【高考数学】2018最新高考数学一轮复习经典习题集(专题拔高特训)
2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十章 圆锥曲线与方
考点1
Contents
考情精解读
数学
考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十章
考试大纲
01 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
数学
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十章
考点 2016全国 2015全国 2014全国
轨迹方程 的求法
·全国Ⅰ,20,12 分
·全国Ⅲ,20(Ⅱ)
数学
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数学
题型全突破 5
考法2 定义法求轨迹方程
第十章
考法指导 定义法求轨迹方程的步骤: (1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)求轨迹方程. 注意 利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如
果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限. 制.
第十章
数学
题型全突破 8
.
第十章
数学
题型全突破 9
第十章
数学
题型全突破 10
Hale Waihona Puke 考点4 参数法求轨迹方程.
第十章
数学
题型全突破 11
考法示例4 若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴、y轴交于A,B
两点,则AB中点M的轨迹方程为
.
第十章
题型全突破
数学
题型全突破 1
考法1 直接法求轨迹方程
第十章
考法指导 直接法求轨迹方程的一般步骤: (1)建立恰当的直角坐标系; (2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程; (3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程. 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价
2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第八章节 立体几何
图8-5-5 符号语言:α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD⇒AB⊥β.
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数学
知识全通其性质
【名师提醒】
1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况,正 方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的; 2.由定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从 现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直; 3.面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面 的另一个平面的依据.
图8-5-4 符号语言:AB⊥β,AB⊂α⇒α⊥β.
【注意】平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l⊂α,l⊥β,缺一不可.
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数学
知识全通关 7
第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质
3.平面与平面垂直的性质定理 自然语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言:如图8-5-5所示.
又AC∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1C1C, 因为BC⊂平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面AA1C1C.
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题型全突破 10
第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质
【解析】
(2)设A1D与AC1交于点E,连接AB1交A1B于点G,连接EG,如图8-5-15所示,
因为AD∥A1C1,所以∠ADE=∠C1A1E,∠DAE=∠A1C1E,
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知识全通关 5
第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质
【中小学资料】2018版高考数学一轮总复习 解答题专项训练3 理
解答题专项训练三1.[2017·常德模拟]已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知条件可得S nn＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n(4n －3)，当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋n ＝2k －1，k ∈N *2．[2017·太原模拟]已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，a 22＝S 3，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记T n ＝a 1＋a 5＋a 9＋…＋a 4n －3，求T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 22＝S 3，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d . 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，解得d ＝0，不符合题意．若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝2或d ＝0(不符合题意，舍去)． 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1. (2)由(1)知a 4n －3＝8n －7，故数列{a 4n －3}是首项为1，公差为8的等差数列． 从而T n ＝n 2(a 1＋a 4n －3)＝n2(8n －6)＝4n 2－3n .3．[2017·海口调研]设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a na n ＋的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1， 即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，a n n ＝a 11.因为a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝4a na n ＋，n ∈N *，所以b n ＝42n n ＋＝1nn ＋＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数， 所以1－1n ＋1在N *上是递增的， 当n ＝1时，T n 取最小值12，所以12≤T n <1.4．[2017·乌鲁木齐模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有S n ＝2a n＋n －3成立．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－3，得a 1＝2， 由S n ＝2a n ＋n －3，得S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1－3， 两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1，a n ＋1－1a n －1＝2a n －2a n －1＝2，而a 1－1＝1， ∴数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n －1＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1，na n ＝n (2n －1＋1)＝n ·2n －1＋n ，∴T n ＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n ·2n －1＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1)＋n n ＋2.