二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文
二阶变系数线性微分方程的特解
二阶变系数线性微分方程的特解张金战( 陇南师范高等专科学校, 甘肃成县 742500)摘要: 在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下, 可以得到该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解, 本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式.关键词: 线性微分方程; 特解; 通解中图分类号: O 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9020( 2007) 02- 014- 02 1 、引言对于方程( 2) 的特解的确定, 有以下结论: 2二阶变系数线性微分方程是指定理 1 若存在实数 a,使 a+ap(x)+q(x)=0, 则方程( 2) 有特 ax解 y=e. 1y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ( 1) 2axax2ax 证明 : 设 a+ap(x)+q(x)=0, 将 y=e,y'=ae, y"=ae代入方 111y"+p(x)y'+q(x)y=0 ( 2) 2axaxaxax 2程( 2) 的左端得 : ae+aep (x)+eq (x)=e[a+ap (x)+q (x)]=0, 即其中p( x) ,q(x),f(x)都是关于 x 的连续函数, 方程( 1) 称为 ax y=e是方程( 2) 的特解. 1二阶变系数非齐次线性微分方程, 方程( 2) 称为方程( 1) 对应 x推论1 若 q(x)+p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1的齐次微分方程. 在已知方程( 2) 的一个非零特解的条件下, - x推论 2 若 q(x)- p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1文[1]给出了求方程( 2) 的通解的刘维尔公式, 文[2]、文[3]给出推论 3 若 q(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=1. 1了方程( 1) 的一个通解公式.这样将求解方程( 1) 和( 2) 的问题 2 定理 2 若 k?1 且 k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特就转化成了找出方程( 2) 的一个非零特解的问题 , 但求方程 k解 y=x. 1( 2) 的特解没有一般方法, 通常用观察法, 多数情况下难以操 2kk- 1证明 : 设 k (k- 1)+kxp (x)+xq (x)=0, 将 y=x,y'=kx,y"=k111作.本文给出在方程( 2) 的系数满足一定条件下的特解形式, k-2 k- 2k-1kk-2 (k- 1)x代入方程( 2) 的左端得 : k(k- 1)x+kxp(x)+xq(x)=x从而解决方程( 1) 和( 2) 在某些条件下的求解问题. 2k [k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)]=0,即 y=x是方程( 2) 的特解. 12 、主要结论推论 4 若 p(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1[1] 引理 1若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解 , 则方程( 2) 122推论 5 若 xq(x)+2xp(x)+2=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1的通解为 2定理 3 若[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k- 1)=0, 则方程( 2) kx有特解 y=xe. 12kx证明 : 设 [p (x)+q (x)+1]x+kx [p (x)+2]+k (k- 1)=0 将y=xe, 1- p(x)dxkxk- 1xkxk- 1xk- 1xk- 2x !y'=xe+kxe,y"=xe+kxe+kxe+k (k- 1)xe代入方程( 2) 11 e y=cy+cydx1121 ! 