2011-2012(1)高等数学(90学时)试题(B)解答
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
青岛理工大学2011级高等数学(上)B试题及答案
一、选择题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。
1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（ ）。
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（ ）。
A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（ ）。
A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（ ）。
A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（ ）。
A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。
1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。
2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。
3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。
2011(1)高数试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。
2011-2012第二学期期末数学试卷和答案
石家庄市2011～2012学年度第二学期期末考试试卷高一数学(B 卷)(时间l20分钟，满分150分)注意事项：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.号填写在答题卡上． 参考公式：柱体体积V 柱体=Sh(S 为底面面积，h 为高)锥体体积V 锥体=31Sh(S 为底面面积，h 为高)台体体积V 台体=31(S '+S S '+S)h (S ',S 分别为上、下底面面积，h 为台体高)圆柱的表面积S=2πr(r+l ) (其中r 为底面半径，l 为母线长)圆锥的表面积S=πr(r+l ) (其中r 为底面半径，l 为母线长)圆台的表面积S=π(r '2+r 2+r 'l +r l ) (其中r '，r 为上、下底面半径，l 为母线长) 球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=34πR 3，(其中R 为球的半径) 第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 的斜率为l ，则l 的倾斜角为A ．90°B ．60°C ．45°D ．135° 。
2．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6 =12，则a 5= A ．12 B ．6 C ．5 D ．43．直线y=-2x+3与直线y=kx-5互相垂直，则实数k 的值为 A ．21B.2 C ．-2 D ．-l 4．设a>b>0，c ∈R，则下列不等式恒成立的是 A ．a|c|>b|c| B ．ac 2>bc 2C ．a 2c>b 2c D ．a 1<b1 5．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l ⊥m ，l ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 1石一4y 一<-3，6．已知x ，y 满足不等式组 则z=2x+y 的最大值为A ．14B ．12C ．13D ．3 7．从一个棱长为l 的正方体中切去一部分，得到一个 几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 A ．87 B ．85 C ．65 D ．43 8．在△ASC 中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2，贝△ABC 的形状是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．不能确定9．将边长为2的正△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B-AD-C ，则三棱锥B-ACD 的 外接球的表面积为A ．4πB ．5πC ．12πD ．8π10．已知M 是△ABC 内的一点，且·=23，∠ABC=30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为21、x 、y ，则x 1+y4的最小值为 A ．20 B ．19 C ．18 D ．1611．已知函数f(x)=2mx 2-2(4-m)x+1，g(x)=mx ，若对于任意一个实数x ，f(x)与g(x)至少有 一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(-∞，0)12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式21222a nS a n n λ≥+(1a ≠0)恒成立，则λ的最大值为 A ．0 B ．51 C. 21D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知等比数列{ a n }，a 2 =2，a 5 =41，则公比q 为 ． 14．一辆汽车原来每天行驶x 公里，如果它每天多行驶l9公里，那么在8天内它的行程就 超过2200公里；如果它每天比原来少行驶l2公里，那么行驶同样的路程所需要的时间 就超过9天．列出上述问题中未知数x 所满足的不等式(或不等式组) ．15．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长，若a=1，b=3，A+C=2B ，则 sinC 的值为16．如图：已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1,点P 在BC 1上运动， 则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；⑧ DP⊥BC l；④面PDB1⊥面ACD l．其中正确的命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明17．(本小题满分10分)某几何体的三视图如右图，其中正视图是等边三角形，俯视图为半圆(数据如图所示)，求该几何体的表面积．18．(本小题满分12分)公差不为零的等差数列{ a n}的前5项和为-20，数列{ b n}为等比数列，且b n= a1, b2= a3,b3= a4 .