山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考 数学理试题
山西省忻州一中2015届高三上学期期中考试数学理试题
xy OAC y x =2y x =(1,1)B忻州一中2014−2015学年度第一学期期中考试高三 数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集U=R ，集合A={x ︱y=log 2(-x 2+2x)}，B={y ︱y≥1}，则A∩(C U B)（ ）A ．｛x ︱0<x<1｝B ．｛x ︱x<0｝C ．｛x ︱x>2｝D ．｛x ︱1<x<2｝2．在复平面内，复数z满足(1)1z i +=，则z 的共轭复数．．．．对应的点位于 （ ） A ．第一象限 Ｂ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ．第四象限3．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f(2-x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是( )A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．在∆ABC 中，“AB →·BC →>0”是“∆ABC 是钝角三角形”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A ．108cm 3 B ．92cm 3 C ．84cm 3 D ．100 cm 36．已知锐角α,β满足：sin α-cos α= 16,tan α+tan β+3 tan α·tan β=3，则α,β的大小关系是 （ ） A ．α<β B ．α>β C ．π4<α<β D ．π4<β<α7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M(x,y)，则点M 取自阴影部分的概率为 ( )A ．12 B ．13 C ．14 D．168．如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -= ( ) A ．-1 B．CD ．19．已知f(x)= 2x-b(x-1)2无极值，则b 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n的取值范围是 ( ) A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞∞C．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞11．已知f(x)=x 2-2x,g(x)=ax+2(a>0)，对10[1,2],[1,2],x x ∀∈-∃∈-g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．[3,)+∞D ．(0,3]12．设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f '(x)，且有2f(x)+xf '(x)>x 2，则不等式(x+2014)2f(x+2014)-4f(-2)>0的解集为 ( )A ．(-∞,-2012)B ．(-2012,0)C ．(-∞,-2016)D ．(-2016,0)OB二、填空题（每小题5分，共20分） 13．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为x 1,x 2,…x n ，则左图所示的程序框图输出的s 表示的样本的数字特征是 .14．已知变量x ，y 满足24010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则y x 的最大值是 .15．若数列{}n a 满足111(,)n nd n N d a a *--=∈为常数，则称数列{}n a 为调和数列。
2015年山西省忻州一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是．15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=．16．（5分）函数f（x）=的值域是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知，，函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的值域．18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣）=cosC（Ⅰ）求的值；．（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由A中y=log2（﹣x2+2x），得到﹣x2+2x＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，∵B={y|y≥1}，全集U=R，∴∁U B={y|y＜1}，则A∩∁U B={x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z（1+i）=1+i，∴z（1+i）（1﹣i）=（1+i）（1﹣i），∴2z=（）+（）i，∴z=+i．复数z的共轭复数为：（，﹣）．在第四象限．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选：D．4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选：A．5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．6．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α【解答】解：∵sinα﹣cosα=＞0，即sinα＞cosα，tanα＞1，∴α＞，∵tanα+tanβ+tanα•tanβ=，即tanα+tanβ=（1﹣tanα•tanβ），∴tan（α+β）==，∵α，β为锐角，∴α+β=，即﹣β＞，β＜，则α＞β．故选：B．7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选：B．8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【解答】解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣2sin=﹣1．故选：A．9．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵f′（x）==，∴若函数f（x）=无极值，则1﹣b=﹣1，∴b=2．故选：B．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【解答】解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，即[xf（x）]′＜x＜0，令F（x）=xf（x），则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（﹣2）=（﹣2）f（﹣2），F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，∴x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是平均数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算依次输入的n个数a1，a2，…，a n的算术平均数，即S=，根据统计中的定义，样本数据的算术平均数所表示的样本的数字特征为样本平均数．故答案为：平均数．14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是1．【解答】解：由题意作出其平面区域：可看成阴影内的点与原点连线的斜率，故过点A（2，2）时，有最大值，最大值为=1．故答案为：1．15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=20．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故答案为20．16．（5分）函数f（x）=的值域是[﹣，] ．【解答】解：f（x）=，令x+1=z，则y=，即yz2﹣z+y=0有根，则y=0或，解得，﹣y．故答案为：[﹣，]．三、解答题（共70分）17．（10分）已知，，函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）．=．所以f（x）的最小正周期为π．（2）∵．∴∴，即f（x）的值域为18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣）=cosC（Ⅰ）求的值；．