常微分方程中的变量代换法毕业论文
变量代换法在求解微分方程问题中的应用
ａ ＋ ＋ ＝０ ０ ＋ｂ ， ｃ ，ｌ ｌ ｌ ｘ ＋Ｃ ＝０构成 的方 程组 的解为
＝ｒ ＝ ， ＯＹ 卢 则同时作函数 Ｙ 白变量 的代换 Ｙ ，＋ ＝ ， 与 ＝７ ，
＋ ａ将其化为 以 为 函数 ， 以 为 自变量的齐次方程 ， 然后再 将齐次方程化 为 可分离 变量 方程 ， 到求解 齐 次 方程 的 目 达
第 ２ 卷第 ３期 ３
２０ ０ ８年 ９月
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徐州教育学院学报
Ｖｏ ． ３， ｏ ３ １２ Ｎ ． Ｓ ｐ ，０ ８ ｅ ．２ ０
变量 代 换 法在 求解 微 分 方程 问题 中的应 用
（）ｂ ≠口ｂ ｉａ ｌ Ｉ
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１５ 伯努力方程 僦 ．
：ｇ ） ＋ｇ ），， 中 ， ， 。 （ ｙ 一（ ） 其 ｎ ｌ １ ≠０ 一 ’
作代换 ＝ ， ｙ 将方程化为以 ｚ 为未知函数的线性微分方程 ｄ ｘ＝（ 一ｎ ｐ ） １ ） （ ＋（ 一ｎ ｇ ） 然后再按线性微分方程作 １ ）（ ，
＝ （ ｅＩｘ 从 而解出 ｃ ， ｑ ） － （＆ ｐ） （ 进而完成原方程求解 。 ）
。 Ｖ
１１ 齐次方程华＝ （ ， ． ａ 妒三） 通过变量代换“ 上， ＝ 化为
ｘ
以 Ｕ未知函数 的可分离变量方程。
１ 准次程 ＝ ． 齐 方老 ， ２ （
ｂ ，。 。ｃ 为常数。
中图分 类号 ： ２ ０９
文献标志码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８— ６ ５ ２０ ） ｌ ０ ７ ０ １０ ６ ２ （ ０８ Ｏ 一 １１— ２
变量代换求解常微分方程
题目：变量代换求解常微分方程院（系）：理学院专业：信息与计算科学学生：郝腾宇摘要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。
常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。
其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。
本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。
关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解目录一、变量代换法求解一阶微分方程 (3)二、变量代换法求解二阶微分方程 (6)三、变量代换法求解三阶微分方程 (7)四、变量代换法求解n阶微分方程 (7)五、变量代换法求解Euler阶微分方程 (9)六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 (10)七、函数变换法求解常微分方程 (11)八、三角变换法求解常微分方程 (13)九、拉普拉斯变换求解常微分方程 (14)1变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程yx d y g d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，这里111222y x d a x b y c d a x b y c ++=++ 是u 的连续 函数，做变量代换y u x =，使方程化为变量分离方程()u x g u u d d x-=，可求解。
2)对于准齐次微分方程111222y xd a x b y c d a x b y c ++=++，这里1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为常数。
①当111222=a b c k a b c ==（常数）时，方程直接化为y xd k d =，有通解： ()y kx c c =+为常数②当111222a b ck a b c ==≠时，做变量代换22u a x b y =+，将方程化为变量分离方程1222u x d ku c a b d u c +=++ 由上式可求解。
常微分方程论文_高阶变系数微分方程的求解
高阶变系数微分方程的求解探讨摘要：本文探讨了高阶变系数微分方程的求解方法，通过对系数的变化和一些巧妙方法的运用，使得变系数方程也能求得通解，补充了我们所学的空白之处。
关键词：常微分方程；通解；变系数方程；高阶方程； 前言：我们已经学习了二阶及高阶常微分方程的求解，其中包含了可降阶的微分方程求解，线性微分方程的通解结构和求通解的方法，不过在实际应用的时候，我们会发现大多数要求解通解的方程都是变系数的，这个带给我们新的思考，如何才能求解高阶变系数微分方程。
