离散数据点集的3D三角划分算法研究

基本思路是使问题简化，把点集划分到足够小，使其 易于生成三角网，然后把子集中的三角网合并生成
万方数据
最终的三角网，用局部优化（ＬＯＰ，即Ｌｏｃａｌ Ｏｐｔｉｍｉｚａ— ｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ）算法保证其成为Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网，它 的优点是时间效率高，但需要大量递归运算，因此占 用内存空间较多，如果计算机没有足够的内存，这一 方法就无法使用；
关键词：离散点集， 三角网格， 曲面重构，生长算法，Ｄｅｌａｕｎａｙ准则
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ３Ｄ Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｓｃａｔｔｅｒｅｄ Ｄａｔａ Ｐｏｉｎｔｓ Ｗａｎｇ Ｈｏｎｇｚｈｉ Ｌｉｕ Ｊｉａｎｇ Ｚｈａｎｇ Ｓｈｉｒｏｎｇ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｅｅ鹤ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｓｅｔｔｉｎｇ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｐｏｉｎｔｓ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｍｅｓｈ ｉｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｋｅｙ ｌｉｎｋｓ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗ—ｕｐ ｓｕｒｆａｃｅ ｒｏＰｏｎｇｔｒｕｃｌｉｏｎ．Ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｗｈｉｃｈ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｐｏｉｎｔｓ。ａ ｇｒｏｗｔｈ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｐｏｉｎｔｓ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｓｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｔｈａｔ ｄａｔａ ｐｏｉｎｔｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ—ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｒｅａｈｚｅｄ ｂｙ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ２Ｄ ｔｒｉ— ａｎｇｔｄａｆｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ３Ｄ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｍｅｓｈ ｓｐｒｅａｄｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｕｕｎｄ盯ｙ ｏｆ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｅｄ ｆｉｅｌｄ ｔｏ ｕｎｔｒｅａｔ·
万方数据
（１）给一个初始点Ａ，然后找该点最近的点，搜 索时要知道该点所在的晶格Ⅲ，然后遍历该晶格及 周围的２６个晶格内的数据并进行比较，找到距离最 近的点日，返回该点的ＩＤ；连接ＡＢ并作为初始三角 形的第一条边，把该边作为扩展基边。第一点的选 取要保证该点的临近点集有足够多的数据点来构造 一个形状较好的初始三角形，一般来说Ａ的临近点 集中的点个数应当在１０个以上。
２００８年第４２卷Ｍ
离散数据点集的３Ｄ三角划分算法研究
‘
王宏志刘 江张世荣
北京科技大学