2 的左端得: y 1kxk- 1xk-1 xk-2xkxk-1 xkxxe+kxe+kxe+k(k- 1)xe+(xe+kxe)p(x)+xeq(x)k- 2x2其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12=xe{[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k-1 )}=0 ![2,3] 引理 2若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解, 则方程( 1) 1的通解为- p(x)dx- p(x)dx! ! p(x)dx! k x e e 即 y=x e 是方程( 2) 的特解.1( yf(x)e dx) dx] y=cy+cydx+y[1121 11! !!2 2 yy 11推论 6 若 [p (x)+q (x)+1]x+p( x)+2=0, 则方程( 2) 有特解xy=xe. 1其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12 !收稿日期: 2007- 01- 21作者简介: 张金战( 1965— ) , 男, 甘肃礼县人, 陇南师范高等专科学校数学系讲师, 教育硕士。
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究1. 引言1.1 研究背景二阶线性微分方程是微积分中的重要内容，通过对其求解可以研究各种物理现象和工程问题。
一般情况下，二阶线性微分方程的系数是常数，但在实际问题中，系数往往是变化的，这就是变系数线性微分方程。
变系数线性微分方程是一类具有很高难度的微分方程，在传统的数学建模和求解中往往难以得到简洁的解析解。
目前，关于变系数线性微分方程的研究主要集中在数值求解和特殊情况下的解法探究上，而对于一般情况下的解法仍存在一定的挑战。
有必要对一类二阶变系数线性微分方程的解题方法进行深入探究，以完善相关理论和方法，推动微分方程领域的发展和应用。
1.2 研究目的本文旨在探究一类二阶变系数线性微分方程的解题方法，旨在通过研究该类微分方程的一般形式，特殊情况下的解法探究以及变系数对解的影响分析，深入理解微分方程中变系数的作用机制。
本研究旨在通过数值方法求解，探讨在实际应用中如何有效地求解该类微分方程，从而为工程问题中的应用提供理论支撑。
通过实例分析，将具体问题与理论相结合，验证所提出的解题方法的有效性和实用性。
最终，通过对变系数线性微分方程的解析解与数值解进行对比，分析方法的优缺点，探讨未来研究的方向，为这一领域的深入研究提供基础。
1.3 相关工作相关工作是指已经在变系数线性微分方程解题方法方面取得一定成果的学者们的工作。
在这个领域中，已经有许多学者对不同类型的二阶变系数线性微分方程进行了探究与解析，并提出了各种解题方法。
某些学者使用变换方法将一个复杂的二阶变系数线性微分方程化简为一个更容易求解的形式；另一些学者则采用特殊函数法或级数解法来求解特定类型的变系数微分方程。
还有学者尝试将变系数微分方程转化为常系数微分方程来求解，以简化计算过程。
一些研究者也尝试使用计算机数值模拟的方法来求解二阶变系数线性微分方程，通过数值求解可以得到更精确的数值解，并且可以应用于实际工程和科学问题中。
二阶变系数线性齐次微分方程的通解
黎 卡 提 （ Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ ） 方 程 老＝ 尸 （ ） ｙ ＋ Ｑ （ ） ） ， ＋ Ｒ （ ） （ ２ ） 一 般
是不可积的 ， 即不能用初 等积分 法求解． 文献 ［ ２—４ ］ 均 给 出 了待定系数满足定理条件时 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程的通积分． 如：
作者简 介 ： 张玉兰 （ １ ９ ８ ２一） ， 女， 江苏盐 城人 ， 南 京铁道 职业 技术 学 院社会 科学 部讲 师 ， 硕士． 研 究方 向 ： 运筹 学 、 控制
，
竺 —— 型 —＿—一
— —
Ｃ —ｆ Ｐ （ ） ｅ ２ Ｊ 雎 （ 舳ｄ ｘ
＋ （ ） （ Ｃ 为 常 数） ＋Ｐ （ ） （ 为常数 ） ．
．
