导数在高中数学解题中应用
导数在高中数学解题中的应用探析摘要：近几年来，导数的相关知识一直是高考命题的重点与热点。
将导数这一概念引入到高中数学教学中，不仅使高中数学的教学更显活力，同时也为函数的求解过程提供了更简单更灵活的解题工具。
利用导数可以更便捷的解决高中数学中一些用传统方法难以解决的问题，并且能够提高解题的准确率与速度，在实际问题的解决中也能发挥作用。
本文通过阐述导数在分析函数及在相关问题中的求解方式，对其在高中数学解题过程中的应用进行探讨。
关键词：导数高中数学解题应用
1.引言
近些年来，导数作为高中数学中的新增知识点成为了各地高考命题的重点。
相关数据显示，在2006年和2007年两年的高考中，全国各地的试卷都涉及到了对于导数知识的考查[1]。
导数是微积分中的基础知识，对于实际问题的解决及函数问题的研究具有推动作用。
对导数知识的考查一般都从不同的角度进行，而且也会和解析几何、函数、不等式等相关知识点综合起来进行命题，需要学生在牢固掌握导数相关知识的基础上能够灵活的加以运用，并且还要将数学知识应用到解决实际问题之中。
所以对于高中学生来说，在高考复习过程中，要加强对导数知识的温习与巩固，并增强在解决数学问题中将相关知识灵活运用的能力[2]。
2.导数在解决高中数学问题中的应用
2.1对函数的单调性进行判断时导数的应用
高中数学中函数的单调性一直是重点内容，它表示的是在一定的区间内，随着自变量的变化，因变量产生的变化情况。
在还没有将导数的知识引入其中前，常根据函数单调性的定义对函数的单调性进行判断。
即在特定的区间内，如果函数中的因变量随着自变量变大也跟着变大则该函数为增函数，因变量随着自变量的增大而变小则是减函数，而相应的区间则是其相应的单调区间。
这种方法对于简单的函数进行单调性判断尚可，一旦遇到较复杂的函数，则这种判断方法会极为繁杂，而且往往难以予以准确证明。
而引入导数的概念后，就可以利用导数进行函数单调性的判断了，这种判断方法既准确又迅速。
在用导数对函数单调性进行判断时，如果是要判断f（x）这一函数在区间[m，n]上的单调性，则只需对其在此区间上求导，所得的导数如果大于零，则该函数在区间[m，n]上单调递增，反之则是单调递减。
在利用导数对函数的单调性进行判断时，最重要的是要对一些常见函数的求导方法清楚并能够熟练掌握，同时要说明函数具有的单调性及其相应的区间。
2.2证明不等式时导数的应用
近年来，高考的命题趋势是考题的综合化和知识运用的灵活性考查。
高中数学高考常见的命题形式之一就是将函数和不等式结合起来进行考查。
而在过去几年的高考试题中，很多与不等式有关的题目都可以将导数运用其中，达到简捷明了解题的效果[3]。
在使用导数证明不等式的过程中，通常的步骤是先把待证明的不等式稍加变形，转换成判断两个函数大小的问题，然后构建出一个辅助函
数并进行求导，判断导数在相应区间上的正负，确定辅助函数在相应区间的单调性，从而对两个函数大小进行判断，达到不等式证明的目的。
尤其是在证明对数函数、指数函数和三角函数等相关的不等式时，运用导数知识进行解答更加简便，效率也更高。
利用导数解题不仅可以帮助学生理解不等式、函数和方程等知识点的联系[4]，还可以帮助学生在解题过程中对其性质及概念进行进一步的理解。
2.3解决切线问题时导数的应用
随着高考命题中导数相关知识的考查比重逐步增加，对于一些特殊曲线进行切线问题探讨的题目也不断增加，包括对指数函数曲线、三角曲线、圆锥曲线和对数曲线等的切线研究等，而在这些切线问题中，传统的解答方法不仅费时费力，而且往往无法得出准确答案。
而导数的实质意义就是在曲线上某一点处切线的斜率[5]，这一点决定了它可以很好的利用到对切线问题的解答中，为之提供新的解题方法和解题思路，从而使高考命题具有更加广阔多样的空间。
2.4在求解函数最值中导数的应用
函数求解最值一直以来都是作为高考难点出现的，传统的求解方式也有很多。
而导数的引入为函数最值的求解提供了一种新的解题思路和解题方法，很多时候也是最为简便快捷的解题方法。
如最具典型的二次函数求解最值的题目，由于其所求的在某一区间内的最值是要求得相应区间的最小值或最大值，具有参数，所以也是一
个难点。
而解决这一问题的传统方法是数形结合方法，解答过程十分繁琐复杂。
而导数可以用来对此函数在该区间上的单调性及其最值进行判断，并明确其最值与相应区间的对应关系即可，所以解决此问题十分简洁明了。
对于特殊的复合函数要求最值时，难以运用传统解题方法寻找突破口和出发点，而且解题过程复杂，而用导数只需要先将相应的定义域求出，就可以快捷简单的求解其最值。
3.结束语
在高中数学解题中，导数具有非常广泛的应用，除了文中罗列的几种应用之外，还可以应用在立体几何与解析几何的向量问题中。
它可以作为一个纽带将高中数学和下阶段的大学数学的知识内容连接起来，便于学生在大学中学习微积分知识的快速入门与深刻把握。
然而由于导数的内容在课本较后面，学生在解题时常会用比较习惯和熟悉的解题方法来解答，对于导数的应用相对较少，所以在平常的学习和模拟考试中，要加大导数的应用力度，以便为高中数学问题的解决准备多种方法，多种思路，加强解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]冯国东.导数在高中数学解题中的运用分析[j].新课程研究（基础教育）
[2]余修伟，高海霞.导数在高中数学解题中的运用分析[j].华章
[3]闰红梅.谈导数在高中数学解题中的应用[j].数学之友。
高中数学解题中的隐函数求导法的应用
高中数学解题中的隐函数求导法的应用隐函数求导法是高中数学中的一个重要概念，它在解决一些复杂的数学问题时起到了重要的作用。
本文将从三个方面介绍隐函数求导法在高中数学解题中的应用。
一、隐函数求导法的基本概念
隐函数求导法是指在一些函数关系中，如果无法直接求出某个函数的导数，可以通过对整个函数关系进行求导，从而得到该函数的导数。
例如，对于函数关系y^2=x^3+1，我们无法直接求出y关于x的导数，但是可以对整个函数关系进行求导，得到2ydy=3x^2dx，从而得到y关于x的导数dy/dx=3x^2/2y。