（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵sin（C﹣）=sinCcos﹣cosCsin=cosC，∴sinC=cosC，即tanC=，又C为三角形内角，∴C=，∵c=2，∴由正弦定理得====，∴a=sinA，b=sinB，则==；（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，∴（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得：ab=4或ab=﹣1（舍去），=absinC=×4×=．则S△ABC20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，由余弦定理可知：BD2=CD2+CB2﹣2CD•CB•cos（1800﹣∠DAB）=3CD2，即，…（2分）在△ABD中，∠DAB=60°，，则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC…（4分）又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，则，建立如图所示的空间直角坐标系，，…（9分）向量为平面BDC的一个法向量．设向量为平面BDE的法向量，则，即，取y=1，则，则为平面BDE的一个法向量．…（10分），而二面角E﹣BD﹣C的平面角为锐角，则二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1．又点（1，）在椭圆上，可得b=1．则所求椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=，椭圆右焦点为（，0）．则直线AB的方程为y=k（x﹣）．由可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0．由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+3]=．所以=x1x2+y1y2=．由=0，即=0，可得k2=，即k=．所以直线l的方程为y=（x﹣）．22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．【解答】解：（I）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．则f′（x）=x﹣≥0在（1，+∞）上恒成立，即：a≤x2在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．（II）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；当a＜0时，f′（x）=x﹣＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵f（1）=＞0，f（）=，所以方程有惟一解．当a＞0时，f′（x）=x﹣=因为当x时，f′（x）＞0，f（x）在内为减函数；当x时，f（x）在内为增函数．所以当x=时，有极小值即为最小值f（）=．当a∈（0，e）时，f（）=＞0，此方程无解；当a=e时，f（）==0此方程有惟一解x=．当a∈（e，+∞）时，f（）=＜0因为f（1）=＞0且1，所以方程f（x）=0在区间（0，）上有惟一解，因为当x＞1时，（x﹣lnx）′＞0，则函数y=x﹣lnx在（1，+∞）上单调递增，∴x﹣lnx＞1﹣ln1=1，即x﹣lnx＞1，所以x＞lnx，f（x）=＞，因为2a＞＞1，所以f（x）=0，所以方程f （x ）=0在区间（，+∞）上有惟一解．所以方程f （x ）=0在区间（e ，+∞）上有两解．综上所述：当a ∈[0，e ）时，方程无解；当a ＜0或a=e 时，方程有惟一解； 当a ＞e 时方程有两解．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数第21页（共21页）。
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
忻州市第一中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M={y ∈R ∣y=x 2}，N={x ∈R ∣x 2+ y 2=2}，则M ∩N = ( )A ．{(-1,1),(1,1)}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2]2．复数2+ i 的实部与复数1-2i 的虚部的和为 （ ）A ．0B ．2-2iC ．3-iD ．1+3i3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n 的最小值，则输出框中应填 （ ）A ．iB ．i+1C ．i -1D ．n4．已知x 与y 之间的一组数据： 得关于y 与x 的线性回归方程为y^＝2.1x ＋0.85，已求则m 的值为 （ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.55．已知对于正项数列{a n }满足a m+n =a m a n (m,n ∈N *)，若a 2=9，则log 3a 1+log 3a 2+……+ log 3a 12 = （ ）A ．40B ．66C ．78D ．1566．函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为 （ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．-π47．设a>0，b>1，若a+b=2，则2a +1b-1的最小值为 （ ）A ．3+2 2B ．6 C. 4 2 D. 2 28．函数f(x)＝sinxcosxx 2+1的图象大致为 （ ）9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →+AB →+AC →=0→，则向量CA → 在CB →方向上的投影为 （ ）A ． 3B ．3C ． - 3D ． -310．已知点P(x ，y)在直线x+2y=3上移动，当2x +4y 取最小值时，过点P(x ，y)引圆C ：(x-12)2+(y+54)2=1的切线，则此切线长等于 （ ）A ．1 B. 2 C. 3 D ．211．已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 212．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2x+a x>02x +a x ≤0，若函数y=f(x)+x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (-∞,-1]B. (-∞,-1)C. (-1,+∞)D. [-1,+∞)二、填空题（每小题5分，共20分）13．(x+12展开式中有理项共有 项．14．已知tanα=13，tanβ=﹣17，且0＜α＜π2，π2＜β＜π，则2α﹣β的值 ．15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.16．已知函数f(x)＝x 3＋sinx ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知A,B 分别在射线23π，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、 （1）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2 （2）若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC 并求周长的最大值．18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；2 222 正视图 侧视图 俯视图②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E14AA =。
山西省忻州一中等2014届高三第一次四校联考数学(理)试题
山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知全集U R =，集合{A x Z y =∈={}5B x x =>,则 A =)(B C U A.[]3,5 B. [)3,5 C. {}4,5 D. {}3,4,5 2.复数iiz +-=13的虚部为 A. 2 B. 2- C.2i D.2i -3.若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my xA. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±= 4.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为2+log 23，则输出y 的值为A. 112B.18C.124D.385.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a aA.50B.35C.55D.466.已知nx )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n+-展开式中含2x 项的系数为A. 71B. 70C.21D. 49 7.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是A.9B.10C.12D. 1848.