函数的图像预习学案
2023年人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案
新人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。
学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
学习过程：一、预习引导：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。
即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么使函数关系更直观。
一、问题导学与合作探究：学生看P75---P79并思考以下问题：1、什么是函数图像?2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？（自学检测）：例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春某天气温T如何随时间t变化而变化，你从图中得到了哪些信息？（1）这一天中时气温最低；时气温最高；（2）从时到时气温呈下降趋势，从时到时气温呈上升趋势，从时到时气温又呈下降趋势；总结：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系1、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。
2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。
三、巩固练习：例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时 间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多 少时间？ （4）小明读报用了多长时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 2、下列式子中，对于x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x的函数，请画出这些函数的图象． 解：（1） 1、列表： x y2、描点：3、连线。
1.3.1正弦函数的图像学案
1. 3.1 正弦函数的图象导学案【学习目标】1、能用描点法描出正弦函数的图象.2、能找出正弦函数中的五个关键点，并能用五点法画出一些较简单的函数图象. 【学习重点】正弦函数图象【学习难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点预习案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象。
说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。
在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。
①由于正弦函数y=sinx中的x可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧。
②正弦函数y=sinx图象总在直线和之间运动。
4、观察正弦函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点：，，，，例、用“五点作图法”作出下列函数的简图;（1）y=sinx-1, x∈[0,2π]（2）y= - sinx,x∈[0, 2π]作图方法总结：探究案：1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。
2、用“五点作图法”作出y=sin|x|, x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=sin|x|在整个定义域内的图象。
3、用五点法画出 的图象通过本课学习，我的收获：课后案：1. 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=23,2,sin ππx x y 的简图（ ）.2． x y sin 2+=， []π2,0∈x 的图象与直线32y =的交点的个数为 . 3．点),3(m M π-在函数x y sin =的图象上，则m 等于（）A ．21-B ．21C ．23- D ．23 4．下列对x y sin =的图象描述错误的是（）A ．在[]π2,0和在[]ππ6,4的图象形状相同，只是位置不同 B ．夹在直线1=y 和直线1-=y 之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点5.用五点法分别作出下列函数在[-2π,2π]上的图象 1）y=1-sinx 2)y=sin(-x)[]sin(),0,22y x x ππ=+∈。
学案2：5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养.2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.【自主预习】正切函数的图象与性质 解析式 y ＝tan x图象定义域 值域 R 周期 π奇偶性 对称中心单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数 【基础自测】1．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为________． 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是________． 【合作探究】类型一 有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．(3)函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________．[思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 【规律方法】1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 【跟踪训练】1．函数y ＝log 12tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z2．求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．类型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为________． (2)已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________． (3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x .[思路点拨] (1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期． (2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系．【规律方法】1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法： (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系． 提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .【跟踪训练】3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2 x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.类型三 正切函数单调性的应用 [探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？2．如果让你比较tan ⎝⎛⎭⎫－4π3与tan ⎝⎛⎭⎫－11π5的大小，你应该怎样做？【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．[思路点拨] (1)利用y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)． (2)先将原函数化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，再由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z ，求出单调减区间．[母题探究]1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4”，结果又如何？2．将本例(2)中的函数改为“y ＝lgtan x ”结果又如何？【规律方法】1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．【课堂小结】1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．【当堂达标】1．思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是R .( )(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π2，k ∈Z .( )(4)正切函数是增函数．( ) 2．若tan x ≥1，则( ) A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z )B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z )D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )3．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域为________． 4．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．