正比例函数和反比例函数
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例反比例函数复习
正比例函数和反比例函数一、知识要点1.如果变量y是自变量x的函数，对于x在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。
（为了深入研究函数，我们把“y是x的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x表示自变量，括号外的字母f表示y随x变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a时的函数值）2.函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。
3.正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。
二、课堂练习1.油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，•自变量的范围是_____________．当Q=10升时，t=_______________。
2.在函数xxy+-=12中，自变量x的取值范围是。
3.一棵小树苗长10cm，从发芽起每年长高3cm,则x年后其高度y关于x的函数解析式为_________,y___（填“是”或“不是”）x的正比例函数.4.观察下图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆圈，每个图案中圆圈的总数是s。
按此规律推断出s与n的关系式为。
正比例函数反比例函数解析式y=kx(k≠0)y=xk(k≠0)图像经过(0，0)与(1，k)两点的直线经过(1，k)与(k，1)两点的双曲线经过象限当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
增减性当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。
当k>0时，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
5. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x ，底边长为y ，则y 关于x 的函数解析式，及自变量x 的取值范围__________________6. 若点P(3,8)在正比例函数y=kx 的图像上,则此正比例函数解析式是________________。
正比例函数和反比例函数比较
? 趋向
– 图象的两个分支都 无限接近但永远不能达到 x轴和y轴。
反比例函数图象性质的运用
已知y ? a(a ? 1) xa2 ? a?1，当a为何值时， （1）y与x成正比例，此时，图象 经过哪几个象限？ （2）y与x成反比例，此时，图象 位于哪几个象限内？
– 当k<0时，它的图象经过 第二、四象限 ，y随x 的增大而减小 ；
? 倾斜程度
– k的绝对值越大，图象越接近y轴。
– 也就是说： 比例系数k决定了直线 y＝kx与x轴 正方向所成的角， k叫做直线y＝kx的斜率。
正比例函数性质
设函数 y ? (m ? 2) xm2 ? 5m? 5 ? (m ? 4)， （1）当 m是什么值时，是正比例 函数？ （2）此时它的图象经过哪 几个象限？
正比例函数图象
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
1 y ? x y ? x y ? 3x
2
? 在同一坐标平面作下列函数图象：
y? ? 1x 4
y? ?x
y ? ?3x
你发现正比 例函数中的 比例系数k有 什么作用？
正比例函数性质
? 增减性
– 当k>0时，它的图象经过 第一、三象限 ，y随x 的增大而增大 ；
函数关系式是：
量叫做成反比例，把
– 一个物体作匀速直线运动，行程120它m们，之则间运的函数关系
动速度v（m/秒）与所需时间t（秒）叫之做间反的比函例函数。
数关系是：
? 反比例函数的 一般形式： ? k是不等于零的常数。 ? 不同的k值代表不同的反比例函数，因此
确定了 k，就可以确定一个反比例函数。
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
1 / 3常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象如果)0,(≠=k k xk y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象（2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小；当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()b f x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）2 /3 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数1. 引言正比例函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的定义、特点以及实际应用，以便读者更好地理解和应用这两种函数。
2. 正比例函数2.1 定义正比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值也相应地增大（或减小）的函数。
在数学符号中，正比例函数可以用y = kx表示，其中k为比例常数。
2.2 特点正比例函数的特点有：- 图像呈现直线；- 图像通过原点，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量亦增大，且变化的速率相同。
2.3 实际应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 物理学中的速度和时间的关系，当物体匀速运动时，其速度与时间成正比；- 经济学中的成本和产量的关系，当生产规模扩大时，成本和产量之间存在正比例关系；- 地理学中的距离和时间的关系，当行驶速度恒定时，两地距离和到达时间成正比。
3. 反比例函数3.1 定义反比例函数是一种函数关系，表示当自变量的值增大（或减小时），因变量的值相应地减小（或增大）的函数。
在数学符号中，反比例函数可以用y = k/x表示，其中k为比例常数。
3.2 特点反比例函数的特点有：- 图像呈现曲线，通常为双曲线；- 图像与两个坐标轴都有渐进线，即函数的解析式中没有常数项；- 若自变量增大，则因变量减小，且变化的速率不同。
3.3 实际应用反比例函数在实际问题中也有广泛的应用，例如：- 物理学中的电阻和电流的关系，当电路中的电压不变时，电阻和电流成反比例关系；- 经济学中的价格和需求的关系，当商品价格上涨时，需求量下降，价格和需求成反比例关系；- 化学学中的稀释度和浓度的关系，当添加溶剂时，溶液的浓度与稀释度成反比例。
4. 比较与应用示例正比例函数和反比例函数的区别在于图像的形状和变化的速率不同。
正比例函数的变化速率相同，图像为直线，而反比例函数的变化速率不同，图像为曲线。
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数一、正比例函数与反比例函数的区别
Q
二、正比例函数与反比例函数的关系
正比例函数与反比例函数图象交于A、B两点，则A、B关于原点对称：（1）OA=OB
（2）AB两点的坐标互为相反数。
即A(a,b),则B(-a,-b)
三、典型例题
例1
如图，正比例函数y=mx与反比例函数
（m、n是非零常数）的图像交于A、B两
点，若点A的坐标为（1，2），则点B的
坐标是（）。
由上二（2）得B的坐标是（-1，-2 ）
例2 已知：反比例函数图像上一点M（-1，3
①求出这个函数的解析式
②求直线MO的解析式
③作MN⊥x轴于N，求
MON
S
④求图中Q的坐标
解：①点M（-1，3）在反比例函数图像上
∴k=xy=-1×3=-3
∴y=-
x
3
比例函数图像上
③作MN⊥x轴于N，则
MON
S
=
2
k
=
2
3
④图中Q与点M关于原点对称，∴Q的坐标为（1，-3）
函数？(2)是反比例函数？并画出它们的图象．
解：(1)由正比例函数定义得
∴m＝1．此时函数解析式变为y＝3x．(2)由反比例函数定义得。
高中数学--常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数
常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数1．正比例函数如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线一次函数的性质当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
2、反比例函数(1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k xky 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
3．对勾函数()bf x ax x=+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
（1） 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）a>0 b>0 a<0b<0对勾函数的图像（ab 同号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
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正比例函数和反比例函数
一、知识梳理
1. 如果变量y 是自变量x 的函数，对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫
做当x=a 时的函数值。
（为了深入研究函数，我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x 表示自
变量，括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。
f(a)表示当x=a 时的函数值） 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。
3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质
4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。
二、典型题选讲 ●概念辨析
1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做＿＿＿＿＿＿＿＿．保持数值不变的量叫做
________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________. 2. 写出下列函数的定义域： （1）1y x =+ （2）2
1
y x =
- （3
）y =
y = 3.已知：2()1f x x =-+，(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________. 4.解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________.