(I)求数列{ a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{ b n}前n项和．19．(本小题满分12分)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处测得公路北侧远处一山顶D在西偏北角度为α的方向上，行驶a km后到达B处，测得此山顶在西偏北角度为β的方向上，仰角为γ，求此山高CD (单位：km) 20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(1，3)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-3y+2=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y-9=0．(I)求顶点C的坐标；(II)求直线BC的方程．21．(本小题满分12分)如图所示，已知多面体ABCDEF，平面ADEF⊥平面ABCD，ADEF为正方形，ABCD 为直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=21CD=1(I)若M为ED的中点，求证：AM∥平面BEC；(Ⅱ)Q是DC中点，问在EB上是否存在点P使得平面EBQ⊥平面ADP，若存在指出点P的位置，并证明；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知f(x)=422+xx．(I)若关于x的不等式f(x)>k的解集是{x|x<-4，或x>-1}，求实数k的值；(Ⅱ)设g(x)=322+=mxx，x∈[1，3]，若对任意的x l>0，总存在x2∈[l，3]使得f(x l)<g(x2)成立，求实数m的取值范围．附加题：(本小题满分10分)(各校可根据本校的情况酌情选择本题)已知半径为5的圆与直线4x+3y-29=0相切，且圆心在x轴上，其横坐标为整数．(I)求圆的方程；(II)设直线ax-y+5=0(a>O)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围．石家庄市2011～2012学年度高一第二学期期末考试试卷（B 卷答案）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分. 1-5 CBADB 6-10 BCCBC 11-12 BB 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分.13. 12 14. (19)82200,(19)89.12x x x +⨯>⎧⎪+⨯⎨>⎪-⎩ 15. 1 16.; ①②④ 三、解答题17．（本小题满分12分） 解:由题中三视图可得，该几何体为圆锥的一半.则该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和 . ………………2分 又圆锥侧面展开图为扇形21=2222s a a a ππ∴⨯⨯=扇.…………4分 底面积为2=s a π∴底 . ………………6分 轴截面面积为21=2222s a a ∴⨯⨯⨯=轴 . ………………8分2232S a π∴=该几何体表面积为 . ……………12分18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的,首项为 1a ，公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由 520S =- ， 1,34,a a a 成等比，1211154520,2(2)(3).a d a d a a d ⨯⎧+=-⎪⎨⎪+=+⎩…………………3分 18,2,a d ∴=-=210n a n ∴=-.………………6分（Ⅱ）依题意128,4,b b ∴=-=-所以12q =，……………8分 所以数列{}n b 前n 项和为18[1()]2112n n T --∴=-…………10分 41162n -=-.……………12分 19. （本小题满分12分）解:依题意，,CAB ACB αβα∠=∠=-，,DBC γ∠= …………3分 由正弦定理得 又因为sin sin BC ABCAB ACB =∠∠ ………………6分 sin sin ,sin sin()AB CAB a BC ACB αβα∠∴==∠-……………9分sin tan tan sin()a CD BC DBC αγβα∴=⨯∠=-.所以此山高为sin tan sin()a αγβα-(km) .……………12分20. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）依题意知：直线AC 的斜率为32， 可得AC 所在的直线方程为0323=+-y x ，…………3分 又AB 边上的中线CM 所在直线方程为0232=+-y x ,由3230,2320.x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 得C （-1,0）,所以顶点C 的坐标为（-1,0）.……………6分（Ⅱ）设B （a,b ）,又A （1,3）, M 是AB 的中点 ，则M （)23,21++b a , 由已知得2390,132320.22a b a b +-=⎧⎪⎨++⋅-⋅+=⎪⎩ 得B （3,1）.………………10分 又C （-1,0） ,得直线BC 的方程为014=+-y x .……………12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =．…………2分 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ． 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ．………………5分(Ⅱ)存在这样的点P,此时P 点为EB 中点.…………6分 证明：取EQ 中点K,连结PK,DK,AP.可知PK//BQ,BQ//AD,所以PK//AD,所以A,P,K,D 四点共面. 由已知AD ⊥ED,AD ⊥DC,所以AD ⊥面EDC EQ ⊂面EDC ，所以AD ⊥EQ ①………………8分因为ED=DQ=1，K 为EQ 中点，所以DK ⊥EQ ②………………10分 由①，②可知EQ ⊥平面APKD,EQ ⊂面EBQ,所以平面EBQ ⊥平面ADP.………………12分 22 （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由()f x k >，得224xk x >+， 即2240kx x k -+< ， ……………2分 其解集为{}14x x x >-<-或.则-1，-4是方程2240kx x k -+=的两根 ,25k ∴-=， 25k ∴=- .