吉林省实验中学2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(九) Word版含解析
吉林省实验中学2018届高三年级第一次模拟(第五次月考)考试数学理科
（ C） 1,2
（ D） ,1
（ 2）在复平面内，复数 z
2i 的共轭复数的模为
1 2i
（ A） 2 5 5
5 （B）
5
（C）A） x0 R , 使得 ex0 0 .
1
（B） sin x
2(x k , k Z) .
sin x
（C） x R,2 x x2 .
（D） 2 5
1 ，则使得 x2 2
f ( x)
（ D） 40
f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是
（A）
1 ,1
3
1
（ B） ,
1,
3
（C）
11 ,
33
11
（D） ,
,
33
（ 10）若抛物线 y2 4x 的焦点是 F , 准线是 l , 点 M( 4,m) 是抛物线上一点 , 则经过点 F 、 M 且与 l 相切的圆共
吉林省实验中学 2018 届高三年级第一次模拟（第五次月考）考试
数 学 试 题（理科）
一、
第Ⅰ卷
选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，
只有 一项是符合题目要求的． ）
(1) 若集合 M
2x
x y lg
, N x x 1 ，则 M N
x
（ A） (0,2)
（ B） 0,1
（A） 0 个
（ B） 1个
（ C） 2 个
（ D） 4 个
（ 11 ）在正四棱柱 ABCD A1B1C 1D1 中 , AA1 4, AB BC 2 ，动点 P, Q 分别在线段
C1D, AC 上，则线段 PQ 长度的最小值是
（A） 2 2 3
2017年吉林省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(9)
2017年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（9）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|（5x+1）（x-4）＜0}，B={x|x＜2}，则A∩B等于（）A.（-∞，4）B.，C.（2，4）D.∞，，【答案】B【解析】解：集合A={x|（5x+1）（x-4）＜0}={x|-＜x＜4}B={x|x＜2}，则A∩B={x|-＜x＜2}=（-，2）．故选：B．解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.设复数z=2+i，若复数的虚部为b，则b等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵z=2+i，∴=2+i+=，∴复数的虚部b=，故选：A．把z=2+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.若对∀x∈[1，2]，有x2-a≤0恒成立，则a的取值范围是（）A.a≤4B.a≥4C.a≤5D.a≥5【答案】B【解析】解：对∀x∈[1，2]，有x2-a≤0恒成立，⇔a≥（x2）max，x∈[1，2]，∵（x2）max=22=4．∴a≥4．故选：B．对∀x∈[1，2]，有x2-a≤0恒成立，⇔a≥（x2）max，x∈[1，2]，利用函数的单调性即本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知，，，则a、b、c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.a＞c＞bC.a＞b＞cD.c＞b＞a【答案】A【解析】解：∵c=log330＞log39=2，a=log23∈（1，2），b=∈（0，1）．∴c＞a＞b．故选：A．利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.把函数f（x）=cos2x-sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，恰好与原图象重合，则符合题意的φ的值可以为（）A. B. C.π D.【答案】C【解析】解：把函数f（x）=cos2x-sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，恰好与原图象则函数的周期T满足φ=k T，f（x）=cos2x-sin2x=cos（2x+），则函数的周期T==π，则φ=kπ，当k=1时，φ=π，故选：C根据三角函数平移之后，图象重合，则函数的周期T满足φ=k T，求出函数的周期进行计算即可．本题主要考查三角函数周期的计算，根据图象平移关系得到周期关系是解决本题的关键．7.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.80B.100C.120D.200【答案】D【解析】解：∵成绩ξ～N（100，σ2），∴其正态曲线关于直线x=100对称，又∵成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的=，∴此次考试成绩不低于120分的学生约有：×1600=200人．故选D．利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的=，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8.给出下列两个命题：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则|MA|≤1的概率为．命题q：若函数f（x）=x+，（x∈[1，2）），则f（x）的最小值为4．则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢pC.p∧（￢q）D.（￢p）∧（￢q）【答案】C【解析】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点M到定点A的距离|MA|≤1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=1阴影部分的面积为，故动点P到定点A的距离|MA|≤1的概率P=．故命题p为真命题．对于函数f（x）=x+，x∈[1，2），则f′（x）=1-=＜0，则f（x）在区间[1，2）上单调递减，f（x）＞f（2）=4，故命题q为假命题．所以：p∧q为假命题；￢p假命题；p∧（￢q）是真命题；（￢p）∧（￢q）是假命题；故选：C．分别判定命题p、q的真假，再根据复合命题真假的真值表判定即可．本题考查了复合命题真假的判定，解题的关键是要把每个命题的真假给与正确判断，属于中档题．9.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（）A.18B.36C.45D.54【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体为正三棱柱，∵俯视图是边长为6的正三角形，∴几何体的内切球的半径R=6××=，∴三棱柱的侧棱长为2．∴几何体的表面积S=2××+3×6×=54．故选：D．几何体为正三棱柱，根据俯视图是边长为6的正三角形可得几何体的内切球的半径R，由此得三棱柱的侧棱长，代入棱柱的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据俯视图是边长为6的正三角形可得几何体的内切球的半径R是解答本题的关键．10.若x，y满足，当n=x+2y取最大值时，的常数项为（）A.240B.-240C.60D.16【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域如图（阴影部分）；由解得A（2，2），由可行域知，目标函数n=x+2y在点A（2，2）处取得最大值，此时n=2+2×2=6，由的二项展开式的通项公式为，令6-r=0，解得r=4；当r=4时，其常数项为（-1）4••24=240．故选：A．画出不等式组表示的平面区域，求出最优解A（2，2），计算目标函数n=x+2y的最大值，再利用二项展开式的通项公式求出常数项．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是综合题．11.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，抛物线C：y2=8ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是（）A.（1，2） B.（1，] C.（2，+∞） D.[，+∞）【答案】B【解析】解：双曲线：＞，＞的右顶点为A（a，0），抛物线C：y2=8ax的焦点为F（2a，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，可设P（m，m），即有=（m-a，m），=（m-2a，m），由PA⊥FP，即为，可得•=0，即为（m-a）（m-2a）+m2=0，化为（1+）m2-3ma+2a2=0，由题意可得△=9a2-4（1+）•2a2≥0，即有a2≥8b2=8（c2-a2），即8c2≤9a2，则e=≤．由e＞1，可得1＜e≤．故选：B．求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．12.已知＞的两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），则ax2取值范围是（）A.（0，1）B.（0，2）C.，D.，【答案】D【解析】解：f（x）=，求导f′（x）=，∵f（x）=的两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），∴方程x2-2x+a=0由两个不等实根，△=4-4a＞0，∴0＜a＜1，解得：x1=1-，x2=1+，ax2=a（1+），设g（a）=a（1+），令t=，0＜t＜1，则a=1-t2，则g（t）=（1-t2）（1+t）=-t3-t2+t+1，g′（t）=-3t2-2t+1令g′（t）=0，解得：t=-1（舍）t=，当t∈（0，），g′（x）＞0，当t∈（，1），g′（x）＜0，∴g（t）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，∴当t=时，g（t）取最大值，最大值为g（）=，当t=1时，取最小值g（1）=0，∴ax2的取值范围（0，]，故选D．求得由题意可知方程x2-2x+a=0由两个不等实根，则0＜a＜1，求得x1，x2，即可求得ax2，构造辅助函数，换元，根据函数的单调性即可求得ax2取值范围．本题考查了函数的极值的概念及存在的充要条件、函数与方程思想，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，的夹角为，，，则= ______ ．【答案】2【解析】解：∵向量，的夹角为，，，∴•=||•||•cos=2××=3，∴=2•-||2=2×3-4=2，故答案为：2根据向量的数量积公式计算即可本题考查了向量的数量积公式，属于基础题14.边界在直线x=e，y=x及曲线上的封闭的图形的面积为______ ．【答案】【解析】解：边界在直线x=e，y=x及曲线上的封闭的图形的面积为=（）|=；故答案为：．首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分．本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示面积是关键．15.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acos C-c=b．