本文从二阶线性变系数微分方程说起，通过一定的变量代换将二阶变系数微分方程的通解求出，然后扩展到三阶，四阶以及更高阶的变系数微分方程求解，文章的最后还给出了一种在解题过程中的小窍门供各位参考一用。
一 二阶变系数线性微分方程的探讨首先，我们知道二阶非变系数齐次线性微分方程的基本形式形如012'''0a x a x a x ++=,所以我们可以将变系数的二阶线性微分方程的表达式先粗略地归类为012()''()'()0a t x a t x a t x ++=。
我们自然而然地会去想如何才能将()a t 这些变系数化为常系数，这样方程就能解出来了。
这里采用的方法的是变量代换的方法，将()a t 通过变量代换转化到x 中去，从而得到一个新的变量z 。
下面给出具体的代换方法：首先，我们给出这样的变换：()x z t ϕ=。
而我们之前想要的式子形式是012'''0a z a z a z ++=，所以我们将()x z t ϕ=代入原方程中。
得到00()''()(())''a t x a t z t ϕ=00()((())')'()('()'())'a t z t a t z t z t ϕϕϕ==+0()(''()2''()''())a t z t z t z t ϕϕϕ=++同理可得11()'()(())'a t x a t z t ϕ=1()('()'())a t z t zt ϕϕ=+22()()()a t x a t z t ϕ=分别关于/'/''z z z 进行整理可得00()()''''a t t z a z ϕ=011[2()'()()()]''a t t a t t z a z ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t z a z ϕϕϕ++=由上面三个式子左右两侧同时约去z 我们可以得出00()()a t t a ϕ=011[2()'()()()]a t t a t t a ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t a ϕϕϕ++=所以只要通过上述的变化，将变量换成z ，并得到三个系数，便可以将原来的那个方程化为我们所熟悉的线性非变系数微分方程012'''0a z a z a z ++=，然后通过这个式子解出来关于z 的通解，之后再讲x 代入式子中，便能得到关于x 的通解，至此问题就被解决了，而对于二阶变系数非齐次线性微分方程而言，只要先利用上述方法求出对应的齐次方程的通解，然后按照我们之前所学利用常数变易法得出方程的解即可。
用变量替换法求解某些类型微分方程问题
用变量替换法求解某些类型微分方程问题高等数学的常微分方程这部分内容，许多类型题目求解都需要变量替换这一重要工具，下面就运用变量替换方法解几种类型的常微分方程。
一、在求解一阶显式微分方程中的应用一阶显式微分方程如果能化成可分离变量方程，求解问题就解决了，很多类型的一阶方程可以通过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（1）齐次方程，通过变量替换，化为以为未知函数的可分离变量方程。
（2）准齐次方程，其中为常数，且，至少有一个不为零。
如果由方程构成的方程组的解为，则同时作函数与自变量的替换，将其化为以为函数，以为自变量的齐次方程，然后再将齐次方程化为可分离变量方程，达到求解齐次方程的目的。
（3）一阶线性方程，其中为已知函数。
该方程对应的齐次方程的通解为，作替换，以此作为原方程的解，代入原方程中得从中解出，进而完成原方程求解。
（4）伯努力方程，其中n≠0，1作替换，将方程化为以z为未知函数的线性方程然后再按线性方程作替换求解。
（5）黎卡堤方程。
若已知它的一个解为，则作代换，代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程。
对黎卡堤方程，其中都是常数，且a≠0，则当m=0，－2，（k＝1，2…）时，可经过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（6）其它形式的一阶方程对其他形式的某些一阶微分方程，可以根据方程自身特点，适当选取灵活的替换方法，将其化为可分离变量方程，例如：对方程；令对方程；令对方程二、在求解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶方程时，可以通过变量替换化为较低阶微分方程，进而达到求解目的。
（1）形如的高阶方程。
如能从中解出，则有，分离变量积分，如解出次，可求得方程通解。
如不能解出可通过替换引进参数t，将都写成t的函数，即将原方程写成参数方程。
然后由关系式，求出方程的参数形式通解。
（2）形如的方程作替换，方程化为新未知函数阶方程，如能求得该方程的通解再积分k次，便得原方程的通解。
（3）的方程作替换，视y为自变量，则可将方程化为关于新未知函数的阶方程，从而可能求出原方程的解，特别是二阶方程，＝0，通过上述替换可化为一阶方程，再利用一阶方程求解的某些方法求解。
