射影定理 直角三角形射影定1
直角三角形中的射影定理
2 B
B
CEF ∽ ECF BCA
1 B
CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138
没问题吧！
T2 T3
参考答案： 2.证明： ACB Rt CA 2 AD AB AC AD CDAB AC BC CD AB BC CD CA CD CB AD ACB 3.不能。只能证明 CDB ∽ 。
.
A
A’ N B
B’
直角三角形中的成比例线段
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’
B’
A’
B B’ l
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E CDAB 2 CD CE CA D DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CA CF CB CE CF
解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48, BC 48 4 3 cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
射影定理逆定理能证明直角三角形
射影定理是几何学中的一个重要定理，它规定：对于一个直线，若在该直线上有两点A和B，并且有一个平面，使得这两点都在平面内，那么这两点的连线在平面内的投影之间的距离与直线AB的距离之比相等。
逆定理是几何学中的另一个重要定理，它规定：对于一个直线，若在该直线上有两点A和B，并且有一个平面，使得这两点都在平面内，那么如果这两点的连线在平面内的投影之间的距离与直线AB的距离之比相等，则这两点一定在直线上。
射影定理和逆定理的结合可以用来证明直角三角形的性质。
例如，设三角形ABC中，点C在直线AB上，且AC⊥AB，则可以这样证明：
•设平面ACB与平面ABD垂直，则根据射影定理，AC在平面ABD 内的投影AD与AB的距离之比等于AC与AB的距离之比。
•因为AC⊥AB，所以AC与AB的距离之比等于1，所以AD与AB的距离之比也等于1。
•因此，根据逆定理，点D一定在直线AB上。
•因为点D在直线AB上，所以AC⊥BD。
•因为AC⊥BD，所以平面ACB和平面ABD垂直。
•因此，三角形ABC中的角C是直角。
总之，射影定理和逆定理可以用来证明直角三角形的性质。
11直角三角形的射影定理
1 2
证明：在△CDA和△BDC中，
∵点C在AB上的射影为D， ∴CD⊥AB ∴∠CDA＝∠BDC＝90° 又∵CD2＝AD ·DB ∴AD:CD＝CD:DB ∴△BCD∽△CAD ∴∠2＝∠3 在△ACD中，∵∠1＋∠3＝90° ∴∠1＋∠2＝90° 即∠ACB＝90° ∴△ABC是直角三角形
A
作业：
P26、2
不要忘了
哦！！
思考：如何用 勾股定理证明 射影定理？
C
具体题目运用：
BC BD AB AC BC AC 2 AD AB CD AB 2
2
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B
CD AD DB
根据应用选取相应的乘积式。
例1:如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D， 若AD=2,DB=8，求CD、AC和BC的长。
分析：利用射影定理和勾股定理
C
解:
∵∠ACB是半圆上的圆周角
O 8 B
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形 A 2D 又CD为斜边上的高，由射影定理可得 CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4 AC2＝AD·AB＝2×10＝20，解得AC＝2 5 BC2＝BD·AB＝8×10＝80，解得BC＝8 5
射影定理只能用在直角三角形中,且必须 有斜边上的高
（1）一锐角对应相等 （2）两直角边对应成比例
（3）斜边和一条直角边对应成比例
探究：如图，△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。
在这个图形中，由于线段AD与CD、BD与CD、BC与AC等相互 垂直。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ 提示：通过寻找图形中的相似三角形来探究这些线段间的关系 考察RT△ACD和RT△CBD ∵∠1＝90°－∠2， ∠B＝90°－∠2， ∴∠B＝∠1 ∴△ACD∽△CBD ∴AD:CD＝CD:BD 考察RT△BDC和RT△BCA ∵∠B是公共角 ∴BD:BC＝BC:AB ∴△BDC∽△BCA 即BC2 ＝BD ·AB （2）
直角三角形的射影定理 课件
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
射影定理的有关计算
[例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD， AC，BC的长．
[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用 勾股定理和射影定理．
[解] ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.
高中数学 直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4
又 CD 2 AD DB , AD : CD CD : DB
CDA ∽ BDC CAD BCD 在ACD中， CAD ACD 90 0 BCD ACD 90 0 BCD ACD ACB 90 0 ABC 是直角三角形
二、新课教学
1.想一想：
直角三角形的射影定理
2.射影的定义：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上 C .A 的影子应是什么？ 点A B （2）线段留在MN上的影子是什么？ M N D 点或线段 B A B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，A
B 之间的线段 AB 叫做线段AB在 l 垂足 A，
AC CD AD CD 2 BD AD ACD∽ CBD CB BD CD
ACBC CDAB
B D BC是BD,AB的比例中项； AC是AD,AB的比例中项； CD是BD,AD的比例中项。
用文字如何叙述？
AC 2 AD AB 2 CD AD DBA
2 2
2
利用勾股定理证明射影定理:
AB2 =(AD＋DB) 2 =AD 2＋2AD · DB ＋DB2 =(AC2-CD2)+ 2AD · DB +(BC2-CD2)=
C
AC2+BC2+2(AD · DB - CD2)
AB2 = AC2 ＋BC2 AD · DB - CD2 =0
A
D
B
CD2 = AD · DB
如图， ABC 中，C
C
90, CDAB.
