【数学】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三第三次联考试题(理)(附答案)

山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三第三次联考试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数21i+ 对应的点与原点的距离是( )A. 1B.C.2D. 2．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22a b<”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( ) A ．若βα//，α⊂l ,则β//l B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m 4．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为( ) A. 212x y = B.212y x = C.24x y = D.26x y = 5．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =( )A ．2B ．39- C ．3 D ．3或3-6．若0,0a b >>，则不等式1a b x-<<等价于( ) A ．10x a -<<或10x b << B ．11x b a-<<俯视图C ．1x b <-或1x a > D ．1x a <-或1x b> 7．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率( ) A ．4 B ．41C ．－4D ．－14 8. 某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其 大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工 作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）( )A. 240000cmB. 240800cmC. 21600(22cmD. 241600cm9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()(1,a b =-= ，则a b ⨯=( )AB ．2C ．D ．410．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为( ) A ．14 B ． 58 C ． 12 D ． 38二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， 已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同 学的座位号应该是． 12．右图是一程序框图，则其输出结果为．13．路灯距地面为6m ，一个身高为1.6m 的人以1.2m/s 的速度从路灯的正 底下，沿某直线离开路灯，那么人影长度S (m)与人从路灯的正底下离开路 灯的时间t ()s 的关系为，人影长度的变化速度v 为（m/s ）． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）ABC DA 1P14．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)与直线x a =有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是_________________.15.（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB =OB =2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC =， CD = .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知：函数()cos )f x x x -． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．17．（本小题满分13分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 上的动点．（1）试求四棱锥1111P A BC D -体积的最大值；（2）试判断不论点P 在1AD 上的任何位置，是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？并证明你的结论.18．（本小题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6 六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A ,C 上顶点为B ，过F ,B ,C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ． (1) 若FC 是圆P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若圆P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20.（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=- ，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥ ，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，且1()()()0n n n n a a g a f a +-+=．（1）试探究数列{1}n a -是否是等比数列？（2）试证明11nii an =≥+∑；（3）设13()()n n n b f a g a +=-，试探究数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．参考答案一．选择题：1-10、BACAC DADBC 解析：1.211i i =-+，复数 21i+ 对应的点为()1,1- B.2．33log log a b >11()()22a b a b ⇒>⇒<，但11()()22a b<⇒/33log log a b >.故选A.4．把直线1y =-向下平移二个单位，则点P 到直线3y =-的距离就相等了，故点P 的轨迹为抛物线，它的方程为212x y =，选A ．5．依题意知，()012f b =+=-，3b =-，又()2230f a =-=，a =()3xf x =-，()33f =，故选C.6．当0x >时，1a b x -<<等价于1x b >，当0x <时，1a b x -<<等价于1x a<-，故选D.7．∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，33222,11a a ==， ∴43443PQ a a k -==-，故选A. 8．由三视图知该工作台是棱长为80cm 的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合 板，如右图示，则用去的合板的面积226808020241600S cm =⨯+⨯⨯=故选D ．9．12,cos sin 2a b a b θθ==⋅=-∴==∴= ，12222a b ∴⨯=⨯⨯= ，故选B.10．由(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩，可得：2820b c b c +≤⎧⎨-≥⎩知满足事件A 的区域的面积1()1682S a =⨯=，而满足所有条件的区域Ω的面积：16)(=ΩS 得：()81()()162S a P A S ===Ω，故选C ． 二．填空题： 11. 18;12.511;13.2455;14.01a <≤；15.解析：11．按系统抽样的方法，样本中4位学生的座位号应成等差数列，将4位学生的座位号按从小到大排列，显然6，30不可能相邻，也就是中间插有另一位同学，其座位号为（6＋30）÷2＝18，故另一位同学的座位号为18． 12．1111133557911S =++++⨯⨯⨯⨯ 11111112335911⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115121111⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 13．设人经过时间t s 后到达点B ,这时影长为AB =S ，如图由平几的知识可得1.61.26S t S =+， 1.6 1.26 1.6S t ⨯=-=2455t ，由导数的意义知人影长度 的变化速度v ＝ 1.6 1.224'()6 1.655S t ⨯==-（m/s ）14．曲线sin (11cos 222y x θθθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数)为抛物线段2(01)y x x =≤≤ 借助图形直观易得01a <≤15.由切割线定理得212PC PB PA =⋅=,PC ∴=连结OC，则12OC OP =,30P ∴∠=,12CD PC ∴==三．解答题：16.解：（1）()cos )f x x x =-2(sin cos 22x x =⋅-⋅2sin()4x π=----3分∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤.--------------------------------------5分 （2）解法1：依题意得：62sin(),45πα-=3sin(),45πα-=---------------------------6分 ∵3.44ππα<<∴0,42ππα<-<∴cos()4πα-45==-----------------------------------------8分 ()4f πα+＝2sin[()]44ππα-+∵sin[()]sin()cos cos()sin 444444ππππππααα-+=-+-＝34()25510+= ∴()4f πα+＝5------------------------------------------------------------------------------13分 解法2：依题意得： 3sin(),45πα-=得sin cos 5αα-=----①-----------7分 ∵3.44ππα<<∴0,42ππα<-<∴cos()4πα-45==---------------------------------9分由cos()4πα-＝45得sin cos 5αα+=-----------②----------------10分①+②得2sin 5α=()4f πα+＝5-------------------------13分解法3：由3sin()45πα-=得sin cos αα-=，--------------------7分 两边平方得181sin 225α-=，7sin 225α=，--------------------------9分 ∵3.44ππα<<∴3222ππα<<由7sin 225α=0>知22παπ<<∴24cos 225α==---------------------------------------11分由2cos 212sin αα=-，得21cos 249sin 250αα-==∴sin 10α=∴()4f πα+＝5．