毕业论文《某些非线性常微分方程的常数变易法》
湖北工程学院本科毕业论文某些非线性常微分方程的常数变易法年级: 大四学号: 111114109姓名:胡博专业: 数学与应用数学指导老师: 樊自安2014年12 月毕业设计（论文）任务书班级1111141 学生姓名胡博学号111114109发题日期：2014 年9月10日完成日期：2015 月01 日题目某些非线性常微分方程的常数变易法1、本论文的目的、意义：本论文的主要目在于通过对常微分方程的深入分析，分别对一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的性质、解法进行系统地分析、比较、归纳、总结，并深入探讨两类方程的解法。
最后，利用两类方程的理论知识去分析和解决某些特殊的非线性常微分方程，并给出相关应用的例子。
将常数变易法可以运用到一些物理或者化学一些其他学科的问题解决中，对于其中的那些非线性常微分方程进行求解，使得问题更加简便化。
2、学生应完成的任务1、通过查阅相关资料，进一步掌握常数变易法的背景，意义及研究现状；2、掌握有关常数变易法和非线性常微分方程的基础知识；3、分析并总结两类非线性常微分方程的性质及求解方法；4、举例说明两类非线性常微分方程的解法；5、检查论文中的内容是否有错误；6、做好相关的英文文献翻译工作；3、论文各部分内容及时间分配：（共15 周）第一部分参阅相关书籍和利用网上有关资料，掌握常数变易法的背景，意义等基础知识； (2 周) 第二部分探讨，分析并总结一阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (2 周)第三部分探讨，分析并总结二阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (3周)第四部分举例说明两类非线性常微分方程的解法； (3 周)第五部分检查论文的内容是否有错误； (2 周)第六部分完成英文翻译工作和论文的修改。
(2 周) 评阅及答辩(1周)备注指导教师：年月日审批人：年月日摘 要常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。
列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。
变换法在求解常微分方程中的应用毕业论文
【标题】变换法在求解常微分方程中的应用【作者】陈黎丽【关键词】变换法微分方程变量代换法通解【指导老师】刘春花【专业】数学教育【正文】1引言近期以来,一些数学工作者探讨了许多变量变换在求解常微分方程问题上的应用，并取得了许多重要的进展，使复杂的方程也能通过变换变成简单，容易计算的方程.但我们知道，数学题的解法是千变万化、错综复杂，数学题是灵活多变的，根本没有统一的解法，要研究其解法是永远也研究不完的.微分方程是十七世纪与微积分同时产生的，微分方程理论是从实践中产生的，同时，它又是微积分解决实际问题的桥梁.随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性, 因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.自18世纪初以来，很多学者对微分方程的解法做了许多研究,并且已有了许多研究成果.例如：文献[1]以及文献[2]都是对一阶常微分方程初等解法的研究,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.这两个文献就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值.伯努利方程解法也比较多，传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶非齐次线性微分方程,采用常数变易法求得对应线性方程的通解，过程比较繁琐,也容易出现计算错误，因此文献[5]对这样的缺陷作了进一步的改进，提出了求解伯努利(Bernoulli)方程的一种新方法，通过运用部分凑微分法给出求方程通解的一种直接解法,简化了运算步骤.文献[6]中对于二阶常系数线性齐次方程的解法( 和)，本文献介绍了一种简单的解法,是通过变量替换将方程转化为更为简单的二阶常系数齐次线性方程,再对新方程进行( 和)的分类讨论.文献[7]中讨论了高阶线性常微分方程的构成，总结了运用拉普拉斯变换法对几种常见的问题进行解答，极大地简化了计算.文献[8]构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法:分离变量法.在所给条件下,将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程,并指出这种转化所作的函数变换,从而得到了变系数二阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型,推广了前人的可积性结果,扩大了微分方程的求积范围.