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是A. 2B.3C.32 D. 529.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=)1,0[,1)1(1)0,1[,)(x x f x x x f ，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则k 的取值范围是A. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞D. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭10.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥,SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱锥S ABC -O 的半径为 A . 3 B. 1 C. 2 D. 411.抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为A.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y xC. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x12.已知函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，x x f x f ln sin )2()(ππ-'-=，（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若)91(log ),3(log ),3(33.0f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系是A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. b a c >> 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.已知向量a ，b 满足1||=，2||=，a b a ⊥-)(，则向量a与向量b 的夹角为 ．14.已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a nnn ∈-+==+，则2014a 的值为 ．15.设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则=-θθcos sin ．ED CBAP16.已知数列{n a }的前n 项和n s 满足*130(2,)n n n a s s n n N -+=≥∈，311=a ，则n na 的最小值为 ．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本小题满分12分)已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AB BC AC ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PD ABE ⊥平面；（2）求二面角A PD C --的平面角的正弦值．19.(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为31，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响. （1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.(1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB . 21.(本小题满分12分)设函数32)1()(ax e x x f x+-=(1) 当31-=a 时，求)(x f 的单调区间；(2) 若当0≥x 时，)(x f 0≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，直径BC OP ⊥，连接AB 交PO 于点D . （Ⅰ）证明：PA PD =； （Ⅱ）求证：PA AC AD OC =．23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()31f x x x =-++.（Ⅰ）求使不等式()6f x <成立的x 的取值范围； （Ⅱ）o x R ∃∈，()o f x a <，求实数a 的取值范围．Bxyz2014届高三年级第一次四校联考数学试题答案（理）1-12题答案：1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13．60 14．3- 15． 5102-16． 31- 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.解析.解：(1)f(x)= sin(2x - π6)+2cos 2x-1=32sin2x-12cos2x+cos2x=32sin2x+12cos2x= sin(2x + π6)………………………………………3分 由2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,(k ∈Z)得k π-π3≤x ≤k π+π6,(k ∈Z)…………5分∴f(x)的单调递增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z).………………………6分(2) 由f(A)=12, 得sin(2A + π6)=12∵π6<2A+π6<2π+π6 , ∴2A+π6=5π6,∴A=π3……………………………8分 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA=(b+c)2-3bc ………………………10分 又2a=b+c,bc=18. ∴a 2=18,∴a=32………………………………………………………………12分 18.（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC ⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………… 4分又PA AC =， E 是PC 的中点，故PC AE ⊥ 从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………… 6分（2）如图建立空间直角坐标系，设a AC =，则(0,0,0)A 、(0,0,)P a 、(,0,0)B a、0,,0D ⎛⎫⎪⎝⎭，2a C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而(0)PD a =-，,,026a DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，…………………………………………………9分 设1(,,)n x y z =为平面PDC 的法向量，则110026n PD y az a n DC x y ⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎪⎩可以取12)n = ……………………11分 又2(1,0,0)n =为平面PAD 的法向量，若二面角A PD C --的平面角为θ 则121cos 8n n θ==⋅ ……………………11分 因此sin 4θ=。
山西省忻州第一中学等学校1415高一上学期期中联考——
山西省忻州第一中学等学校2014—2015学年度上学期期中联考高一数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用蓝、黑色中性笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150+15分，考试时间120分钟。
