
∴AB=AD，OB=OD
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
（等腰三角形的三线合一）
同理得：AC平分∠BCD， BD平分∠ ABC和∠ADC
D
边
菱形的两组对边平行且相等
菱形的四条边相等
A
菱形的两组对角分别相等
56
1 2
O
3 4
C
78
B
角 菱形的邻角互补
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
对角线
= 菱菱每形形一的的条两两对条条 角对对线角角平线线分互互一相相组平垂对∴分直角∠∴∴，。∴DA∴O∴AABAA∠∠BDA=∠∠=B+BDACO∠13C∥∥AD==C⊥=AB∠∠CB;CO=CB=C24BD∠CB∠D=D==DADO1CBA8DBC0° = 菱形是中心对称图形，对称 ∠5=∠6
的长为 ，则另一条对角线的长为 ．
12．如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，
一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣＞B﹣＞C
﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的
顺序沿菱形的边循环运动，行走 2015 米
停下，则这个微型机器人停在
点．
(1)图中有哪些线段是相等的？ 哪些角是相等的？
(2)图中有哪些等腰三角形？直 角三角形？
(3)两条对角线AC、BD有什么 特定的位置关系？
因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边形的所没 有的特殊性质。
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直
平分，每一条对角线平分一组 对角。
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=BC，AB=CD （菱形的对边相等）
又∵AB=BC ∴AB=BC=CD=AD
菱形的性质与判断1
1.1 菱形的性质与判定（1）一．备课标：（一）内容标准：（1）理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系（2）探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
（4）学会独立思考，体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
（二）核心概念：本节课通过对菱形的性质定理的探索与证明，建立符号意识、空间观念，初步形成几何直观，发展学生的推理能力。
十大核心概念在本节课主要体现的是符号意识、几何直观、推理能力。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本章属于“图形与几何”领域，是在八年级下册第三章《图形的平移与旋转》和第六章《平行四边形》的基础上继续采用探究和证明相结合的方式研究特殊平行四边形，有助于深化学生对平行四边形的理解，是发展学生空间观念的重要载体。
九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
经历了七年级下册第二章《相交线与平行线》、第三章《三角形》和八年级下册第六章《平行四边形》的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
（二）重点、难点分析：本节主要是在理解概念的基础上，探索并证明菱形的性质定理，学生虽然已经具备了一定的推理能力，但是严格的推理证明还需要适时的指导，所以确定：重点：（1）理解菱形的概念，从而理解它与平行四边形之间的关系。
（2）探索并证明菱形的性质定理。
难点：证明菱形的性质定理。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析： 1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已经学习了平行四边形的概念及相关性质，能够从边、角、对角线等角度说出平行四边形的性质。
（2）支持性条件：学生在前面的学习中已经积累了总结概括知识的经验，能够类比已有知识框架构建新知，了解特殊图形与一般图形的关系。
1.1 菱形的性质与判定 (1)
为
．
第 4页（共 12页）
21．（2020 秋•兰州期末）若一个菱形的周长为 200cm，一条对角线长为 60cm，则它的面积
为
．
22．（2020 秋•昌图县期末）若某个菱形的两条对角线的长度分别为 3 和 4，则该菱形的周长
为
．
23．（2020 秋•舞钢市期末）如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，P 是 AC 上的一个动点，过 点 P 分别作 AB 和 BC 的垂线，垂足分别是点 F 和 E，若菱形的周长是 12cm，面积是 6cm2，
第 6页（共 12页）
GF 的最3．（2020 秋•青羊区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD
＝60°，AC＝12，求菱形对角线 BD 的长．
34．（2020 秋•南山区期末）如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AE＝DE， 连接 CE． （1）求证：CE＝DE． （2）当 BE＝2，CE＝1 时，求菱形的边长．
42．（2020 秋•揭西县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，连接 CE，BF∥CE 交 DE 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形； （2）当∠A 满足什么条件时，四边形 BCEF 是菱形？回答并证明你的结论．
43．（2020 秋•武功县期末）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF．若 BE＝DE，求证：四边形 EBFD 是菱形．
四边形 ABCD 为菱形的是（ ）
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．BC＝CD
D．AB＝BC
1.1菱形的性质与判定(一)
重难点
重点：通过对方程的认识、进行一题多解，一题多变的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；
难点:会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并利用一元二次方程解决一些问题，并体会转化；分类讨论等数学思想
第一课时
课型
复习课
【中考链接】：如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？
（抽2号学生完成）
生回答：因式分解法（引出解一元二次方程的方法）
（抽3号学生回答）
1号生可得题目
分别让学生编题并来理解一元二次方程判别式判定方程根的情况，，让学生熟练的解决问题。
师生共同总结本节课的收获，
让学生熟练的编一元二次方程与几何图形的关系，若在此处有一个良好的基础，势必会对中考的学习起到事半功倍的效果.