变换法是求解常微分方程最常用的，也是比较简单的方法，应用也比较广泛.这段时间通过查阅资料也了解到了变化法的优越性，同时也学到了很多知识，吸取前人的精华使我受益匪浅，因此，我就对求解微分方程的一些方法进行归纳、总结，进而学到更多的知识. 2、一阶微分方程2.1、齐次型方程2．1.1 齐次方程形如的方程称为齐次方程.可以通过引入变换(或)代入原方程,得：, 这是关于变量与的可分离变量的方程.分离变量,得: ,两端积分后解得,再以代替即得齐次方程的解.有些方程, 可以经过变量代换化为齐次方程, 然后再转化为变量分离方程.例如[1], 形如的方程, 可分三种情形讨论如下:(1)当时, 为齐次方程, 令, 即可转化为变量分离方程.(2)当,即二阶行列式时,令, 则原方程变为.再令,则有,代入上式,得,即转化成为变量分离方程.(3)当,即二阶行列式且不全为零时, 联立方程组，令其解为,因为, 不全为零.再进行坐标变换，原式成为：，这是关于, 的齐次方程, 从而可以利用分离变量的方法求解.例1 求解方程的通解.解：原方程可以变为：式2-1令，式2-2则，两边对求导：. 式2-3 将式2-2和式2-3代入式2-1得：.移项得：.分离变量，得：，即.两边积分，得：，将代入得.代入原方程进行检验得到它也是方程的解.因此原方程的通解为，.例2[2] 求解方程的通解.分析：经过观察本题不能将方程变形为的形式.为了使方程简化，不妨令，再进行分离变量.解：令，则，即.原方程就可以变形为：，即，分离变量，得：，两边积分，得：，即，代入，得原方程的通解：.例3 求解方程的通解.分析：本题与前面例题有所不同，是属于第三种情形，，首先联立方程组求解其交点，然后再进行坐标变换.解：联立方程组求解得交点坐标为：，令代入原方程有：, 式2-4 令，则,代入式2-4，分离变量得：，两边积分有：，则，式2-5 将代入方程式2-5得：，即，式2-6将,代入方程式2-6得：.即原方程的通解为：.定义形如的一阶微分方程称为齐次型方程.若通过变量变换,引入新的未知函数,即,则可求得方程的通解. 我们在本文中将齐次方程的求解过程加以推广,解决了齐次型方程的求解问题,从而得到了包括部分黎卡提方程和贝努利方程在内的一阶微分方程几种新的可积类型.定理1[3]若对任意都有,或时,令或.则方程:,(其中不全为零).可以变形为：.令，从而化简方程.定理2[4]若对任意,都有,或,令或.则方程:,(其中中至少有一个不为零).则方程可以其变形为:.令,从而化简方程.例4 求方程的通解.解所给方程为(3) 型, 此,由定理2知该方程为齐次型方程,且,则原方程化为: .令,代入并整理得：.解之,并将换成,得原方程的通解为:.例5[5] 求方程的通解.解此时.由定理可知该方程为齐次型方程,且，则原方程化为: .令,代入并整理得：,或.解之,并将u 换成,得原方程的通解为:.例6[6] 求方程的通解.解：此时.由定理知该方程为齐次型方程,且p = - 3,则原方程化为:.令,代入并整理得:.或.解之,并将u 换成,得原方程的通解为：.例7 求方程的通解.解此时,由定理知该方程为齐次型方程,且,则原方程化为：，令,代入并整理得:,或.解之,并将换成,得原方程的通解为:或.2.2 伯努利方程2.2.1 化为一阶线性微分方程求解定义形如的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.伯努利方程是一种一阶非线性常微分方程, 传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶线性非齐次微分方程.即(1)方程两端同除以得：.令即可化为一阶线性微分方程：.(2)求对应齐次方程的通解：.(3)通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解.令式2-7两边对求导：，式2-8将（2）、（3）代入（1）得：，(4)最后经变量代换得原方程的通解..例8 求解方程的通解.分析：此方程就是伯努利微分方程，解：令，即.代入原方程得到:，这是线性微分方程，求得它的通解为:.代回原来的变量，得到，或者，这就是原方程的通解.此外，方程还有解.这一传统解法由于过于巧妙, 绝大部分人觉得此法来得比较突兀, 另外在具体计算过程中, 由于首先要化为一阶线性非齐次方程再变量代换才能得到伯努利方程的通解, 过程比较繁琐, 也容易出现计算错误,为了避免这一问题下面给出直接解法.现在给出利用部分凑微分法的直接解法, 此法的关键在于对方程中y的系数的讨论.[7]当时, 方程即为, 为变量可分离方程,易于求解.当时,若存在函数使得将方程(2)两端同乘以后左端成为某一函数的导数,则两端积分可得原方程(1)的通解:，将方程(1)两端同除以得:,若存在,使，从而有.其中，故有：，从而有.所以原方程的通积分为：, 其中为任意常数.例9[8] 求方程的通解.解:此方程为伯努利方程,且, .