一．选择题(共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集,则A．B．C．D．2．下列函数中，与函数y＝x (x≥0)有相同图象的一个是A．y＝B．y＝()2C．y＝D．y＝3．函数f(x)＝的定义域是A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．（－∞，0）D．（－∞，＋∞）4．函数y＝lo g2 x的反函数和y＝lo g2的反函数的图象关于A．x轴对称B．y轴对称C．y＝x对称D．原点对称5．函数y＝a x在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，则函数y＝3a x-1在［0，1］上的最大值与最小值的差是A．6 B．1 C．3 D．6．如图是幂函数y＝x n在第一象限内的图象，已知n取，2，-2，-四值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为A ．2，，－，－2B ．－2，－，，2C ．－，－2，2，D ．2，，－2，－7．函数y=log 0.5(2x 2－2x+1)的递增区间为A ．B ．C ．D ． 8．已知函数，)()(2R a x ax x g ∈-=，若，则A ．1B ．2C ．3D ．-1 9．给定函数①，②，③，④，其中在区间 （0，1）上单调递减的函数序号是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．设函数，的定义域都为R ，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 A ．是偶函数 B ．||是奇函数 C ． ||是奇函数 D ．||是奇函数 11．设是奇函数，则使的的取值范围是 A ． B ． C ． D ．12．已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是上的减函数，那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．二．填空题(每空5分，共20分) 13．函数为偶函数，则实数14．已知，函数()log 23a y x =-的图象恒过定点，若点在指数函数f(x)的图象上，则f(8)=__________15．已知函数f(x)= 4x 2-kx-8在[4,10]上具有单调性，实数k 的取值范围是_________ 16．已知函数，记m f f f f f =++++)16()8()4()2()1(，n f f f f =+++)161()81()41()21(，则 三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并把解答写在试卷的相应位置上) 17．（本题满分10分） 已知集合，，， R ． （1）求；（2）如果，求a 的取值范围． 18．（本题满分12分）（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+；（2）7log 23log lg 25lg 47+++． 19．（本题满分12分）设集合A={x|(x －3)(x －a)=0，a ∈R}，B={x|(x －4)(x －1)=0}，求A ∪B ；A∩B ． 20．（本题满分12分） 已知函数．（1）求的定义域； （2）讨论的奇偶性．21．（本题满分12分） 如图，已知底角为45o 的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为，当一条垂直于底边BC （垂足为F,不与B,C 重合）的直线L 从左至右移动时，直线L 把梯形分成两部分，令BF ＝x,左边部分的面积y ． （1）写出函数y= f(x)的解析式； （2）求出y= f(x)的定义域，值域． 22．（本题满分12分）已知函数，其中常数a,b 为实数．（1）当a>0,b>0时，判断并证明函数的单调性； （2）当ab<0时，求时的的取值范围． 23．附加题（本题满分15分） 已知3)31(2)91()(+-=xxa x f ，（1）若f(x)的最小值记为h(a ），求h(a)的解析式．（2）是否存在实数m,n 同时满足以下条件：①；②当h （a ）的定义域为[n,m]时，值域为[n 2,m 2]；若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题(每小题5分，共60分)二．填空题(每空5分，共20分)13． 14． 4 15． k≥80或k≤32 16．18三．解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并把解答写在试卷的相应位置上)17．（本题满分10分） 解：（1）A={x|x<2或x>8} …………………………………………3分={x|1<x<2} .…………………………………………6分 （2）, .………………………………………10分 18．（本题满分12分） 解：（1）原式=-1-+2132232333()1()()222-⨯⨯-=--+ ………3分……………………………………6分 （2）原式3433log lg(254)23=+⨯+ …………………………………9分 =++2…………………………………………12分 19．（本题满分12分）解：B={1,4} ……………1分 1）当a=3时，A={3},A ∪B={1，3，4}；A∩B=φ ………4分 2）当a=1时，A={1,3},A ∪B={1，3，4}；A∩B={1} .……7分 3）当a=4时，A={3,4},A ∪B={1，3，4}； A∩B={4} ……10分 4）当a≠1,3,4时. A={3,a},A ∪B={1，3，4，a}; A∩B=φ ……12分21．（本题满分12分） 解：过点分别作，，垂足分别是，。
2014-2015年山西省忻州一中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.55．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．1566．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．211．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有项．14．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x﹣a）+f（x+a）≥1﹣2a恒成立，求实数a的最小值．2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）}B．{1}C．[0，1]D．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]，故选：D．2．（5分）复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和为（）A．0B．2﹣2i C．3﹣i D．1+3i【解答】解：复数2+i的实部与复数1﹣2i的虚部的和=2﹣2=0．故选：A．3．（5分）如图程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n＞20时n的最小值，则输出框中应填（）A．i B．i+1C．i﹣1D．n【解答】解：考察程序框图中条件结构，循环结构，循环次数计数问题，当S=1+2+3+…+5=15时，满足S≤20，进入循环，S=1+2+3+…+6=21，i=6，不满足条件S≤20，退出循环，应该输出i﹣1的值，即5．故选：C．4．（5分）已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.5【解答】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．5．（5分）已知对于正项数列{a n}满足a m+n=a m•a n（m，n∈N*），若a2=9，则log3a1+log3a2+…+log3a12=（）A．40B．66C．78D．156=a m•a n（m，n∈N*），a2=9，【解答】解：∵正项数列{a n}满足a m+n∴a1=3，=a1•a n=3a n，∴a1+n∴数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴log3a1+log3a2+…+log3a12=log3a1a2•…•a12==78．故选：C．6．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．7．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．6C．D．【解答】解：∵a+b=2，∴a+（b﹣1）=1，则=，即的最小值为3+2，当且仅当：a=2﹣，b=时，取“=”，故选：A．8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，排除C，D，当x→+∞时，f（x）→0，当0＜x＜时，f（x）＞0，故选：A．9．（5分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，则向量在向量方向上的投影为（）A．3B．C．﹣3D．﹣【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且++=，∴=，∴OBAC为平行四边形．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得||=||=||，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠ACO=60°，因此，∠ACB=∠ACO=30°，∴向量在方向上的投影为：||•cos∠ACB=2cos30°=，故选：B．10．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2=4，当且仅当x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：由题意可得，函数f（x）=的图象和直线y=﹣x有且只有一个交点，如图所示：故a＜﹣1，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）展开式中有理项共有3项．==【解答】解：展开式通项公式为T r+1若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：314．（5分）已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值﹣．