若则△ABC面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：∵acos C-c=b．∴-c=b，化为：b2+c2-a2=-bc．∴cos A==-，A∈（0，π）．∴A=．∵b2+c2-a2=-bc．．∴-bc≥2bc-a2，可得bc≤4．则△ABC面积S==．故答案为：．acos C-c=b．由余弦定理可得-c=b，化为：b2+c2-a2=-bc．再利用余弦定理可得A．由b2+c2-a2=-bc．可得-，可得bc≤4．即可得出△ABC面积的最大值．本题考查了余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足，，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f（a5）+f（a6）= ______ ．【答案】3【解析】解：∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=-1，且S n=2a n+n，∴当n≥2时，S n-1=2a n-1+n-1，则a n=2a n-2a n-1+1，即a n=2a n-1-1，∴a n-1=2（a n-1-1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=-31，a6=-63．∴f（a5）+f（a6）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3．故答案为：3．由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．本题考查数列递推式，考查利用构造等比数列求数列的通项公式，考查函数周期性的应用，是中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C （1）求角A的大小；（2）已知函数f（x）=sin（ωx+A），ω＞0的最小正周期为π，求f（x）的单调减区间．【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C，∴b2+c2-a2=bc，∴cos A===，∴由A∈（0，π），可得：A=…．（6分）（2）由题意，ω==2，∴f（x）=sin（2x+），∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），∴f（x）的减区间为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）…．（12分）【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cos A，结合A∈（0，π），可得A．（2）由周期公式可求ω，解得函数解析式f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的减区间．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，周期公式以及正弦函数的单调性，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（Ⅱ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设事件M：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则…..（3分）（Ⅱ）设事件A、B、C分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知，，，…（5分）且X的可能取值为0，1，2，3…..（8分）分布列如下：…（12分）【解析】（Ⅰ）设事件M：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，利用概率乘法的计算公式求解即可．（Ⅱ）设事件A、B、C分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，求出，，，推出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查概率的求法公式，期望的求法以及分布列的求法，考查计算能力．19.已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形SD⊥面ABCD，SD=1，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M、N分别为SB、SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD、AB相交于点P、Q．（1）在图中作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD，并指出P、Q的位置（不要求证明）；（2）若，求二面角M-PQ-B的平面角大小？【答案】解：（Ⅰ）如图，P是DC的中点，Q是AB的中点，取DC中点P，AB中点Q，连MQ、PQ、NP，则作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．（若NP．PQ未作成虚线，扣两分）…（4分）（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设AB=2AD=4，∠DCB=60°，所以由余弦定理得，有AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BD，…．（5分）以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，且，，，，，，，，，，，，又，设Q（x，y，z），则，，…（7分）设平面的法向量为，，由得，，，…（9分）易知面ABCD的法向量为，，则，＞所以二面角M-PQ-B为60°…（12分）【解析】（Ⅰ）取DC中点P，AB中点Q，连MQ、PQ、NP，则作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．（Ⅱ）由余弦定理求得，从而AD⊥BD，以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-PQ-B的大小．本题考查满足条件的平面的作法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，，，（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CN|=|DM|．求k的值；（3）在（2）的条件下，若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．【答案】解：（1）由，，可知，，则b=1，即椭圆方程为…..…..（4分）（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知，，，，，，，…．（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分）（3），由题知，点M、F1的横坐标，有，易知，满足m2＜2．即，则，…（11分）．所以，…..（12分）．【解析】（1）利用已知条件求出a，c，得到b，然后求解椭圆方程．（2）设D（x1，y1），C（x2，y2），由消去y后，利用韦达定理以及△＞0，求解k即可．（3）利用（2）化简所求的表达式为m的关系式，通过，满足m2＜2，然后求解结果．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知函数f（x）=（a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a 的取值范围．（II）（i）当a=b=l时，证明：xf（x）+2＜0；（ii）当a=1，b=-1时，若不等式：xf（x）＞e+m（x-1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=，∴f′（x）=．∵f′（e）=0，∴b=0，则f′（x）=．当a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于0，在（e，+∞）内小于0，∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）内为减函数，即f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+∞）内为增函数，即f（x）有极小值而无极大值．∴a＜0，即实数a的取值范围为（-∞，0）；（Ⅱ）（i）证明：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx-e x+2．g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，又g′（1）=1-e＜0，g′（）=2-＞．∴存在实数x0∈（，1），使得′．此时g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又′，∴，x0=-lnx0．由单调性知，=．又x0∈（，1），∴-（）＜-2．∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x-1）⇔xf（x）-m（x-1）＞e，当a=1，b=-1时，设h（x）=xf（x）-m（x-1）=lnx+e x-m（x-1）．则h′（x）=．令t（x）=h′（x）=．∵x＞1，∴t′（x）=＞．∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e-m．①当1+e-m≥0时，即m≤1+e时，h′（x）＞0，∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；②当1+e-m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．由h（x0）＜h（1）=e，∴h（x）＞e不恒成立．综上所述，实数m的取值范围为（-∞，1+e]．∴实数m的最大值为：1+e．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）=．然后对a分类讨论，可知当a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a的取值范围为（-∞，0）；（Ⅱ）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx-e x+2．求其导函数，可得g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0∈（，1），使得′．得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又′，得，x0=-lnx0．由单调性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x-1）⇔xf（x）-m（x-1）＞e，当a=1，b=-1时，设h（x）=xf（x）-m（x-1）=lnx+e x-m（x-1）．利用两次求导可得当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e-m．然后分当1+e-m≥0时和当1+e-m＜0时求解m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力，是压轴题．