……………5分 (Ⅱ)0x >时 ，222()44x f x x x x==++ ，又444,2x x x x x+≥===当且仅当即等号成立，max 1()2f x ∴=，……………7分又对任意10x >，总存在[]21,3x ∈使得 12()()f x g x < 成立， 所以当[]1,3x ∈时 函数2()23g x x mx =-+的最大值大于12，…………9分 函数2()23g x x mx =-+的对称轴0x m =，221196312322m m m m ≤>⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨-+>-+>⎪⎪⎩⎩或，2312m ∴<.………………12分 附加题：（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以42955m -=，…………………2分 即42925m -=．因为m 为整数，故1m =．故所求圆的方程为22(1)25x y -+=． ………………………… 5分 （Ⅱ）将直线50ax y -+=代入圆的方程中得：22(1)2(51)10a x a x ++-+=，………………7分由于直线与圆交于A 、 B 两点，所以224(51)4(1)0a a ∆=--+>， 即21250a a -> 又0a >. 512a ∴>所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞ . ……………10分。
11-12-1高数(一)期终考试试题答案及评分标准(A)
| | | | | | | |装| | | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2011~2012学年 第 一 学期期末考试《高等数学（一）》试卷（A ） 使用班级 11级本科 答题时间_120分钟（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共 15 分。
）1、设22()54,()(1)x x x x x αβ=-+=-，则当1x →时，（ D ）。
A. ~αβ B. αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小C.αβ是比高阶的无穷小 D. 低阶的无穷小是比βα2、设2,1(),1ln x xf x x a b x ≤⎧=⎨>+⎩在点1=x 处可导，则,a b 的值为（ B ）。
A. 0,1a b == B. 1,2a b == C. 1,12a b == D. 1,0a b == 3、设⎰++=dx x x x I sin 1cos ，则I =（ D ）。
A. 2(1cos )x C ++ B. a r c s i n x x C ++C. l n 1c o s x C ++D. ln sin x x C ++4、在[0,1]上''()0f x >，0)('<x f ，则其在区间[0,1]上为（ B ）。
A.单调增，凹 B. 单调减，凹 C. 单调增，凸 D. 单调减，凸5．下列反常积分中发散的是（ C ）。
A. 211dx x +∞-∞+⎰ B. 1+∞⎰C.1dxx⎰D. 1⎰二、 填空题（本大题共5小题，每题3分，共15 分。
）6、n nn n n sin lim3++∞→= 0 ；7、设x x x f ln )1(+=+，则()''=f x 2)1(1--x ；8、已知)(x f 的一个原函数是)tan 1(x x +，⎰='x x f x d )(则C x x +22sec ；9、微分方程y x y 2'=的通解是 3x Ce ；10、用待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程xe x y y y 2//)4(23+=+'-的特解时，所设特解的形式为=*y x e b ax x 2)(+。
《高等数学1,2 2012年》试题及答案
f x 3x 2
1 2
2 x2 3
。
极限 lim (1 ax) x
x 0
x
e 2 ,则 a
a 2
。
y e 的马克劳林公式为
x2 x n ex x n 1 1 x , (0 1) 。 2! n! (n 1)!
4、
设
x t cos t dy sin t t cos t ，则 ＝____ 。 cos t t sin t dx y t sin t
5、
已知 f ' (3) 2, 则 lim
h 0
f (3 h) f (3) = 2h
-1
。
x 3y 0
6、 通过 z 轴和点（-3，1，-2）的平面方程
f '( x)
1
2分 2分 2分
sin x 2 2sin x 2 2 x x2 x
2分
xf ( x)dx
0
1 1 1 1 1 f ( x)dx 2 f (1) x 2 f '( x)dx 2 0 2 2 0
1 1 2 x sin x 2 dx 0 2 1 1 sin x 2 dx 2 2 0 1 (cos1 1) 2 四、解答题（每小题 6 分，共 30 分）
0 x
x 0
（1 分）
＝ lim
x 0
3x
（1 分） （1 分） （1 分）
＝ lim ＝
x 0
2 cos x 3
2 3
g ( x) e 2 x ,x0 2、设 g (0) 1, g ' (0) 2, g" (0) 1, f ( x) ，求 f ' (0) 。 x 0, x 0
高等数学统考卷11-12届附答案
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
华农-11-12年第一学期高等数学上试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．0sin 5lim2x xx→= 5/2 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ A ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线y =4x =处的切线方程是（ C ）A ．114y x =-B ．112y x =+C ．114y x =+ D ．124y x =+ 3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ） A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx=+⎰ C ．()()d f x dx f x =⎰ D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广州大学2011-2012学年第一学期考试卷
高等数学Ⅰ1（90学时）参考解答与评分标准
一．填空题（每空2分，本大题满分28分） 1．曲线211
cos 1x y x x
+=-有水平渐近线y =2和铅直渐近线x =1
.
2．设1()(1)x
f x x =-，则0
lim ()x f x →=
1
e
，lim ()x f x →-∞
=
1
.
3．设2
y x =，当3x =，0.01x ∆=时，y ∆=0.0601
，d y =0.06
.