【参考答案】【自主预习】正切函数的图象与性质⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z奇函数⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z【基础自测】1．C [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上递减，故选C.] 2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z [因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .] 3．π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z [令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z 即函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z .] 【合作探究】类型一 有关正切函数的定义域、值域问题 【例1】(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z [(1)当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x≥1.即当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0∪⎝⎛⎭⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z . (3)要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z .] 【跟踪训练】1．B [由题意tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＞0，即tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＜0， ∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B.]2．[解] 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.类型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 【例2】(1)π2 (2)⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π2. (2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， 所以它是奇函数． 【跟踪训练】3．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 类型三 正切函数单调性的应用 [探究问题]1．提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较． 【例3】(1) tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [(1)y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是单调增函数， 且tan 1＝tan(π＋1)，又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.](2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的减区间为－π8＋k 2π，3π8＋k2π，k ∈Z .[母题探究]1．[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数． 所以函数y ＝lgtan x 的单调递增区间 就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的递增区间， 即⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π，k ∈Z . 【当堂达标】1．[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．D [因为tan x ≥1＝tan π4，所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .]3．(－3，1) [y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．] 4．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
教、学案：10、函数的图像及变换
教、学案：10、函数的图像及变换(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--10、函数的图像及图像变换知识点：1、 函数的图像2、 函数图像的变换3、 函数图像的应用知识梳理1.二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）(4)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。
2.常见函数的图像：⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；(4)其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；③对号函数)0(>+=a xax y ； 3．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x)(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻转变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 轴下面无图象）；3.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x -=对称. 题型归纳:一、 函数图像例1（1）（2019新课标3（7））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．（2）(2018新课标2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为答案:（1）B.分析：已知函数显然是奇函数，排C ，取x=4代入验证得y ∈(7,8)，所以选B（2）B.分析：已知函数是奇函数，排A ，取x=1，得y=e- e -1>0，排D ，而C 是反比例函数图像，所以排除，选B 练习11(2018新课标3)9．函数422y x x =-++ 的图像大致为（ ）2（2016新课标（1）9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ） C3（2012年高考（四川理））函数的图象可能是4、已知a >0且a ≠1，则两函数f (x )＝a x 和g (x )＝log a （- x1）的图象只可能是 ( )5．数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）6、向高为 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 与水深 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）二、 图像的平移、对称与翻折变换例2、(1)已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为(2)已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=，构造函数)(x F，定义如下：当)()(x g xf ≥时，)()(x f x F =；当)()(x g x f <时，)()(x g x F -=那么)(x F ： A ．有最小值0，无最大值 B ．有最小值-1，无最大值 C ．有最大值1，无最小值 D ．无最小值，也无最大值；(3)（15B ，福建，文15）．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 .分析：（1）y=-f(-x)与()y f x =的图像关于原点对称，y=-f(-x)的图像向右平移2个单位即得(2)y f x =--的图像，选B （2）画出图像可得答案B()2()x af x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m (1)(1)f x f x +=-(3)由已知 得其对称轴是x=1,则函数化为f(x)=2|x-1|，所以f(x)在[1, +∞）上单调增，所以m ≥1，即m 的最小值是1 练习21、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 得单调递减区间是________.2、 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．3、函数x x x f -=2)(的单调递减区间是__________________ _值域是______________ （画出图像）4、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-5．（2013年高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )= A.B.C.D.三、函数图像的应用例3（1）（15B ，北京，理7）如图，函数的图象为折线ACB ，则不等式的解集是 A. B. C. D. (2)（15C ，安徽，理9）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是A. B. C.D.