电气自动控制原理与系统(第三版)

比例环节的波德图
（2）对数相频特性 由于υ（ω）=0，因此其对数相 频特性曲线是一条与横轴重合的水平线。
图4-3 比例环节 的Bode图
积分环节的波德图
1．传递函数
2．频率特性
1 G ( s) is
G( j )
1 j i
j
1
i

1
i
e
j
π 2
(4-10) (4-11) (4-12)
• 对比积分环节对数频率特性公式可知，它们之间仅 差一个负号，因此它们的Bode图对称于横轴。即对 数幅频特性L（ω ）为一条斜率为20dB/dec的直线。 当τ d=1时（理想微分环节），该直线通过横轴 ω =1处。 • 当τ d≠1时，该直线通过横轴ω =1/τ d处。由于对 数相频特性φ （ω ）=π /2，因此对数相频特性曲 线是一条通过纵轴φ （ω ）=π /2处、与横轴平行 的直线。
惯性环节的波德图
惯性环节相移计算表
ωτ 0.1 0.25 -14.1 0.4 0.5 1.0 -45 2.0 2.5 4.0 10.0 -84.3 相移/（°） -5.7 -21.8 -26.6 -63.4 -68.2 -75.9
第四章自动控制系统的频域分析法
主要内容
• • • • • • • 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的博德图 第三节 控制系统开环博德图的绘制 第四节 对数频率稳定判据与稳定裕量 第五节 典型系统的开环博德图与频域指标 第六节 开环频率特性与阶跃响应之间的关系 本章小结
电气自动控制原理与系统 第3版
惯性环节的波德图
惯性环节对数幅频特性误差修正表
τω 误差/dB 0.1 -0.04 0.25 -0.32 0.4 -0.65 0.5 -1.0 1.0 -3.0 2.0 -1.0 2.5 -0.65 4.0 -0.32 10.0 -0.04
• 以横轴ω=1/τ处为中心，相对于横轴几何尺寸对称 处的误差值相同，且最大误差值只有3 dB。
e jarctan(τω)
(4-17)
( ) arctan( )
(4-18)
惯性环节的波德图
4. Bode图 （1）对数幅频特性
0）,即在低频区（ • 1 时， L( ) 20lg1 （ dB 对数幅频特性曲线为一条与横轴重合的直线； 1
），
频率特性和频域分析
由上式可以得到： 1)在正弦信号r (t ) sin t 的作用下，线性定常系 统输出的稳态分量css(t)是与输入信号同频率的正弦 信号。 2)输出量与输入量幅值之比A(ω )/1=│G(jω )│= A(ω )描述系统对不同频率正弦输入信号在稳态时的放 大（或衰减）特性，称为幅频特性。 3)输出稳态分量相对于正弦输入信号的相位差 φ (ω )＝∠G(jω )描述系统稳态输出时对不同正弦输 入信号在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性， 称为相频特性。
G（jω ）为复数变量，它可以通过模
G ( j ) A( ) [Re G ( j )]2 [Im G ( j )]2
频率特性和频域分析
及幅角 G( j ) ( ) arctan[
Im G( j ) ] 来表示，即： Re( j )
G( j ) A( )e j (ω) G( j ) A( )e-j (ω)
第一节 频率特性的基本概念
•
频率特性法突出优点： 系统的频率指标与时域指标存在着一定的对应关 系。频率特性很容易和它的结构、参数联系起来。 应用频率特性法可以方便地得到系统定性和定量 的结论。 根据频率特性曲线的形状，提出改进系统性能的 方向，选择系统的结构和参数。 频率特性不但很容易由传递函数求得，而且它还 可以方便地通过实验方法直接求得。 频率特性法分析系统时所使用的曲线、图表及经 验公式使得控制系统的分析更为方便、简洁。
图4-5 微分环节 的Bode图
惯性环节的波德图
1. 传递函数
G ( s) 1 s 1
2. 频率特性
1 G( j ) j s 1 1
1
2 2
e jarctan(τω)
(4-16)
3. 对数频率特性
1 G( j ) j s 1 1
2 2 1
频率特性的性质
• 输入信号可以分解为一系列不同频率谐波的叠 加。根据频率特性的物理意义， G （ jω ）相当 于一个广义的滤波器，它对一些频率的信号进 行放大和相应的相移处理，对另一些频率的信 号进行衰减和相应的相移处理。频率特性不同， 则具体放大或衰减的倍数、超前或迟后的相角 不同。因此，控制系统的输出就是通过这一广 义滤波器的各次谐波之叠加。 • 使用频域法校正控制系统，就是将系统设计成 为合理地放大有用信号、衰减无用信号，并按 要求进行相移的广义滤波器。
•
•
•
频率特性和频域分析
如图4-1所示的线性定常系统：