易得:,，故原方程的通解为：，即.3、高阶微分方程我们知道若高阶微分方程，的左端函数F是关于的n阶齐次方程，下面讨论三类特殊方程的求解.（1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含即方程呈形状.令，则方程即降为关于y的n-k阶方程.特别地，若二阶方程不显含，则用变换便把方程化为一阶方程.（2）不显含自变量的方程,令，以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可以降低一阶.,这就是关于的阶方程,从而降低了一阶.(3)齐次线性微分方程.齐次方程的求解问题归结于寻求方程的个线性无关的特解,我们知道方程的一个非零特解,则利用变换,可使方程降低一阶；或更一般地，若知道的线性无关的特解，则可通过一系列同类的变换，使方程降低阶.并且新得到的阶方程也是齐次线性的..例10[9] 求解方程的通解.解：令，，则原方程化为：，分离方程，得到：，两边积分，得：，故原方程的通解为：.例11[10] 求方程的通解.解：令：，则，原方程化为：，再令：，则，得：，解出：，.从而，，两边积分得：，即.4、二阶变系数微分方程4.1一类二阶变系数齐次方程我们知道,对于二阶常系数线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置，关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解变系数微分方程却没有一般的方法.二阶变系数齐次微分方程，式4-1求解其特解我们试着考虑常系数微分方程的求解，将常数变易为待定函数的方程，也就是我们学习过的常数变易法.而常系数微分方程的通解形式为: .这里要求解变系数微分方程，常系数微分方程与变系数微分方程结构类似,不同的是方程变系数微分方程是变系数, 常系数微分方程是常系数,而常系数是变系数的特例. 按照类比的方法,我们猜想方程变系数微分方程具有特解,看r 应该满足何种条件.将, , 代入方程式4-1,得:,因,所以必有, 式4-2式对方程有意义的一切x恒成立,这意味着此时对变系数)有较大的限制.对已知的,如果存在常数恒有式4-2成立,则方程式4-1必有特解.[11]下一步是找方程式4-1的与线性无关的是另一特解,这自然使我们想到常数变易法. 我们不妨令是方程式4-1的特解，且常数.则，，将代入方程式4-1，整理可得：，而，所以. 式4-3令，则，于是式4-3可以化为：，解得：则将代入得：...由于，而，则常数，故方程式4-1的两个特解与线性无关，从而方程式4-1此时的通解为.因此，我们可以得出下面的结论[12]：设二阶变系数齐次线性微分方程满足条件，则该方程的通解为：,解题时我们可以应用前面介绍的方法进行常数变易求其通解，当然我们也可以用得出的结论直接代入求其方程的通解.例12[13] 解方程：.分析：此题是二阶变系数微分方程，它属于我们前面介绍的这种形式，因此对其求解我们可以进行常数变易，也可以应用总结出来的公式直接代入，在此我们采用前者.解：这里，假设，即.因为为常数，所以，由此得到方程的一个特解，再设，（常数）为所求方程的另一特解，则，，将代入所求得方程得：，令，则，所以求得，所以，所以求得.，故其通解为：.例13[14] 解方程.分析：此题也是变系数微分方程，我们采用代入公式直接计算其通解.解：此题，假设，即，整理得到：，解方程组, 可得，由我们所得到的结论方程的通解公式为：,所以得到其通解为:=.评注：此两个例题都是属于二阶变系数微分方程，前者是应用变易常数的方法进行求解，其实质就是前面公式的推导过程，需要很强的逻辑思维.后者是直接应用推导的结果，直接代入公式，计算起来非常的简便，但是它也有缺点，就是要求记住公式，因此不同的人对其解题的方法也会有所不同，各选取自己认为简单的方法.4.2变量代换法在求解变系微分方程中的应用我知道变系数微分方程中的系数不同的形式，因此，下面就其一种进行说明本文要介绍的二阶变系数齐次线性微分方程：, 式4-4（其中，为实常数，在某区间上具有一阶连续导数，且），采用不同的变量代换，达到化繁为简的求解方程的效果.3.2.1 对方程式4-4作函数的指数变换,化式4-4为变量分离方程.求出代入方程式4-4整理，再分离变量、积分，求出，代入从而得到方程式4-4的通解.，（其中分别为待定常数与待定函数，它具有所需阶数的连续导数），化式4-4为一元二次代数方程.求出代入方程式4-4整理得到：, 式4-5若令，从而求得:，不妨取,代入式4-5得：.从中解出，连同一起代入，从而得到方程式4-4的通解.2.2.3 对方程式4-4作自变量变换，化式4-4为常系数线性微分方程.令，求出代入方程式4-4，得到，这是关于新自变量的常系数线性微分方程.解出其通解，再将代入上式得到式4-4的通解..2.2.4 方程式4-4作变量代换，化式4-4为黎卡提方程.求出，将，代入式4-4中，则有.这是黎卡提方程，显然可以通过分离变量求解，将其代入中，得到式4-4的通解为: . 