证明 ： 当Ｑ （ ｘ ）一 ０ ， （ ）＝Ｐ （ ）一ｔ ， Leabharlann （ ）时 ， 方程 （ ２ ）
即为 Ｙ ＝Ｐ （ ｘ ） ｆ＋ Ｐ （ ） 一 Ｊ Ｐ ３ （ ） （ ３ ） ． 显然Ｙ＝Ｐ （ ） 为方
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＡＮＧＳＨＡ ＵＮＩ ＶＥＲＳｌ ＴＹ
二 阶 变 系数 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 通 解
张 玉 兰
（ 南京铁道 职业技 术学院社会科学部 ， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ５ ）
摘
要： 主要 讨论 了二阶 变系数线性 齐次微 分方程的求解 问题 ， 利用 变量代换 的方法将 二阶 变 系数线性 齐次微 分方程
所 以 （ ） ＝ 一 等， 则 方 程 （ ４ ） 即 为
｝ ｍ（ ）＋Ｐ ２ （ ）＝０ ， 根据一阶线
ｍ （ ）＋ ｛ ２ （ ）一
引 理 １ 瞳 对 方 程 （ ２ ） ， 若 系 数 满 足 （ 等 ） ＝ 一 （ ） ，
二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业论文
毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
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二阶变系数齐次线性微分方程求解问题的探讨
346艺术文化交流2013年03月下半月刊二阶齐次线性微分方程在科学研究、工程技术中有着广泛的应用，其中的二阶常系数齐次线性微分方程一般都是可解的，但是二阶变系数齐次线性微分方程的求解却较为困难，下面探讨如何利用判别式法求解二阶变系数齐次线性微分方程。
形如0)()(=+′+′′y x Q y x P y （其中)(),(x Q x P 是连续函数）（1）的方程为二阶变系数齐次线性微分方程，称函数)(4)()(2)(2x Q x P x P x D −+′=为其判别式，它是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程判别式的自然推广。
定理1 若二阶变系数齐次线性微分方程（1）的判别式)()(是一个常数k k x D =，则其基本解组为要：二阶变系数齐次线性微分方程的求解一般较为困难，对于某些二阶变系数齐次线性微分方程，可考虑用判别式法求解，这是二阶常系数齐次线性微分方程特征方程判别式法的自然推广。
关键词：二阶齐次线性微分方程；判别式；解组 二阶齐次线性微分方程在科学研究、工程技术中有着广泛的应用，其中的二阶常系数齐次线性微分方程一般都是可解的,但是二阶变系数齐次线性微分方程的求解却较为困难,下面探讨如何利用判别式法求解二阶变系数齐次线性微分方程。
形如0)()(=+′+′′y x Q y x P y (其中)(),(x Q x P 是连续函数)（1）的方程为二阶变系数齐次线性微分方程, 称函数)(4)()(2)(2x Q x P x P x D −+′=为其判别式， 它是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程判别式的自然推广。
定理1 若二阶变系数齐次线性微分方程(1)的判别式)()(是一个常数k k x D ,则其基本解组为 )])([21exp(1dx w x P y ∫+−=, −=,其中k 是一个常数,则由变量代换x t ln =,(1)式可转化为变量t 的二阶变系数齐次线性微分方程 0))(exp())(exp()2exp()1))(exp()(exp(22=+−+t y t Q t dt dy t P t dt y d , 并且其判别式k t D =)(1。
二阶变系数微分方程的解法讨论
中 图分 类 号 ： ７ ０１ ５
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ９ ４ ２ １ ） — ０ １ ０ １ ７ — １ Ｘ（ ０ ２ ０ ０ ３ — ２ ４
在 常微 分 方 程 中 ， 如 形
（ ） （ ＝ ｘ （ ， ｙ ｘ是 方 程 的 解 。 １ 若 ） 一 ｂ ） 则 ＝ （ 若 存 在 常 数 １ 使 得 ｒ。 ０ ） ６ ） ０， ２） ７ １ ， ｎ＋ （ ｍ＋ （ ： 则
＝
二 、 一 阶微 分 若
一 ．