【解答】解：∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α＜，∴0＜2α＜；又＜β＜π，﹣π＜﹣β＜﹣；∴﹣π＜2α﹣β＜0，∵tan2α===，tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）===1，∴2α﹣β=﹣．15．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6π．【解答】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故答案为：6π．16．（5分）已知函数f（x）=x3+sinx，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为（﹣2，）．【解答】解：由题意得，函数的定义域是R，且f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣sinx）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+cosx＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以，解得﹣2＜x＜，即x的取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．三、解答题（共70分）17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）18．（12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关． (4)分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件B为“甲被抽到”；事件A为“乙丙被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为X012P…10分于是E（X）=0×+1×+2×==．…12分．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E 是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG∵F、G分别是棱AB、AB1中点，∴FG∥BB1，又∵FG∥EC，，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG．∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB；（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB1的法向量．由，得，取z=2，得∵CA⊥平面C1CBB1，∴是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量∵二面角A﹣EB1﹣B的平面角余弦值为，则，解得m=1（0≤m≤4）．∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=1．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．21．（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性（2）证明：f（x）＞2．【解答】解：（1）∵∴令g（x）=则g′（x）==由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，又∵g（1）=0故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（2）证明：原不等式就是，即[]＞0令h（x）=则h′（x）=∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，又∵h（1）=0故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，＜0，此时[]＞0成立；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，＞0，此时[]＞0成立；∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F 点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．【解答】解：（I）连接OF，∵OC=OF，∵∠OFC=∠OCF，∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC=∠DFE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，∵DF2=DB•DA，∴（2x）2=3x（2x﹣1），解得2x=3，∴DF的长为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为为参数，0≤α＜π）射线与曲线C1交于极点O为的三点A、B、C（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；（2）当时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（1）根据题意得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos （φ﹣），则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ=|OA|，∴λ=；（2）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣），∵C是经过点（m，0）且倾斜角为α的直线，且经过B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），∴m=2，α=．[选修：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当﹣1≤x ≤3时，f （x ）≤3，求a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，f （x ﹣a ）+f （x +a ）≥1﹣2a 恒成立，求实数a 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=|x ﹣a |≤3，即a ﹣3≤x ≤a +3． 依题意，由此得a 的取值范围是[0，2]．…（4分）（Ⅱ）f （x ﹣a ）+f （x +a ）=|x ﹣2a |+|x |≥|（x ﹣2a ）﹣x |=2|a |．…（6分） 当且仅当（x ﹣2a ）x ≤0时取等号． 解不等式2|a |≥1﹣2a ，得a ≥． 故a 的最小值为．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
山西省忻州市第一中学2015届高三1月月考数学(理)试卷
山西省忻州市第一中学2015届高三1月月考数学（理）试卷注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N =A ．}1{B ．}1,0,1{-C ．}0,1{-D ．∅2.若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 A ．7 B ．71- C. 7- D.7-或17-3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A.283π-B.83π-C.82π-D.23π4. 已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为 A.2B.32 2 D.525.某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A 、B、C 三所大学的自主招生考试。