令V n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，则2V n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 两式相减得－V n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n，∴V n ＝n ·2n－2n＋1＝(n －1)2n＋1，∴T n ＝(n －1)2n＋n n ＋2＋1.5．[2017·辽宁模拟]设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝x n 2π，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和为S n ，求证S n <32. 解 (1)f (x )＝x 2＋sin x ，令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由f ′(x )>0⇒2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，由f ′(x )<0⇒2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得极小值，∴x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝32－33n ＋2， ∴S n <32.6．[2017·甘肃诊断]某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业．问哪种方案最合算？解 由题意知每年的运营费用(万元)是以120为首项，40为公差的等差数列． 则f (n )＝500n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤120n ＋n n －2×40－720＝－20n 2＋400n －720.(1)获取纯利润就是f (n )>0，故有－20n 2＋400n －720>0，解得2<n <18. 又n ∈N *，可知从第三年开始获取纯利润．(2)①年平均利润f n n ＝400－20⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤160，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－20n 2＋400n －720＝－20(n －10)2＋1280， 当n ＝10时，f (n )max ＝1280.故此方案共获利1280＋160＝1440(万元)．比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．7．[2017·合肥模拟]已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或q ＝－舍，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.8．[2017·昆明检测]已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.证明 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2，得a n ＋1n ＋1＝a nn＋2， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为3，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1， ∴a n ＝n (2n ＋1)， ∴1a n ＝1nn ＋<1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝11－1n ＋1<1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.。
2018年度8高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有问题详解)
）
A． 1 +2
B． 3+2
C． 4 ﹣2
D．5﹣2
13 ．（ 2014 ? 呼和浩特一模）若双曲线
则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
=1 （ a＞ 0 ， b ＞ 0 ）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，
C．
D．
14 ．（ 2014 ? 太原一模）点 P 在双曲线：
（ a ＞ 0，b ＞0 ）上，F1，F2 是这条双曲线的两个焦点， ∠F1PF2=90 °，
若 |FA|=2|FB| ，则 k= （ ）
A．
B．
C．
D．
3 ．（2014 ? 和平区模拟）在抛物线 y=x 2+ax ﹣ 5（ a ≠0 ）上取横坐标为 x1= ﹣4 ，x2=2 的两点，经过两点引一条割
线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
5x 2 +5y 2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（
A．a
B． b
C． ea
D．eb
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二．填空题（共 5 小题） 16 ．（ 2014 ? 江西一模） 过双曲线
实用标准文案
=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线， 若垂足恰在线段 OF（ O 为原点）
的垂直平分线上，则双曲线的离心率为
_________ ．
17 ．（ 2014 ? 渭南二模）已知 F1， F2 是双曲线 C：
D ． （2 ，1+ ）
10 ．（ 2014 ? 凉州区二模）已知双曲线
点， A．
上的投影的大小恰好为 B．
（ a＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左右焦点是 F1，F2，设 P 是双曲的离心率 e 为（
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训第十章 统计与统计案例10-1 Word版含解析
真题演练集训
．[·山东卷]某高校调查了名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]，样本数据分组为[)，[)，[)，[)，[]．根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少
于小时的人数是( )
．．．．
答案：
解析：由频率分布直方图可知，这名学生每周的自习时间不少于
小时的频率为(＋＋)×＝，故这名学生中每周的自习时间不少于小时
的人数为×＝.故选.．[·湖北卷]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收
粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内
夹谷约为( )
．石．石
．石．石
答案：
解析：粒和石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．
设石米内夹谷石，则由题意知)＝，解得≈.故这批米内夹谷约为
石．．[·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年
级的本科生人数之比为∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取名学生
．
答案：解析：设应从一年级本科生中抽取名学生，则＝，解得＝.．[·湖南卷]在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如
图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为～号，再用系统抽样方法从中
抽取人，则其中成绩在区间[]上的运动员人数是．
答案：
解析：对数据进行分组，在区间[]上，有几组就有几个运动员．
÷＝，因此可将编号为～的个数据分成组，每组有个数据，在区间[]上共有个数据，分在个小组中，每组取一人，共取人．。
2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)坐标系与参
