高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《1.6三角函数模型的简单应用》导学案2
2014年人教A版必修四课件 1.6 三角函数模型的简单应用
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线 近似满足 y=Asin(wx+j)+b. (1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.
解: (1) 由图知从 6~14 时的最 大值是30C, 最小值是10℃, ∴ 这一天的最大温差是 30-10=20(℃).
y T/℃ 30
3. 任意角的三角函数在实际中的应用.
问题1. (1) 三角函数值是一个比值, 这个比值在 直角三角形中是怎样的比? 在平面直角坐标系中是怎 样的比? 这个比在实际应用中有什么作用? (2) 三角 函数具有周期性, 奇偶性, 有界性等特性, 从图象上 可以直观看出这些特性, 你能应用这些特性解决实际 问题吗? 在直角三角形中 邻边 对边 对边 . sin = . cos = . tan = 邻边 斜边 斜边 在平面直角坐标系中 y cos = x . y sin = . tan = . r r x 三角函数的这个比可解决有关角与线段长度的一 些实际问题. 本课时的例 3 就是一个实例.
20
10
O
6 8 101214 x
t/h
例 1. 如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线 近似满足 y=Asin(wx+j)+b. (1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式. y T/℃ 解: (2) 由最大值和最小值得 30 1 (30 - 10) =10; A= 2 20 T 1 2 半个周期为: = = 14 - 6, 10 2 2 w 解得 w = ; O 6 8 101214 x 8 t/h 图象是由 y = 10sin( x + j ) 的图象向上平易移 8 20个单位而得, ∴ b = 20;
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
1616三角函数模型的简单应用2
1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ， 求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次 到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置 的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题： 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提 高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三 角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。
高中数学 必修四 1.6 三角函数模型的简单应用素材2 新人教A版必修4
1. 6三角函数模型的简单应用一、三角函数在物理等其它学科中的应用各学科的知识可以相互应用，如物理学中的振动、波的传播、电流、生物学中的某些生活规律等，都可以用三角函数来模拟．例1 弹簧挂着的小球作上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(cm)由下列函数关系决定：h ＝3sin(2t ＋ 4π)．(1)以t 为横轴，h 为纵轴，作出函数的图象(0≤t ≤π)；(2)求小球开始振动的位置；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置；(4)经过多长时间，小球往返振动一次？(5)每秒钟内小球能往返振动多少次？【分析】 解答本题可先画出h ＝3sin(2t ＋ 4π)的图象，然后结合图象去分析，解决问题．【解】 (1)图象如图所示：(2)令t ＝0，得h ＝322 cm ；(3)结合图象得最高点和最低点分别是(π8，3)，(5π8，－3)；(4)周期T ＝π≈3.14，即每经过约3.14 s 小球往返振动一次；(5)1T ≈13.14≈0.318，即每秒钟小球约往返振动0.318次．【点评】 此类题目属于正弦曲线在运动学中的应用，解答此类题目的关键在于利用已知条件作出函数图象，然后借助于数形结合的思想，结合必要的物理学知识加以分析解决．二、三角函数在自然界中的应用自然界中许多现象如日月的变化、时间的变化、潮水的变化等，可以用三角函数模拟研究．例2 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表.(1)以日期在1年365天中的位置序号为横坐标，描出这些数据的散点图；(2)确定一个满足这些数据的形如y ＝Acos(ωx ＋φ)＋t 的函数；(3)用(2)中的函数模型估计该地7月3日的白昼时间．【分析】 解答本题可先作出散点图，然后把y ＝Acos(ωx ＋φ)＋t 结合图象求出A 、ω，最后利用函数模型求7月3日的白昼时间．【解】 (1)(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的关系近似为y ＝Acos(ωx ＋φ)＋t ，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即ymax ＝19.4，ymin ＝5.4.由19.4－5.4＝14，∴A ＝7.由19.4＋5.4＝24.8，得t ＝12.4.∵T ＝365，∴ω＝2π365.∴y ＝7cos(2π365x ＋φ)＋12.4.当x ＝172时，cos(2π365x ＋φ)＝1，ymax ＝19.4.得一个φ值为－2π×172365，∴y ＝7cos[2πx －172365]＋12.4. (3)7月3日即x ＝184，y ＝19.4，约为19.4小时．【点评】 本题是根据条件建立拟合函数，要根据散点图猜测可能用到的函数形式．三、三角函数在日常生活中的应用在现实生活中，有很多常见的现象具有三角函数性质的规律．例3 如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面不低于70 m?【分析】 描述实际运动问题，首先要建系，用解析法探究问题．【解】 以中心O 与最低点P 的连线的延长线与地面的交点为坐标原点建立坐标系(图略)，设t min 时P 距地面高度为y ，则依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎫2π3t －π2＋50. (2)令40sin ⎝⎛⎭⎫2π3t －π2＋50≥70， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3t －π2≥12， ∴2kπ＋π6≤2π3t －π2≤2kπ＋5π6，k ∈Z ，∴2kπ＋2π3≤2π3t≤2kπ＋4π3，k ∈Z ，∴3k ＋1≤t≤3k ＋2，k ∈Z.令k ＝0，得1≤t≤2.因此，共有1 min 距地面不低于70 m.。
2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《三角函数模型的简单应用》(天津陈刚)
《三角函数模型的简单应用》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修4第一章1.6节）授课教师：陈刚天津市经济技术开发区国际学校指导教师：傅剑天津市实验中学沈婕天津市中小学教育教学研究室赵杨天津市经济技术开发区国际学校2010年10月三角函数模型的简单应用授课教师：天津经济技术开发区国际学校陈刚一、内容和内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为sin等基本初等函数模型；根据问题情y x境建立精确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法，这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题.这体现了数学建模的思想．其次，是数形结合思想．在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采用数形结合的思想，使问题得以解决．三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体．就本节所涉及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解．此外，在运用三角函数模型解决数学问题的过程中，“函数与方程”的数学思想也得到了体现．三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型之后学习的又一具体函数模型，在知识的形成过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节．因此，本节的教学重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．二、教学问题诊断分析在学习了分段函数、指数函数、对数函数等基本函数模型后，学生已经历过观察散点图，抽象成函数模型，分析图象的特征，运用图形计算器等信息技术手段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面上，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的陌生背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的复杂条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有一定的困难．因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析．教学难点：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．三、目标和目标解析（一）教学目标1．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．2．经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．（二）目标解析1．学生在学习了分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型的基本步骤有所了解，但对数据呈现周期性变化规律的数学建模还是初次接触，特别是对如何根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一．2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非通过简单如“复制与灌输”手段得以实现．所以通过数学建模的过程，让学生领悟到“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数思想”等，并能运用这些数学思想分析三角函数的图象，通过解决一些具有实际背景的综合性问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力．3．通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以图形计算器为平台（本节课使用的是Casio ClassPad 330型图形计算器），绘制三角函数等函数图象，变抽象为直观；同时辅之以图形计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持．五、教学过程设计（一）开门见山——呈现问题同学们，我们已经学过三角函数的图象与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．我们知道，海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的整点时间与水深（单位：m）关系表：（二）观察数据——建立模型问题1：请同学们仔细观察表格中的数据，从中可以得到一些什么信息？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间变化有无规律等方面去研究．【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．问题2：怎么画这些数据的散点图？你能使用图形计算器画出散点图吗？师生活动：教师提问，学生思考、回答，以时间为横轴，水深为纵轴，通过描点法是可以画出这些数据的散点图的．教师引导学生使用图形计算器作散点图，如下图．【设计意图】让学生复习用描点法画出散点图的方法．问题3：如果我们用一条光滑的曲线把这些点连接起来，根据曲线的形状和走势，能用什么样的函数来近似拟合这个图象？师生活动：教师引导学生利用图形计算器的连线功能将散点连接起来，如下图.观察、分析绘出的曲线的形状和特征，思考、判断、选择函数模型．教师根据学生回答的情况加以补充，突出对“周期性”的引导，最后确定可以用形如sin()y A x h ωφ=++的正弦型函数来近似拟合.【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.问题4：如何求出函数sin()y A x h ωϕ=++中的A ，ω，h ，和φ的值，从而确定函数模型的解析式呢？师生活动：师生通过问答的形式，结合图象，求出A ,ω,φ,h .（1）求振幅A .由图象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值与最小值之差的一半是振幅，A =2.5.（2）求ω.ω的值跟周期有关，从图象可以看到，完成一次往复运动要用12小时，所以周期是12.所以12T =,2π2ππ126T ω===. （3）求h .图象向上平移了5个单位，5h =.（4）求φ.代入一个特殊点，例如（0，5），就可以得到sin 0φ=，从而得到0φ=.学生利用图形计算器统计模块中的函数拟合功能，得出正弦型函数的解析式，如下图.师生共同比较图形计算器得出的解析式和学生自己求出的解析式，得出两个解析式实际是相同的.【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出sin()y A x h ωϕ=++各参数的值，体会“数形结合”的数学思想，利用图形计算器验证所求结果．问题5：我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型π2.5sin()56y x =+来刻画，谁能试着总结一下刚才我们建立三角函数模型的过程？ 师生活动：学生回顾刚才建模的过程、回答．教师根据学生回答的情况加以补充完善，主要强调（1）根据已知的数据画出散点图； (2)用光滑的曲线连接散点图；（3）根据曲线的变化趋势具有周期性的特点，选择正弦型函数模型；(4)求正弦型函数解析式.【设计意图】及时对建模的过程加以小结，使学生进一步了解各个步骤之间的联系，巩固所学知识，体会其中使用的方法和所蕴含的数学思想.(三）回归现实——提出问题我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型π2.5sin()56y x =+来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题. 问题6：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m ，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？师生活动：教师通过以下问题，引导学生探究.（1）货船能够进入港口所需要满足的条件是什么 ？（实际水深≥安全水深）（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？（π2.5sin5 5.56x +≥） （3）如何解不等式π2.5sin 5 5.56x +≥？ （4）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满足我们条件的解是图象的哪部分？（5）在[0，24]内满足条件的解集是什么？（6）结合图象，货船应该选择什么时间进港，什么时间出港？（7）货船在港口能呆多久？（8）如何使用图形计算器帮助我们解决其中的问题？学生利用图形计算器分别画出π2.5sin56x y =+和 5.5y =的图象，找出两图象的交点，通过数形结合得到不等式的解集.【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清楚题目的意思，引导学生建立函数模型，借助图形计算器，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出解释.过渡语：刚才的问题中，货船从进港、在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，卸完货后离开港口，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，那么在这种情况下，我们又该如何选择进出港时间呢？问题7：（卸货时间问题）若某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？师生活动：教师启发学生类比、思考，组织学生讨论如下问题：（1）“必须停止卸货”的含义是什么？你能用一个关系式来表述吗？（2）安全水深如何表示呢？（3）如何解不等式π2.5sin5 5.50.3(2)6xx+≥--？学生在这些问题的引导下思考探究，对于要求解的不等式，学生根据刚才解题的经历，相互讨论寻求解决的途径，利用图形计算器通过两种方法求出不等式的解集.【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.问题8：在船的安全水深正好等于港口水深时，停止卸货行吗？为什么？正确的结论是什么？师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答.货船应该在6时30P分左右驶离港口.否则就不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.