二、隐函数求导法在函数图像分析中的应用
在函数图像分析中，隐函数求导法可以帮助我们求出函数的极值、拐点等重要信息。
例如，对于函数关系y^2=x^3+1，我们可以通过求导得到dy/dx=3x^2/2y，从而得到函数的导数表达式。
通过对导数表达式进行分析，我们可以求出函数的极值、拐点等信息，从而更好地理解函数的性质。
三、隐函数求导法在物理问题中的应用
在物理问题中，隐函数求导法可以帮助我们求出物理量之间的关系。
例如，对于一个自由落体运动的物体，我们可以通过隐函数求导法求出物体的速度和加速度之间的关系。
具体来说，我们可以通过对物体的运动方程进行求导，得到物体的速度和加速度之间的关系式。
通过这个关系式，我们可以更好地理解自由落体运动的物理规律。
综上所述，隐函数求导法在高中数学解题中起到了重要的作用。
它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以帮助我们解决一些复杂的物理问题。
因此，我们应该认真学习隐函数求导法，并在实际解题中灵活运用。
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用在高中数学学习的过程中，我们必然会遇到三角函数的导数与微分的概念与应用。
接下来，本文将探讨三角函数导数与微分的基本概念，并以实际应用为例，展示三角函数在数学和物理领域中的重要作用。
一、三角函数与导数的关系1.1 正弦函数的导数我们先来讨论高中数学中最常用的三角函数之一，即正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，其中x 为自变量，y 为因变量。
根据导数定义，我们可得到：dy/dx = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)] / h应用三角函数的和差公式，上式可以变换为：dy/dx = lim(h→0) [2cos((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * 1/2化简得到：dy/dx = cos(x)由此可得正弦函数的导数为余弦函数。
1.2 余弦函数的导数同理，我们可以推导出余弦函数的导数。
设函数 y = cos(x)，则有：dy/dx = l im(h→0) [cos(x+h) - cos(x)] / h同样地，应用三角函数的和差公式有：dy/dx = lim(h→0) [-2sin((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * 1/2进一步简化可得：dy/dx = -sin(x)因此，余弦函数的导数为负的正弦函数。
二、三角函数导数的应用2.1 极值点与拐点通过求解三角函数的导数，我们可以找到函数的极值点和拐点。
以正弦函数为例，由之前的推导可知，其导数为：dy/dx = cos(x)当导数为零时，函数的斜率为零，即为可能的极值点。
考虑在区间[0, 2π]上的正弦函数，我们可以找到导数为零的点：cos(x) = 0解得x = π/2 和x = 3π/2。
论导数在高中数学中的应用
对 州
论导数在高中数学中的应用
周 萍
吉 林省德惠市德惠实验 中学 摘要 ： 在 高 中数 学中导数部分 的知识是相 当重要 的部分 ， （ 三） 利用导数求不等式 它是 高中数 学后继课程的基础也是 高考 中的热点 问题 ，蕴含 函数与不等式 的结合 出题是 高中数学 中比较常见 的 ， 这 着丰 富的数学思想 ， 在数 学解题 中的运 用广泛。 在 高中数 学中 种题型乍一看解决起来 比较 困难但是运用导数来解决就 比较 我们来看一个类型题。 引入导数增添 了高中数 学的活力 ，让数学题 目的解答 变得更 简单 ， 加灵活、 简单 。 本文主要 是对导数在 高 中数 学 中的应 用进行探 例： 对 于 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ｘ —ａ ） （ ｘ —ｂ ） ， 其中 Ｏ ＜ ａ ＜ ｂ ， 设ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ Ｓ ， ｘ ＝ ｔ 取 到极值， 其中 ｓ ＜ ｔ ， 求证： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 索， 希 望能够在 导数 的学习和使用 中起到一定的作用。 关键词 ： 高中数 学 导数 解题 证明： 首先求 ｆ （ ｘ ） 导数， 得： （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ —２ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ ＋ ａ ｂ 由ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ ８和 ｘ ＝ ｔ 取到极值 ， 知： ｓ ， ｔ 是 二次方程 ｆ ， （ ｘ ） ＝ Ｏ 导数 是新课 改下新增 的内容 ，这一 内容在高中数学 的比 的两实根， 重越来越 多 ，导数 在数学 中的引入加深 了学生对于 函数 的理 又： ｆ ｔ （ ０ ） ＝ ａ ｂ ＞ Ｏ ｆ （ ａ ） ＝ ａ 一ａ ｂ ＝ ａ （ ａ －ｂ ） ＜ ０ ｆ （ ａ ） ＝ ｂ 。 一ａ ｂ ＝ ｂ （ ｂ － １ ＞ ０ 解， 激发 了学生 的创新思维 ， 并且 能够 引导 学生将数学知识运 ａ 即ｆ ， （ ｘ ） 在区间 （ ０ ， ａ ） （ ａ ， ｂ ） 内分别有一个实根， 用到实际生 活中极大地激 发了学生对 于学习数学 的积极性 。 由ｓ ＜ ｔ ， ｓ ， ｔ 都是方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０的两实根， 得出： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 但是 对于初学 者来说 ， 导数的学习还是有一定 的难度 的 ， 所 以 二． 