板书
设计
第2章一元二次方程回顾与思考
1、定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
教学环节
导学内容
导学方式
复备栏
一.优化导入，揭示目标
二、指导自学，整体感悟
三、互动互研，解难释疑
四、精点巧拨，归纳生成
五、分层设练，拓展延伸
生回忆第二章我们学的内容是什么？生回答；一元二次方程，导入新课，并板书课题
师提问：同学们能否自主地编一些一元二次方程，生快速的编出以下题目如4x2－16x+15=0，x2+8x+9=0，等。
1.1菱形的性质与判定
1.1菱形的性质与判（第一课时）一、教学目标根据新课程标准和本节内容在整个初中数学中的地位与作用，我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。
1、知识与技能：理解并掌握菱形的定义及性质，能够利用菱形的性质解决生活中的实际问题。
2、数学思考：在探索菱形性质的过程中，让学生经历"观察-思考-归纳-总结"的数学思想。
3、问题解决：通过观察、操作和分析，得出菱形的性质，并运用菱形的性质解决相关的证明和运算。
4、情感态度：通过本课的学习，让同学们感受到生活中的菱形，其实数学和现实生活是息息相关的。
二、教法与学法：1、重点：理解并掌握菱形的概念。
2、难点：理解并掌握菱形的性质。
C. 45°D. 30°ABCD，下列条件中，不能判定CE∥B D求证：OE⊥D C。
1.1菱形的性质与判定（第二、三课时）一、教学目标1、知识与技能目标掌握菱形的三种判定方法，并会用它们进行相关证明和计算。
2、数学思考目标经历菱形三种判定方法的探究过程，通过操作、观察、猜想、证明，发展学生的形象思维，培养学生的动手能力和逻辑推理能力。
3、问题解决目标让学生在动手操作、讨论交流、归纳总结的过程中，加深对菱形判定方法的理解，感受身边的数学，以及合作学习的成功。
4、情感态度目标培养主动探求、勇于实践的精神，激发学习数学的热情，树立学好数学的信心。
二、教学重点与难点1、教学重点：菱形的判定方法。
2、教学难点：探究菱形的判定条件，合理利用它们进行论证和计算。
三、教法与学法1、教法:探究判定方法时，创设问题情境，恰当设疑，引发学生兴趣。
采用直观操作和几何论证相结合的探究式的教学方法。
既关注学生学习的结果，更关注他们学习的过程，进一步培养学生的形象思维和逻辑推理能力。
2、学法：在学生的学习方式上，采用动手实践，自主探究与合作交流相结合的方式使学习过程直观化、形象化。
四、学情分析及教学准备：五、教学过程（一）创设情境，导入新课动手拼一拼，激发兴趣，导入新课请学生拿出课前准备的两个全等的等腰三角形（不等边），小组交流，开动脑筋，动手拼一拼，看一下可以拼出几种平行四边形。
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第一章特殊平行四边形
1．菱形的性质与判定（一）
教学目标为：
1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四
边形的关系；
2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发
展合情推理能力；
3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推
理能力
课前准备
1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
设置情境，提出课题
【教学内容】
学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与
ABCD相比较，还有不同点吗？
2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意
两条邻边也相等。
教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
猜想、探究与证明
【教学内容】
1、想一想
①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？
学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。
教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四
边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。
对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
2、做一做
教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么
位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。
组长组织，并汇总结果。
教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确
的结论。
学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。
师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，
两条对角线互相垂直。
②菱形的四条边相等。
3、证明菱形性质
教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们
要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
教师活动：展示题目
已知：如图1-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD ；（2）AC ⊥BD.
师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四
条边都相等了。
②因为菱形是平行四边形，所以点O 是对角线AC 与BD 中点；又
因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”
来证明结论了。
学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定
理。
证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB = CD ， AD= BC （菱形的对边相等）.
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD 是等腰三角形
A C
又∵四边形ABCD 是菱形
∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD 中，
∵OB=OD
∴AO ⊥BD
即AC ⊥BD
教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明
方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。
性质应用与巩固
【教学内容】
教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利
用这些性质来解决一些问题。
教师活动：展示题目
1、例1 如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC
与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边
长AB 和对角线AC 的长。
师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角
是60°，这样就可以得到等边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。
②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB ；菱形的对角线
互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA 的长
度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC 。
解：∵ 四边形ABCD 是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等)
AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD = ×6 =3（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABC 中， ∵∠BAD=60°
∴△ABD 是等边三角形
∴AB=BD=6 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB
=
== =2OA 2、随堂练习
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.
已知AB=5cm ，AO=4cm 求 BD 的长.
A 2121
师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱
形的对角线互相平分，BD为OB 的两倍，这样就可以很方便的求
出BD的数值了。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）
所以，BD的长是6cm.
课堂小结
本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；
②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
布置作业:
课本习题1.1 知识技能1、2、3 数学理解 4
教学设计反思
1、本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。
学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。
关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。
2、本节授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”。
课堂上的折纸活动，可以让学生直观感知图形的特点，还可以激发学生的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质。
在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平。
3、教师应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
3
4
52
2
2
2=
-
=
-
=AO
AB
BO。