由直角三角形相似的判定方法，得
ADC ∽ ACB
A
同理，得： D
△CDB
B
直角三角形射影定理证明及应用
直角三角形射影定理证明及应用1. 引言大家好，今天我们来聊聊一个数学界的小明星——直角三角形射影定理。
你可能会想，哎呀，数学又来了，肯定又是枯燥无味的公式和定理。
但你别急，这个定理其实相当有趣，涉及的内容不仅能帮助我们理解几何，还能在生活中找到它的影子，真的是个“躲在角落里的小聪明”。
想象一下，直角三角形就像我们的朋友，默默地在我们周围闪耀着智慧的光芒，今天就让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！2. 定理的基础知识2.1 什么是直角三角形？直角三角形，顾名思义，就是一个角是90度的三角形。
想象一下，一个三角形像个小房子，那个直角就像房子的墙壁，把它撑得稳稳的。
简单说，直角三角形的两条直角边和斜边之间的关系，可是有很多有趣的故事在这里面。
2.2 射影定理简介好啦，回到正题。
直角三角形射影定理，它是这样说的：如果你在直角三角形的一个直角边上做一个垂直的射线，这个射线会在另外一条直角边上落下一个点，那么这个点到直角边的距离，正好是三角形两边的长度的比例。
听起来复杂？其实就是告诉你，直角三角形的各种关系就像人际关系，彼此之间总是有着千丝万缕的联系！3. 定理的证明3.1 图示帮助理解来，我们画个图。
设想一个直角三角形ABC，角C是直角。
我们在边AB上做一条垂线，交AC于点D。
这个D点就像是那位“老实人”，在边AC和边AB之间来回穿梭，帮助我们找到更清晰的关系。
3.2 代数证明要证明这个定理，我们需要用到一点代数。
假设AB= c，BC = a，AC = b。
根据三角形的基本性质，我们可以运用三角函数来找出边的长度和比例。
我们可以通过简单的几何计算，得出AD和DB的长度，然后就能得出射影定理的结论。
哎呀，别担心，我不是在教你一堆复杂的公式，只是想让你知道，背后的逻辑其实蛮有趣的。
4. 应用场景4.1 日常生活中的应用这个射影定理可不止在数学课上用得上。
想象一下，你在公园散步，看到一个高大的树木。
你想知道树的高度，而你正好站在树的影子里。
直角三角形的射影定理
2 2
A
D
B
2
AC BC AD AB BD AB AB
由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理，过去我们 是用面积割补的方法证明勾股定理的.
射影定理只能用在直角三角形中， 强调：
且必须有斜边上的高，即双垂直。
例1 : 如图，圆O上一点C在直径AB
上的射影为D。AD = 2，DB = 8，求 CD、AC和BC的长。 解：因为∠ACB是半圆上的圆周角 所以∠ACB = 900，即△ABC是直角三角形 由射影定理可得：
C
答案：
(1) AC 20，BD 9， AD 16，CD 12
A D B
25 20 16 （2）BD=3，AB= ，AC ，AD 。 3 3 3
问题３：
在这六条线段的计算中根据不同的条件可以 选用射影定理或勾股定理来进行计算，那么在这 六条线段中已知任意两条线段是否能求出其余的 四条线段呢？有没有不能求出的？ 同学们仿照例1编出类似的小题，注意给出 的线段不能重复。 C
线段PQ在直线MN上的正射 影，是指线段的两个端点在这条 直线上的正射影间的线段，如右 图，线段AB是线段PQ在直线MN 上的正射影。
M
· P
· A
M
N Q
P
A
B
N
点和线段的正射影简称为射影．
各种线段在直线上的射影的情况： B A A B1 B1 A l A1
A1
l
A1
斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影。 BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A
D
B
问题１：
如图： △ABC是直角三角形，CD为斜边上的高。
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
[例2]
如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足．
求证：AF· AC＝BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再
在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
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03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
三角函数的射影定理
三角函数的射影定理介绍三角函数是数学中非常重要的概念之一，可以用来描述在直角三角形中角的关系。
而射影定理是三角函数中的一个重要定理，它给出了一个角的正弦，余弦和正切的定义。
射影定理的定义三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个三角函数：正弦、余弦和正切。
首先，我们考虑一个直角三角形ABC，假设∠ABC是直角：1.正弦（Sine）：正弦是一个角的对边与斜边的比值，记作sin(A) = a/c。
2.余弦（Cosine）：余弦是一个角的邻边与斜边的比值，记作cos(A) = b/c。
3.正切（Tangent）：正切是一个角的对边与邻边的比值，记作tan(A) = a/b。
三角函数的定义使我们可以通过三个已知量之间的关系来求解未知量，从而在数学和物理等领域中得到广泛应用。
射影定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以将任意一条边射影到另一条边上，从而得到新的长度。
射影定理描述了在任意三角形中，两个相似的三角形的对应边的比值相等。
具体而言，假设∠ABC和∠DEF是相似的角，∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
那么，射影定理给出了以下三个关系：1.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正切值相等：tan(∠ABC) =tan(∠DEF)。
2.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正弦值的比值等于两个对应边的比值：sin(∠ABC)/sin(∠DEF) = AB/DE。
3.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的余弦值的比值等于两个对应边的比值：cos(∠ABC)/cos(∠DEF) = AB/DE。
证明射影定理证明角的正切值相等首先，考虑∠ABC和∠DEF，假设∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
我们可以通过计算三角形ABC和三角形DEF的对应边的比值来证明角的正切值相等。
根据三角函数的定义，我们知道tan(∠ABC) = a/b，tan(∠DEF) = d/f。
根据相似三角形的性质，我们知道∠ABC和∠DEF是相似的，因此对应边的比值相等。
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射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠
BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如
下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
直角三角形射影定理
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
(5)(AB)^2/(BC)^2=
AD/CD
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)
：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD
即BD^2=AD·DC。
其余同理可得可证
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：
AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA
两式相加得：
AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .
即勾股定理。
注： AB^2的意思是AB的2次方
二，已知:三角形中角A=90度,AD是高.
用勾股证射影
∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,
∴
2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BC+BD)(BC-B
D)-CD^2=(BC+BD)CD-CD^2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD^2=BD×CD.
运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
编辑本段
证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。
所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。
在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。