摘要：在实物测量造型过程中，根据离散点集进行三角网格划分是其关键环节之一，也是进行后续进行曲面 重构的前提和基础。本文在当前的三角网格划分方法比较之后，提出了一种散乱点集的三角网生长算法，该算法 无须对离散点集所对应的自由曲面进行分片投影，直接在３Ｄ空间从已划分区域边界到未划分区域按照Ｄｅｌａｕｎａｙ 准则生成三角网格，并给出了用此算法处理散乱数据的试验结果。
形区域ｙ（彬），称为讲的Ｖｏｒｏｎｏｉ区域。它是一个可 能无界的凸多边形，最多有ｎ—ｌ条边，每条边都在 ｐｉ和．ｓ中另一点的垂直平分线上（见图２）。
圈２ ｄｅｌａｍｍｙ三角形与ｖｏｒｏｌｌｄ多边形对偶图 ２．２三角网算法分类 根据构建三角网的步骤，可将三角网生成算法
分为三类１７，８Ｊ：
（１）分而治之算法（由Ｓｈｍａｏｓ和‰ｙ提出），其
ｃｒபைடு நூலகம்ｔｅｒｉａ
１ 引言
．
反求工程（Ｒｅｖｅｒｓｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＲＥ）是针对已有 产品原型，消化吸收和挖掘蕴含其中的涉及产品设 计、制造和管理等各个方面的一系列分析方法、手段 和技术的综合。它以产品原型、实物、软件或影像等 为研究对象，应用系统工程学、产品设计方法学和计 算机辅助技术的理论和方法，探索并掌握支持产品 全生命周期设计、制造和管理的关键技术，进而开发 出同类的或更先进的产品。Ｔａｍａｓ Ｖａｒａｄｙ等人将基 于实物的反求工程建模分为四个步骤：数据采集、数 据预处理、曲面重建和ＣＡＤ建模…１。其中曲面重构 的方法主要有两种思路：一种是基于四边域的Ｂ样 条及非均匀有理Ｂ样条（Ｎｏｎ—Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｂ． Ｓｐｔｉｎｅ，Ｍ『ＲＢＳ）方法，另一种是基于三角域的Ｂｅｚｉｅｒ 方法。
图１ Ｄｅｌａｕｎａｙ三角形外接圆的圆心 Ｖｏｍｎｏｉ图，又称Ｄｉｆｉｃｈｌｅｔ图，是由一系列连接两 邻近点直线的垂直平分线组成的连续多边形，它使 平面上有区别的点按照最邻近原则划分平面，每个 点与其所在的邻近区域相关联。设Ｓ＝｛Ｐｌ，Ｐ２，…， Ｐ。｝是平面上ｎ个点的集合，平面中与Ｓ上的点川 接近超过Ｓ中任何其他点的点集，定义了一个多边
（２）数据点渐次插入算法（由Ｌａｗｓｏｎ提出），其 思路很简单，先在包含所有数据点的二个多边形中 建立初始三角网，然后将余下的点逐一插入，用ＬＯＰ 算法保证其成为Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网。此算法虽然容易 实现，但效率极低；
（３）三角网生长算法。这类方法通常首先从点 云数据中选定一个初始三角片（Ｓｅｅｄ Ｔｒｉａｎｇｌｅ），并作 为网格曲面的种子面加入三角曲面集，三条边分别 加入边界集。然后按照一定的规则从边界处向三角 曲面集中添加新的三角片元素，并实时刷新边界集， 通过曲面网格由局部到整体的动态增长最终生成一 张完整的三角网格曲面。
ｅｄ ｆｉｅｌｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔＯ ｔｈｅ Ｄｅｌａｕｎａｙ ｃｒｉｔｅｒｉａ，ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｃｏｖｅｒｓ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｓｕｒｆａｃｅ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ商Ｊｌｇ ｔｈｉｓ
Ｓｒｅｗｔｈ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｐｏｉｎｔｓ，ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｍｅｓｈ， ｆｌｕｒｆａＰＡ！ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ， ｇｒｏｗｔｈ ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ ａｔＳｏｒｉｔｈｍ，Ｄｅｌａｕｎａｙ
的迅速发展，三维物体的全方位自动检测技术日益 成熟。三维物体外形的数据采集最常用的系统是激 光三角测量系统和结构光三维测量系统【３＇４Ｊ，通过 光学三维测量系统得到的数据一般具有以下几个特 点：