22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【答案】解：（1）直线l的参数方程为，为参数，消去参数t，得：x+-1=0，圆C的方程为，即，即，即为圆C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程，为参数代入圆C的直角坐标方程化简整理得：，由t的几何意义得：|PA|+|PB|=t1+t2=2．【解析】（1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的方程转化为，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程化简整理得：，由t的几何意义能求出|PA|+|PB|的值．本题考查曲线的直线坐标方程、直线的普通方程的求法，考查两线段的之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直线坐标互化公式的合理运用．23.已知函数f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）如函数g（x）=f（x）-|x+1|，求g（x）的最小值．【答案】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即-3≤ax+1≤3，即-4≤ax≤2，即-2≤x≤1，∴a=2；（2）g（x）=，，＜＜，，∴时，g（x）min=-．【解析】（1）由题意可得-3≤ax≤2，即-2≤x≤1，由此可得a的值．（2）写出分段函数，即可求g（x）的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。
吉林省实验中学2017-2018学年高三上学期第二次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年考试时间：120分钟 试卷满分： 150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数3＋i1－i＝( )A ．2＋4iB ． 1＋2iC ．－1－2iD ．2－i 【答案】B 【解析】 试题分析：(3)(1)331121(1)(1)2i i i i i i i i i 3+++++-===+--+，故选B ． 考点：复数的运算．2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－210 B. 210 C ．－7210 D. 7210【答案】C考点：两角和与差的正弦公式． 3．下列说法中，正确的是( ) A ．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 【答案】C考点：统计数据的数字特征，众数、方差、标准差、频率分布直方图． 4．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ） A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】试题分析：由题意15246a a a a +=+=，1555()561522a a S +⨯===，故选B ． 考点：等差数列的性质，等差数列的前n 项和．5．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )【答案】D 【解析】试题分析：由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A ，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B ，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C ，如果俯图是D ，正视图和侧视图不可能相同．故选D ． 考点：三视图．6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此物体在时间内的位移为( )A. 143B. 176C.136D.116【答案】B考点：积分的物理意义．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在上是减函数；③f (x )的图象关于直线x ＝1对称；④f (x )在x ＝0处取得最大值；⑤f (x )没有最小值．其中正确判断的序号是________． 【答案】①②④考点：函数的奇偶性与周期性，抽象函数的性质．【名师点晴】本题考查抽象函数，由于函数只给出了一些特征、性质或一些特殊关系式，而没有给出具体的函数解析式，因此解决抽象函数问题需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象能力以及灵活运用函数知识的能力，另一方面抽象函数都以具体函数为模型的，因此对于填空题与选择题，我们可以借助于具体的函数模型来研究其性质，达到快速得出结论的目的，象本题考虑函数()cos2xf x π=，验证会发现①②④正确，③⑤错误．对于解答题，也可以借助于具体的函数模型来来提供研究方向，得出解题方法．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC中，a , b , c分别为内角A, B, C的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A a c B c b C =+++，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1考点：正弦定理与余弦定理，两角和与差的正弦公式． 18．（本小题满分12分）某地宫有三个通道，进入地宫的每个人都要经过一扇智能门。
吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学(理)试题
吉林省实验中学2017届高三年级第九次模拟考试参考答案一、 选择题：1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.D 10.A 11.B 12.D二、 填空题：13.2 14.232e - 15.16. 3三、解答题：17．(1)可得：A=3π (6)分 （2）由题意，ω= 2，∴f （x ）=sin （2x+3π），∴由2k π+2π ≤2x+3π≤2kπ+32π，（k ∈Z ），可得：k π+12π ≤x≤kπ+ 712π，（k ∈Z ），∴f （x ）的减区间为：[k π+ 12π，k π+712π]，（k ∈Z ）............ ......... (6)18． （Ⅰ）设事件M ：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则()111122624P M =⋅⋅=………………………..3分（Ⅱ）设事件A 、B 、C 分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知()()()211,,343P A P B P C ===,………………………………………...5分且X 的可能取值为0,1,2,3()()106P X P ABC ===()()()()17136P X P ABC P ABC P ABC ==++=()()()()11236P X P ABC P ABC P ABC ==++=()()1318P X P ABC ===……………………………………………………………..8分分布列如下：()364E X ==………………………………………….....12分19．解析：（Ⅰ）如图，Q 是AB 的中点（若.NP PQ 未作成虚线，扣两分）………………………4分（Ⅱ）在ABCD 中，2=4,60AB AD DCB =∠=设,所以由余弦定理求得BD =有222AB AD BD =+，所以AD BD ⊥，…………………………………………….5分以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系， 且()()()11,0,0,,0,0,1,2A B S M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 又13AQ AB = ，设(),,Q x y z ，则23Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭……7分 设平面的法向量为(),,n x y z =由00n AD n MQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得()0,n = ，…………………………………………………………9分 易知面ABCD 的法向量为()0,0,1m =则1cos ,2m n m n m n ==所以二面角M PQ B --为60……………………………………………12分 20． （1）由124,AB F F ==2,a c ==即椭圆方程为2214x y += ………………..…..4分 （2）设()()1122,,,D x y C x y 易知()()()2,0,2,0,0,,,0m A B N m M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭…………………….5分 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得：()222148440k x kmx m +++-= 由2222041041k m m k >⇒-+><+ 即 ，2121222844,1414km m x x x x k k --+==++…………………………………………………....6分且CM DN =即CM ND = 可知12m x x k +=-，即2814km m k k -=-+，解得12k = (8)分（3）()()()()()()()()()()22122222121212121222222121212211422224214422421224x x y x x x x x x x k m x k x x x x x x m y x x ------++⎛⎫+⎛⎫===== ⎪ ⎪-+++++-⎝⎭+⎝⎭+由题知，点M 、F 1的横坐标1M F x x ≥,有2m -≥易知m ⎛∈ ⎝⎦满足22m < 即1212111k m k m m +=-=-+--，则(121,7k k ∈+… 所以(212k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………..12分21.解：（Ⅰ） ()ln xa x be f x x -=，()()()21ln 1xa x be x f x x ---'∴=∵f′（e ）=0，∴b=0，则()()21ln a x f x x -'∴=当a ＞0时，f′（x ）在（0，e ）内大于0，在（e ，+∞）内小于0，∴f （x ）在（0，e ）内为增函数，在（e ，+∞）内为减函数，即f （x ）有极大值而无极小值； 当a ＜0时，f （x ）在（0，e ）内为减函数，在（e ，+∞）内为增函数，即f （x ）有极小值而无极大值．∴a ＜0，即实数a 的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）xf （x ）＞e+m （x ﹣1）⇔xf （x ）﹣m （x ﹣1）＞e ，当 a=1，b=﹣1 时，设h （x ）=xf （x ）﹣m （x ﹣1）=lnx+e x ﹣m （x ﹣1）． 则h′（x ）= ．令t （x ）=h′（x ）= ．∵x ＞1，∴t′（x ）=．