前 系 数 为 ０ 且 有 （ 一 ｂ ， ） ４
ｆｘ ｘ ） ａｄ （ 一 ｘｘ ・ Ｉ ） ｝ ａｄ （ ， ， ｅ 即 ， ， 将 可
（ ＋ （ （ ＋ （ （ ］＝ ）０ ） ）６ ） ）
，
、
）
Ｏ时 ， （ ＝ 取 ） ｅ 方 程 化 为
若 ｚ前 系 数 为 零 ， 即 ” ） ｎ ） （ ＋ （ （ ＋ （ ） ６ ）
（ ＝ ） ０时 ， 程 可 化 为 方
＝
窘＋（ ［ ６
］ 。 ｚ 。
南 ） （ ＝ 训
此 时 当 ｚ前 系 数 函 数 为 常 数 时 ， 即 ［ （ 一 ｂ ） ］ ｃ时 ，方 程 可 以化 为 常 系数 的 线 性 ： 微 分 方 程 ， 用 常 系 数 微分 方 程 的求 解 方法 ， 齐 再 对
的通 解 为
（）号 ［ ＋（）（）号 ［” ）ｎ ＝ ｝＋２ ） ］ ＋ （ ＋ （
（ （ ＋ （ （ ］乏 ） ） ） ６ ） ）
整 理 为
ｙｃ 手 ．蔷 ＿ ） ＝十 （ｃ ＋＋＋ ｓ ｅ ． 。 ｉ 似
关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
{ %e
- % u( x) dx
[ %f ( x ) e
%u( x) dx
d x + C1 ] e
% v ( x) dx
dx + C 2 } ( 6)
dx + C1 ] dx + C2 }
y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = f ( x )
( 7) ( 8)
特别地 1 当 f ( x ) & 0 时, 方程 ( 1 ) 就转化为二阶变系数齐次线性微分方程 , 而式 ( 6 ) 、 ( 7) 、 { C1 %e { C 1%e
它们是对应的二阶变系数齐次线性微分方程
2010 年 12 月
河北北方学院学报 ( 自然科 学版)
第6期
y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = 0 的通解公式. 注意 : 以上的求解过程或方式就是二阶变系数线性微分方程的求解方法, 公式 ( 6) 、 ( 7) 、 ( 8 ) 均为 二阶变系数非齐次线性微分方程 y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = f ( x ) 的通解公式 . 公式 ( 9 ) 、 ( 10) 、 ( 11) 均为二 阶变系数齐次线性微分方程 y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = 0 的通解公式, 在具体应用时 , 依据问题应灵活使用. 特别地 2 形如
来稿日期 : 2010 10 15 作者简介 : 李高 ( 1965 ) , 男, 山西天镇人 , 大同大学煤炭工程学院副教授 . 通讯作者 : 常秀芳 ( 1965 ) , 女 , 山 西应县人 , 山西大 同 大学煤炭工程学院副教授 .
[ 3 4]
浅谈二阶变系数齐次微分方程的求解问题_石正华
（泰州师范高等专科学校 江苏泰州 225300）
摘 要：在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶变系数线性微分方程。然而，对此类方程的一般形式，目前 还尚未有通用的求解方法，但一些特殊类型是可以求解的。那么，对特殊的二阶变系数齐次微分方程又应该如何求解呢？这便是本文所要 讨论的内容。本文主要利用构造法与常数变易法来求解二阶变系数齐次微分方程，希望能给读者一些启发与帮助。在实际问题中，二阶变 系数齐次微分方程有着广泛的应用。本文给出了一类特殊二阶变系数齐次微分方程的求解方法。
程的求解作出一定的贡献。
（下转第78页）
收稿日期：2011-12-10 作者简介：石正华（1982-），男，江苏泰州人，助教，从事泛函分析研究。
69
2012年
陆家领：建构主义学习理论与高校体育教学改革的研究
第27卷 第1期
主义学习理论指导下的教学，则强调学生是认知的主体，教师 是帮助学生学习的一种外部条件，并且更强调各要素之间的交 流。 四、建构主义学习理论在高校体育教育改革中的应用
参考文献： [1]郑大明,孙俊涛.“建构主义学习理论”与学校体育教学改革
的探析[J].湖北体育科技,2009(05). [2]李彩萍.建构主义学习理论对高校体育教学改革的启示[J].忻
州师范学院学报,2007(02). [3]李昊.浅析建构主义学习理论对高校体育改革的指导作用[J].
