3.5 勒让德函数
数学物理方法勒让德函数
⑸
1 d 1 d ( ) l (u 2 − 1) l |u = x = l ( ) l ( x 2 − 1) l 2 ⋅ l! du 2 ⋅ l! dx
l
⑹
即有展式系数： al(x)=Pl(x) # ⑺
4
l =0 l =0
∞
∞
⑶
比较两边 r 的系数： xPl(x)-Pl-1(x)= (l+1)Pl+1(x)-2xlPl(x)+(l-1)Pl-1(x) 整理，即有[1]式： （2l+1）xPl(x)=(l+1)Pl+1(x)+lPl-1(x) (l≥1) # ⑵ Pl(x)与其导数之间关系： Pl(x)= Pl+1’(x)-2xPl’(x)+Pl-1’(x) 证明：由生成函数，两边对 x 求导：
王瑞平：数理方法
第十二章第 1 节
二、 Pl(x)的生成函数和递推关系 各种特殊函数递推关系是进行运算的有力 工具，它的求解主要用到对应函数的母函数。 1、Pl(x)生成函数—母函数：考察在 z-轴单位长 度 a=1m 处，点电荷电量 q= 4πε0 在空间产生 的电势。它与φ角无关：
Ud =
1 1 = d 1 − 2r cos θ + r 2
2
l+1
(l≥1)
王瑞平：数理方法
第十二章第 1 节
对[1]式求导，由[2]式消去 Pl-1’(x)： （l+1）Pl(x)= Pl+1’(x)-xPl’(x) 由[2]、[3]式，消去 Pl+1’(x)： lPl(x)= xPl’(x)- Pl-1’(x) 由[3]、[4]式，消去 x Pl’(x)： （2l+1）Pl(x)= Pl+1’(x)- Pl-1’(x) [5] （对称导数） [4] （下阶导数） [3] (上阶导数)
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德函数
勒让德函数勒让德函数，又称为拉格朗日函数，是拉格朗日于1934年提出的一个经典函数，用来表示给定边界条件下的最优化问题，它对数学和最优化理论有着重要的意义。
一般地，勒让德函数是用来求解最优化问题的经典优化技术，它可以求解无约束优化问题和约束优化问题的最优解。
它的特点是可以将最优化问题转换为函数极小(或极大)的问题，这样就可以用微分技术来求解，要解最优化问题，就要根据勒让德函数的性质，求出满足约束条件的最优解是什么。
勒让德函数最早用来解决线性编程问题，但它也有广泛的应用，如基本组合优化(选择最优组合)、二次凸优化(使函数最小)等，甚至可以用来处理非线性函数最优化问题。
勒让德函数的结构如下：$$F(x)=f(x)+sum_{i=1}^n lambda_i g_i (x)$$其中，$f(x)$是待最优化的函数，$g_i(x)$是约束条件函数，$lambda_i$是拉格朗日乘子，用来控制约束条件。
当$f(x)$有最值，$g_i(x)$满足约束条件时，$lambda_i$可以确定使得$F(x)$取最值，从而可以求出最优解。
勒让德函数是一个功能强大的优化工具，因为它可以求解无约束优化问题和约束优化问题，它比较容易理解，也容易应用，所以它用来解决最优化问题的范围很广。
勒让德函数的应用很广泛，在很多领域都可以看到它的身影，如管理学、经济学、投资学、工程和科学等。
比如，在基于约束的投资组合的构建中，可以用勒让德函数来调整不同的投资组合，以获得最佳的投资组合；计算多晶物体的极限承载力时，勒让德函数可以帮助我们找到最佳的材料参数，以达到最大的承载力。
此外，勒让德函数也可以用来研究复杂系统的结构演化，研究复杂系统中复杂网络动力学机制等。
至此，可以看出勒让德函数是解决最优化问题的一个强大的优化技术。
它在实现经济效率、科学发展和科学研究等多个领域都有着重要的意义，是研究最优化理论的重要组成部分。
同时，它也为复杂系统的结构演化和复杂网络动力学机制等研究提供了重要的技术手段。
勒让德变换
勒让德变换武际可. §1 勒让德变换的提出法国数学家、天文学家勒让德（Legendre, Asrien-Marie ，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育。
18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩。
只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院。
1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革。
科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会。
委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过。
于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度。
勒让德参加了测量，并且是经度局的一名成员。
1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席。
他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造。
勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献。
1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。
勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。
不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。
勒让德变换是从以下偏微分方程出发的∂∂∂++=∂∂∂∂222220z z zR S T x x y y（1.1）其中若令,z zp q x y ∂∂==∂∂，再令R 、S 、T 仅是p,q 的函数。