导数在 几何解题中的运用 必须 弄清导数 的定 义及其性质 ，并且慢慢地将 其运用到实际 解题 中去 ， 这样才能实现对导数的透彻理解。 在人教版高 中数 对 于一些几何 问题 的解决如果运用普通 的方法显得非 常 学中就有 “ 导数及其 运用 ” 一章 ， 在本文 中笔者 结合着课 本 内 麻 烦 ， 有时我们可以巧妙地运用导数来解决 。 我们 看下 面的一 容对 导数在高 中数学 中的运用进行一个新角度 的总结 。 个 例子 。 导数在代数解题中的运用 例： 用一条不限长度的钢丝 围成一个长方形 的框架 其长 、 （ 一） 小于等于 ８ ｍ） ， 那么 当其 长宽各 最 大面积是多少 ？ 在高 中数学 的学 习中会遇到判断 函数单调性 或是求 函数 为多少 时面积最大 ， 分析： 我们读 完题 目可 以看 出这是一个求最大值 的问题 ， 单调 区间的问题 ， 对于这个问题 利用导数 是特别容易解决 的， 正 如人教版高 中数学 中“ 导数及其 运用” 一章 中的“ 导数 在研 我们可 以将思维转 向函数 的导数上去解 决。 究 函数 中的应用 ” 一节就是运用导数 来解 决函数问题 的内容 ， 解： 设长方形 的宽 为 ｘ ｍ， 那么其长为 ２ ｘ ｍ ， 其中 ０ ＜ ｘ ≤８ ， 由 这是 因为 导数有这样 的性质 ， 对 于 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 某个 区间（ ａ ， 题 意可 得 ： ｂ ） 上， 如果 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ， 那 么函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单调 递增 长方形 的面积 Ｓ ＝ ２ ｘ ￣ ，ｓ ＝ ４ ｘ ，对 于 ｓ 来说 ， ｓ 始终都是大 的， 如果 ｆ ， （ ｘ ） ＜ ０ ， 那么 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单 调递减 的， 于 ０的，所 以函数 ｓ是一个单调递增 的函数所 以当 ｘ ＝ ８时面 如果 ｆ （ ｘ １ ＝ ０ ， 那么 函数 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 是 常数 函数 ， 根 据导数 的这一 性 积有最 大值 ， 即宽为 ８ ｍ， 长为 １ ６ ｍ ， 最大面积 为 １ ２ ８ ｍ 。 质， 对于函数单调性的求解 就非 常容 易了。 三． 导 数在高中数学应用中要注意的问题 在导数部分 的教学过程中 ，要 注意一些问题把握教学要 例： 对于函数 ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ求其单调区间。 分析 ： 对于这一道题 目， 我们观察发 现它 的最高次 幂是 ３ 求， 很好地抓住教学 的重难点 。 首先在导数的定义理解上要让 次， 直接运用函数图像 去观察函数 的单调 区间是十分 困难 的， 学生有一个详实 的了解 ， 明确导数 的涵义 ， 然后是对于导数 的 由于其是可导 的所 以我们就可 以运用导数的性质来求解。 各种性质 的学 习， 在导数 的运用 中都是利用导数 的性质 的 ， 所 以对 于导数 的各种性 质要让学生 “ 知其然知 其所 以然 ” ， 记牢 解： 函数 ｘ １ 的导数为 ｆ ＇ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ， 当ｆ ， （ ｘ ） ＞ Ｏ时 ， ｘ ＞ Ｏ或 ｘ ＜ 一 ２ ， 即 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ∞， 一 ２ ） ， （ ０ ， ＋ 这些性质并且理解这些性质 ， 最后就是运用导数进行解题 了 ， ∞） 上是单调递增 的； 运用导数去解题本身就是一种 比较便捷 的方法 ，在运用 的过 当ｆ （ ｘ ） ＜ ０时 ， 一 ２ ＜ ｘ ＜ Ｏ ， 即函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ２ ， ０ ） 上是 单调递减 程 中要避免学生又讲简单问题 复杂化 ，保证 学生能够巧妙地 运用导数来解题 。另外 ， 在导数知识 的学 习中 ， 要注意知识 的 的。 （ 二） 利 用 导 数 求 函数 的极 值 关联性与连续性 ， 学会让知识形成一个线形的系统。 在 高 中数 学 中还 经常 出现求 函数 在某 个 区间 的极 值 问 结语 ： 题 ，通过对导数的性质研究我们知道对于 函数 的导数在 区间 导数在高 中数学的地位重要 ， 由以上笔者 的分析 ， 可 以看 内如果两侧的符号不 同那么这个 函数在这个 区间上就存 在着 出运用导数可 以解决高中数学 中的许 多问题 ，这使原本枯燥 极大值或极小值 ，这就其实我们在求解 函数 的最值 时可 以通 的数学有 了乐趣 ， 原本 困难 的数学变得简单 ， 能够激发学生 的 过对于导数进行分析 。 学 习兴趣 ， 不失为一种不可多得 的数学学习方法。 例： 求 函数 ｆ （ ｘ ） 一ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ９ ｘ在单调区间【 １ ， ５ ］ 上的最大值 。 参考文献 ： ［ １ 】 常利军． 探析 导数在高 中数学 中的应用 叨． 语数外 学 分析 ： 这个题 目给出了函数解析式要求 区间上 的最大值 ， 我们根据函数导数的性质便 可以轻松 地计算 出其最 。 习． ２ ０ １ ３ （ ０ ５ ） ． ［ ２ 】 吴龙福． 