第1章 计算方法误差
计算方法
计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。
已知时， 当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*| 已知时
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y的近似值哪一个精度高些? 的近似值哪一个精度高些? 解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
某个量的数学模型是sin 由泰勒展式 例 某个量的数学模型是 x,由泰勒展式
x x x sin x = x + +L , ∞ < x < +∞ 3! 5! 7!
sin x ≈ x x3 x5 x7 cos ξ 3 x + +L = 截断误差 sin x x = 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
少位有效数字？ 少位有效数字？ 解法1 解法 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。 位有效数字。
x = 0.312036 × 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 解法
所以x有5位有效数字。 位有效数字。
故n= 5,
1.2.3.4 算术运算的误差
1.2.2 误差的来源与分类
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
第一章_误差与范数
∧
Er ( x) ≤
∧
1 × 10 − ( n −1 ). 2 a1
反之，若 x 的相对误差限满足：
Er (x) ≤
∧
1 2 ( a 1 + 1)
× 10
− ( n −1)
,
则 x 至少具有 n 位有效数字。 ，相对误差限就越小 ，即近似数 的 可见有效数字的位数越多 有效数字的位数越多， 相对误差限就越小， 即近似数的 ，用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高 。 有效位数越多 有效位数越多， 用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高。 例 为使 20 的近似值的相对误差小于 1%,问至少应取几位 有效数字？ 解
∧
x−x
∧
x
≤δ ，
则称 δ 为近似值 x 的相对误差限，相对误差是无量纲的数，通常 用百分比表示，称为百分误差。 例 求 x = 3 .14 与 π 的相对误差限。 解 由于 3.1415 < π < 3.1416 ，因此
∧
∧
|
x− π
∧
|≤|
x
3.14 − 3.1416 |< 0.00051 3.14
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法
的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的 密切结合，重视 误差分析 、收敛性 及稳定性 的基本理论； 其次还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解 各种方法的异同及优缺点。
2
§1.1 误差的来源
在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作， 而影响精确度的因素是各种各样的误差， 它们可分为两大类：
有区别的，前者只有 3 位有效数字，而后者则具有 4 位有效数字。
∧ ∧
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
第一章 误差以及数据处理
D、Pka=1.80
11、对于系统误差的特性，下列说法不正确的是： （ D ）
A、具有可测性
C、具有重复性
B、具有单向性
D、具有随机性
12. 下列定义中不正确的是（ D ）
A、绝对误差是测量值与真实值之差；
B、相对误差是绝对误差在真实值中所占的百 分数；
C、偏差是指测定结果与平均结果之差； D、相对标准偏差是标准偏差与真实值之比。
2.3.2 减小随机误差 减小随机误差的方法：在保证精密度符合要 求的前提下，多次测定取平均值。 2.3.3 减小系统误差 1. 减小仪器误差：校准仪器；
2. 减小试剂误差：空白实验；
3.减小方法误差：对照实验，回收实验。
§2-4 有效数字及运算规则
2.4.1 有效数字 有效数字：实际能测量到的数字。规定只有最 后一位数字是估读的，如万分之一的分析天平读 数应记为3.2340g, 50mL滴定管体积读数应记为 18.10ml. 0.002013 (四位有效数字）， 2.10x108( 三位）
A、（19.05 ± 0.01）ml
C、（19.05 ± 0.02）ml
B、（19.15 ± 0.01）ml
D、（19.15 ± 0.02）ml
8、分析某一试样的含铁量，每次称取试样2.0g ， D 分析结果报告合理的是_____
A、0.03015 0.03020% B、0.0301% C、0.03% 0.03% D、0.030% 0.0298% 0.030%
相对误差 Er = (E/ μ) ×100%
误差有正负之分；正误差表示测 定结果偏高，负误差表示测定结果偏
低。误差越小，测定结果准确度越高。
误差是不可避免的
[例1] 利用差减法用万分之一分析天平称量两试样， 测得质量分别为0.0051g和5.1253g。计算两次称量 的相对误差。说明什么问题？ 解：
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
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3.1416 1 104
2
3.14159 1 105
2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。
(1) 模型误差
从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。
(2) 观测误差
一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
Get to class on time; Turn off your pager or
cellular phone during the class; Don’t talk during lecturing; Raise your hand if you have any questions.
x*x x
（1-6） （1-7）
为近似值x的相对误差限。 绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。
相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经 过四舍五入得到的近似值，问a ，b ，ex (a) ，ex (b) 各是多少？
解：凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值，
有了误差限，准确值x*的范围： x x* x （1-3）
此范围也可表示成：
x* x
（1-4）
1.2.2 相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称
ex
x x*
x*x x*
为近似值x的相对误差。
注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误
计算方法在科学计算中的地位：
实际问题
建立数学模型
计算方法
编写程序
上机计算结果
分析结果
显然，计算方法处于承上启下的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环。
第1章 误 差
1.1 误差的来源与分类 1.2 绝对误差与相对误差 1.3 有效数字与误差的关系 1.4*浮点数及其运算 1.5 误差危害的防止
(3) 截断误差
一般数学问题难以准确求解，往往要通过近似替代， 简化为较易求解的问题后再求解。这样引起的误差 称为截断误差或方法误差。
(4) 计算误差
计算机只能对有限位的数进行运算，一般数必须进 行舍入，此时产生的误差称为计算误差或舍入误差。
总之，计算结果的误差是上述四种误差累积影响的 误差。本课程不讨论数学模型的建立，所以只研究 截断误差和舍入误差对计算结果的影响。
左起第一位非零数字都称为有效数字。
定义： x为x*的近似数，将x写成： x (x1 101 x2 102 x3 103 xn 10n ) 10m （1-8）
x1, x2, x3,, xn 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9中的一个数，且： x1 0 ，n为正整数，m是 整数，且x的绝对误差限满足不等式：
其绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因 此：
a a*a 0.005 b b*b 0.00005
ex
(a)
0.005 2.18
0.23％
ex
(b)
0.00005 2.1200
0.0024％
1.3 有效数字与误差的关系
1.3.1 有效数字 当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则 取其前几位数字作为其近似值。
x * x 1 10mn 2
（1-9）
则称近似数x具有n位有效数字。
例2：e的近似数2.718按照(1-8)，写成：
2.718 (2101 7 102 1103 8104 ) 101
x 的大小显示出近似值x的准确程度，x 越小， x的准确度越高。
x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值。
实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对
误差 的准确值。给出一个正数 ，使得：
x | x | x*x
（1-2）
成立
叫做近似值x的绝对误差限，简称误差限，
或称“精度”。
1.2 绝对误差与相对误差
一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对误 差或有效数字来说明。
1.2.1 绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称x x*x 为近似值x的绝对误差，简称误差。
例：e取2.718Байду номын сангаас其绝对误差为
x e 2.718 0.0002818
差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误 差比绝对误差更为重要。
能由准于确求x得与。x*因都此不，能给准定确一求个得正，数相对，误使差得也不
| ex |
x*x x*
（1-5）
为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法
得到，因此：
ex
x x
x*x x
称ex为x的相对误差，同样： | ex |
IMPORTANT!!
Grading Policy
Total: 100
Attendance: 10 Homework: 20 Final exam: 70
KEYS TO SUCCESS IN THIS COURSE
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