∴h′（x ）在（1，+∞）内单调递增，∴当x ＞1时，h′（x ）＞h′（1）=1+e ﹣m ．①当1+e ﹣m≥0时，即m≤1+e 时，h′（x ）＞0， ∴h （x ）在区间（1，+∞）内单调递增， ∴当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=e 恒成立；②当1+e﹣m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．由h（x0）＜h（1）=e，∴h（x）＞e不恒成立．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1+e]．∴实数m的最大值为：1+e．22．（1）解：直线l的参数方程为（t为参数）．0 y+=由圆C的方程为ρθ，即2=si nρθ,可得圆C的直角坐标方程：22x y+=.（2）解：直线l的参数方程为112x ty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2﹣4t+1=0，△＞0．∴t1+t2=4，t1t2=1．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4．23.解：（1）()3|1|342f x ax ax≤⇔+≤⇔-≤≤……………2分显然0a>（或分类谈论得）2142aa⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=-⎪⎩2a∴=…………………………5分（2）依题意可得：,11()32,121,2x xg x x xx x⎧⎪-≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩……………………8分∴当12x=-时，min1()2g x=-…………………………10分。
吉林省实验中学2017届高三上学期第三次模拟考试(11月)数学(理)试题 Word版含答案
吉林省实验中学2017届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分2016年11月21日第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知集合(){}2ln 45A x y x x =∈=-++Z ，集合{}3x B y y =∈=R ，则集合A B 的元素个数为（A ）4（B ）6（C ）8（D ）16（2）已知a ∈R ，复数12z ai =+，212z i =-，若12z z 为纯虚数，则a 的值为 （A ）0（B ）1（C ）3 （D ）5（3）已知p ：a ∀∈R ，1≥a e a +，q ：,αβ∃∈R ，()sin sin sin αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（A ）()p q ∧⌝（B ）()p q ⌝∧（C ）p q ∧（D ）()()p q ⌝∧⌝（4）已知幂函数()f x x α=的图象过点，且()21f m ->，则m 的取值范围是（A ）1m <或3m > （B ）13m << （C ）3m < （D ）3m >（5）已知1sin 3cos 5x x -=，则cos 1sin x x +的值为 （A ）35- （B ）35（C ）53-（D ）53（6）已知向量a ，b 满足：5=a ，1=b ，34≤-a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影的取值范围是（A ）3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（B ）30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]0,1（7）已知点D 为ABC ∆所在平面内一点，且34AD AB AC =+，若点E 为直线BC 上一点，且AD AE λ=，则λ的值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）7（8）已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 22g x x ϕ=+的图象（A ）可由()f x 的图象向左平移6π个单位而得到 （B ）可由()f x 的图象向右平移6π个单位而得到（C ）可由()f x 的图象向左平移3π个单位而得到（D ）可由()f x 的图象向右平移3π个单位而得到（9）已知函数(),0ln ,0≤x e a x f x x x ⎧-+=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），则“方程()0f x =有且只有一个实根”的充分不必要条件是（A ）0a <（B ）1≥a（C ）112a << （D ）0≤a 或1a >（10）设函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中真命题的个数为 ①函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称； ②若函数()2f x +为奇函数，则()()()1230f f f ++=；③若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且对任意x 都有()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于点()2,0-对称；④若对任意1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，则函数()1f x +为奇函数． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a ∈R ．若存在0x 使得()045≤f x 成立，则实数a 的值为（A ）13（B ）15（C （D（12）定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：()0f x >且()()23f x x f x x'<<（其中()f x '为()f x 的导函数），则 （A ）()()111422f f << （B ）()()1111628f f << （C ）()()111322f f << （D ）()()111824f f <<第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）（13）1x -=⎰．（14）已知()11,A x y ，()22,B x y 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧AB 所对的圆心角为α，若7sin cos 17αα+=，则1212x x y y += ． （15）已知函数()()sin 0,2≤f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的图象的对称中心，4x π=为()f x 的极值点，且()f x 在52185，ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为 ． （16）已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若34ADC π∠=，求AD 的长；（Ⅱ）若2BDDC =，ACD ∆，求sin BAD∠的值．（18）（本小题满分12分）2016年“双11购物狂欢节”异常火爆，天猫商城仅一天的交易额就达到了惊人的1207亿元，这一数值较2015年增长了32.25%．“双11”过后，某机构对是否赞成在“双11”进行网购做了调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及赞成在“双11”进行网购的人数如下表．（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否赞成在“双11”进行网购与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，设这2人中不赞成．．．在“双11”进行网购的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． （参考数据及公式如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，1ACC ∠=1160CC B ∠=︒，2AC =．（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =1C AB --（20）（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线上的点(),4P m 到其焦点F 的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ()1230≤≤x x x <在抛物线C 上，设直线BC 的斜率为k ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 的最小值．（21）（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m x-=-∈R 在x e =（e 为自然对数的底数）时取得极值且有两个零点．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）记函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e ⋅>．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：2cos ρθ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，直线l：cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）设定点(P ，求11PA PB+．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-． （Ⅰ）解不等式()4f x >；（Ⅱ）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．吉林省实验中学2017届高三年级第三次模拟考试数学（理科）参考答案第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）（13）2π；（14）817-； （15）5； （16）5．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）解：2分 在ABD ∆中，由正弦定理得又2AB =，5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠ ．12分（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）22⨯列联表：………………3分………………5分 ∴有99%的把握认为是否赞成“在双11进行网购”与人的年龄有关．