()2()x af x a R -=∈)(x f ()1log )(2+≥x x f {}01≤<-x x {}11≤≤-x x {}11≤<-x x {}21≤<-x x 2)()(c x bax x f ++=0,0,0<>>c b a 0,0,0>><c b a 0,0,0<><c b a 0,0,0<<<c b a A-1BC22Oxy（3）已知()1,()2,()6,x f x x g x h x x =+==-+设函数()min{(),(),()}F x f x g x h x =，则()F x 的最大值为（ （A ）1 (B) 2 (C)72(D)4 （4）（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.解析：（1）如图时，=1解集为. 注意定义域不包括-1.(2)由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. （3）画出图像即可得答案C（4）解析一 因为，， 即.由图像变换可作出与 的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.x ≤0 解析二(分段讨论)：原不等式可化为 x+1+(x-21)+1>1 或 x>0 且x-21≤0 x- 21>0 ()1020xx x f x x +⎧=⎨>⎩，，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x 1x2()log (1)f x x )1(log )(2+≥∴x x f (]1,1-)1(log 2+x ()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1y f x =-()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭41)2-)2x +(x-21)+1>1 或 2x +2x-1/2>1 解之得，x>-1/4 归纳：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.第（1）函数y=log 2(x+1)的定义域{x|x>-1},所以排B,然后由x=1时得 从而得答案C第（2）题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.（3）（4）题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.例4（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3－１｜＝k 无解有一解有两解分析：（1）利用f(-1)=f(1)求出m ；也可通分后利用前面归纳的模型得m=1 （2）画出函数|13|-=x y 的图像（即y=3x d 的图像向下平移1个单位后保留x 轴上方的部分，x 轴下面的沿x 轴翻折即可），再画y=k 的图像，按它们没有交点、只有一个交点、两个交点分别得k 的值：k<0时无解、k=0或k ≥1时一解、0<k<1时两解归纳：本题正确的画出图像，方程的解转化成函数图像交点的个数，主要考查函数图像的画法，数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识. 训练数形结合的能力. 练习31.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .2()log (1)f x x2．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为3．（2013年天津数学（理））函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4综合练习1（15C ，天津，文8）已知函数,函数,则函数的零点个数为A. B. C. D.2(2020新高考全国1)8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x x -≥的的取值范围是A ．[1,1][3,)-⋃+∞B ．[3,1][0,1]--⋃C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃3、已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩， （1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性； （3）写出函数()f x 的最大值和最小值。
正弦函数的图像学案
正弦函数的图像学案腔镜甲状腺手术体会作为一名医生，我有幸参与了腔镜甲状腺手术，这是一次难忘的经历。
在此，我想分享我的手术经验和体会，希望对大家有所帮助。
一、手术背景甲状腺疾病是一种常见的内分泌疾病，对于需要手术治疗的患者来说，传统的开放手术方式会留下明显的疤痕。
随着医学技术的发展，腔镜甲状腺手术逐渐被广泛应用，这种手术方式具有创伤小、恢复快、美观性高等优点。
二、手术过程在进行腔镜甲状腺手术前，我和我的团队进行了详细的术前评估和讨论。
患者被给予全身麻醉，并被放置在舒适的手术体位。
我们使用了先进的腔镜设备，通过几个小的皮肤切口将甲状腺暴露出来。
在这个过程中，我们使用了特殊的手术器械和能量设备，如超声刀和电凝器，以进行精细的手术操作。
三、手术体会在进行腔镜甲状腺手术时，我深刻体会到了以下几点：1、技能要求高：腔镜手术需要医生具备丰富的开放手术经验和精湛的内镜操作技能。
在手术过程中，要保持稳定的操作姿势，灵活运用各种手术器械，做到准确无误。
2、团队合作重要：腔镜甲状腺手术需要一支专业的团队密切配合。
麻醉师、护士和医生之间需要建立良好的沟通，确保手术顺利进行。
3、细节：在手术过程中，我深感细节的重要性。
如术前评估、体位摆放、切口选择、器械使用等细节都会影响到手术效果和患者恢复。
4、患者关怀：作为医生，我们不仅要手术本身，还要患者的身心需求。
在手术过程中，要时刻患者的生命体征和感受，给予适当的安慰和关怀。
四、总结通过这次腔镜甲状腺手术，我深刻体会到了现代医学技术的进步和发展。
作为一名医生，我们要不断学习和掌握新技术，提高自己的医疗水平。
我们要始终患者的需求和感受，给予他们全面的关怀和治疗。
我相信，在医生和患者的共同努力下，我们可以战胜各种疾病，创造更美好的未来。
正弦函数的图像和性质课件一、引言正弦函数是数学中基本且重要的一类函数，其在三角学、信号处理、物理和工程等领域都有广泛的应用。
理解正弦函数的图像和性质不仅有助于深化我们对数学概念的理解，也有助于我们在实际应用中更好地使用和操作。
数学一轮复习第二章函数2.7函数的图像学案理
2.7函数的图像必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图像的流程2。
函数图像间的变换(1）平移变换对于平移，往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减。
(2）对称变换（3)伸缩变换y=f(x）y=f(ax），y=f(x)y=Af(x)。
1.函数图像自身的轴对称(1）f(—x)=f(x)⇔函数y=f(x）的图像关于y轴对称;（2)函数y=f（x）的图像关于x=a对称⇔f(a+x)=f（a—x）⇔f（x)=f（2a—x）⇔f（—x)=f(2a+x)；(3)若函数y=f(x）的定义域为R，且有f（a+x)=f（b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+a2对称.2.函数图像自身的中心对称（1)f（—x）=—f（x）⇔函数y=f（x）的图像关于原点对称;（2)函数y=f（x)的图像关于(a,0)对称⇔f（a+x）=—f(a-x)⇔f(x)=-f（2a—x）⇔f（-x）=-f(2a+x）;(3)函数y=f(x)的图像关于点（a,b）成中心对称⇔f(a+x）=2b—f（a-x)⇔f(x）=2b-f(2a—x);（4）若函数y=f（x）的定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b—x)=c(a，b，c为常数)，则函数y=f(x）的图像关于点(a+a2,a2)对称。
3。
两个函数图像之间的对称关系(1)函数y=f(a+x）与y=f（b-x)的图像关于直线x=a-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);（2)函数y=f（x)与y=f(2a—x）的图像关于直线x=a对称；(3)函数y=f(x）与y=2b—f（-x）的图像关于点（0，b）对称;（4）函数y=f（x)与y=2b-f（2a-x)的图像关于点(a，b)对称。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√"，错误的画“×”.（1)将函数y=f（x）的图像先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f（x+1)+1的图像.(）（2)当x∈(0,+∞）时,函数y=｜f（x)｜与y=f(｜x|）的图像相同.（）（3)函数y=f（x）与y=-f(—x)的图像关于原点对称。
学案4：4.4 幂函数
4.4 幂函数学 习 目 标核 心 素 养1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.【自主预习】1．幂函数的概念一般地，函数 称为幂函数，其中α是 ．思考：幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？2．五个常见幂函数的图像3．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点 ， 且在第一象限随x 的增大而 ，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点 ，且在第一象限随x 的增大而 ，函数在区间(0，＋∞)上是单调 函数，且向右无限接近 轴，向上无限接近 轴． (4)当α为奇数时，幂函数为 函数；当α为偶数时，幂函数为 函数．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝()A．－1 B．2C．3 D．－1或24．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________.【合作探究】【例1】是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【规律方法】1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y ＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【跟踪训练】1．