例析 导数在 高 中数学题 目解答 中的典型性应 解： 函数 ｘ ） 的导数为 ｆ （ ｘ ） 一３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ９ ， 所 以在 区间（ 一 １ ， ３ ） 上是单调 递增 的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ； 在 区间（ 一 ｏ 。 ， 一 １ ） ， （ ３ ， ＋ 。 。 ） 上是单 用【 Ｊ ］ ． 数学大世界． ２ ０ １ ２ （ １ １ ） ． ［ ３ 】 漆建 哲． 导数在 高 中数学解题 中的应用分析 ［ Ｊ ］ ． 语数 调递减的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＜０ ， 所 以我们得 出， 对于区间［ １ ， ５ 】 在【 １ ， ３ 】 范 围 内ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ， 即是递增 的 ， 在［ ３ ， ５ 】 范 围内 ｆ （ ｘ ） ＜０ ， 即是递减 的 ， 所 外学习． ２ ０ １ ３ （ ０ ７ ） ． 以在 ｘ ＝ ３ 处取得最 大值 ， 即ｆ ３ ） ＝ ６ ３ 。
高中数学教学中导数的应用分析
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．
导数在高中数学解题中的应用实践研究
导数是高中数学教学的一个重要知识点，作为微积分知识的重要基础组成，导数的概念和相关方法是解决函数问题、曲线线性方程问题等数学问题的重要方法选择。
因此，虽然导数是选修教学的组成部分，但是导数在数学解题方面的效用是十分明显的，要加强导数相关知识的认识，并且将其有效的应用到各种相关数学问题的解决过程中。
一、导数相关概念知识的梳理导数是指当自变量的增量无限趋近于零的时候，因变量的增量与自变量增量之间的极限关系。
实质上，导数从根本上就是一个求极限的过程。
导数在高中数学问题解决过程中，主要应用在函数问题和实际问题解决方面。
高中数学教师在数学教学过程中要有意识的对学生的导数概念、知识和相关应用进行引导，即便在教材安排方面，导数的教学是被放在选修里面，但是导数在数学问题解决方面的重要应用应当引起教师和学生的特别关注。
二、导数在高中数学解题过程中的具体应用实践分析（一）导数在高中函数问题解决方面的应用分析函数问题是高中数学教学的重要问题，并且函数问题涉及的范围很广，出题的形式多样，是很多学生在高中数学学习方面遇到的困难知识点。
不同的函数问题涉及到的解决方法是多种多样的，但是导数在函数问题解决方面的应用无疑是为学生更好的解答函数问题提供了一种新的途径和方式，并且与其他解题方法相比，导数解答函数问题显得更加简单、便捷。
1、导数在函数最值问题的应用最值问题是高中函数问题最常见的内容之一，不论是在平时的练习还是在考试中，最值问题都是必然要考到的问题。
导数在解决函数最值方面能够提供相对便捷和简单的解题方式。
其中二次函数的最值问题是最典型的、最常见的函数最值问题，与利用数形结合的方式来解答最值的方式相比，导数方法显得更加便捷和有效。
下面以一道例题说明导数在最值问题解答中的应用。
题目：已知函数f（x）=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值为154，求a的值。
这是一道最值问题的变形，根本仍然是函数的最值问题。
如果利用图形结合或者是一元二次方程根的求解方式，这道题的解决是比较麻烦的。
导数在高中数学中的应用
导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组 李凤德[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用一、 知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。
纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。
内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。
今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。
复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。
二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ． ⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错． 例5(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-， 即211)22(x x x y -+=．(1)由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222．(2)若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则01111)(21>+=+-+='x x x x x f ． 得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立． 综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )． 又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语 A B C Dx 图1导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．。
高中数学一元函数的导数及其应用
高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。
本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。
1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。