时代教育,2008(02). [4]周顺锡.建构主义与高校体育[J].体育文化导刊,2003(10). [5]谢文静,林锋.建构主义学习理论对职业教育教学改革的启示
Key words: constructivist learning theory; colleges and universities; physical education reform
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目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
若()0f x ≡，则该方程就被称之为二阶变系数齐次微分方程。
对于一般的二阶常系数线性微分方程，根据《常微分方程》教材[2]，用积分变换法，常数变异法等方法便可以顺利求得其解。
然而对于在实际问题中经常所遇到的变系数线性微分方程，这些求解方法均将失效。
介于这种情况，通过对二阶变系数线性微分方程的有关教材和许多学者的文献的研究，总结了前人的成果，根据方程本身的特点，运用不同方法来构造系数函数,对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行讨论，通过某些适当的变换,将二阶变系数微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程的通解,继而根据已有的知识经验，来求解二阶变系数线性方程。
2 构造系数函数法2.1 第一种构造系数函数法定理1 设二阶变系数线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=， （1）其中()(),(),p x q x f x 均为连续函数，若存在连续函数(),() u x v x ,使得()()()()(()(,),)q x p x v x v x v x u x u x ⎧⎨'=+=+⎩（2） 则方程(1)有通解,为_[p()()]d [()2()]d ()d 12e {e [()e d ]d }x u x x p x u x x u x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰，或者_()d [2()()]d [()()]d 12e {e [()e d ]d }v x x v x p x x p x v x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰.证明 如果二阶变系数线性微分方程中的系数(),()p x q x 分别满足(2)那么方程（1）即可变形为[()()][()()()]()y v x u x y v x v x u x y f x ''''++++=.整理即可得[()]()[()]()y v x y u x y v x y f x ''''+++=,即d(()()[()]()d y v x y u x y v x y f x x'+'++=.令 ()Y y v x y '=+, (3) 则d(()()()d y v x y Y y v x y v x y x'+'''''=++= ,那么原方程（1）便可以转化为 ()()Y u x Y f x '+=, （4）此方程为一阶非齐次线性微分方程.方程（4）所对应的齐次方程为()0Y u x Y '+=, （5）所以有()Y u x Y '=-,两边同时积分得1d ()d Y u x x c Y=-+⎰⎰,即ln ()d Y u x x c =-+⎰,则方程(5)的通解为()d e u x x Y c -⎰=.那么方程(4)的通解为()d ()d 1[()e d ]e u x x u x x Y f x x c -⎰⎰=+⎰, (其中1c 为任意常数) 将方程（4）的通解带入(3)式，方程（1）则可通过上述变换降阶为()d ()d 1()[()]u x x u x x y v x y f x e dx c e -⎰'+=+⎰ . （6） 由于方程（6）是通过方程（1）降阶而转化来的，因此该一阶线性微分方程的通解便是我们所要求解的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解。
又因为方程()d ()d 1()[()e d ]e u x x u x x y v x y f x x c -⎰'+=+⎰的解是 _()d ()d ()d ()d 12e {e [()e d ]e d }v x x u x x u x x v x x y f x x c x c -⎰⎰⎰⎰=++⎰⎰,整理得_()d [()()]d ()d 12e {e [()e d ]d }v x x v x u x x u x x y f x x c x c -⎰⎰⎰=++⎰⎰, （7）所以式（7）即为二阶变系数线性微分方程（1）的通解公式。
又因为由（2）式中()()()p x v x u x =+可得()()(),()()(),p x v x u x p x u x v x -=-=⎧⎨⎩所以将其分别代入（7）式，便可以得到方程（1）的另外两种表达形式的通解,即_[p()()]d [()2()]d ()d 12e {e [()e d ]d }x u x x p x u x x u x x yf x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰, （8） 或者_()d [2()()]d [()()]d 12e {e [()e d ]d }v x x v x p x x p x v x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰, (9)推论1 当()0f x ≡时,方程（1）就变成了二阶变系数齐次微分程。