，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？类型二幂函数的图像和性质【例2】 (1)幂函数(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1＜m ＜4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)<(5－2a )的a 的取值范围．[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m 的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【规律方法】 幂函数的性质(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．(2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上． (3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴． 【跟踪训练】2．(1)函数f (x )＝x -12的大致图像是( )(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12类型三幂值的大小比较[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的单调性与实数a 有什么关系？幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎫－23-1与⎝⎛⎭⎫－35-1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[思路探究] (1)利用函数y ＝x 0.5的单调性比较大小； (2)利用函数y ＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量⎝⎛⎭⎫2323比较大小．【规律方法】利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法【跟踪训练】3．比较下列各组数的大小：【课堂小结】1．本节课的重点是掌握幂函数的概念、图像及性质，难点是幂函数图像与性质的简单应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断幂函数的方法． (2)解决幂函数图像的两个原则． (3)比较幂值大小的方法．3．本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错.【当堂达标】1．思考辨析(1)函数y ＝x -45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( ) 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )A B C D 4．比较下列各组数的大小：【参考答案】【自主预习】1． y ＝x α常数思考：[提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量． 3．(2) (1,1) (0,0)上升增 (3)(1,1) 下降减xy(4)奇偶【基础自测】1．C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．]2．A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 3．A [因为f (x )＝(m 2－m －1)·x 1－m为幂函数，所以m 2－m －1＝1解得m ＝－1或2，又f (x )是偶函数，则1－m 为偶数．故m ＝－1.] 4．2 [设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝412＝2.]【合作探究】【例1】[解] 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 【跟踪训练】1．[解] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，所以m ＝－1± 2.【例2】(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m 2－3m －4＜0，解得－1＜m ＜4，又图像关于y 轴对称说明m 2－3m －4为偶数，又m ∈Z ，所以m 的值为0,1,2或3.] (2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)-15<(5－2a )-15.因为y ＝x -15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ， 解得23<a <52或a <－3，a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫23，52. 【跟踪训练】2．(1)A (2)B [(1)因为－12＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n >0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.][探究问题]1．[提示] 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．[提示] 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2. 3．[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334. 又∵函数y 2＝x 23在[0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. 【跟踪训练】3．[解] (1)函数y ＝x -52在(0，＋∞)上为减函数．∵3＜3.1，∴3-52＞3.1-52. (2)∵y ＝x 0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，∴0.70.8＜0.80.8. 又∵y ＝0.8x 在R 上是减函数，0.7＜0.8，∴0.80.8＜0.80.7. ∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.函数y ＝x -45符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数． (3)×.幂函数y ＝x 2过第二象限．]2．D [A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．]3．B [∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53＞1，∴函数图像为B.]4．[解] (1)－8-78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在[0，＋∞)上为增函数， 又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978，从而－8-78<－⎝⎛⎭⎫1978.。
高中数学第四章对数函数的性质与图像(第1课时)对数函数的性质与图像学案新人教B版
第1课时 对数函数的性质与图像问题导学预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？对数函数一般地，函数y ＝log a x 称为对数函数，其中a 是常数，a >0且a ≠1. 对数函数y ＝log a x 的性质：(1)定义域是(0，＋∞)，因此函数图像一定在y 轴的右边． (2)值域是实数集R ．(3)函数图像一定过点(1，0)．(4)当a >1时，y ＝log a x 是增函数；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数． (5)对数函数的图像■名师点拨底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图像“下降”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×函数f (x )＝x －1＋lg x 的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x >0，所以x ≥1.下列不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.2>log 0.52.3B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π解析：选 D.函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．函数y ＝log(3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 解析：由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23对数函数的概念判断下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 【解】 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x .若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：选A.设对数函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2， 所以a 2＝4，所以a ＝2，所以该对数函数的解析式为y ＝log 2x .对数函数的图像如图所示，曲线是对数函数y ＝loga x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则对应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( ) A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35【解析】 法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.