………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2； ………………7分()2225C 10C 10P x ===，()112325C C 631C 105P x ====，()2325C 32C 10P x ===则X 的分布列为………………10分所以()133E 012 1.210510X =⨯+⨯+⨯=． ………………12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1． ………………6分 如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，………………7分 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，因为1AB ＝(3，0，－3)，AC＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)．………………8分 设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为1AB ＝(3，0，－3)，1AA＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)． ………………9分则cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝25×2＝105， ………………11分 因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C-AB 1-A 1的余弦值为－105． ………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线方程为：22x py =， 又4+52p= ，即2p =， ∴抛物线的方程为24x y = ． ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），可设直线BC 的方程为：222()(0)4x y k x x k =-+>，由2222()44x y k x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得2222440x kx x kx --+= ………………5分 易知23x x 、为该方程的两个根，故有234x x k +=，得324x k x=-，从而得322||))BC x x k x =-=-， ………………6分类似地，可设直线AB 的方程为：2221()4x y x x k =--+，从而得2||)AB kx =+， ………………8分由||||AB BC =，得222(2)(2)k k x kx -=+ ，解得3222(1)k x k k -=+，=||BC 21)1()(0)(1)k f k k k k +==>+………………10分因为||BC 1()f k ==≥=所以32||2≥=BC S ，即S 的最小值为32，当且仅当1k =时取得最小值． ………………12分 （21）（本小题满分12分）解： （Ⅰ）()()21ln 1ln a x x a a x x f x x x --+-'==， ………………1分 由()10a f x x e +'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=， ………………2分所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-， ………………4分()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩． ………………5分（Ⅱ）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩， ………………6分则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e > ，只需证明：()12ln 2x x > ，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln 2x x x x x x +>-， ………………8分即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+ ，也就是证明：1ln 201t t t -->+ ， 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+， ………………10分 ∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证． ………………12分请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=，………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=， ………………4分 ∴曲线1C表示焦点坐标为(，，长轴长为4的椭圆． ………………5分（Ⅱ）直线12:x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）将直线l 的方程代入曲线1C 的方程2214x y +=中， 得21312804t t ++=． ………………7分 设,A B 对应的参数方程为12,t t ， 则124813t t +=-，123213t t =， ………………8分结合t 的几何意义可知，1212121248||||||11||||31332||||||||||||213t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++===== ． ………………10分（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩ ………………2分3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 ………………4分 211x x x ⇔<-<≤>或0或综上，不等式()4f x >的解集为：(),2(0,)-∞-+∞ ………………5分 使不等式01()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> ………………7分由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+32x ∴=-时，min 5(())2f x = ………………9分 53122a a +>⇔>∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭………………10分。
吉林省实验中学高三数学上学期第四次模拟考试试题 理
吉林省实验中学2017届高三年级第四次模拟考试数学（理科）学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合{}()(){}1,0,1,|110M N x x x =-=+-<，则M N ⋂= （ ） A.{}1,0,1- B.[]1,1- C.{}0 D.[]0,12．已知复数,z a i a R =+∈，若2z z +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3．已知命题“R ∈∃x ，使041)2(42≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.)0,(-∞ B.[]4,0 C.[)∞+，4 D.)40(，4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上， 则sin(2)3πθ+=（ ）A． B ．CD5． 设函数22(2)ln ,2,()1lg(1),2,2x x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩则(f f =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ）A ．12尺 B ．23尺 C ．1尺 D ．32尺 7. 已知函数)6(log )(ax x f a -=在)2,3(-上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,3) B ．(1,3] C ． (1,3) D ．[3,)+∞8. 当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，222kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．13,1010⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，记数列{}n b 的前n项和为n S ，则40S 的值是（ ） A ．103 B ．10 C ．113D ．11 10.若正实数,x y 满足()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则y x 3+的最小值是（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．611. 已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ） A ．3[,0)4-B ．[1,1)-C ．1[,1)2- D ．[1,0)- 12. 已知常数 2.71828e =⋅⋅⋅，定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：()()2f x f x '+=，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()f x '表示()f x 的导函数．若对任意正数a ，b 都有222311432x a b f x ae b -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是（ ） A ．()[),06,-∞+∞ B ．[]2,6 C ．()[),04,-∞+∞ D ．[)6,+∞第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13、31(2)x e x +=⎰14、已知()():44,:210p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是__________．15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若1s i n s i n s i n 2b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为B a sin 2，则=B cos ______.16. 对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++= 为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值” 12+=n Hn ，记数列{}kn a n -的前n 项和为nS，若6S S n ≤对任意的n 恒成立，则实数k的取值范围是_________．三、解答题：（本大题共6小题，其中17~21小题为必考题，每小题12分；第22~23为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17．（本小题满分12分）已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎭，函数()()2f x a b a =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，1a c ==，且()1f A =，求ABC ∆的面积S ．18．（本小题满分12分）已知点（1，3）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S 2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问nT >20171000的最小正整数n 是多少?19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，2AB AD PD ===,4CD =． （1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（3）设Q 为棱PC 上一点，CQ CP λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点(1,0)F .（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222x y b +=相切于点M ，且OP OQ ⊥，求点Q 的纵坐标0y 的值．21．（本小题满分12分）已知函数()()3axf x ea R =∈的图像C 在点()()1,1P f 处切线的斜率为e ，记奇函数()(),,0g x kx b k b R k =+∈≠的图像为l ． （1）求实数,a b 的值；（2）当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，求实数k 的取值范围；（3）若图像C 与l 有两个不同的交点,A B ，其横坐标分别是12,x x ，设12x x <，求证：121x x ⋅<．121x x ∴<请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线C 的方程=4sin ρθ （1）求曲线C 的直角坐标系方程；（2）若点()3,1P ，设圆C 与直线l 交于点,A B ，求||||PA PB +的最小值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数R x x x x f ∈-+-=|,32||12|)(. （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式264()m m f x -<对任意R x ∈都成立，求实数m 的取值范围.吉林省实验中学2017届高三年级第二次模拟考试参考答案 一、 选择题： 1.C 2. B 3.D 4. C 5.A 6.C7.B 8.A 9.A 10.D 11.A 12.A 二、 填空题：13. 3e 8e -+ 14. []2,5- 15. 34 16. 16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 二、解答题：17.试题解析：（1）()()2f x a b a =+-2221sin 1cos 221cos 2122212cos 22sin 26a a b x x x x x x x x π=+-=++--=+-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()63k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因为50,,2,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2,623A A πππ-==，又2222cos a b c bc A =+-，则2b =，从而1sin 22S bc A ==．18. 试题解析：（1）由(1)=3f a=，()3xf x =， 等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(可得-123n n a =1n n S S --==Q ()2n ≥又0n b >0>, 1=；∴数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，()111n n =+-⨯= ⇒ 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 由1000212017n n T n =>+ 得10009n >，满足10002017n T >的最小正整数为59. 19. 试题解析：（1）令PD 中点为F ，连接EF ，AF 点,E F 分别是PD PC 、的中点， ∴EF //12CD ,EF ∴//AB . ∴四边形FABE 为平行四边形.//BE AF ∴,AF ⊂平面PAD , BE ⊄平面PADPAD BE 面//∴（2）在梯形ABCD 中,过点B 作BH CD ⊥于H , 在BCH ∆中，1BH CH ==,045BCH ∴∠=. 又在DAB ∆中，1AD AB ==,045ADB ∴∠=,045BDC ∴∠=,090DBC ∴∠= ∴BD BC ⊥.面PCD ⊥面ABCD ,面PCD ⋂面ABCD CD =,PD CD ⊥,PD ⊂面PCD , PD ∴⊥面ABCD , PD BC ∴⊥,BD PD D ⋂=,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD ∴BC ⊥平面PBD ,BC ⊂平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面PBD（3）作QR CD ⊥于R ，作RS BD ⊥于S ，连结QS由于QR ∥PD ，∴AB QR CD ⊥平面 ∴∠QSR 就是二面角Q BD C --的平面角60︒ ∵面PBD ⊥面ABCD ，且二面角Q BD P --为60︒∴∠QSR= 60︒ ∴SR = ∵QR ∥PD∴=2CQ CRCP CD∴2λ20.试题解析：（1）1,21,c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴1c =，2a =，∴b =22143x y +=． （2）①当PM x ⊥轴时，P，)Q t ， 由0OP OQ ⋅=，解得t =．②当PM 不垂直于x 轴时，设00(,)P x y ，PQ 方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=， ∵PQ 与圆O=∴2200()33kx y k -=+，∴22220000233kx y k x y k =+--，又Q 00(,)t y kx t k-+，所以由0OP OQ ⋅=，得00000()x y kx t x ky -=+， ∴22200200()()x y kx t x ky -=+220002220000()2x kx y x k y kx y -=++22022222220000(33)33x k x k y k x y k +=+++-- 2202222200(33)123(1)(1)(3)334x k k x k x k +==+++---，∴t =±．综上：t =±．21.试题分析：（1）根据导数的几何意义()e f ='1，求得a ，再根据函数()x g 是奇函数，可求得0=b ；（2）根据（1）的结论，可将问题转化为()1,2,xx e kx ∀∈->恒成立，通过讨论自变量的正负，参变分离后可将问题转化为()(),0,20,,0,1,0xxe k x xx k R x e k x x ⎧<∈⎪⎪=∈∴≠⎨⎪>∈-⎪⎩时当时，有成立，这样设函数()()(),1,00,2xe h x x x=∈-，利用导数求函数的最值，即得k 的取值范围；（3）点A,B 在曲线上，设出点的坐标，经过指对互化，表示21x x ，再通过分析法证明121<x x . 试题解析：解：（1）()()3313,133ax a f x ae f ae e a ''=∴==⇒=， ()g x kx b =+为奇函数，0b ∴=；（2）由（1）知()xf x e =，()g x kx =，因为当()2,2x ∈-时，图像C 恒在l 的上方，所以()1,2,xx e kx ∀∈->恒成立，记()()(),1,00,2xe h x x x=∈-，则()21xx h x e x-'=，由()()01,2h x x '>⇒∈， ()h x ∴在()2,0-单调减，在(]0,1单调减，在[)1,2单调增， ()()22,0,211,22,2,0xxe k x xk e e e k x x ⎧<∈⎪⎪⎡⎫∴∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪>∈-⎪⎩， 综上，所求实数k 的取值范围是2211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）由（2）知1201x x <<<，设()211x tx t =>，()1122112121,,t x x x x x x e kx e kx e e t x --==∴=⇒=， ()11ln 1ln 1t t x t x t -=⇒=-，22121ln 1t x x tx t t ⎛⎫∴== ⎪-⎝⎭，要证121x x <1<，令)1μμ=>， 即证222ln 12ln 10μμμμμμ<-⇒-+<， 令()()22ln 11ϕμμμμμ=-+>，即证()0ϕμ<，()()()2122ln 222μϕμμμϕμμμ-'''=-+⇒=-=，()()1,0,μϕμϕμ'''>∴<∴在()1,+∞上单调减，()()()10,ϕμϕϕμ''∴<=∴在()1,+∞上单调减， ()()10ϕμϕ∴<=，所以，121<x x121x x ∴<22．选修4-4：坐标系与参数方程 【答案】（1）()2224x y -+=（2）试题分析：（1）利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线C 的极方程化为直角坐标方程：22(4)16x y +-=（2）利用直线参数方程几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=-=，因此将直线参数方程与圆直角坐标方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得||||PA PB+≥23.试题解析： （1）原不等式等价于12446x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或132226x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩或32446x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 得1122x -≤<或2321≤≤x 或3522x <≤，∴不等式5)(≤x f 的解集为15[]22-，．（2） ∵2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x f ， ∴22min 164[()]2321013m m f x m m m -<=⇒--<⇒-<<.。
吉林省实验中学2018届高三上学期第三次月考数学理试题Word版含答案
吉林省实验中学2017-2018学年度上学期高三年级第三次月考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{2,3,4,6}，N ＝{1,4,5}，则(∁U M )∩N 等于（ ）A ．{1,2,4,5,7}B ．{1,4,5}C ．{1,5}D ．{1,4} 2.已知i 是虚数单位,则复数134ii-++。
的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p ：a = π，命题q :0sin 1axdx =⎰，则p 是q 的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 4.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则那个几何体的体积是（ ）（第4题图） （第6题图） A ．2cm 2B ．3cm 3 C ． cm 3 D ．3cm 35. 为了取得函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＋1的图象，能够将函数y ＝2sin 3x 的图象（ ）A.向左平移12π个单位，向上平移1个单位B.向左平移4π个单位，向上平移1个单位 C.向右平移12π个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移4π个单位，向下平移1个单位 6. 运行如图所示的程序框图，设输出数据组成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数(),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为（ ）A. 37B. 45C. 35D. 347. 高考将至，凭借在五大学科竞赛中的卓越表现，某校共有25人取得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如下表．若随机从这25人中任选2人做体会交流，在已知恰有1人取得北大优惠政策而另1人取得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（ ）学科 数学 信息 物理 化学 生物 北大 4 2 5 4 1 清华2142A ．B ．C ．D ．8. 函数2ln ()2xx x f x =的图象大致是（ ）9. 设F 是双曲线221412x y -=的左核心， A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为（ ） A ．5 B ．543+ C ．7 D ．910.在ΔABC 中，G 是ΔABC 的重心，AB 、AC 边的长别离为2、1，∠60BAC ︒=， 则AG BG ⋅=( ) A.89- B. 109- C. 53- D. 53-11. 已知函数f (x )的概念域是R ，且f (0)＝2，若对任意x ∈R ，f (x )＋()f x '>1恒成立，则不等式e x ·f (x ) > e x ＋1的解集为 ( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}12. 已知函数f （x ）= x +sinx （x ∈R ），且f （y 2﹣2y +3）+ f （x 2﹣4x +1）≤0， 则当y ≥1时，11x y x +++的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[， ]C ．[，]D ．[1，]第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13. 已知函数y =f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是122y x =+，则 (1)f +(1)f '= .14. 已知点P 在角43π的终边上，且4OP =，则P 点的坐标为 . 15. 数列{}n a 的通项公式为*cos ,2n n a n N π=∈，其前n 项和为n S ，则2017S = .16. 若存在实数a 、b 使得直线ax + by =1与线段AB （其中A （1，0），B （2，1））只有一个公共点，且不等式221sin cos p θθ+≥20（a 2+b 2）关于任意θ∈（0，2π）成立，则正实数p 的取值范围为 .三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生依照要求做答，每题10分） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1a ,4a ,13a 成等比数列.（I ）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （II ）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：n T <512.18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，且∠60B ︒=，4c =. （I ）若6b =，求角C 的正弦值及ΔABC 的面积；（II ）若点D ，E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，23AE BD =，求AD 的长.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD ∥AB ，BC ⊥AB ，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB =AE =BE =2BC =2CD =2，动点F 在棱AE 上，且EF =λFA . （I ）试探讨λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明；（II ）当λ=1时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q ：()()2222x y -+-=2的圆心Q 在椭圆C 上，点P （0，2）到椭圆C 的右核心的距离为6． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点P 作相互垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数2()(1)ln ,.f x a x x a R =-+∈（Ⅰ）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-.求()h x 在[1,]e 上的最大值和最小值；(Ⅲ) 若函数f （x ）≥ x –1对∀),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在2二、23二题中任选一题作答，若是多做，则按所做第一题记分. 22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.若直线l 的极坐标方程为2cos()204πρθ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原先的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位取得曲线1C . （I ）求曲线1C 的直角坐标方程；（II ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 已知()11f x x x =-++． （I ）求f （x ）≤ x + 2的解集； （II ）若33()()22g x x x x R =++-∈，求证：121a a a+--≤()g x 对∀a ∈R ，且a ≠0都成立． 高三年级第三次月考数学（理科）试题 参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）4. C5. A 8. D 9. D 11. A 12. B 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13. 3； 14. ()-2,-23 ； 15. 0； 16.[)1,+∞.三、解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生依照要求做答，每题10分）17.解(1) 21n a n =+ k =2 (2) 5111()12223n T n n =-+++ 18.【答案】(Ⅰ)，，， 在△中，由正弦定理，得，又，因此，则为锐角，因此，则，因此△的面积. (Ⅱ)设，则，，又，， 在△中，由余弦定理得，即，解得， 则，因此，在直角△中，.19. 解析：（1）当λ=21时，CE ∥平面BDF ，证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF ，∵CD ∥AB ，AB=2CD ，∴21==AB CD GA CG ， ∵FA EF 21=，∴21==GA CG FA EF ，∴GF ∥CE ， 又∵CE ⊄平面BDF ，∵GF ⊂平面BDF ，∴CE ∥平面BDF.（2）取AB 中点O ，连接EO ，则EO ⊥AB ，∵侧面ABE ⊥平面ABCD 错误！未找到引用源。
吉林省实验中学2017届高三数学上学期第三次模拟考试(11月)试题文
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D
A
B
B
C
C
A
D
A
C
B
C
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
（ 13） 2
11
（ 14）
6
（ 15） 4,20
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（ 16） r 3 t2
（ 17）（本小题满分 12 分）
（Ⅰ） an 1 3 2an 6 ，
t
8分
4
y
联立
x t ，得
x
y2 4x
y
2t 2 4 ，即 A t
2t 2 ,t。
4
10 分
uuur OP
t2
uuur
, t ， OA
2t 2 ,
t
uuur ，即 OA
uuur
OA
OP ，
PQ OA
，
。 12 分
4
4
OP
BQ OP
（ 21）（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）函数 f x 的定义域为 0，+ ， f x
5分
设 g x ex kx ，则 g x ex k ，若 f x 在 0,2 内有三个极值点，则 f x 0 在 0,2 内
有三个不等的实根，则 g x 在 0,2 内有两个不等于 1 的实根。
6分
当 k e2 时 ， g x 0 ， g x 在 0,2 上 单 调 递 减 ， g 0 1 0 ， g 2 e2 2k 0 ，
84.0
165