令曲面(,)z f x y =的切平面为0px qy z v +--=， （1.2）则应当有222220v v v R S T q p q p∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.3） （1.2）式在变量x,y 与它们的对偶变量p,q 之间给了一个变换。
把这个变换具体写出来就是对它求微商得,;,v v zzp q x y x y p q ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （1.4）考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即222222p p zz x y x x y q q zz x y x y y ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，222222xy vv pp p p q xy vv q q p q q ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭于是有2222222222222222111,,,z v z v z vx q x y p q y p vv p p q v v p qq ∂∂∂∂∂∂==-=∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∂∂∂∂其中＝这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
勒让德函数母函数及其在静电场中的应用资料
勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用指导教师：娄宁二000级物理（1）班：洪世松勒让德多项式的母函数及其在静电场中的应用一. 勒让德多项式的母函数引入的必要性及引入方法 1. 勒让德多项式的母函数引入的必要性 ⑴.勒让德多项式的由来通过《高等代数》和《数学物理方法》课程的学习，我们知道勒让德多项式是在球坐标系下、满足边界条件()πθ,01=±=x 时求解拉普拉斯方程02=ψ∇时的解，在求解的过程中，根据对称性的不同，我们将所要研究的问题分三种情况进行考虑： 其一是所研究的问题不具有对称性。
拉普拉斯方程02=∇U 在这种情况下的解是缔合勒让德函数，其具体的表示形式为：()[]()()θθcos cos 12/2m l m l m P P x=-=Θ，其中m＝0、1、2、3，…，l 。
式中当m ＝0时，缔合勒让德多项式就简化为勒让德多项式()θcos l P 。
其二是所研究的问题具有轴对称性。
其解的形式为勒让德多项式的形式，即()θcos l P ＝()()()()kl l kl k x k l k l k k l 22/0!2!!2!221-=----∑，其中⎦⎤⎢⎣⎡2l 表示的是不超过2l 的最大整数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2l ＝r 的函数，而与θ无关，其解是勒让德多项式的最简形式，此时方程的解就可以直接写为：∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ01l l l ll r B r A ，其中l =0,1,2,……。
由上面三种情况分析可以看出，随着问题对称性的不同，求解问题的解也有所不同。
从无对称性到轴对称性再到球对称性，所研究问题也在逐渐简化，其解也由缔合勒让德函数简化为勒让德函数再简化为1。
⑵.对所研究问题的对称性的讨论以静电场为例，我们分析一下勒让德多项式所要求的轴对称性和根据坐标系的选择而确定的变量（r,θ）()θ,r E的要求。
在图一所示的物理情景中，求解位于某一匀强场中的导体球外任一点的电势Ψ，为使求解的问题简单化，我们可建立如图一所示的直角坐标系，这样求解的问题就具有轴对称性，所以由前面分析的第二种情况易写出空间各点的电势为：()θc o s 01l l l l l l P r B r A ∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ψ。
第 3 章 勒让德函数和贝塞尔函数及其应用
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2
令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n
第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ
勒让德公式
勒让德公式
在数学中，勒让德函数Pλ，Qλ和相关的勒让德函数Pλ，Qλ是勒让德多项式与非整数度的泛化。
[1]
微分方程
相关的勒让德函数是勒让德方程的解
其中复数λ和μ分别称为相关的勒让德函数的度数和顺序。
勒让德多项式是阶数μ= 0的勒让德函数。
这是一个具有三个常规奇异点（在1，-1和∞）的二阶线性方程。
像所有这样的等式，它可以通过变量的变化被转换为超几何微分方程，并且其解可以用超几何函数来表示。
[2]
公式
这些功能实际上可以用于一般复杂参数和参数：
分母中包含伽马函数，2F1是超几何函数。
二阶微分方程具有第二个解，其定义为Qμλ（z）。
勒让德P和Q函数之间有用的关系是Whipple的公式。
[3]
积分表
勒让德函数可以写成轮廓积分。
例如，
其中轮廓沿正方向绕着点1和z旋转，并且不绕-1。
对于真正的x，我们有 [4]。
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
第16讲球函数-勒让德函数
