高中数学苏教版选修2-2课件：章末分层突破 01

[再练一题] x－1 2．设函数f(x)＝aln x＋ (a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． x＋1
【解】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ax2＋2a＋2x＋a 2 a f′(x)＝x＋ ＝ . x＋12 xx＋12 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立， 得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立． 因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3. 因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)， 在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．
2 2 ∴x 3 ＋ x － 4 x 0 0 0＋4＝0.
∴x 2 0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)设切点为(x0，y0)， 则切线的斜率k＝x2 2. 0＝4，∴x0＝±
已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范 围；若不存在，请说明理由．
【精彩点拨】 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及 参数a，所以要分类讨论．
【规范解答】
由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能 求出参数的值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题 联系到一起考查．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与 直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值； (3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根， 求实数c的取值范围．
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2. 当f′(x)＞0时，－2＜x＜2. 当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2. ∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. f(x)极大值＝f(2)＝16＋m. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.
当x∈(2,3]时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝ 4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立， 所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9. 故c的取值范围为c<－1或c>9.
(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________． (2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象 如图11所示，则该函数的图象是________．(填序号)
图11
【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论．
1 －a＋1＋ 2a＋1 －a＋1－ 2a＋1 当－2＜a＜0时，f(x)在0， ， ，＋ ∞ 上 a a －a＋1＋ 单调递减，在 a
2a＋1 －a＋1－ 2a＋1 上单调递增． ， a

导数在求函数极值与最值中的应用
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)最大
值
＝f(0)＝2，f(x)最小值＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
6＋6a＋3b＝0， 则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即 24＋12a＋3b＝0， a＝－3， 解得 b＝4.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， 则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 当x∈[0,1)时，f′(x)>0； 当x∈[1,2]时，f′(x)<0；
4 ∴切点为(2,4)或－2，－3.
4 ∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋ ＝4(x＋2)， 3 即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
导数在研究函数单调性中的应用
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的 几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部 分内容要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函 数⇔f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个．
(2)由(1)知要使函数
－16＋m＜0， 即 16＋m＞0，
fx极小值＜0， y＝f(x)有三个零点，必须 fx极大值＞0，
∴－16＜m＜16. ∴m 的取值范围为(－16,16)．
(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减， f(x)的最大值为f(2)． 又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9， ∴f(－1)＜f(3)， ∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m， ∴－11＋m＝－2，∴m＝9. ∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为 f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.
x 0 (0,2) － 2 0 (2，t) ＋ t
f′(x) 0
f ( x)
2 单调递减 极小值－2 单调递增 t3－3t2＋2
f(x)最小值＝f(2)＝－2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)最大值＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两 g1≥0， 个相异的实根，则g2<0， g3≥0.
函数与方程的思想
函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽 可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)＞g(x)，x∈(a， b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)与0的关系，若F′(x)＞0，则函数F(x)在(a，b) 上是增函数．若F(a)≥0，则由增函数的定义，知当x∈(a，b)时，有F(x)＞ F(a)≥0，即f(x)＞g(x)成立，同理可证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)．
a＋1－ 2a＋1 a2＋2a＋1－ 2a＋1 因为x1＝ ＝ ＞0， －a －a 所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1 当a≤－2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
【规范解答】 率为y′
x＝1
(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜
＝2.
(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函 数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变 化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来 越小的，故错误；②正确． 【答案】 (1)2 (2)②
解得－2<c≤0.
[再练一题] 3．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m. (1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围； (3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．
【解】
(1)f′(x)＝－3x2＋12.
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a，b的值； (2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
【精彩点拨】 (1)利用f′(1)＝0，f′(2)＝0，列方程组求． (2)转化为求函数f(x)的最大值问题．
【规范解答】
(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
1 －2x－12 1 ①当a＝－ 2 时，Δ＝0，f′(x)＝ ≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递 xx＋12 减． 1 ②当a＜－ 2 时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递 减． 1 ③当－ ＜a＜0时，Δ＞0. 2 设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点， －a＋1＋ 2a＋1 －a＋1－ 2a＋1 则x 1 ＝ ，x2＝ . a a
(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0. 故实数a的取值范围是a≤0.
【精彩点拨】
f1＝0， (1)由 f′1＝－3，