---------------------------------13分17．解：（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体 ∴侧面11AA D ⊥底面1111A B C D∴四棱锥1111P A BC D -的高为点P 到平面1111A B C D 的距离---------------------2分 当点P 与点A 重合时，四棱锥1111P A BC D -的高取得最大值，这时四棱锥1111P A BC D -体积最大----------------------------------------------------------------------------------------------------3分在11Rt AA D △中∵1160AD A ∠=∴11sin60AA AD ==，------------- 4分111cos602A D AD == ---------------------------------------------------5分∴11111111max 11()3P A B C D A B C D V S AA -=⋅= 分 （2）不论点P 在1AD 上的任何位置，都有平面11B PA 垂直于平面11AA D .-------8分 证明如下：由题意知，1111B A A D ⊥，111B A A A ⊥ 又1111AA A D A = 11B A ∴⊥平面11AA D又11A B ⊂平面11B PA ∴平面11B PA ⊥平面11AA D ．------------------- 13分 18．解：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A 包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的 结果，故5()36P A =----------------------------6分 （2）这种游戏规则是公平的.----------------------------------------------------------------------------7分 设甲胜为事件B,乙胜为事件C ，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) 所以甲胜的概率181()362P B ==,乙胜的概率11()122P C =-=＝()P B ---11分 所以这种游戏规则是公平的----------12分19．解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ， 设F 的坐标为(,0)c -，∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥ ∵,BC BF b k b k c =-=∴1bb c-⋅=- -------------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-=-------------------------------------------------3分解得c =-----------------------------------------------------------------------5分 ∴椭圆的离心率c e a ==分 （2）∵P 过点F ,B ,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线 上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------①-----------------------------------7分 ∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------②---------------------9分 由①②得21,22c b c x y b --==，即21,22c b cm n b --==--------------------11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b cb--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c =--------------------------------------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=------------------------------------------------------------------14分20.解：（1）当||2x <时，由a b ⊥ 得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------------------------2分 当||2x ≥时，由//a b.得23xy x =----------------------------------------4分 ∴323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或---------------------------5分（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0,解得(1,0)(0,1)x ∈- ，-------------6分当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>--------------------------------8分 ∴函数()f x 的单调减区间为（-1，0）和（0，1）----------------------------------9分（3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-，也就是23xm x ≥-对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ 恒成立，-------------------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴函数()f x 在(-,-2]∞和[2,+)∞都单调递增-----------------------------------------------12分又2(2)234f --==-，2(2)234f ==-- 当2x ≤-时2()03xf x x =>-，∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤ 同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞ ， ()f x 取得最大值2；∴实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------------------------------------------------14分 21．解：（1）由1()()()0n n n n a a g a f a +-+=得214()(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=1(1)(441)0n n n n a a a a +--+-=∴10n a -=或14410n n n a a a +-+-=--------------------------------------2分 ∵12a =，∴10n a -=不合舍去-------------------------------------------3分 由14410n n n a a a +-+-=得1431n n a a +=+方法1：由1431n n a a +=+得131(1)4n n a a +-=- ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列----------------------5分〔方法2：由1431n n a a +=+得13144n n a a +=+当2n ≥时13144n n a a -=+∴1113111344114n n n n a a a a ---+--==--（2n ≥） ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列〕 （2）证明：由（1）知数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+--------------------------------------7分∴2113331()()444nn i i a n -==+++++∑ ＝3[1()]344[1()]3414n n n n -+=-+-------------9分 ∵对,n N *∀∈有33()44n ≤，∴3311()1444n -≥-=∴34[1()]14nn n -+≥+，即11ni i a n =≥+∑-----------------------------10分（3）由13()()n n n b f a g a +=-得213(1)4(1)n n n b a a +=---∴12333[()]4()44n n n b -=-＝121333{[()]()}44n n ---------------------------------11分 令13()4n u -=，则01u <≤，23()n b u u =-＝2113[()]24u -- ∵函数2113[()]24n b u =--在1[,1]2上为增函数，在1(0,)2上为减函数-------------------12分当1n =时1u =，当2n =时34u =，当3n =时，239()416u ==，当4n =时2764u =，∵2764<19312164<<<，且12719||||264216->- ∴当3n =时,n b 有最小值，即数列{}n b 有最小项，最小项为23991893[()]1616256b =-=---------------------------------------------------------13分当1n =即1u =时，n b 有最大值，即数列{}n b 有最大项， 最大项为13(11)0b =-=--14分。