数学物理方法第十章球函数参考教材：梁昆淼《数学物理方法》（第四版）球函数♦轴对称问题和勒让德多项式♦转动对称问题和连带勒让德函数♦一般问题和球函数♦本章小结轴对称问题和勒让德多项式♦轴对称拉普拉斯方程的求解♦勒让德多项式♦勒让德多项式的母函数和递推公式♦勒让德多项式的性质♦勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解0=∆u 0)1()''(2=+−R l l R r 0)1('2"2=+−+R l l rR R rΘΘ=Θ++Θ有界)(),0(0sin )1()''(sin πθθl l±Θ=Θ++Θ−有界)1(0)1(]'')1[(2l l x θcos =x )(|θf u a r ==1−−+=l l l l rB r A R )(x P l =Θ∑∞==)(cos )(l l l P r R u θ∑∞==)(cos )()(l l l P a R f θθ勒让德多项式♦定义♦一般表示♦具体形式♦级数表示♦微分表示♦积分表示的本征函数有界刘问题—斯±Θ=Θ++Θ−)1(0)1(]'')1[(2l l x ∑−−−−−=kl l k l xk l k l k k l x P 2)!2()!(!2)!22()1()(l lll lx dx d l x P )1(!21)(2−=∫+−−=dz x z z i x P l lll 12)()1(2121)(π♦代数表达式♦图象勒让德多项式的代数表达式)92cos 204cos 35()33035()()cos 33cos 5()35()()12cos 3()13()(cos )(1)(6412481481321341221210++=+−=+=−=+=−====θθθθθθx x x P x x x P x x P x x P x P llll k l l kl x dxd l x k l k l k k l x P )1(!21)!2()!(!2)!22()1()(22−=−−−−=∑−勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象母函数和递推公式♦母函数–定义：u(x, r) =∑ P l (x) r l–形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2–推导–应用♦递推公式–基本递推公式–证明–应用母函数的推导∑∞=)(),(ll rx P r x u ∑∫∞+−−=12)()1(2121),(lCl l lrdz x z z i r x u π∑∫∞−−−=2)(2)1(21ll l l Cx z r z xz dz iπ)(2)1(11221x z r z Cxz dz i−−−∫−=πr z x z dziC)1()(21221−−−=∫π2211|11221r xr zri i z z +−=−=−=ππ)211(12r xr rz +−±=±奇点：母函数的应用2211)(),(r rx r x P r x u ll +−==∑∞1)1(11)1(),1(00=⇒=−==∑∑∞∞l l ll P r rr P r u ll l l ll P r rr P r u )1()1()1(11)1(),1(00−=−⇒−=+=−=−∑∑∞∞∑∑∞∞−−=+==22!)!2(!)!12()1(11)0(),0(kkll rk k rr P r u+===⇒−−12,02,)0(!)!2(!)!12()1(k l k l P k k l k 1!)!1(!!0)12(531!)!12()2(642!)!2(=−=−⋅⋅=−⋅⋅=k k k k基本递推公式)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+)(')()1()('1x xP x P k x P k k k ++=+)(')(')(1x P x xP x kP k k k −−=)()()(')1(12x kP x kxP x P x k k k −−=−0)(0=<x P k递推公式的证明20211)(),(rrx r x P r x u ll +−==∑∞2/3201)21()(),(r rx r x rl x P r x u l l r +−−==∑∞−∑∑∞−∞+−=+−+−−=−0122/3220)()21()21()21)()()(l l ll r l x P r rx r rx r rx r x r x P r x （[][]∑∑∞+−∞++−=−01112l l l l l ll l llr P l r lxP rP l rP rxP 111)1(2)1(−+−−+−+=−k k k k k P k kxP P k P xP 0)12()1(11=++−+−+k k k P k xP k P k递推公式的应用)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+xx xP x P k =−=⇒=0)()(00113)()(3)(212012−=−=⇒=x x P x xP x P k x x x P x xP x P k 293215123)(2)(5)(32−=−=⇒=勒让德多项式的性质♦奇偶性P l(-x) = (-1)l P l(x)♦零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
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N
2 1 n
1
2 称为勒让德多项式的模值。 P ( x)dx 2n 1
{Pn ( x)}0 是一个正交的函数系. n
4 函数展开成 勒让德多项式的级数
展开定理 设f ( x )为[-1,1]上具有一阶连续导数 及分段连续的二阶导数，且f ( －1)＝－1, f ( 1 )＝1， 则f ( x )可展开成
Ql ( x) 称为第二类Legendre函数，它在[ -1，1 ]上
仍是无界的.