导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。
而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。
2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。
在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。
3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。
4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。
总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。
导数在高中数学中的应用
Ｌ ． ５ 所以此切线的斜率为 ２ ’Ｙ ． ＮＮＮＮＮ￣ Ｎ ６ ） 和（ Ｘ ｏ ， Ｘ ｇ ） ， 所
，
４ ｘ＋４的极值．
３
【 解析 】先求导数，得 ’ ＝ｘ 一４．
以
。
一
’
令 ’ ＝Ｏ 得 ＝－ ２ｘ ｚ＝２ ・
‘ ． ．
４ ａ一１ ６， 即 ５≤ 口≤ ７．
’ ． ．
、
ａ 的 取 值 范 围 是『 ５ ， ７ ］ ・
方法提 升：利 用导数判断函数的单调性的步骤是 ： （ １ ）确定 ， （ ） 的定
例１ ． 求抛 物线
过点（ ， ６ ） 的 切线方 程
义域；（ ２ ） 求导数， （ ） ；（ ３ ） 在函 数厂 （ ） 的定义域内解不等式厂 （ ） ＞ － ０
２ ０ １ ４ 生 旦箜 塑（ 王） Ｑ ， 型！ ： （ ！ １ １教 技 巧
体验与惊喜，调动 学生学习积极性 ，活化课堂 ，使高三的复习课不再枯燥。 （ 三 ）注重交流，培养学生良好 的解题 习惯 。教师要经常与学生进行平 等交谈 ， 方式是可以多种多样的，比如从其爱好兴趣 开始 ，也可 以从其最近的 困 惑开始 ，了解其思想上、学习上存在的问题，帮助其分析原 因，制定学习计 划 ，清除紧张心理 ，适 当鼓励。尽量使其弃掉沉 重的思想包袱 ，轻松 自信地
投入到数学学习 中。
耜 国
特点，让他们对一些重要的数学思想方法 的运用进行模仿性 的学 习，熟练后 再进一步提高。 多讲通解通法和常用技巧 ， 注意速度训练， 分析问题 既要 “ 由 因导果 ”，也要 “ 执果索因”，暴露过程，激活思维；注重数形结合 ，适当 增加直观教学 ，训练作图能力，培养想象力；揭示实际问题的空间形式和数 量关系 ，培养 “ 建模 ”能力。 课堂教学 中对于学案的设计，一定要侧重于例题与练习相结合，即一例 练 ，以这样一种循序渐进的方法，逐步提 高文科生的数 学思维能力。 另外 ， 根据文科生不愿动笔 以及容易忘得 问题也应进行专项训练 ，例如复习知识点 的时候要经常 “ 回头 ”，鼓励学生多动笔多运算。 文科生数学的老大难问题 ，并不都在于学生本身，进入高中以后教材 的抽
导数在高中数学解题中的应用
导数在高中数学解题中的应用随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.一、利用导数求函数的最值求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间.又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1或2时，f（x）取得最大值2.二、利用导数判别函数的单调性函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.令f′（x）=0得x=1，又当x=0时导数不存在；以0和1为分界点将f（x）的定义域（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）.先将f（x）在各区间内单调增减性列表如下：由此可见，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）.三、用导数证明不等式利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.例3.当x∈（0，π）时，证明不等式sinx<x成立.证明：设f（x）=sinx-x，则有f′（x）=cosx-1由已知得x∈（0，π），则有f′（x）<0. .因为f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减，而f（0）=0，所以f（x）=sinx-x<f（0）=0，故当有x∈（0，π）时，sinx<x成立.一般的，证明f（x）<g（x），x∈（a，b），可以构造函数f（x）=f（x）-g（x），如果f′（x）<0，则f（x）在（a，b）上是减函数，同时若f （a）≤0，由减函数的定义可知，x∈（a，b）时，有f（x）<0，即证明了f（x）<g（x）.四、导数在求曲线的切线中的应用导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率.利用这个我们可以求出曲线的切线方程.例4.已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点p（2，-1）的曲线l的切线方程.解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，则当x=2时，y=a，y′=2.①当a=-1时，点p（2，-1）在曲线l上，故过点p的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，②当a≠-1时，点p不在l上，设曲线l过点p的切线的切点是（x0，y0），则切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点p（2，-1）在此切线方程上，所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.又y0=x20-2x0+a，则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，δ=16-4（3-a）=4（a+1），当a<-1时，δ<0，切线不存在.五、利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题.例5.求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）.（作者单位陕西省定边县职教中心）。