5.函数3y x =的图像是经过（1，3）和___________的一条____________.当自变量x 的值从小到大逐渐变化时，函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化.
6.反比例函数的解析式是_________,反比例函数的图像叫_____________.
7.已知：反比例函数8
y x
=，点A （-2，-4）________它的图像上（填“在”或“不在”）.
8.反比例函数y x
=-的图像的两支在第______象限。
在其各自的象限内，y 随x 的增大而____________.
9.函数有三种表示法，分别为_________,__________,__________. 10．已知函数12)(+=x x f ，则=)1(f ____________．
11．在公式C =2πr 中，C 与r 成 比例.（填“正”或“反”）． 12．函数1-=x y 的定义域为_________________． 13．如果1
3
)(-+=
x x x f ，那么=)3(f ______________． 14．已知点P （2，1）在正比例函数kx y =的图象上，则k ＝___________． 15．函数y =－2 x 的图象是一条过原点及（2，a ）的直线，则a = ． 16．若正比例函数15
2
)3(--=m x m y 的图像经过二、四象限，则m 的值为 ．
17．已知反比例函数2
k y x
-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是 ． 18．已知函数x
k
y =
的图象不经过第一、三象限， 则kx y -= 的图象经过第 象限． ●待定系数法求函数解析式
1．若正比例函数经过（2，6），则函数解析式是 ． 2．若反比例函数经过（－2，1），则函数解析式是 ．
3．y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________． 4．如果一个等腰三角形的周长为12，那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围为 ．
5．已知反比例函数图像上有一点A ，过点A 做x 轴的垂线，垂足为B ，ΔAOB 的面积为6，则 这个反比例函数的解析式为 ．
6．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A （–3，4）和（3，a ）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a 的值．
7、已知21y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与1-x 成反比例，当x ＝－1时，y ＝3；
当x ＝2时，y ＝－3，
（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当2=x 时，求y 的值。
8．已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x =1-时，求y 的值．
9、如图，直线l 交x 轴、y 轴于点A 、B ，与反比例函数的图像交于C 、D 两点，如果A （2，0），点C 、D 分别在一、三象限，且OA ＝OB ＝AC ＝BD ，求反比例函数的解析式。
●数形结合 看图识图
１．看图填空：①P 的坐标是__________ ②直线l 的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③若点Q (,3)a -在直线l 上，则a =＿＿＿＿＿
２．已知：反比例函数图像上一点M （-1，3） ①求出这个函数的解析式 ②求直线MO 的解析式 ③作MN ⊥x 轴于N ，求MON S V ④求图中Q 的坐标
3．如图，在△AOB 中，AB =OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），ABO S ∆=4，求点B
所在双曲线的函数解析式.
4．已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与3-x 成反比例，当x =4时，y 的值为3；当x =1
时，y 的值为2
5
，求当x =9时，y 的值．
5．在同一直角坐标平面内，已知正比例函数y = –2x 和反比例函数x
y 6
-=的图像交于P 、Q
两点（点P 在点Q 的右边），点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离为4． （1）求P 、Q 两点的坐标；（2）求ΔAPQ 的面积．
6．在同一平面内,如果函数x k y 1=与x
k y 2
=
的图象没有交点,那么1k 和2k 的关系是( ) (A) 1k ＞0,2k ＜0 (B) 1k ＜0, 2k ＞0 (C) 1k 2k ＞0 (D) 1k 2k ＜0
7．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ） （A ）y =2x （B ）y =x 1 （C ）y =x
1
- （D ）y =x 2（x ＞0）
8．甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度v （千米/小时）与时间t （时）之间的函数关系用图象表示大致为…………（ ）
(A) (B) (C) (D)
9．如果点A （1x ，1y
）、B （2x ，2y
）在反比例函数y =x
k
（k ﹤0）的图象上，如果1x ﹥2x ﹥
0，则1y 与2y 的大小关系是( )
（A ）1y ﹥2y （B ）1y ﹤2y （C ）1y =2y （D ）不能确定 10.已知双曲线上两点A （2，4），C （4，2）， 且AB ⊥OB ，CD ⊥OD ，
求（1）双曲线的函数解析式；（2）△OAB 的面积； （3）△OAC 的面积。
下面各题中，哪些是正比例关系？哪些是反比例关系？
(1)和为非零常数的两个加数x 与y ； (2)积为非零常数的两个乘数x 与y ； (3)一个正数x 和它的算术根y ； (4)多边形的边数n 和它的内角和y ； (5)y ＝x 2中的y 和x ； (6)y ＝x 2中的y 和x 2；。