C (s) bm s m b0 G( s ) R(s) an s n a0
令 r (t ) sin t ，即
(n m)
R( s) 2 s 2
则：
bm s m b0 C ( s) R(s) n an s a0
p%
Cmax 100% C ( )
第二节 典型环节的波德图
• 波德图（ Bode 图）通过对数幅频特性图和对数相 频特性图来表示系统的频率特性。 • 对数幅频特性图和对数相频特性图画在一张半对 数坐标纸上。横坐标 ω 是以对数分度值表示的角频率 ω。 • 角频率 ω 变化倍数用频程表示。频程是指高频与 低频频率的对数比（以 10 为底）。因此，角频率 ω 变 化 10 倍 ， 在 横 坐 标 上 距 离 的 变 化 为 一 个 单 位 ， 即 lg10=1，称为一个“10倍频程”，记为dec。 • 零频（ ω =0 ）不可能在横坐标上表达出来。横坐 标的最低频率，一般以感兴趣的频率范围来决定。
• 时， ，即在高频区（ ）， L( ) 20lgω =1/τ 处穿越横轴、且斜率 1 1 对数幅频特性曲线为一条在 为-20dB/dec的直线。 •对数幅频特性曲线可近似地用上述两条直线表示，且它 们相交于ω =1/τ （转折频率）处。称为渐近对数幅频特 性曲线，或折线对数幅频特性曲线。
将B、B 代入式（4-3）中，应用欧拉公式可得：
css (t ) G( j) sin[t ()] A()sin[t ()]
（4-4）
式中A（ω ）─输出稳态分量的振幅， A() G(j)
( ) G( j ) φ （ω ）─输出稳态分量的初相角，
• 书名：电气自动控制 原理与系统 第3版 • 书号：978-7-11152245-4 • 作者：陈渝光 • 出版社：机械工业出 版社
第一节 频率特性的基本概念
• 工程实践中，主要关心控制系统主要性能指标与 系统的结构参数之间的联系。 • 目前广泛采用的有频率分析法（频域分析法）、 根轨迹法等。本书仅介绍工程上广泛使用的频率 分析法。 • 频率分析法又称为频率响应法，它是元件或系统 对不同频率正弦输入信号的响应特性。应用频率 分析法来分析、研究控制系统的方法称为频率特 性法。
css (t ) Be- jωt Be jωt
（4-3）
频率特性和频域分析
式中B、B 可用待定系数法求得：
G( j ) B G(s) 2 ( s j ) s=-jω 2 s 2j
G( j ) B G(s) 2 ( s j ) s=jω 2 s 2j
G （s ）= K G（jω ）=K L（ω ）=20lgK
φ （ω ）=0
（4-7） （4-8）
（4-9）
4．Bode 图 （1）对数幅频特性 比例环节的增益为常数，其 对数幅频特性曲线L（ω ）是一条通过纵轴的水 平直线，高度为20lgK（dB）。若K＞1，则L（ω ） 为正值，特性曲线位于横轴上方；若K＜1，则L （ω ）为负值，特性曲线位于横轴下方；若K=0 ， 则L（ω ）=0，特性曲线与横轴重合。
图4-4 积分环节的Bode图
微分环节的波德图
1. 传递函数
G( s ) d s
2. 频率特性
G( j ) j d d e
j
ห้องสมุดไป่ตู้
π 2
(4-13)
3. 对数频率特性
L( ) 20lg d
( )
4. Bode图
(4-14) (4-15)

2
微分环节的波德图
波德图
图4-2 波德图坐标系
波德图
• 对数幅频特性L（ω）定义为：
L( ) 20lg A( )
• 对数幅频特性图纵坐标以L（ω）的值表示， 单位为分贝（dB），按线性均匀分度。
• 对数相频特性图纵坐标以υ（ω）的值表示， 单位为度，也是按线性均匀分度的。
比例环节的波德图
1．传递函数 2．频率特性 3．对数频率特性
• 为简化对数频率特性曲线的绘制，常常使用渐近 对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。 • 如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只 须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范 围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。
惯性环节的波德图
（ 2 ）对数相频特性
： ω=0 时 ， υ （ ω ） =0 ； ω=1/τ 时 ， υ （ ω ） =45°； ω→∞ 时， υ （ ω ） →-90°。 • 由于惯性环节的相移与 频率呈反正切函数关系， 所以，对数相频特性曲 线 将 对 应 于 ω=1/τ 及 φ （ ω ）=-45°这一点斜 对称 。 图4-6 惯性环节的Bode图
G(j ) G(s) |s=jω
单位脉冲函数没有频率特性。
（4-6）