高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第3课时 导数
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1)求出函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f (x)的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用导数研究实际问题要先求定义域． ( ) (2)方程x e x＝2有两个不相等的实数根．( )(3)做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m ． ( ) [提示] (2)令y ＝x e x，，则y ′＝e x(x ＋1)．由于x ＞－1时，y ′＞0，x ＜－1时，y ′＜0.∴x ＝－1时y ＝x e x取到最小值－1e.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出y ＝x e x 与y ＝2只有一个交点，故方程只有一个解．(3)设底的边长为x m ，则高为256x 2.那么需材料的面积为x 2＋4x ×256x 2＝x 2＋4×256x.令y＝x 2＋4×256x ，∴y ′＝2x －4×256x2.令y ′＝0得x ＝8.又x ＞8时y ′＞0，x ＜8时y ′＜0，∴x ＝8时用料最省，这时高h ＝25682＝4(m)．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203 C ．－1 D ．－8C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [由题意得，y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 故当x ＝9时，y 取得极大值，也是最大值．]4．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 2＝2x 3－x 2，已知x ＞0，为使利润最大，应生产该产品________千台．6 [由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y ′＝36x －6x 2，由y ′＝36x －6x 2＝6x (6－x )＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)， 当x ∈(0，6)时，y ′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y ′＜0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数． 则当x ＝6时，y 有最大值．]利用导数研究函数的图象【例1】 函数y ＝x 3ex (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )B [法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x ex 2＝x 23－xex， 当x ＜3时，y ′＞0，当x ＞3时，y ′＜0， ∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B.]由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.[跟进训练]1．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )A [∵f (x )＝f (－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0⇒x ＝ln 2∈(0，1)，且f (ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴当x ＞0时，f (x )＞0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A.]用导数研究方程的根【例2】 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[思路探究] (1)对函数f (x )求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值； (2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k 的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx，由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x 轴的位置关系.或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题确定参数的取值范围.[跟进训练]2．若方程a x＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，求实数a 的取值范围．