1.2.3《简单复合函数的导数》课件

求 导 相 乘
2 cos 2 x
从而有
y ' x y 'u u ' x
回 代
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有 若 y=f(u),u=ax+b，则
y ' x y 'u u ' x
即： y ' x y 'u a
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已 知函数对中间变量的导数，乘以中间变 量对自变量的导数 ，即 y ' y ' u '
[
f ( x) g ( x)
]
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x)
2
其中 g ( x ) 0
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数． 由函数 y f (u ) 与 u
( x ) 复合而成
的函数一般形式是
y f [ ( x )]
2 3
( 3 ) y e ; ( 4 ) y lP(π，0）处的 切线方程。
小结 ： • ⑴复合函数的求导，要注意分析复 合函数的结构，引入中间变量，将复 合函数分解成为较简单的函数，然后 再用复合函数的求导法则求导； • ⑵复合函数求导的基本步骤是： • 分解——求导——相乘——回代
x u x
复合函数求导的基本步骤是：
(1)分解 (2)求导 (3)相乘 (4)回代
数学运用
例1.试说明下列函数是怎样复合而成的，并求 下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3 ) ; ( 2 ) y ln( 5 x 1)
3
(3) y
1 3x 1
; ( 4 ) y cos( 1 2 x )
法则3:两个函数的积的导数，等于 第一个函数的导数 乘 以第二个函数
加上第一个函数乘以第二个函数
的导数
[ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ).
法则4 :两个函数的商的导数，等于分
子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
，其中u称为中间变量．
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
问题探究： 求函数 y (3 x 2) 的导数 。
2
方法一：
y x [(3 x 2) ] (9 x 12 x 4) 18 x 12
2 2
方法二：将函数 y (3 x 2)
数学运用
练习：试说明下列函数是怎样复合而成的， 并求下列函数的导数：
(1) y (2 x ) ; y sin x ; (2)
2 2
(3) y cos(

4
x ) y ln sin(3 x－1) (4)
例3.写出由下列函数复合而成的函数,并 求它们的导数。 2 y cos u ⑴ u 1 x
x 0
y x A( x )
f ( x ) A ( x )
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ).
法则2:
[ Cf ( x ) ] C f ( x ).( C 为常数 )
看作是函数
2
2
y u 和函数 u 3 x 2
u (3 x 2) 3 x
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (u ) 2u
2
两个导数相乘，得
y u u x 2 u 3 2 (3 x 2 ) 3 18 x 12
从而有
y ' x y 'u u ' x
问题探究： 考察函数
y sin 2 x
2 x )
；
的导数 。
一方面 : y sin 2 x 2 sin x cos x
y (sin x
( 2 sin x cos x ) 2 (sin x ) cos x 2 sin x (cos x ) 2 cos
2
x 2 sin
2
x
2 cos 2 x
另一方面： 将函数 看作是函数
y sin 2 x y sin u 和函数 u 2 x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
y u (sin u ) cos u u ( 2 x ) 2 x
x 两个导数相乘，得 y u u (cos u ) 2
简单复合函数 的导数
知识回顾：基本求导公式:
(1)( kx b ) k , 特殊的： C 0 (C 为常数 )
( 2 )( x ) x
'
x ' x

1
( 为常数）
(3)( a ) a lna(a 0, 且 a 1)
( 4 )( log a x )
'
1 xlna
( a 0 , 且 a 1)
(5 )( e ) e
x '
'
x
(6)(lnx)
'

'
1 x
( 7 )( sinx ) cosx
(8)(cosx)
sinx
根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数 y f （ x ）
计算 y x f（ x x） f（ x ） x
；
⑵
．
y ln u
，
u ln x
，
解：⑴ ⑵
y cos( 1 x )
2 2
y 2 x sin( 1 x )
y ln(ln x ) 1 y ( x ln x )
例4.求y=(2x+1)5在x=1处的切线方程。
• 1、求下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3 ) ; ( 2 ) y (1 3 x ) ;