考点 坐标系与参数方程1.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 1.【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1 【解析】试题分析：⑴先把cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵2C ：()2224x y -+=,3C ：2y x =,1C ,2C 方程相减得24210x y a -+-=,这就是为3C 的方程,对照可得1a =. 试题解析：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =2.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．2.【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos,tan 83αα==±，所以l 的斜率为3或3-.3.[2016高考新课标Ⅲ文数] 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可．试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 4.[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝θsin 与ρ cos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．4.(1，2) [解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．曲线C 1的直角坐标方程是2x 2＝y ，曲线C 2的直角坐标是x ＝1.联立方程C 1与C 2得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＝1，所以交点的直角坐标是(1，2)． 5.[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．5..x －y －1＝0 [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.6.[2014·辽宁卷] 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．6.解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＝－3，化为极坐标方程，得 2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．7．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.8．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．8．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.9． [2014·陕西卷] C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．9．1 [解析]易知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.10.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 10.【答案】()2,4-【解析】 试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．11.（15年新课标2文科）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值. 11.【答案】（I ）()30,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解12.（15年陕西文科）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 12.【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0).试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,C，则PC ==0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=(II)设13,22P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).。
备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题1.2 求同存异解决集合的交、并、补运算问题
专题1.2 求同存异解决集合的交、并、补运算问题考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B,∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B应用举例:类型一：已知集合中的元素，求其交集、并集或补集例1.【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊】已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】C2例2.【延安市2018届高三高考模拟】全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0 【答案】D【解析】试题分析：根据韦恩图得到表示的是()U C A B ⋃，根据题意求得集合B ，再求集合A 并B ，再求补集即可.详解： {}{}2|1011B x x =-==-，，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃， {}2,1,1,2A B ⋃=--，(){}0U C A B ⋃=故答案为：D.点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.例3．【郑州外国语学校2018届高三第十五次调研】已知全集，集合，，则中元素的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】分析：先解分式不等式得集合U ，解绝对值不等式得集合A ，解二次不等式得集合B ，最后根据并集以及补集定义得结果.3详解：因为，所以, 因为，所以,因为，所以,因此，元素的个数是3,选D,点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 类型二：已知集合交集、并集或补集中的元素，求其集合中的元素 例4．【山东省威海市2018届高三下学期第二次模拟考试】设全集，，，则集合（ ） A.B.C.D.【答案】B【例5】【2017浙江省温州市高三月考试题】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C A B =={}(){}1,A 3U C B =，则集合B =（ ）A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【答案】B【解析】如图，{2,4,5}B =．故选B ．413U ：1，2，3，4，5BA类型三：已知集合关系求参数的值或范围例6．【北京市中国人民大学附属中学2018届高三5月考前热身】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B例7．【内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试】已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意， {|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C =+⋃⊆＞， ， ①111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜；②m 0= 时，成立；③1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜，综上所述， 112m -≤≤，故答案为112m -≤≤．5例8．【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测】已知函数()41log ,,416f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ，关于x 的不等式()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合5|01x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->.（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3.解：（1）因为41>，所以()f x 在区间1416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()()44min max 1log 2,log 4116f x f x ==-==，所以[]2,1A =-.由()3122x ax a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，即3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭.又因为A B B ⋃=，所以A B ⊆． 所以14a->，解得4a <-， 所以实数a 的取值范围为(),4-∞-．6方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 实战演练:1．【河北省武邑中学2018届高三上学期第五次调研】已知集合{21,M xN y y x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则()R C M N ⋂=A. (]0,2B. []0,2C. ∅D. []1,2 【答案】B7【解析】因为(){[)212,,0,M xN y y x ∞⎧⎫=<+===+∞⎨⎬⎩⎭＝，则(]R ,2C M =-∞， ()[]0,2R C M N ⋂=.故选B.2．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知全集为，集合，，则（ ） A.B.C.D.【答案】C3．【湖南省岳阳市第一中学2018届高三第一次模拟考试】已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分别求出它们后可求出交集及其补集. 详解：，，故，所以，故选C.点睛：本题为集合和函数性质的综合题，一般地，表示函数的值域，表示函数的定义域，解题中注意集合中代表元的含义.4．【河南省郑州外国语学校2018届高三第十五次调研考试】设集合，，则的真子集的个数为（ ）8A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】C5．【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三上学期期中考试】设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A. M N =B. M N ⊂≠C. NM ⊂≠D. M N ⋂=∅【答案】B 【解析】 因为()()112121,2,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以M N ⊂≠，故选B.6．【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解：，由，可得是方程得两根，9由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解． 7．【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评】集合,,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】B 【解析】因为只有一个元素，而， 所以或 ，选B.8．【天津市河东区2018届高三高考二模】集合，，，则的取值范围是_______． 【答案】9．【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试】已知集合1{|}2M x x =≥-， 32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B ⋃的子集的个数为8，则a 的取值范围为__________．【答案】51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】作函数()()321131,,2,22h x x x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像，因为集合A B ⋃的子集的个数为108，所以集合A B ⋃的子集的元素为3，因此()5111112228g a h a f ⎛⎫⎛⎫-=-≤<-=≠=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，即a 的取值范围为51,11,28⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．【福建省2016届高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷】函数()()2lg f x x ax b =++的定义域为集合A ,函数()g x =B ,若(∁R A )∩B =B , (∁R A )∪B ={x |－2≤x ≤3}.求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.【答案】1,6a b =-=-, 24,3k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.11。
2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练21
5
5
25
8 , 28 25 25
这个做法本质上其实就是转基底，只是不是从几何图形出发，采用换元法。
解法四：平方角度
我们常说： “向量的模长一次想几何，二次想代数运算 ”，所以本题的两个条件也可以平方。
2
2
即 a 4a b 4b 9 ，
2
2
4a 4a b b 4
22
这里将解得 a , b , a b 三者视为整体，那么就属于 围，合情合理！ ”的问题
2
1
y2
1 于点 A, B ， O 为坐标原点， 若在线段 AB上的
11
2
Q 满足 MA
MB
MQ ，则 OQ min
．
解：设 A x1, y1 ， B x2, y2 ， Q m, n ，直线 l : y k x 1 1
则 MA 1 k 2 x1 1 ， MB 1 k2 x2 1 ， MQ 1 k 2 m 1
ab a2
a2 2ab b2 ab a2
此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除
a2
则M
a2 2ab b2 ab a2
t 2 2t 1 t 1 4 4 8
t1
t1
当且仅当 t b 3 及 4ac b2 时，即 b 3a,c a
解法三： 根据条件有 a 0,
0 ，则 c b2 4a
9a 时取得。
4
故 a 2b 4c ba
C ABF2
AF2 BF2 AB AF1 AF2 AB 2a AB 2a 2b S ABF2
S AF1F2
1 2c b bc
2
感知高考刺金 361 题
（2015 湖北理科第 10 题） 设 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数 . 若存在实数 t ，使得
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图 K1 ． 1 个 D．无穷多个 5．(2011 年广东 )已知集合 A＝{( x，y)|x，y 为实数，且 x2＋ y2＝ 1} ，B＝ {( x，y)|x、y 为实
数，且 y＝ x} ，则 A∩ B 的元素个数为 ( )
A ． 0 B ． 1 C． 2 D． 3
6． (2011 年湖北 )已知 U ＝{ y|y＝ log 2x， x>1} ， P＝ y y＝ 1x， x>2 ，则 ?UP＝(
)
A. 12，＋∞
1 B. 0， 2
C.(0，＋∞ ) D. (－∞， 0)∪ 12，＋∞
7．(2011 年上海 )若全集 U ＝ R，集合 A＝ { x|x≥ 1} ∪ { x|x≤ 0} ，则 ?U A＝________________. 8． (2011 年北京 )已知集合 P＝ { x|x2≤ 1} ， M ＝ { a} ．若 P∪ M ＝ P，则 a 的取值范围是
2． (2011 年湖南 )设全集 U＝ M ∪ N＝ {1,2,3,4,5} ，M ∩ ?UN＝ {2,4} ，则 N＝ ( )
A ． {1,2,3} B ．{1,3,5}
C． {1,4,5} D ．{2,3,4}
3．已知集合
A＝ {1,2 a} ，B＝ { a， b} ，若
A∩ B＝
1 2
，则
A∪B 为(
____________ ．
9．(2011 年安徽合肥一模 )A＝ {1,2,3} ，B＝ { x∈R |x2－ ax＋b＝ 0，a∈A，b∈ A} ，求 A∩ B ＝ B 的概率．
10． (2011 届江西赣州联考 )已知函数 y＝ ln(2 － x)[ x－ (3m＋1)] 的定义域为集合
＝
x－ m2＋ 1 x| x－ m
第一章集合与逻辑用语
( 附参考答案 )
第 1 讲 集合的含义与基本关系
1．(2011 年江西 )若全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6} ，M ＝ {2,3} ，N＝ {1,4} ，则集合 {5,6} 等于 ( )
A ．M∪N B．M∩N
C． (?U M )∪ (?UN) D． (?U M)∩ (?UN)
＜0
.
(1) 当 m＝ 3 时，求 A∩ B；
(2) 求使 B? A 的实数 m 的取值范围．
A，集合 B
)
A. 12， 1， b
B.
－
1，
1 2
1 C. 1， 2
D. － 1， 12， 1
4．已知全集 U ＝ R，集合 M＝ { x|－ 2≤ x－1≤ 2} 和 N＝ { x|x＝ 2k－ 1， k＝1,2，， } 的关系 的韦恩 (Venn) 图如图 K1 －1－ 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )