数值计算方法简介
计算数学中的数值计算方法研究
计算数学中的数值计算方法研究计算数学作为数学的分支领域之一，主要研究计算科学中的数学方法、算法和计算计算机软件等方面。
在当前数字化和信息化的时代，计算数学无疑成为了一门非常重要的学科。
其中数值计算方法作为计算数学的重要组成部分，更是备受研究者重视。
本文主要就计算数学中的数值计算方法进行分析研究。
一、数值计算方法数值计算方法是计算数学中的一门重要的研究领域，它主要研究如何用电子计算机求解数学问题。
在这个领域中，研究的问题一般可以分为两个部分：一是数值计算方法的分类、特点、原理和理论分析等方面；二是数值计算算法的设计、实现、计算精度、稳定性、效率、适用范围和应用等方面。
二、常见数值计算方法1.插值法插值法是利用一组数据中的有限数据，在其中插入一个新的数据的方法。
这是一个常用的数值计算方法，在物理学、工程学、统计学、经济学等各种学科中都有广泛的应用。
在计算机制作图形、控制系统设计、光学、信号处理以及图像处理等领域中，插值法也都有把握应用。
2.数值微积分数值微积分主要研究微积分理论的数值计算方法，把函数积分和微分的不定、定积分、曲线面积等问题化为有限项或者逼近求和问题。
在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中都有广泛应用。
3.线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法主要研究线性方程组的计算方法和算法，包括高斯消元法、列主消元法、克拉默法则和对称正定方阵的Cholesky分解等。
这些方法在物理、工程、金融、经济学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
4.数值逼近法数值逼近法是指用一个简单的函数逼近另一个复杂的函数的方法。
这种方法在现代工业计算、经济学、统计学以及科学计算中有广泛的应用。
三、数值计算方法的应用在现代社会中，计算机技术的不断发展和完善，为数值计算方法的应用提供了很好的机会。
数值计算方法在各个领域中都得到了广泛的应用和推广。
例如，在物理学、化学、化工、电力、金融、经济学、计算机科学等很多相关领域中，数值计算方法都有广泛的应用。
Matlab中的数值计算方法简介
Matlab中的数值计算方法简介引言：Matlab是一种强大的数值计算软件，广泛应用于工程、科学、金融等领域。
它拥有丰富的数值计算方法库，可以帮助研究者和工程师解决各种数值计算问题。
本文将简要介绍几种常见的数值计算方法，并说明它们在Matlab中的实现和应用。
一、插值法插值法是一种通过已知数据点之间的插值，估计未知数据点的数值的方法。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数进行插值计算。
该函数可以根据给定的数据点，计算出在指定位置的插值结果。
我们可以通过设置插值的方法和插值节点的数目来调整插值的精度与计算效率。
二、数值积分数值积分是一种通过近似求解定积分的方法。
在Matlab中，我们可以使用quad和quadl函数进行数值积分。
这些函数可以自动选择合适的数值积分方法，并提供了较高的精度和计算效率。
我们只需提供被积函数和积分区间，即可获得近似的积分结果。
对于一些特殊形式的积分，如复杂函数或无穷积分，Matlab还提供了相应的函数供我们使用。
三、线性方程组求解线性方程组的求解是数值计算中的一个重要问题。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模线性方程组的求解问题。
在Matlab中，我们可以使用矩阵运算功能和线性方程组求解函数来解决这类问题。
Matlab提供了一系列的求解函数，包括直接法和迭代法。
其中，直接法适用于小规模线性方程组，迭代法则适用于大规模线性方程组。
我们可以根据具体情况选择合适的方法和函数来求解线性方程组。
四、微分方程求解微分方程是许多科学和工程问题的数学模型，求解微分方程是数值计算中的常见任务。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程的初值问题。
该函数采用龙格-库塔方法，对微分方程进行数值积分，并给出近似的解析结果。
对于偏微分方程和其他更复杂的微分方程问题，Matlab还提供了更多的求解函数和工具箱供我们使用。
五、最优化问题求解最优化问题是指在特定约束条件下，求解给定目标函数的最大值或最小值的问题。
数值分析计算方法介绍
据此有 Vt1 vt0 S ，两端同除以 V v ，有
S t * 由于 V v
V v S t1 t0 V v V v V v
为人龟追赶问题的精确解，
由此可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均：
其中
v V v
t* (1 )t1 t0
数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
：
1
• 引例
数值分析(计算方法)简介
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者：
Ax b
其中 det(A) 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
, a3 0.8610 ，其绝对误差限都是0.005， 例 设近似值 a1 1.38, a2 0.0312 求各个近似值各有几位有效数字？
解
4
3 李庆扬. 数值分析. 清华大学出版社，2001.
4 白峰杉. 数值计算引论. 高等教育出版社, 2004. 5 王能超. 计算方法. 北京: 高等教育出版社, 2005
8
数值分析的基本概念
内容:
• • • • • 算法设计技术 误差 数值计算中需要注意的一些问题 算法的稳定性 病态问题
9
算法设计技术
1 a x1 x0 2 x0
0出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开
1 a xk , k 0,1, 2, 2 xk
校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精 ！ 17
• 算法优化的松弛技术 再考察Zeno算法： 对于给定的预报值 t 0 ，校正值为 t1
高等数学(数值计算方法)
第1章绪论1.1数值计算方法的对象与特点1.1.1 什么是数值计算方法现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。
比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。
发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。
有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。
计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。
研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。
计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。
1.1.2 数值计算方法的内容数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。
数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。
我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。
对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。
怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。
算法统宗的计算方法
算法统宗的计算方法
算法的计算方法可以分为两种：数值计算方法和符号计算方法。
1. 数值计算方法：数值计算方法是指利用数值运算来解决数学
问题的方法。
常见的数值计算方法包括：插值法、数值积分法、数值微分法、迭代法、数值解线性方程组等。
数值计算方法通常通过近似的方式来得到结果，精度受到计算机存储和计算精度的限制。
2. 符号计算方法：符号计算方法是指利用代数运算来解决数学
问题的方法。
符号计算方法可以进行精确计算，不受计算机存储和计算精度的限制。
常见的符号计算方法包括：代数运算、方程求解、求导、积分、级数展开等。
符号计算方法通常通过对表达式进行代数变换和化简来得到结果。
总结起来，数值计算方法适用于需要近似解的问题，而符号计算方法适用于需要精确解或者需要分析解的问题。
在实际应用中，常常会将数值计算方法和符号计算方法结合起来，以获取更好的计算结果。
常用数值计算方法简介-连续+非连续方法
四、著名有限元分析软件的应用范围
➢ UG 软件起源于美国麦道飞机公司，1991年11月并入世界上
MARC 美国 MARC 有限元 多行业通用 非线性计算 JACOBS
ADINA 美国 Bathe 有限元 多行业通用 非线性计算
FLAC
美国 Cundell 有限差分 岩土行业 前后处理麻烦、 计算收敛性好
MIDAS 韩国
有限元 土木工程 中文操作、易学
同济曙光 中国 朱合华
有限元 隧道工程 中文操作、 快速计算（二维）
三、有限元分析软件的发展（ 1980～1990年）
➢1988年Flomerics公司成立，提供用于子系统内部空气流 及热传递的分析程序。 ➢1989年Engineering Software Kessemochand Development公司成立，致力于发展Ｐ法有限元程序。同时 期还有多家专业性软件公司投入专业CAE程序的开发。 ➢这一时期的CAE发展的特点：有限元分析技术在结构分析 和场分析领域获得了很大的成功，从力学模型开始拓展到各 类物理场(如温度场、磁场、声波场)的分析；从线性分析向 非线性分析(如材料为非线性、几何大变形导致的非线性、 接触行为引起的边界条件非线性等)发展，从单一场的分析 向几个场的耦合分析发展。
四、著名有限元分析软件的应用范围
➢ MSC系列工程分析软件： MSC.PATRAN：可进行静力 /动力学 / 非线性 /热分析 /复
合材料 /优化灵敏度分析等分析。 MSC.DYTRAN：求解高度非线性、瞬态动力学、动力响
数值计算方法
数值计算方法
首先，数值计算方法涉及到数值逼近和插值。
在实际问题中，我们经常会遇到
一些函数的图像，但是这些函数并不一定能够通过解析表达式来描述，这时候我们就需要利用数值逼近和插值的方法来近似表示这些函数。
数值逼近和插值的方法有很多种，比如最小二乘法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等，它们可以帮助我们用简单的函数来近似表示复杂的函数，从而方便我们进行计算和分析。
其次，数值计算方法还涉及到数值积分和微分方程的数值解法。
在实际问题中，我们经常需要计算一些函数的积分或者求解一些微分方程，但是这些问题并不一定能够通过解析的方法来得到精确的解，这时候我们就需要利用数值积分和微分方程的数值解法来进行近似计算。
数值积分和微分方程的数值解法有很多种，比如复化梯形公式、龙格-库塔法、有限元法等，它们可以帮助我们用离散的方法来近似表
示连续的函数，从而方便我们进行计算和分析。
另外，数值计算方法还涉及到线性代数和矩阵计算。
在实际问题中，我们经常
会遇到一些线性方程组的求解问题，或者矩阵的特征值和特征向量的计算问题，这时候我们就需要利用线性代数和矩阵计算的方法来进行求解。
线性代数和矩阵计算的方法有很多种，比如高斯消元法、雅可比迭代法、幂法等，它们可以帮助我们高效地求解线性方程组，计算矩阵的特征值和特征向量，从而方便我们进行计算和分析。
总的来说，数值计算方法是一门非常重要的学科，它不仅为科学家和工程师提
供了强大的工具，也为数学家提供了新的研究方向。
通过数值计算方法，我们可以更好地理解和解决实际问题，促进科学技术的发展。
希望通过不断地学习和研究，我们能够更好地利用数值计算方法来解决更多的实际问题，为人类的发展做出更大的贡献。
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（2）缺点
l）该软件建模不是太方便； 2）非线性计算能力比较差，收敛速度非常慢； 3）土木材料的本构关系很少； 4）没有undo功能，某地方错了只能从新再来
3、常用的数值分析软件
3.2 ABAQUS
ABAQUS 是一套功能强大的工程模拟的有限元软件， 其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的 非线性问题。 ABAQUS 包括一个丰富的、可模拟任意几 何形状的单元库。并拥有各种类型的材料模型库，可以 模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分 子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材 料以及土壤和岩石等地质材料。作为通用的模拟工具 ， ABAQUS 除了能解决大量结构（应力 / 位移）问题 ，还可以模拟其他工程领域的许多问题，例如热传导、 质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（ 流体渗透 / 应力耦合分析）及压电介质分析。
2、常用的数值计算方法
2.2.2 有限元法的基本计算步骤
（1）问题及求解域定义； （2）求解域离散化； （3）确定状态变量及控制方法； （4）单元推导； （5）总装求解； （6）联立方程组求解和结果解释
2、常用的数值计算方法
2.2.3 有限元法的优缺点
有限元法的优点是适应性强,自由边界条件自动满足； 但是不适合计算大尺度,对于透射边界需单独处理,单元太 多的模型,计算速度慢
2、常用的数值计算方法
2.1 有限差分法（FDM）
有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数 写成变量，在不同的时间或空间点值的差分形式的方 法。它是以变量离散取值后对应的函数值来近似微分 方程中独立变量的连续取值。有限差分法在土木工程 ，材料成型等领域应用比较的普遍，它与有限元等方 法一起成为计算机模拟技术的主要数值分析方法。
2、常用的数值计算方法
2.2 有限元法（FEA）
有限元法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问 题后再求解，它是用有限个单元将连续体离散化，通 过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题 的一种数值方法。
2、常用的数值计算方法
2.2.1 有限元法的基本思想
基本思想是把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一 个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连 接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未 知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函 数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组， 从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限 自由度问题。
数值计算方法简介
目录 CONTENTS
1、数值计算简介
2、常用的数值计算方法
3、常用的数值分析软件简介
1、数值计算简介
1.1 什么是数值计算？
数值计算是指有效使用数字计算机求数学问题近 似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科，它 主要研究求解数学模型的算法及相关理论，是求解数 学模型的不可缺少的途径和手段，它伴随计算机的发 展而发展。数值计算作为计算数学的主要部分, 它是 研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其 理论与软件实现, 是一门与计算机使用密切结合的实 用性和实践性很强的数学课程, 是应用数学专业、信 息与计算科学专业及很多理工科专业的核心课程。
3、常用的数值分析软件 （2）分析计算模块
前处理阶段完成建模以后，用户可以在求解阶段获得 分析结果。 在该阶段，用户可以定义分析类型，分析选项，载荷 数据和载荷步选项，然后开始有限元求解。 （3）后处理模块
ANSYS软件的后处理过程包含两个部分：通用后处理 模块和时间历程后处理模块。通过用户界面可以很容易 的获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
2、常用的数值计算方法
2.3 其他数值计算方法
除了以上两种数值计算方法外，还有有限体积法，边界 元法等其他数值计算方法，因为应用不是很广泛，这里就 不再详细介绍。
3、常用的数值分析软件
3.1 ANSYS
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一 体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分 析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接 口，实现数据的共享和交换
2、常用的数值计算方法
2.1.2 有限差分法的具体操作
（1）用差分代替微分方程中的微分，将连续变化 的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； （2）求解差分方程组。 在第一步中，我们通过所谓的网格分割法，将函 数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用 的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现 和减少计算的复杂性。 在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的 计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近 似值。
3、常用的数值分析软件
ABAQUS优缺点
与ANSYS相比，他是基于点线面体的思想建立有限元 模型，ABAQUS是基于装配思想建立有限元模型，在线性 分析方面，二者基本差不多，而ABAQUS在非线性方面的 分析能力比较强，另外ABAQUS操作界面比较友好不是其 他CAE软件可以比拟的，同时接口python语言，比较强 大。
2、常用的数值计算方法
2.1.1 有限差分法的基本思想
（1）把连续的定解区域用有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点称作网格的节点； （2）把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似； （3）以Taylor 级数展开等方法把控制方程和定解 条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于 是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 ，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解； （4）然后再利用插值方法便可以从离散解得到定 解问题在整个区 域上的近似解。
3、常用的数值分析软件
1.1 ANSYS软件功能简介
ANSYS软件主要分为三个部分，前处理模块，分析计算模 块和后处理模块。
（1）前处理模块
该软件提供了强大的实体建模和网格划分工具，用户可 以方便的构造有限元模型，它提供了多种以上的单元模型 ，用来模拟工程中的各种材料和结构。
ANSYS提供了两种实体建模方法，自顶向下和自底向上 。