在以上的四种变换代换中，都是采用了函数作变换，求解高阶的微分方程中，我们一般都是寻求简单的方法，将对方程进行降阶.我们仔细观察发现第一种与第四种变换都是为使所求的方程的阶数降低.对于第二种变换它是使方程变成了一元二次代数方程，让我们很容易想到学过的高阶常系数线性方程的特征根法.例14 解方程.分析：此题明显符合我们的二阶变系数齐次方程的类型，本题我将采用第四种与第一种方法进行求解，看看有什么不同之处，解法一采用第四种变换.解法二采用第一种变换.解法一：解.令, 则，将代入原方程整理得到：,通过分离变量得：,两边积分得到:，即，代入得到其通解为：.解法二：解，令,则，，将代入原方程，整理、分离变量得到：,两边同时积分，得到：.即代回,得到其通解：.评注:此题用了两种不同的变换方法，但是其实质都是对方程进行降阶.对同一道题方法是比较多的，由此可见，不同的变换法在同一道题都是使用.这时，就要根据自己掌握知识的程度进行选择解题方法.5.总结本文主要研究了变换法在求解常微分方程应用的问题，以常微分方程作为理论基础，从一阶微分方程、高阶微分方程以及二阶的变系数微分方程进行分类讨论、研究变换法在求解中的应用，常见的变量变换形式比较多，不能做到面面俱到，我只是从方程阶数进行分类研究．。
变量代换法在求解微分方程中的应用
变量代换法在求解微分方程中的应用
一、引言
1.1选题背景及意义
1.2研究的内容
（1）对几类微分方程作变量替换，总结其解法，阐述其在求解微分方程中所起的重要作用
（2）将得到的解法应用于实际当中。
二、基础知识
常微分方程基础知识
三、变量代换法在求解几类微分方程中的运用
3.1齐次方程
3.2可化为齐次的方程
3.3广义齐次方程
3.4一阶线性微分方程
3.5伯努利方程
3.6里卡蒂方程
3.7某些类型高阶微分方程
3.8某些变系数齐次方程
四、变量代换法在求解几类微分方程的实际应用实例
五、总结
六、参考文献。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
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毕业论文常微分方程中的变量代换法毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
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图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装建议成绩：□优□良□中□及格□不及格（在所选等级前的□内画“ V"）评阅教师：（签名）单位：（盖章）年月日教研室（或答辩小组）及教学系意见评定成绩：□优□良□中□及格□不及格教研室主任（或答辩小组组长）：（签名）年月日教学系意见：系主任：（签名）年月日常微分方程中的变量代换法变量代换法是求解常微分方程的一种常用的方法，它能使问题化难为易、化繁为简，通过借助恰当的变量代换将微分方程简化为可解类型，求出其通解或者特解。
变量代换法在求解常微分方程中有着十分广泛的应用，许多类型的方程求解依赖变量代换法方法来完成。
变量变换法也是基于化归思想的一种方法。
本文通过分析变量代换法在常微分方程中的应用出发，分类归纳总结了变量代换在几类常微分方程中的求解以及几类特殊的变量代换法，来体现变量代换法在微分方程求解的优越性。
关键词常微分方程；变量代换法；解；应用VARIABLE SUBSTITUTION METHOD IN CONSTANT DIFFERENTIAL EQUATIONABSTRACTVariable substitution method for solving ordinary differential equations of a commonly used method, it can make the problem difficult to easy, to simplify by means of proper variable substitution partial differential equations are reduced to solution, obtained the general solution and particular solution. Variable substitution method to solve ordinary differential equations has a very wide range of applications, many types of equations in dependentvariable substitution method to complete. Variable transformation method is also based on a method of