【答案】 A函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的 底数变化对图像位置的影响观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图像与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．1．函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(－2，1)D ．(－1，1)解析：选D.令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点(－1，1)．2．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图像，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析：选B.作直线y ＝1，则直线y ＝1与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.与对数函数有关的定义域问题若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.【答案】 C求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]解析：选B.因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x解析：选D.选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合．2．函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )解析：选A.函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0<a <1时，y ＝a x为减函数，y ＝－log a x 为增函数，排除D 项，故A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图像过定点为________． 解析：函数图像过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1)． 答案：(2，1)5．比较下列各组数的大小： (1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0.解析：(1)底数相同，y ＝log 2x 是增函数，所以log 22＜log 2 3.(2)log 32＜log 33＝1.(3)log 134＜log 131＝0.答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜[A 基础达标]1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1且x ≠1.2．对数函数的图像过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x解析：选D.由于对数函数的图像过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以此对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.3．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log 2(3x＋1)＞0. 所以函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图像大致是( )解析：选C.由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图像向左平移1个单位(或令x ＝0得y ＝0)，而且函数为增函数，故选C.5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图像过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是x ＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f (x )在定义域上是增函数．6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5. 答案：57．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图像过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：y ＝log a x 的图像恒过点(1，0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1，3]时，f (x )的值域是________． 解析：设f (x )＝log a x ，因为log a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝log 3x .又因为x ∈[1，3]，所以0≤f (x )≤1.答案：[0，1]9．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图像过点(－1，0)． (1)求a 的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}． 10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．解：(1)由x －2＞0，得x ＞2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[B 能力提升]11．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C.当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 所以函数y ＝2＋log 2x 的值域为[2，＋∞)．12．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，x ＞0，所以x ≥4且x ≠10，所以函数f (x )的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.13．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2，若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解．所以a 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2) 14．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图像；(2)若f (a )<f (2)，利用图像求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝f (x )＝log 3x 的图像如图所示． (2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图像知：当0<a <2时， 恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为(0，2)．[C 拓展探究]15．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图像的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.。
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一、学习目标
1、会用描点法画出简单的函数图像。
2、会判断点是否在函数图像上。
3、体会数形结合的思想。
二、学习过程
1、复习回顾
（1）图像法的定义：
（2）图像法表示函数关系式的优点：
2、知识准备
（1）坐标平面内的点与有序实数对是关系
（2）画出平面直角坐标系，并描出下列各点A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）。
3、合作与交流
如果变量y与x的表达式为1
-
=x
y,怎样用函数图像法表示出它们的函数关系？与同学们交流。
下面我们来探究函数1
-
=x
y的图像。
（1）给定自变量x的一些值，求出对应y的值，并填表
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y ……
（2）以x与y的对应值作为点的坐标描出这些点；
（3）按照自变量由小到大的顺序把描出的点顺次连接起来。
如图，可得函数1
-
=x
y的图像。
总结：（1）利用描点法画函数图象的步骤：①______②______③______ （2）在画函数的图象时，一般情况下由于图象上的点有无数个，我们只能取
x 的有限个值，求出相应的y 值，把它们作为有序实数对，在坐标系中描出这有限个对应点，再把它们顺次用平滑的线连接起来，就近似地画出函数的图象 4、小试牛刀 画出函数
x y =的图像
5、例题解析
例2：画出函数22
3
+-=x y 的图像
解：列表 X … -2
-1 0 1 2 3 … y
…
…
6、课中探究
（1）想一想，点（5，4）在函数1-=x y
的图像上吗？
（2）一展身手：下列各点哪些在函数1-=x y
的图象上？哪些不在这个函数
的图象上？为什么？A(-1.5,-2.5)，B(-10,-9)，C(100,99)，D(200,201) 总结归纳：如果点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，反之，满足解
析式的点一定在函数图象上。
三、我的收获
通过本节课的学习你有什么收获？ 四、达标测试 1、用描点法画出函数
12+=x y 的图像。
2、下列各点中，在函数2-=x y
图像上的是（ ）
A(2,-4) B(4,4) C(-2,4) D(4,2)
3、已知点（-1，2）是函数kx
y=的图像上的一点，则k=
4、点A(1,m)在函数
x
y2
=的图像上，则点的坐标是（）
A(1,-2) B(1,2) C(1,1) D(2,1) 五、作业布置
课本137页：3、5题。