常微分方程的发展史 毕业论文

常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。

本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。

引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。

而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。

这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。

对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。

因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。

一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。

例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。

1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。

Newton 和Lebinitz创立的微积分是不严格的, 在解决实际问题的前提下，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又在应用上大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围。

尤其是微积分与力学的有机结合, 极大地拓展了微积分的应用范围，并促进了微积分的萌芽。

微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求。

一般地, 事物的规律很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不可能观测到所有运动的全过程，但是运动又的确是服从一定的客观规律的：把这个规律的式子用数学结构写下来就是微分方程。

这就给我们提供了一种研究问题的新思路, 先写出能表示运动关系的微分方程，然后通过对微分方程的求解来确定各个研究因素之间的关系，进而弄清楚变量之间的规律和动力学行为。

常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉。

300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，Newton和Lebinitz都处理过与常微分方程有关的问题。

成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法，在日常生活和生产中起着十分重要的作用。

1.2 常微分方程与海王星的发现海王星的发现可以看成是微分方程诞生及使用的一个重要标志，在这个事件中，正是由于先对微分方程的求解才让人们找到海王星这颗行星，这个事件也可以看成是理论指导实践的一个经典案例。

1781年发现天王星后,人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结不符,于是有人怀疑万有引力定律的正确性.但也有人认为这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致.当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气.23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务,他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程来求解和推算这颗未知行星的轨道。

1843年10月21日他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利，但艾利不相信“小人物”的成果置之不理。

两年后，法国青年勒威耶也开始从事这项研究1846年9月18日，他把计算结果告诉了柏林天文台助理员卡勒，23日晚，卡勒果然在勒威耶预言的位置上发现了海王星。

海王星的发现是人类智慧的结晶，也是微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。

二、常微分方程的发展常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。

数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响。

对常微分方程来讲，它的发展主要精力了经典、适定性理论和定性理论三个主要的阶段。

其标志分别为求微分方程的通解（函数的解析解）；李普希兹条件的提出（级数解法求微分方程）和雅普诺夫的微分方程稳定性理论的建立（解空间成了微分方程研究的主要内容)。

2.1常微分方程经典阶段------以通解为主要研究内容就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中。

而且通信中所提到的解法可能仅仅是对某个特例的说明，所以现在很难确切地说是谁首先得到某些概念或结论的。

1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”这个数学名词。

常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明还早。

纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程，牛顿和莱布尼茨在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性。

实际上是解决了最简单的微分方程)y 的求解问题。

此外，牛f('x顿，莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程。

最早用分离变量法求解微分方程的是莱布尼茨。

他用这种方法解决了形如)()(/x g x f dy ydx =的方程，因为只要把它写成y dy x g x f dx /)()(/=就在两边进行积分。

但莱布尼茨并没有建立一般的方法，1691年他把自己在这方面的工作写信告诉了荷兰科学家惠更斯。

同年他又解出了一阶齐次方程)/('x y f y =：他令ux y =代入方程就可以使变量分离。

1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程，而莱布尼茨同年则在同一家杂志的另一篇文章中，称微分方程为特征三角形的边的函数，并给出了线性方程)()(/x q y x p dx dy +=的通解表达式：))(()()()(c dx e x q e x y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰-其中c 是任意常数.1740年欧拉用自变量代换t e x = 把欧拉方程线性化而求011110=+⋅⋅⋅++---y a dx y d x a dx y d x a n n n n n n n的通解，其中),,2,1(n i a i ⋅⋅⋅=是常数。

通解与特解的概念是1743年欧拉定义的，同时欧拉还给出恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根解法。

微分方程的解有时也称该方程的积分，因为求微分方程解的问题在某种意义上正是普通积分问题的一种推广。

1694年，瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上对分离变量法与齐次方程的求解做了更加完整的说明。

他的哥哥雅科布·伯努利发表了关于等时问题的解答，虽然莱布尼茨已经给出了这个问题的一个分析解。

微分方程教材中所见到的伯努利方程，最初就是雅科布·伯努利于1695年提出的.1696年莱布尼茨证明：利用变量替换n y x -=1，可以将方程化为线性方程（y 与'y 的一次方程）同年，雅科布·伯努利实际上用分离变量法解决了这一方程，约翰·伯努利给出了另一种解法，还提出了常系数微分方程的解法。

17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容。

在这一阶段，还出现了许多精彩的成果。

例如1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络.1718年泰勒提出奇解的概念，克莱罗和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉哥朗日，凯莱和达布等人。

2.2 常微分方程适定性理论阶段-----以定解问题的适定性理论为研究内容1685年，伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程（黎卡提方程的特例）22/y x dx dy += 的通解的挑战性问题，且直言自己研究多年未果。

这个方程虽形式简单，但经150年几代数学家的全力冲击仍不得其解.1841年法国数学家刘维尔证明意大利数学家黎卡提1724年提出的黎卡提方程)()()(/2x r y x q y x p dx dy ++=的解一般不能通过初等函数的积分来表达,从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分手段求出的。

由于碰了黎卡提方程的钉子，从18世纪下半叶到19世纪，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程定解问题的适定性理论，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段。

19世纪20年代，柯西建立了柯西问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy解的存在唯一性定理。

1873年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”对柯西的存在唯一性定理作了改进。

在适定性的研究中，与柯西，李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法，皮亚拿在仅仅要求),(y x f 在),(00y x 点邻域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性。

后来这方面的理论有了很大发展，这些基本理论包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等。

这些问题是微分方程的一般基础理论问题。

2.3常微分方程解析理论段----------以解析理论为研究内容19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些特殊函数。

1816年贝塞尔研究行星运动时，开始系统地研究贝塞尔方程0)('''222=-++y n x xy y x这个方程的特殊情形早在1703年雅科布·伯努利给莱布尼茨的信中就已提到。

后来丹尼尔·伯努利和欧拉也都讨论过这一方程，傅立叶与泊松也讨论过它。

贝塞尔得到了此方程的两个基本解)(x J n 和)(x J n -，)(x J 称为第一类贝塞尔函数或n 阶贝塞尔函数,)(x J n -称为第二类贝塞尔函数或,n -阶贝塞尔函数。

初等函数之外的函数，称为特殊函数。

贝塞尔函数就是特别重要的特殊函数之一，贝塞尔求得贝塞尔方程的级数解n k k k n x k k n x J +∞=∑+Γ++Γ-=20)2()1()1()1()(n k k k n x k k n x J -∞=-∑+Γ++-Γ-=20)2()1()1()1()(令贝塞尔方程有形如ρ+∞=∑=k k k x C y 0 的级数解，代入贝塞尔方程得到n ±=ρ且得到了系数n C 的递推公式0))((2=+-+++-k k C C n k k n ρρ，⋅⋅⋅=,2,1k 进而得到了系数k C 2的表达式，012≡+k C 。