4．设cos sin cos x t
y t t t =⎧⎨=-⎩
，则d d y t =
sin t t
，
d d y
x
=t
-.
5．若点(1,2)为曲线
3
2
3y ax x
b =++的拐点，则常数a =1-，b =0.
6．设,
0()2,0
bx a x f x x +≤⎧=+>在点0x =处连续且可导，则常数a =
2
，
b =1.
7．设31
()(1sin )d x
f x t t -=+⎰，则(1)f =
2，()f x '=
3
1sin x +.
二．解答下列各题（每小题8分，本大题满分24分）
1
．求函数1
arcsin (1)y x x
=
+>的一阶和二阶导数.
解：212()y x x '=⋅+⋅- 。
（4分）
=
-
x
=
， 。
（5分）
y x ''
==。
（8分）
2．求曲线3
5
(1)2y x y x +-+=在点1x =处的切线方程.
解：将1x =代入曲线方程，得1y =，切点为(1,1). 。
（1分） 曲线方程两边对x 求导，得
2
4d d 3(1)50d d y y
y
y x x x x
++-+= 。
（5分） 将1x =，1y =代入上式，得切线斜率1,1
d 2d x y y
k x ====-， 。
（6分）
切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=. 。
（8分）
3．求函数()sin x
f x e x =的极大值和极小值.
解：()sin cos x x
f x e x e x '=+， 。
（2分）
令()0f x '=，得驻点4
k x k π
π=-
，k ∈Z . 。
（4分）
()2cos x f x e x ''=， 。
（5分） 当k
为偶数时，()0k x k f x e ''=
>
，()2k
x k f x e =-
为极小值； 。
（7分） 当k
为奇数时，()0k x
k f x e ''=<
，()2
k x k f x e =为极大值. 。
（8分）
三．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分)
1．22ln(1)d x x x +⎰
.
解：2
2ln(1)d x x
x +⎰22ln(1)d(1)x x =++⎰ 。
（2分） 22(1)ln(1)2d x x x x =++-⎰ （4分）
222(1)ln(1)x x x C =++-+. （6分）
2
．
1
x ⎰
.
解：令2sin x t =，arcsin
2
x
t =，则
1x ⎰/42/61
2cos d 4sin 2cos t t t t ππ=⋅⋅⎰ 。
（3分） /42/61csc d 4t t ππ=⎰/4
/6
1cot 4t ππ⎡⎤
=-⎢⎥⎣
⎦14-=。
（6分）
3．
211
d 25x x x +∞
++⎰. 解：211d 25x x x +∞++⎰211d(1)(1)4
x x +∞=+++⎰ 。
（2分） 11
1arctan 22x +∞
+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 。
（4分） 8
π
=
. 。
（6分）
求函数11
()1ln ||
f x x x =
-
-的间断点，并判别其类型. 解：由初等函数()f x 在其定义域内处处连续，可知()f x 的间断点有三个：1x =-、0x =和1x =. 。
（3分）
因1lim ()x f x →-=∞，所以1x =-是()f x 的无穷间断点. 。
（5分）
因0
lim ()1x f x →=-，所以0x =是()f x 的可去间断点. 。
（7分）
1111lim ()lim(
)1ln x x f x x x →→=--1ln 1
lim
(1)ln x x x x x
→-+=- 11
1
lim 1ln 1x x x x →-=+-11lim 11x x x x
→-=+1
2=-
所以1x =是()f x 的可去间断点. 。
（12分）
五．（本题满分6分)
证明：当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>. 证明：令()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-，则
21()ln(1)11f x x x '=++-+2
2
ln(1)1x x x
=+++， 。
（2分） 当0x >时，()0f x '>，因此()f x 在区间[0,)+∞上单调增加. 。
（4分） 于是，当0x >时，()(0)0f x f >=，即得所证. 。
（6分）
在曲线族2(1)y a x =-（0a >）中，试求一条曲线，使这条曲线与它在点(1,0)处的法线及y 轴所围成的图形的面积为最小.
解：曲线2
(1)y a x =-在点(1,0)处的法线方程为 1
(1)2y x a
=-. 。
（3分） 所围成的图形的面积为
1
20
1
[(1)(1)]d 2S a x x x a
=--
-⎰ 。
（6分） 21
34a a
=+ 。
（9分） 令2
21
()03
S a '=-=，得唯一驻点4a =，此时所围成的图形的面积最小.
所求曲线为2(1)4
y x =-. 。
（12分）。