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2017-2018学年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i4．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞05．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣36．阅读如图所示的程序图，运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．167．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．100B．1000C．90D．9008．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x∈（﹣3σ，3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．2612．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量夹角为45°，且，则=．14．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．15．sinxdx=．16．已知半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1），求证：．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．2016年吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．已知p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】的否定．【分析】由题意，p是一个全称，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称，其否定是一个特称，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．4．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．5．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B6．阅读如图所示的程序图，运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．16【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3时，不满足条件n ＜3，退出循环，输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，n=3，s=9，a=7不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为9，故选：C．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．100B．1000C．90D．900【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故选A．8．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称，这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称，这个曲线只有当x∈（﹣3σ，3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线的性质，分析选项，即可得出结论．【解答】解：根据正态曲线的性质，曲线关于直线x=μ对称，当x∈（﹣∞，+∞）时，正态曲线全在x轴上方，故①正确，②不正确；只有当μ=0时，正态曲线才关于y轴对称，故③不正确；曲线关于直线x=μ对称，曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，故④正确；曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故⑤⑥正确．故选：A．9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱，去掉一个底面相同的三棱锥，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是底面为直角三角形，高为5的直三棱柱，去掉一个底面为相同的直角三角形，高为3的三棱锥，∴该几何体的体积为：V 几何体=V 三棱柱﹣V 三棱锥=×4×3×5﹣××4×3×3=24故选：C ．12．函数f （x ）=﹣cosx 在[0，+∞）内 （ ） A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f ′（x ）=+sinx①当x ∈[0．π）时，＞0且sinx ＞0，故f ′（x ）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点 ②当x ≥π时，＞1且cosx ≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点 综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得， =，代入|2|====可求【解答】解：∵， =1∴=∴|2|====解得故答案为：3 14．（1+x ）8（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是 168 ． 【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x ）8和（1+y ）4的展开式的通项公式可得x 2y 2的系数．【解答】解：根据（1+x ）8和（1+y ）4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 82•C 42=168， 故答案为：16815． sinxdx= 0 ．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=0，故答案为：016．已知半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是 3π：4 ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径． 【解答】解：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a ，球的半径是R ，则根据长方体的对角线性质，得（2R ）2=a 2+a 2+（2a ）2，即4R 2=6a 2，∴R=\frac{\sqrt{6}}{2}a从而S 半球的表面积=3πR 2=πa 2，S 正方体=6a 2，因此S 半球的表面积：S 正方体=3π：4， 故答案为：3π：4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx ，cosx ），x ∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值； （2）若与的夹角为，求x 的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值； （2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx ，即tanx=1；（2）∵||=，||==1， •=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx ，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=， 则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．18．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ） X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（I ）设事件A 表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II ）由题意，X 可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设事件A 表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，∴P （A ）=，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ） X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X 可取0，1，2，3．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．21．设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1），求证：．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）求导函数，根据x1=﹣1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，即可求得函数f （x）的解析式；（2）根据x1，x2是函数f（x）的两个极值点，可知x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，从而，利用，可得b2=3a2（6﹣a），令h（a）=3a2（6﹣a），利用导数，即可求得b的最大值；（3）根据x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，可得f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2），根据，可得，进而有=，利用配方法即可得出结论．【解答】解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+2bx﹣a2，∵x1=﹣1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（﹣1）=0，f'（2）=0，∴3a﹣2b﹣a2=0，12a+4b﹣a2=0，解得a=6，b=﹣9．∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x1）=f'（x2）=0．∴x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根，故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．∴，∵a＞0，∴x1•x2＜0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得，∴b2=3a2（6﹣a）．∵b2≥0，∴3a2（6﹣a）≥0，∴0＜a≤6．令h（a）=3a2（6﹣a），则h′（a）=36a﹣9a2．当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）内是减函数；∴当a=4时，h（a）是极大值为96，∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是．…（3）∵x1，x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）∵，∴∴…∵x1＜x＜x2，∴═=﹣3a请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目由a＞0，b＞0，解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx，去绝对值号得到ax ﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx，对于不等式ax﹣2≤﹣bx，可直接解得．对于不等式ax﹣2≥bx，需要分别讨论当a＞b＞0时，当a=b＞0时，当0＜a＜b时的解集，然后取它们的并集即得到答案．【解答】解：原不等式|ax﹣2|≥bx可化为ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx，（1）对于不等式ax﹣2≤﹣bx，即（a+b）x≤2 因为a＞0，b＞0即：．（2）对于不等式ax﹣2≥bx，即（a﹣b）x≥2①当a＞b＞0时，由①得，∴此时，原不等式解为：或；当a=b＞0时，由①得x∈ϕ，∴此时，原不等式解为：；当0＜a＜b时，由①得，∴此时，原不等式解为：．综上可得，当a＞b＞0时，原不等式解集为，当0＜a≤b时，原不等式解集为．2016年7月19日。