[解] 由a x＝x 知x ＞0，故x ·ln a －ln x ＝0⇒ln a ＝ln x x，令f (x )＝ln x x(x ＞0)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝1e ，即ln a ＜1e，即a ＜e 1e .画出函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与y ＝x 的图象(图略)，结合图象可知，若方程a x ＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，则a ＞1.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 1e .导数在生活实际问题中应用【例3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． [思路探究] (1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式． (2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．求解优化问题中的最小值问题的思路在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.[跟进训练]3．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水航行到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v ≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v ＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v 应为多少？[解] 设船每小时航行所需的燃料费为y 1元，比例系数为k (k ＞0)，则y 1＝kv 2.∵当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5，则y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.若v 0≥16，当v ∈(8，16)时，y ′＜0，y 为减函数；当v ∈(16，v 0]时，y ′＞0，y 为增函数．故当v ＝16千米/时时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v 0＜16，则v ∈(8，v 0]，且y ′＜0，y 在(8，v 0]上为减函数．故当v ＝v 0时，y 取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．角度2 利润最大、效率最高问题 [探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ [提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ [提示] (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路探究] (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值42↘由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．[跟进训练]4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时，y ′＜0，∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时， 该电子公司销售该配件的月平均利润最大．1．运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间．本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题．2．利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题． 解题的一般方法如下：(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；(2)若函数f (x )在定义域内只有一个极值点x 0，则不需与端点处函数值比较，f (x 0)即是所求的最大值或最小值．3．“恒成立”问题的解决往往要转化为函数的最值问题．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60 B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)，因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0， 此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )C[根据题意，f (x)为偶函数，则其导数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D.又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C.]3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A.]4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．40[由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝13x3－392x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]。