每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐一名.则不推荐甲同学到A 大学的推荐方案有A.24种B.48种C.54种D.60种 6.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是A.0B.11+D.7.设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=取值范围是A ．1[,2]2B ．3[1,]2C ．3[,3]2 D ． [1,3]8. 设O 为ABC ∆的外心，且0=++OB OA ，则ABC ∆的内角C =A.6πB.4πC.3πD.2π9.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF|＝A ．52B ．2C ．32D ．110.已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值A ．随着k 的增大而减小B ．有时随着k 的增大而增大,有时随着k 的增大而减小C ．随着k 的增大而增大D ．是一个与k 无关的常数11.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A.45πB.34πC.(6π-D.54π12．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为 A ．1-2aB ．21a -C ．12a--D ．21a--二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．若等比数列{ n a }的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于 ▲ .14．设443322104111121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x a x a x a a x ，则42a a +的值是 ▲ .15．在△ABC 中，A 满足条件3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2cm ，BC ＝23cm ，则A ＝ ▲ ，△ABC 的面积等于 ▲ cm 2.16.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数： ①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =；④ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 ▲ . (写出所有正确的序号)三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 19. (本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值.20. (本小题满分12分）A 1C 1B 1C BA给定椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”. 若椭圆C 的一个焦点为)0,2(F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线21,l l 的方程. 21. (本小题满分12分)已知函数)0(21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f (Ⅰ)若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be ex x xϕϕ求函数∈+=的最小值.请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上， ∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D. （Ⅰ）证明：DB=DC ；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ， 求△BCF 外接圆的半径.23. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB.答案及讲评C22图一．选择题：本大题共12小题。
山西省忻州一中等四校高三数学第四次联考试题理
2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中 （满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A =A .}4,32,10{，，B .}32,1{，C .}2,10{， D. }2,1{ 2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为A . 3-B . 3C .13-D. 133. 已知双曲线12222=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为A.x y 225±= B.x y ±=C.x y 2±=D.x y 22±=4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1B.2C.3D.45. 把函数)2|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(π-对称，则=-)2(πf A.21-B. 21C. 23-D. 236. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A. 61B. 21C. 32D. 657. 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为A. π6B. 316πC. 940πD. 38π8. 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有A.22παβ=- B.22παβ=+C.22παβ-=- D.22παβ-=+9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是 A. 5 B. 6C.7 D. 2210. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN=16，则椭圆的方程为A. 110814422=+y xB. 17510022=+y xC. 1273622=+y xD. 1121622=+y x11. 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212--n B.2214--n C.n 212-D. 1214--n12. 设函数x e xx g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得)()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 2≥kB . 20≤<kC . 2863++≥e e k D. 28063++≤<e e k第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是 . 14. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为 .15. 已知，且4,3,0===⋅BC AB BC AB M 为线段BC 上一点，且),(||||R AC AC AB AB AM ∈+=μλμλ, 则λμ的最大值为 .16. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -)5cos 72(-=A b ， 则C cos 的最小值为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差⎰-=22cos ππxdxd ，562224=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n S c n nn ,,2，求n c c c c 2321++++ .18.（本题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量 400 500 批发价 8 10 概 率0.40.6概 率0.50.5（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PG FD PF λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. (本题满分12分)FE C 1B 1A 1CBA已知函数11ln )(+-+-=x aax x x f（1）当41=a 时，求函数()y f x =的极值；（2）当)1,31（∈a 时，若对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PCPA 的值.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==)(54453为参数t ty t x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4] （1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22a b +的最小值.DEPCBAO2015届高三年级第四次四校联考 数学试题答案（理）A 卷 一、选择题1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA 二、填空题:13．-20 14．9 15．415 16．21-17．解：（1）公差2cos 22==⎰-ππxdx d ，5622))((324242224=⋅=-+=-d a a a a a a a 73=a ………2分∴ 721=+d a ∴31=a ∴12)1(23+=-+=n n a n ………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642==b b b b ∴84=b 即1b 83=q ∴2=q 即1112--==n n n q b b ………6分（2）由12,31+==n a a n 得：)2(+=n n S n∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321 +++=)()(2421231n n c c c c c c +++++- ………10分=)222()]121121()5131()311[(123-++++--++-+-n n n=)14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n ………12分18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥. ……… 2分设11AB AA ==，则11633,,222B F EF B E ===.∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥. ………4分 又AFEF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF . ………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则12221(0,0,0),(,0,0),(0,,1),(0,,)2222F A B E -，221(,,)222AE =--，122(,,1)22AB =-.………8分由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF 的法向量12(0,,1)2m FB ==.设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由12210,0,220,2220222220,022x y z n AE x y z nAB x y z x y z ⎧--+=⎪⎧⎧=+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--=⎪⎪⎪⎩⎩-++=⎪⎩∴可取(3,1,22)n =-. ………10分 设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则222222203(1)12262cos |cos ,|6||||20()13(1)(22)2m nm n m n θ⨯+⨯-+⨯=<>===+-+⨯+-+.zyxABCA 1B 1C 1EF∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为66. ………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200 随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分 ∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分 (2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分 ∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分 至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=C C P ………12分解：（1）由已知:直线m 的方程为1-=x y ，代入px y 22=得：01)1(22=++-x p x 设),(),,(2211y x B y x A ， 则),2(121p x x +=+ 23|AB |21+=++=p p x x 且线段AB 的中点为),1(p p +， ………3分由已知222)223(17+=++p p ）（）（，解得2=p 或514-=p （舍去）所以抛物线C 的方程为：x y 42= ………6分 设直线l ：y=kx+2(k ≠0)，则)0,2(k D -，与.42x y =联立得 04)1(422=+-+x k x k由0>∆得21>k ,设),(),,(4433y x G y x F则24322434,4-4k x x k k x x ==+ ………8分 X 4000 3000 2200 P 0.3 0.5 0.2);,2()2,();,2()2,(442442331331y x k y x GD PG y x k y x FD PF ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ 所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x k x λλ ………10分则4(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将24322434,4-4k x x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1- ………12分21.解：（1）由已知14341ln )(++-=x x x x f ，则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--=………1分所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减；当），,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增； ………2分所以当1=x 时，)(x f 有极小值为23，当3=x 时，)(x f 有极大值为213ln +. ………4分 （2）由已知22)1)(1(11)('x aax x a xa a x x f ----=---=.①当)21,31（∈a 时，11210a a a a ---=> ，于是(0,1)x ∈和1(,)ax a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)ax a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即a a a 2212122ln -≤+-+-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2a -≤< ………7分②当12a =时，11a a -=，221(1)2'()x f x x --=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.显然成立. ………8分③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=< ，于是1(0,)ax a -∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)a x a -∈时，'()0,()f x f x >单调递增；要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a -≤，即11ln (1)12ln 420;a a a a a a a a ----+-≤-⇔+-≤ ……10分令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g <=，所以此时1(,1)2a ∈ 综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分 22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ， ………2分 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED ． ………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,∴ △APC ∽△BPA, ∴PC CAPA AB =, ………7分∵ AC=AP , ∴ ∠APC=∠C=∠BAP ,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB =3, ∴ PC CA PA AB ==3． ………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ………2分 直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ ………5分(2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则512)cos(73512sin 3cos 8++=+-=ϑαααd 所以最大值为57312+，最小值为57312-。