此时程（7），（8）,（9）分别为()d [()()]d 12e {e d }v x x v x u x x y c x c --⎰⎰=+⎰， （10）_[p()()]d [()2()]d 12e [e d ]x u x x p x u x x y c x c --⎰⎰=+⎰， （11）_()d [2()()]d 12e [e d ]v x x v x p x x y c x c -⎰⎰=+⎰， （12）方程（10），（11），（12）便成为与之对应的微分方程()()0y p x y q x y '''++=的通解公式。
推论2 形如011[()()][()()()](){()()[()]...[()]}n n n n n n n y v x u x y v x v x u x y f x C y C y v x y C v x y -''''''++++=+++0,1n ≠是常数。
这种类型的方程可以化为伯努利方程进行求解.解 原方程可以转化为 d(()()[()]()[()]d n y v x y u x y v x y f x y v x y x'+''++=+ ,令 ()Y y v x y '=+，当()d e d v x x y c x -⎰≠时，原方程便可化简为 dY ()()d n u x Y f x Y x+=型伯努利方程,利用变量变换法即可将伯努力微分方程转化为线性微分方程，实际上是给方程dY ()()d n u x Y f x Y x+=两边同时乘以n Y -得 1dY ()()d nn Y Y u x f x x--=-+ ， （13） 继续引入变量1n z Y -= ， （14）从而便可得到d d (1)d d n z Y n Y x x-=-， （15） 将方程（13），（14），（15）依次代入到方程()Y y v x y '=+和方程d(()()[()]()[()]d n y v x y u x y v x y f x y v x y x'+''++=+ 中，便可得到原方程011[()()][()()()](){()()[()]...[()]}n n n n n n n y v x u x y v x v x u x y f x C y C y v x y C v x y -''''''++++=+++的通解。
注意 定理中的条件很苛刻,并非任何情况下此结论都成立,那么对于任意(),()p x q x ，()u x 和()v x 是否存在？下面我们来讨论一下（1）先讨论()v x 的存在条件已知(),()p x q x 是关于x 的连续函数,且满足()()()p x v x u x =+，()()()()q x v x v x u x '=+，则有()()()(()())q x v x v x p x v x '=+- ，整理得2()()()()()v x v x v x p x q x '-+=， （16） 方程（16）对应的齐次微分方程为2()()()()0v x v x v x p x '-+=. （17）设已知z 为方程（17）的通解,1v 是方程（16）的一个特解,则方程（16）的通解v 可以表示为1v z v =+，因为z 是方程（17）的通解，所以z 必符合方程（17），将z 代入方程（17）得2z z ()0zp x '-+=，两边同乘以2z -，即可以 得到21()1z z p x z -'--=-，即1d()1()1d z p x x z-=-. 令1Y z=, 则 d ()1d Y p x Y x -=-,即可以得()d ()d 1e (e d )p x x p x x Y x c -⎰⎰=-+⎰,所以()d ()d 11e (e d )p x x p x x x c z -⎰⎰=-+⎰，所以()d ()d 1e (e 1d )p x x p x x Z x c -=⎰⎰-+⎰,因此方程（20）的通解可表示为1v z v =+()d ()d 11e (1e d )p x x p x x x v c -⎰⎰-=++⎰.所以()v x 满足的条件为()d (1)d 11()e (e d )p x x p x x v x v x c -+=⎰-+⎰⎰. （2）讨论()u x 存在条件由()()()u x p x v x =-得,1()d ()d 1()()()()e (e d 1)p x x p x x u x p x v x p x v x c -=-=--⎰⎰-+⎰. 综上所述，只有当(),()u x v x 满足()d (1)d 11()e (e d )p x x p x x v x v x c -+=⎰-+⎰⎰, 1()d ()d 11()()e (e d )p x x p x x u x p x v x c -=--⎰⎰-+⎰ 的时候()()()()()()()p x v x u x q x v x v x u x =+'=+⎧⎨⎩， 成立2.1.1 应用举例例1 解方程224(42)x y xy x xe '''-+-=的通解。