数学物理方程：附A 三类定解问题及其解的比较

附录数学物理方程求解方法讨论（选读）附A 三类定解问题及其解的比较本节讨论：①定解问题的共性，②提法的比较，③解的性质的比较,④一般性总结⒈定解问题的共性它们都是线性方程线性方程有许多好的性质，它为定解问题的求解带来了方便。

首先，叠加原理的使用使得许多问题的求解成为可能；其次，正是由于定解问题的线性性质，非齐次边界条件或非齐次方程的齐次化方法成为可能；另外，也是由于定解问题的线性性质，分离变量法成为数学物理方程甚至数学物理学中基本方法之一。

它们都是常系数方程常系数方程反映了物理问题的均匀性、各向同性和一定的对称性质。

它也为问题的求解带来了方便，即①任何一个充分光滑解的（偏）导数也是原方程的解，②一定存在着指数函数解。

另外常系数的方程都对坐标平移具有不变性，并且其空间部分的u对坐标的旋转更是具有不变性。

它表明该物理现象不因坐标系的选择而有所改变。

它们都是二阶方程除了二阶方程具有对空间坐标的正交变换的不变性外，二阶方程还具有惯性定理、极值性质等等。

除了以上共性外，三类方程还有如下各自的特点。

⒉定解问题提法的比较操华胜：数学物理方程- 236 - 前面讨论了三类（双曲型、抛物型、椭圆型）定解问题：200,tt t t t n S u a u f u u u u g ϕψαβ==⎧=∆+⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎩ 20t t n S u a u f u u u g ϕαβ=⎧=∆+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩n S u f u u g αβ∆=⎧⎨+=⎩ (10.1.1) 式中：(,)f f t x =、()x ϕϕ=、()x ψψ=、()g g t =，一般而言α、β为常数，n u u n∂=∂且n 为边界曲面S 的外法线方向，t 为时间变量，x 为空间变量（向量）。

由于三类方程在物理意义上有很大的区别，所以定解问题的提法也是不同的。

对拉普拉斯方程而言，它反映了稳定、平衡状态的物理量的分布状况，因此结它的定解问题来说，只有边界条件而无须初始条件；因此不对它提柯西问题和混合问题。

同样，对双曲型方程与抛物型方程，它们的柯西问题（或混合问题）的提法也是不一样的，抛物型方程只要一个初始条件，双曲型方程需要两个初始条件。

若从数学的角度考虑，定解条件的提法也还是任意的。

如将弦振动方程（改用非时间变量）和拉普拉斯方程写为：0xx yy u u -=， 0xx yy u u += (10.1.2)它们是一致的，能否提相同的定解条件？即能否对弦振动方程提第一边界条件，对拉普拉斯方程提柯西问题？答案是否定的。

它们还要受到适定性的约束。

可以验证，定解问题（拉普拉斯方程的混合问题）：0(0,)(0,)0(,0)0,(,0)sin xx yy k y u u u y u u x u x u nxπ-⎧+=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ （n 为正整数） (10.1.3) 有唯一解：11(,)sin sh n k u x y nx ny n += (10.1.4)不难发现，这样的解是不稳定的。

即当n →∞时，原问题变为齐次方程带全部的齐次条件（其解理应为零），而此时方程的解u →∞，这是不可能的。

同理，也可举例说明弦振动方程的第一边值问题是解是不适定的⒊ 不同求解方法的比较（适定性质）在本书中，介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法，关于这些解法的解题思想、应用条件以及理论根据，以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们（和一些其它方法）作一点综合性的评述，以便于读者有一个横向的比较。

⑴ 分离变数法．这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理论上说，附录数学物理方程求解方法讨论- 237 -分离变量法的依据是斯特姆-刘维(S-L)型方程的本征值问题．这在前面已作了较系统的阐述，不再重复。

从解题步骤上看，除了留待确定叠加系数的部分定解条件外，要求方程和其余的解条件都必须是齐次的(因此，如果它们是非齐次的，则必须首先齐次化)．这样，对于定解问题中微分方程的具体形式就有一定的限制，对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制．这又涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面)。

在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外，也还可能会出现其他的特殊函数。

⑵积分变换方法．这种方法的优点是减少方程的自变量的数目．从原则上说，无论是对于时间变量，或是空间变量，无论是无界空间，或是有界空间，都可以采用积分变换的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算看，就需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积分变换．反演问题，也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用，采用积分变换的确可以带来极大的便利．但反过来说，如果涉及的积分比较复杂，也没有现成的结果(包括工具书)可供引用，那么，反演问题也可以成为积分变换的难点。

积分变换方法和分离变量法存在密切的联系．例如，当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分变换方法。

另外，从实用的角度说，如果是有界空间，一般说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用分离变量法。

积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以应用于求解非线性偏微分方程。

⑶格林函数方法．应该说，这种方法具有极大的理论意义．它给出了定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，因而便于讨论方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解如何相应地变化．而且，不止如此，在讨论本征值问题的普遍性质时，也离不开格林函数．只不过在本书中未作具体介绍而已．格林函数方法，已经成为理论物理研究中的常用方法之一。