【设计意图】将所得的数学解释转化为实际问题的解释.（四）课时小结，认识深化问题9：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？（师生一起归纳）1. 通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：（1）观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；（2）根据已知数据绘制散点图；（3）用光滑的曲线连接散点图；（4）通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；（5）求函数模型的解析式.在数据处理的过程中，运用了函数的三种不同的表示方法，分析问题并解决问题．2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．（五）布置作业——延时探究过渡语：在今天我们所研究的实际问题的基础上，同学们课后可以进一步深入研究，请大家看拓展作业．作业1（卸货速度问题）：若货船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5 m，该船在2:00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2 m，为了保证货船进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？【设计意图】让学生利用函数模型解决实际问题，理清解决问题的基本思路，培养分析和探究能力.这是本节内容的一个提高与拓展.作业2：以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据：（2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？【设计意图】通过训练，巩固课堂所学内容，让学生进一步熟练三角函数应用问题的解决方法.把数学的学术形态转化为生活服务的教育形态．。
2018年秋高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4201809132
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1610．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．] 3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图162y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .] [规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝f x 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．](s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13，∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图163中曲线对应的函数解析式是( )图163A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( ) 【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图164表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为( )图164A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图165(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800.又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。
人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修四：1-6三角函数模型的简单应用 学案 精品
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
(2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋ ).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin( t＋ )，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
四、小结
五、反思质疑
学习完本节课，我的收获（或反思静悟、体验成功）
六、布置作业
(2)当此人距离地面不低于(59＋ )米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
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§1.6.2 三角函数的应用（2）
1、能准确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，来解决实际问题.
.
6065
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航区，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数.
二、新课导学
※探索新知
问题1. 观察下表的数据，作出散点图，观察图形，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？
问题2. 根据所得的函数模型，求出整点时的水深。
问题3一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口待多久？
问题4若船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m 的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
※ 典型例题
例1：某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min ，低潮时入口处水的深度为2.8m ，高潮时为8.4m ，一次高潮发生在10月3日2:00。
（1）若从10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这
个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
（2）求10月5日4:00水的深度；
（3）求10月3日吃水深度为5m 的轮船能进入港口的时间。
例2. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是t A I ωsin =，[)+∞∈,o t ，设πω100=，A=5。
⑴求电流I 变化的周期和频率； ⑵当50
1,2003,1001,2001,0=t 时，求电流I 。
⑶画出电流I(A)随时间t(s)变化的函数图象。
※ 动手试试
1、课本第65页练习
2、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30
看正南方向的一船C 的
俯角为45 ，则此时两船间的距离为（ ）.
A ．2hm B
C
D
．
三、小结反思 1、用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，数学模型的建立很重要，实际的取值范围也必须引起注意. 2、数学建模的过程应完整清晰，实
际应用问题并不仅仅局限于三角函数中.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、一个单摆如右图，摆角y
（弧度）作为时间t （秒）的函数满足)2
2sin(21π+
=t y . (1)求最初位置的摆角（弧度）；
(2)求单摆的频率. (3)求多长时间单摆完成5次完整摆动（往复摆动一次称一次完整摆动）？
2、大风车叶轮最高顶点离地面14.5米，风车轮直径为14米，车轮以每分钟2周的速度匀速转动.风叶轮顶点从离地面最低点经16秒后到达最高点.
假设风叶轮离地面高度y （米）与风叶轮离地面最低点开始转的时间t （秒）建立一个数学模型，用函数c b t a y +-=)](sin[ω来表示，试求出其中四个参数w c b a ,,,的值.
3、下表是某市1975-2005年月平均气温（℃）
(1)下列函数模型中最适合这些数据的是 （ ）
∙
∙y
A 、6cos x
a y π= B 、86cos +=x
a y π
C 、86cos +-=x
a y π D 、36
cos -=x
a y π （2）请再写出一个与上述所选答案等价的模型来描述这些数据.
4、如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++
（1）求这段时间的最大温差.
（2）写出这段曲线的函数解析式。