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山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N MA ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 2. 已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－34. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是A ．－1B ．0C ．3D ．4 5. 二项式102)2(x x +展开式中的常数项是 A ．180 B ．90C ．45D ．3606. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A ．612B ．33C ．64D ．2337. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A ．x 2y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=8. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0323=+S S ，则公比q =A ．－2B ．2C ．3D ．－39. 点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ,则该球的表面积为侧视图正视图1俯视图开始 输入xx ≥1?是否y=1-x 输出y 结束y=x 2A ．π7B ．π14C ．27π D ．3147π 10. 若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则=p A ．2 B ．4 C ．6 D ．812. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为A ．１B ．２C ．３D ．４二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ⊥，2=a ，3=b ，且b a 2+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 ▲ .14. 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式 为 ▲ . 15．函数)432(31sin 232sin3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 ▲ . 16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 ▲ .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ; （2）若35=a ，54cos =B ,求c . 18.（本小题满分12分）FEBCADP如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥,BC AD //，︒=∠90BAD ,2,1,===⊥PA AD BC BD AC ,F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值. 19. (本小题满分12分)为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：班 级甲 乙 丙 丁 志愿者人数45603015为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率； （2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 21. (本小题满分12分)已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围；（2）若Z k ∈,且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA . （1）求证：AB AC 2=；PABCD E22题图O xy FEBO A（2）求DE AD ⋅的值.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(mx f =成立，说明理由.2015届高三年级第一次四校联考理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 2914. n n a 3= 15. 13- 16. 7 三、解答题： 17 (本小题满分12分)解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分由A 是内角，∴ 060=A ………6分 （2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………12分18 (本小题满分12分)解：(1)易知AB,AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(,0,1)2tE (0,1,0)F . ………2分从而(,1,1)2tEF =--,AC ＝(,1,0)t ，BD ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC ·BD ＝2200t -++=.解得2t =或2t =-(舍去)． ………4分于是EF ＝(22-，1，－1)，AC ＝(2，1,0)．因为AC ·EF ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF ，即AC EF ⊥． ………6分(2)由(1)知，PC ＝(2,1,-2)，PD ＝(0，2,-2)． 设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,220.x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩令2z =，则n ＝(1，2，2)． ………9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF 〉|＝|EFEF ⋅⋅n n |＝15.即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. ………12分19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5…2分从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种， 这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. ………5分∴721225350p ==. ………6分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10.X 的可能取值为0,1,2， ………8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P . ∴X 的分布列为：FE PDACBxyz………11分………12分20.(1) 由题意知：c e a =＝32∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. ……2分 又∵圆222x y b +=与直线20x y -+=相切， ∴1b =，∴24a =， ……3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += ………4分 （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故21224x x k =-=+．① ………5分又点E F ，到直线AB 的距离分别为21112222(24)55(4)x kx k k h k +-+++==+，22222222(24)55(4)x kx k k h k +-+-+==+．2215AB =+= ………7分所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+214(2)525(4)k k +=+22(2)4k k +=+ ………9分224424k kk ++=+24214k k =++4214k k=++22≤， ………11分 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. ………12分 21.解：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. ………5分X0 1 2P320 12 720令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x 即)(x v 在),2(+∞上递增 ………8分 又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v )5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. ………10分 2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x1)]([0min -=<x x u k 又k Z k ∴∈, 的最大值为3. ………12分 22. 解：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23. 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24. 解：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b ………2分 又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 ………5分 （2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt tx t x x ………9分 ∴满足条件的实数x 不存在. ………10分。