transforming thought.In this paper, by analyzing the method of variable substitution in ordinary differential equation in the application of, and classified in this paper summarizes the variable substitution in several kinds of ordinary differential equation solving and several kinds of special method of variable substitution, to reflect the variable substitution method superiority in solving differential equations.KEY WORDS ordinary differential equation; variable substitution method; solution; application目录中文摘要 . (II)英文摘要 . (III)目录. (IV)引言. (1)1．变量代换法的相关概念 . (1)1.1变量代换法的定义 (1)1.2变量代换法体现的思想 (2)2．变量代换在解常微分方程的几种类型的应用 . (2)2.1一阶微分方程 . (2)2.1.1齐次方程 . (2)2.1.2分式线性方程 . (4)2.1.3一阶线性微分方程 . (5)2.1.4伯努利( Bernoulli )方程 (7)2.1.5黎卡提( Riccati )方程 (9)2.1.6一阶隐式方程 (10)2.1.7一些特殊形式的方程 (14)2.2 高阶微分方程 . (14)4.高阶微分方程的降价 (14)5.变系数线性微分方程 (17)3. 微分方程中几类特殊的变量代换. (22)3.1 常数变易法 . (22)[7]Laplace 变换 . (23)[8]特征函数法 (25)[11]变量代换法在解题中的优越性 . (26)[12]总结 . (27)参考文献 . (27)致谢. (28)微分方程是一个或者几个联系着自变量，未知函数和它的某些导数之间的相互关系的等式。
若未知函数的自变量只有一个，那么我们就称它为常微分方程。
常微分方程在数学专业中具有一定的地位，同时它在经济、建筑、物理、工业等领域中都有着十分广泛的应用。
微分方程的一个主要问题是“求解”，但是一般微分方程无法求解，只能通过对某些类型用相应的方法求解。
在微分方程发展过程的早期，人们致力于寻求一阶微分方程的通解。
一些大科学家，比如伯努利家族、高斯、欧拉、拉普拉斯和拉格朗日等，都参与了早期的微分方程求解工作，发明了许多解法，这些方法现被称为初等积分法。
初等积分法，就是将微分方程的解通过初等函数或者它们的积分表示出来的方法。
利用初等积分法可将常微分方程中的求解问题转化为一般的积分问题，它是一阶微分方程所有解法中的最基本解法。
初等积分法包括分离变量法；变量代换法；常数变易法；积分因子法；引入参数法；凑全微分法。
变量代换法往往跟分离变量法结合使用，在一阶微分方程中变量分离方程是一个最基本的类型，可以先进行分离变量再通过初等积分法来求它的通解。
用初等积分法求解常微分方程的一般是进行一定的变量变换，把所给的方程转化为变量分离方程。
它一种重要的数学思想方法，恰当运用变量代换法可以起到化繁为简、化难为易的效果。
许多类型的一阶微分方程都可以通过适当的变量代换化为变量分离方程。
如何寻找恰当的变量变换把给定的方程转化为变量分离方程，没有一般的方法，但对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有着固定的形式。
此外，变量代换法在高阶微分方程求解中也有着广泛的应用。
在许多教材中有关常微分方程的解法都有一定的归纳、概括和总结。
很多常微分方程都很难解，运用恰当的变量代换可将方程简化并进一步求出其解，本文将对变量代换这种重要的方法进行系统的讨论和研究，阐明它在求解常微分方程中的重要性。
1 .变量代换法的相关概念1.1变量代换法的定义变量代换法，也叫变量变换法或者换元法，是通过用新的变量去替换原方程的变量，将原方程化成更加简单更容易求解的形式，从而达到求解目的的一种方法。
在一阶微分方程中变量分离方程也是一种最基本的方程类型，通过变量代换变形等方法可将不同类型的一阶微分方程最终化为变量分离方程进而求解。
步骤包括：（1）分离变量；（2）对方程两边同时积分并整理成通解；（3）借助初始条件来求方程的特解。
1.2变量代换法体现的思想变量代换法其实是基于化归思想的一种方法。
所谓化归思想，是指在研究和解决数学问题时，通常是将复杂的问题通过一系列的变换转化为相对简单的问题，将难解的问题通过一系列的变换转化为相对容易求解的问题，将未解决的问题通过一系列的变换转化为已经解决的问题。