| x|1
lim | Ql ( x) |
4 函数展开成Legendre多项式的级数
4 函数展开成勒让德多项式的级数
1. 勒让德多项式的正交性
mn 0, 1 1 Pm ( x) Pn ( x)dx 2 , m n 2n 1
4n 1 1 C2 n 1 f ( x) P2n ( x)dx 2 1 4n 1 0 1 xP2n ( x)dx 0 xP2n ( x)dx 2 1 4n 1 0 1 d 2n 2 1 d 2n 2 2n 2n ( x 1) dx x 2 n ( x 1) dx 1 x 2 n 2n 2n 0 2 2 (2n )! dx 2 (2n )! dx
1 勒让德方程的引出
引入参数 n n 1 分解整理得
d 2R dR 2 r 2r n n 1 R 0 2 dr dr
欧拉型方程
1 d d 1 d 2 sin d sin 2 2 n n 1 0 sin d
" 0 2
解之可确定本征值 m 2 , m 0,1, 和相应的本征函数 A cos m B sin m
1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2 d m2 cot n n 1 0 2 2 d d sin
(2n 2k )! (1) n x n2k 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
3 勒让德多项式
n为正奇数时，将这些系数代入到 y2 ( x) 中得到
(2n 2k )! y2 ( x ) ( 1) n x n 2 k 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 1 2
这两个多项式可以统一写成
(2n 2k )! Pn ( x) (1) n x n2 k , n 0,1, 2, 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
n 阶勒让德多项式
3 勒让德多项式
0～4阶Legendre多项式为
( k c 2)( k c 1)ak 2 [( k c )( k c 1) n( n 1)]ak 0 ( k c )( k c 1)ak x k c 2 0 (k＋c )(k c 1) n(n 1) k 0 ak 2 ak ( k＋c 1)( k c 2)
( 1)n 1
(4n 1)(2n 2)! 22 n (n 1)!( n 1)!
从而
1 (1)n1 (4n 1)(2n 2)! | x| P2n ( x) 2n 2 n1 2 (n 1)!(n 1)!
4 函数展开成勒让德多项式的级数
例 2 求证勒让德多项式的递推公式
Laplace方程的表达式为
1 2 u 1 u 1 2u r r r 2 sin sin r 2 sin 2 2 0 2 r r
1 勒让德方程的引出
令 u r , , R r 代入上式得
f ( x) Cn Pn ( x)
n 0
其中
2n 1 1 Cn 1 f ( x) Pn ( x)dx, n 0,1, 2, 2
上式称为f ( x )的傅立叶－勒让德级数，简称F－L级数。
4 函数展开成勒让德多项式的级数
例1 将函数f ( x )＝|x|在区间（－1，1）内展成 勒让德多项式的级数。 解 因f ( x )在区间（－1，1）内是偶函数，而
引入参数 分解可得两个常微分方程
" 0
d d sin sin n n 1 sin 2 0 d d
1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成特征值问题
(2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2) (l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
2
勒让德方程的求解
y( x) a0 y1 ( x) a1 y2 ( x)
其中
n(n 1) 2 n(n 2)(n 1)(n 3) 4 y1 1 x x 2! 4! (2k 2 n)(2k 4 n) ( n)(n 1) (n 2k 1) 2 k x (2k )! (n 1)(n 2) 3 (n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 y2 x x x 3! 5! (2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k ) 2 k 1 x (2k 1)!
