不等式与线性规划

1．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：（同向可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+．性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 推论1：如果00a b c d >>>>，，则ac bd >．推论2：如果0a b >>，则*(1)n n a b n n >∈>N ，． 推论3：如果0a b >>*(1)n n a b n n >∈>N ， 2．均值不等式：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +，当且仅当a b =时，等号成立．对于任意两个正实数a ，b ，数2a b+叫做a ，b ab a ，b 的几何平均值． 均值不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．<教师备案>在利用均值不等式求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变量的各项的和或积必须是定值；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．⑷如果多次使用均值不等式，则等号成立的条件必须同时成立．3．简单的线性规划用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ． ⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．知识点睛第10讲不等式与 线性规划考点：不等式性质 【例1】 ⑴ 若a b c d >>，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．a d b c +>+B ．ac bd >C ．a bc d> D ．d a c b -<-⑵ 若a b >且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．22a b > ⑶ 已知a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是（ ）A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22ac ab <D ．()0ac a c -> ⑷ 下列命题中正确的命题是_________． ①若a b ∈R ，且22ac bc >，则a b >；②若a b ∈R ，且a b >，则11a b<；③若a b ∈R ，且a b >，则44a b >； ④若00a b c d >>>>，，则ac bd >.【解析】 ⑴ D⑵ A ⑶ A ⑷ ①③④【备选】试写出同时满足0a cb d＞＞，ad bc ＜的一组():a b c d ，，， ． 【解析】 (2111)--，，，考点：不等式恒成立【例2】 ⑴ 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切x ∈R 恒成立， 则实数a 的取值范围是______⑵ 不等式2(2)2(2)40a x a x -+-->对一切[)1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是_____ ⑶ 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是_________．【解析】 ⑴ (]2,2-⑵ 8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶ ()(),14,-∞-+∞考点：均值不等式 【例3】 ⑴ 已知a b ，是两个正数，则下列不等式中错误的是（ ）A ．232a a +>B ．222a b ab +≥C ．2a bb a+≥ D．2a b +⑵ 已知a b +∈R ，且21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．19经典精讲⑶ 已知正数a b ，满足1ab =，则2a b +的最小值是_______； ⑷ 设实数a b ，满足0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最大的是（ ）A ．22a b +B ．2abC ．aD ．12【解析】 ⑴ D⑵ C ⑶⑷ A尖子班学案1 【拓1】 ⑴ 函数221xy x =+在0x >的最大值为________． ⑵ 已知1(2)2m a a a =+>-，212n x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则m n ，之间的大小关系为________． 【解析】 ⑴ 1⑵ m n ≥目标班学案1【拓2】 已知正数a ，b ，且2244a b +=，则y =的最大值是 ；【解析】 54【例4】 ⑴ 已知0a >，0b >，a b ，的等差中项为12，且1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是________；⑵ 已知a b ，是正常数，x y +ÎR ，，且10a b +=，1a bx y+=，x y +的最小值为18，求a b ，的值． 【解析】 ⑴ 5⑵ 2a =，8b =或8a =，2b =．【例5】 已知0a >，0b >，1a b +=，证明下列不等式．．⑴ 11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑵ 12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑶2【解析】 ⑴ 法一：()1111322244a b ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，122a b +=，所以111312244a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．法二：∵111222a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112212a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑵ ∵121233a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123312a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑶∵2212a b +=++=，1=2．2a b +的理解与运用：2a b +中要求,a b +∈R，而2a b +对任意x ∈R 均成立； 在需要使用均值不等式时，一般的处理方式是先观察待求式与已知条件，找到什么时候为定值，之后再使用具体的不等式，化简的到最终结果．本题的⑴和⑵2a b+； ⑶中观察得到平方和为定值，求两数和的最大，从而用2a b +【备选】 已知2x y xy ++=，且0x >，0y >，求x y +的最小值．【解析】 x y +的最小值为2．考点：线性规划 尖子班学案2【铺1】 已知二次函数2()f x ax bx =+，1(1)1f --≤≤，3(1)5f ≤≤．⑴ 求a b ，的取值范围； ⑵ 求(2)f 的取值范围． 【解析】 ⑴ [13]a ∈，，[13]b ∈，，⑵ 8(2)16f ≤≤．【例6】 ⑴ 不等式组20210x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，≤≥0≥表示的区域为D ，z x y =+是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为 ；z 的最大值为 ．⑵ 已知1324a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____，ab的取值范围是_____. ⑶ 在直角坐标系中，若不等式组0(1)y y y k x ìïïïïíïï?ïî≥≤，则实数k 的值为________ 【解析】 ⑴ 252，5⑵ (24)-，；1342⎛⎫⎪⎝⎭，⑶-目标班学案2【拓2】 定义max{}a a b a b b a b ìïï=íï<ïî，≥，，，设实数x y ，满足约束条件2244x y ìïïíïïî≤≤，则m a x {43}z x y x y=+-，的取值范围为________【解析】 []710-，定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且为奇函数，若实数s t ，满足不等式22(2)(2)f s s f t t ---≥，则当14s ≤≤时，求3t s +的取值范围．【解析】 ∵函数()f x 为奇函数，则2222(2)(2)(2)(2)f s s f t t f s s f t t ---?-≥≥，又函数()f x 为增函数，则2222s s t t --≥，即()(2)0s t s t -+-≥ ∵14s ≤≤，则若s t <，则有20s t +->，与()(2)0s t s t -+-≥∴s t ≥，即s t ，满足的约束条件为02014s t s t s ì-ïïïï+-íïïïïî≥≥≤≤，画出可行域如图，则点(42)A -，，(44)B ，，(11)C ，，当目标函数3z t s =+过点A B ，时，取到最值，即min 2z =-，max 16z =，即3t s +的取值范围为[]216-，．已知,,a b c 是不完全相等的任意实数．若2x a bc =-，2y b ac =-，2z c ab =-，则,,x y z 的值（ ）A ．都大于0B ．至少有一个大于0C ．至少有一个小于0D ．都不小于0【解析】 B大千世界222x y z a b c ab ac bc ++=++---222222222222a b ab a c ac c b bc+-+-+-=++()()()222111222a b a c c b =-+-+-， 因为a b c ≠≠，则0x y z ++>， 所以x y z ，，中至少有一个大于0．。