①原始数据点的集合可以表示成一个有ｎ个 点的表，在这个表中每一个点都有它自己的坐标；
②这些点是没有规律的，这就是说这些点在表 中的位置是随机的；
万方数据
工具技术
③相邻三角形的法向应该是同侧。 ２三角网算法种类及各算法特点 ２．１ Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网法则
——Ｄｅ岫三角网法则Ｌ５Ｊ。 在介绍各种算法之前先认识一下一个重要法则
Ｄｅｌａｕｎａｙ三角网满足这样的法则：Ｄｅｌａｕｎａｙ三角 网为相互邻接而互不重叠的三角形的集合，每一个 三角形的外接圆内不包含其他点，三角形的最小角 最大，这样构造的三角形最接近正三角形。Ｄｅｌａｕｎａｙ 三角形由三个相邻点连接而成，这三个相邻顶点对 应的Ｖｏｍｎｏｉ多边形有一个公共的顶点№Ｊ，顶点是 Ｄｅｌａｕｎａｙ三角形外接圆的圆心，如图１所示。
本文结合分治算法和生长算法的优点，提出了 一种新的生长算法。
３ 三角网生长算法
３．１建立点云数据的Ｋ邻域 因为采集的数据是如上所述的散乱点云数据， 没有拓扑关系，不便于点云数据的处理，所以首先把 点云数据进行分割，建立点云数据的邻接关系。 给定一点Ｐ，Ｐ∈Ｐ，（Ｐ表示点云），则邻域可定 义为一个索引集Ⅳ。，对于Ｐｉ，ｉ∈Ｎ。都满足一定的 邻域类型。邻域类型可以多种多样，但是应该可以 充分的表示一个局部的小面片，而且邻域类型只依 赖于点云的空间几何信息。点云的拓扑关系在本文 中定义为Ｋ—ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ邻域类型。根据不同 类型的点云类型可以采用不同的方法。下面介绍本 文的Ｋ邻域方法。 基于晶格的方法来分割点云，根据晶格与数据 点空间分布的对应关系，可以建立点的拓扑关系。 （１）算法的主要思想 在读入点数据的时候，先获得该点云的最大包 围盒，然后沿ｘ。ｌ，，ｚ三个方向将其划分为１０×１０ ×１０个单元晶格，即１０００个晶格，该晶格的个数可 以根据数据量的多少进行改变。具体做法如下： （２）读入点数据，获得整体的包围盒信息，为了 程序实现起来不会有问题，最好把盒子的最大值扩 大０．１，这样在分配数据的时候不会落下数据。计 算晶格的大小：
含不止一个点。双向赋值的意思就是说，不仅知道 晶格内有那些点，而且知道点在哪个晶格内。同时 给晶格做个标记，如果晶格内数据个数为Ｏ，将标记 记为ｆａｌｓｅ表示，否则为ｔｒｕｅ。在搜索相邻晶格的时 候，如果为ｆａｌｓｅ直接跳过。
图３撕相邻晶格
３．２初始三角形 初始三角形的要求：三角网格的生长首先从创 建初始三角形开始，为了得到较好的三角网格，初始 三角形需要满足上述的Ｄｅｌａｕｎａｙ准则。
（２）在扩展基边的一侧点集中按照Ｄｅｌａｕｎａｙ准 则去找与该边的两端点能形成较优三角形的三点， 该点需要满足距离此边的中点距离最短，与基边的 两端点连成的直线所组成的夹角为最大。如图４所 示，选择三角形ＰＡＢ，这样就组成了第一个三角形， 将所有新生成的边与三角形信息用相应的链表存储 起来。边每使用一次，其数据结构中的ＵｓｅＴｉｍｅｓ就 加１，因为每条边只能为两个三角形所有。同时把 三条边加入边链表中，把初始三角形加入三角形链 表中。
ｆｏｒ（ｉＩ吐ｍ＝０；ｍ＜Ｄａｍ．ｓｉｚｅ（）；ｍ＋＋） ｛
Ｉｎｔ ｉ＝（ｉＩ吐）（（ＤａｔａＥｍ］．ｃ０优ｄＩ瑚．ｘ—ＩＩｌｉ瓜）／ｃｅｌｌ）【）； ＩＩｌｔｊ＝（ｉｎｔ）（（Ｄａｔａ［ｍ］．０００Ｉｄｐ鸺．Ｙ—ｍｉｎｙ）／ｃｅｌｌｙ）； Ｉｎｔ ｋ＝（ｉｎｔ）（（Ｄａｌａ［ｍ］．ｅｏｏｒｄｐｏｓ．ｚ—ｌｌｌｉ犯）／ｏｅｌｌｚ）； ｂｌｏｃｋ［ｉ］［ｊ］［ｋ］．ＰｏｉｎｔＩｎｄｅｘ．ｐｕｓｈ－ｂａｃｋ（ｍ）； Ｄａｔａ［ｍ］．ｘ＝ｉ； Ｄａｍ［ｍ】．Ｙ＝ｊ； Ｄａｔａ［ｍ］．ｚ＝ｋ； ／／双向赋值 ｝． Ｄａｔａ［ｍ］为点的索引号，Ｄａｔａ．ｓｉｚｅ（）为整个数据 点的个数，ｂｌｏｃｋ［ｉ］［ｊ］［ｋ］为晶格号，ｃｏｏｒｄｐｏｓ．ｘ，ＣＯ— ｏｒｄｐｏｓ．Ｙ，ｃｏｏｒｄｐｏｓ．Ｚ分别为Ｄａｔａ［ｍ］的三个方向上的 坐标。 这样划分以后，每个晶格就有２６个邻接晶格， 如图３所示，这样既便于点云数据的精简，也便于点 的查询，注意这时的晶格内可能没有点，也可能包