(2n)! 当为整数时,取 an n 2 时, y1 ( x), y2 ( x) 2 (n !)
中总有一个是勒让德多项式，在[ －1，1 ]上有界， 这时另一个函数仍是无穷级数，记作 Ql ( x)
3 勒让德多项式
此时Legendre方程的通解为
y( x) C1P ( x) C2Ql ( x) l
球函数方程
欧拉方程通解
R( r ) A1r n A2r ( n1)
A1 , A2 为任意常数。
1 勒让德方程的引出
求函数方程两端同时乘以 sin 2 并移项得
sin d d 1 d 2 sin n n 1 sin 2 d d d 2
P0 ( x) 1 P ( x) x 1 1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x) 2 1 P4 ( x ) (35 x 4 30 x 2 3) 8
3 勒让德多项式
勒让德多项式的微分表达式 1 dn 2 Pn ( x) n ( x 1)n , n 0,1, 2, 2 n ! dx n 多项式的Rodrigues表达式
3.5 Legendre函数
Legendre方程的引出 Legendre方程的求解 Legendre多项式 函数展开成Legendre多项式的级数
1 Legendre方程的引出
1 勒让德方程的引出
在球坐标系下
x r sin cos y r sin sin z r cos ( 0 r , 0 π, 0 2 π)
令 x cos ，并记 P ( x ) (cos )
1 x2
d 2P dP m2 2x n n 1 P0 2 2 dx dx 1 x
连带的勒让德方程
1 勒让德方程的引出
m=0时
1 x2
d 2P dP 2x n n 1 P 0 2 dx dx
P n1 ( x) 是x的奇函数，故 C2n1 0,(n 0,1, 2,) 2
下面计算 C2n 0,(n 0,1, 2,)
1 1 1 0 1 1 1 C0 f ( x)dx xdx xdx 2 1 2 1 2 0 2
4 函数展开成勒让德多项式的级数
k 0
2பைடு நூலகம்
勒让德方程的求解
c =0时
递推公式 ak 2
( k n)( k n 1) ak ( k 2) ( k 1)
依此可得（下面 l=n）
l (l 1) a2 a0 2! (2 l )(l 3) (2 l )( l )(l 1)( l 3) a4 a2 a0 43 4!
勒让德方程
2 Legendre方程的求解
2
勒让德方程的求解
整理 考虑勒让德方程 c 2 c ( c 1)a0 x 2 c ( c 1)a1 x c 1 dy 2 d y 1 x 2 x n n 1 y 0 2 2)( 1 {[( k c dx k c dx)ak 2 令 k 0 y[() x c)( k 0 a1 x) a2( n 1)]a axxkc ( x k c a c 1 nx2 } k k 0 k 比较可得 将其代入勒让德方程，得 c 0或＝1 c ( c 1)a0 0 [( k c )( k 或＝－1 1)]ak x k c c c 0 1) n( n c ( c 1)a1 0
3 Legendre多项式
3 勒让德多项式
将2中的递推公式写成
(k 2) (k 1) ak ak 2 (n k )(k n 1)
可以将其它系数一一推算出来，即 n(n 1) an2 an 2(2n 1)
an4 (n 2)(n 3) n(n 1)(n 2)(n 3) an 2 an 4(2n 3) 2 4(2n 1)(2n 3) (2n)! an n 2 ( n !) 2 (2n 2)! an2 n 2 (n 1)!(n 2)!
(2k 2 l )(2k 4 l ) (l )(l 1)(l 2k 1) a2 k a0 (2k )!