应用格林函数方法，最重要的是，要能够求出格林函数的具体形式．尽管格林函数所满足的是一种特别简单的定解问题：方程的非齐次项为±函数，定解问题均为齐次，因此，在少数情形下，能够求得格林函数的简单表达式．但是，一般说来，要能够求出格林函数，仍只限于若干种空间区域形状，和分离变量法没有什么差别。

格林函数方法的另一个优点是便于进行近似计算．例如，对于某一类偏微分方程的定解问题，由于区域形状的限制，不能求出它的格林函数的解析表达式．但是，如果必要的话，总还可以求出格林函数的足够精确的近似解(例如数值解)．这样，也就可以进一步求出这一类偏微分方程定解问题的近似解．这在工程上还是具有实际意义的。

基本解方法可以理解为格林方法的特例，它是格林函数方法与冲量原理方法的结- 238 -操华胜：数学物理方程合。

除了上面提到的这几种方法外，还有：⑷变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，它可以把不同类型的偏微分方程定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之一．在实用上，变分法，又提供了一种近似计算的好办法．有效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化．在物理学中，过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法．例如，在原子和分子光谱的计算中，就广泛地采用了变分法。

⑸对于二维和三维拉普拉斯方程的边值问题，也还可以将解表示为特殊的积分公式．对于二维拉普拉斯方程，它的解一定是解析函数的实部或虚部，因此，可以采用复变函数的方法求解．例如，圆内或上半平面的第一类边值问题，拉普拉斯方程的解就可以表示为泊松积分．三维拉普拉斯方程第一类边值问题的解，也可以表示为沿边界面的积分。

⑹保角变换．这种方法的理论基础，是解析函数所代表的变换的保角性．在复变函数中已作过非常初步的介绍．这种解法，主要用于二维拉普拉斯方程或泊松方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状(因为难以在“不规则”和“规则”之间划定一个界限)，例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内。

再结合上半平面或圆内的泊松公式，就能直接求出二维拉普拉斯方程的解．运用保角变换，的确可以解决一些有意义的物理问题或工程问题，例如，有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角变换方法，可以把偏心圆化为同心圆．⑺对于双曲型方程的定解问题，也存在一些特殊的解法，例如平均值法，降维法，等等．在理论上说，双曲型方程的解的存在唯一性，可以通过所谓Cauchy 型边界条件(即要求解在边界上同时满足给定的函数值与法向微商值)得到保证①．相应地，双曲型方程，就可以采用特征线法(或称Riemann方法)求解。

⒋解的性质的比较⑴解的光滑性从物理现象本身上看，拉普拉斯方程描述物理过程的平衡与稳定的状态，表明这种状态的解应该是非常光滑的；热传导现象具有能迅速地趋于均衡状附录数学物理方程求解方法讨论- 239 -态的特点，因而解也比较光滑；而波的传播现象中其光滑程度显然不及前两者那样光滑，甚至可能有间断性的解。

从定解问题的解看。

作为一个二阶方程的古典解，要求它有连续的二阶导数，即它是光滑的函数。

但对不同类型的方程来说，解的光滑程度是不同的。

如拉普拉斯方程的任意连续解在解的定义区域内部是自变量的解析函数，十分光滑。

传导方程的解关于空间变量是解析的，关于时间变量是无穷次可微的，也相当光滑。

对波动方程的解只有当初始条件的光滑性较好时问题的解才可能具有二阶的连续导数。

⑵解的极值原理对拉普拉斯方程内部不能有极值，极值只能在边界上达到；传导方程在区域内部的极大值不能超过区域各面边界上取得的最大值，对时间而言的极值在初始时刻达到；双曲方程没有极值性质。

⑶解的空间特性波动方程反映的波的传播现象，初始条件的影响范围是一圆锥体，一点的依赖区域也是圆锥体；传导方程的传播速度是无穷的；拉普拉斯方程是平衡状态，不产生传播速度问题。

⑷关于时间的反演拉普拉斯方程与时间无关，不会产生时间的反演问题；波动方程是一个可逆过程，波从0t=时t=变化到0t t=时刻的过程相当于波从0t t=变化到0刻的过程；传导方程描述的传播现象是由高到低的不可逆的。

附B 微分方程的直接积分方法讨论⒈广义格林公式为以后应用方便，本节给出几个微分公式与积分公式。

操华胜：数学物理方程- 240 - 共轭算子 先介绍共轭微分算子。

若2111()()()()n n n ij i i j i i j i u x u Lu a x b x c x u x x x x ===∂∂=++∈Ω∂∂∂∑∑∑ (10.2.1)式中ij ji a a =。

再设()v v x =，并且()()*111()()()n n n ij i i j i i j i L v a x v b x v c x v x x x ===∂∂=-+∂∂∂∑∑∑ (10.2.2) 称*L 为L 的共轭微分算子，反之亦然。