教案--第五章 二次型
二次型
§1 二次型及其矩阵表示◎ 本节重点：二次型的矩阵表示，合同关系；本节难点：合同关系.一、二次型的表示1.一般式：（略） 特点：n 个变量，每个单项式都是二次的.（系数2是为了讨论方便）2.矩阵式： 11,21),,,(⨯'==∑AX X x x a x x x f ji j i ij n （X 列向量；A 对称矩阵，一一对应关系）3.二次型矩阵的求法：设n n ij a A ⨯=)(，则ii a ＝2i x 的系数，而ji ij a a =＝j i x x 项的系数的一半．．. 二、线性替换（目的：化简二次型）1.表示： （注意：新变量组的个数与原变量组个数相等）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n y c y c y c x yc y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111⇔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 记为CY X =2.非退化线性替换：CY X =，其中0≠ij c （即C 为可逆矩阵） （非退化的目的：保证可还原，保持变换前后的一些性质不变，比如秩）3.性质：线性替换把二次型变成二次型.（为什么？问题：AX X '何时表示二次型？） 【问题】如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么B A ,的关系？AC C B '=三、矩阵的合同关系1.定义：（略）【合同关系与所考虑的数域有关. 合同必等秩（为什么？P180定理4）】2.性质：合同具有以下性质:1) 自反性2) 对称性3) 传递性 【等价关系.其他例子】3.命题：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同.4.合同的证明方法：1）利用定义；2）利用以上命题.证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b a c b c b a ,,合同. 四、课后思考题◎ 二次型DZ Z BY Y AX X ZC Y Y C X '−−→−'−−→−'==21，问D A B A ,;,之间关系？ ――211222C AC C C BC CD ''='=§2 标准形本节主题：讨论标准形的化简方法,这是本章的重点之一. 一、标准形的定义定义：2222211nn x d x d x d +++ （只含有平方项，没有交叉项） 【问题】标准形的矩阵＝？ 二、标准形的存在性定理1：任意二次型都可以经过非化线性替换变成平方和形式（标准形）.证明：对变量个数作数学归纳法…配方法…注意体会怎么配方？有何规律？（P211）（P213）化标准形，并求相应的线性替换.【问题】n 元二次型的标准形的平方项个数？（n ≤）(不可能配方越配越多)用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2：任一个对称矩阵都合同于某一个对角矩阵. （也可直接证明：作一系列合同变换） 【问题】已知对称矩阵A ，如何求一个可逆矩阵C ＝?,使AC C '成对角矩阵？(相当于化标准形――方法参见下面的矩阵法). 三、标准形的求法1.配方法：要点～消去交叉项！2.矩阵法：实际上是配方法过程的矩阵表示.注意教材中几种情况下1C 的取法.P218上例的另解，注意理解i C 是怎么选取的） 3.合同变换法（补充）[原理] 对称矩阵A ⇒可逆矩阵C ,使AC C 'D =（对角矩阵）而可逆矩阵可以分解成初等矩阵的乘积（P191），所以取r E E E C ...21=,代入考察两个式子：D E E AE E E E r r='''......2112, C E E E E r =⋅...21 说明：对A 作同型成对的初等变换（称为合同变换）时，相应的列变换把单位矩阵E 变成了C .[求法] ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d D r (1).有如下结论：1） 确定了线性替换CY X =，使二次型2211r r y d y d AX X ++='2） 确定了可逆矩阵C ,使AC C '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d r...13） D C ,不唯一确定，但一定满足AC C 'D =可见合同变换法同时解决了两个问题:确定了标准形以及相应的线性替换.【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．（才能保证合同性，所得结果才是标准形）的初等变换， 对E 只能作相应的列变换.注意对角元实际上只变一次！‘§3 唯一性◎ 本节重点：规范形的求法，惯性定理；本节难点：惯性定理的证明. 一、标准形是否唯一？【问题】二次型2211r r y d y d AX X ++==' ，问1) A 合同于（？） 2）?=r 3）i d 大小唯一？ 4）i d 符号唯一？ 5)平方项总数唯一？ ――合同的矩阵有相同的秩.==)(A r r 平方项的个数，唯一确定（也成为二次型的秩）在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关. 二、复规范形复数域的重要特征是每个数都可以开平方，因此标准形可以化得很彻底.形如22221r z z z +++ （r 唯一确定）. 称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理3：任意一个复系数的二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.从矩阵的角度看，定理3就是：任一复数的对称矩阵合同于的对角矩阵)0,,0,1,,1( diag . 从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 三、实规范形【本节重点】对实系数的二次型，可以经过非退化线性替换并适当排列文字的次序，使标准形的正负项分开：,22122221r p p z z z z z ---++++它就称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然规范形完全被p r ,这两个数所决定.惯性定理：任一实系数二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 证明：唯一性的证明有技巧（P223）23322231212132158222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=， 求f 的实规范形以及相应的线性替换；秩与符号差.―― ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321510053105211y y y x x x ，232221321),,(y y y x x x f -+=【问题】1）怎样求一个线性替换，使二次型变成规范形？ （合同变换法，只需继续化简对角形…） 2）规范形与标准形有何区别？四、数域R C ,上的合同类定理5（1）任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r E ，其中对角线上1 的个数等于A 的秩. （2）任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E 其中对角线上1的个数p 及-1的个数p r -（r 等于A 的秩）都是唯一确定的，分别称为A 的正、负惯性指数，它们的差r p -2称为A 的符号差.【问题】两个矩阵在实数域上合同的充要条件的什么？（等秩且等符号差或等惯性指数） n 元实对称矩阵共有多少个合同类？解 由以上结论，合同类个数取决于),(p r 有多少取法：),(),...,1,(),0,(,);1,1(),0,1(1);0,0(0n n n n n r r r --=--=--= ，共)1(21++++n 个.§4 正定二次型◎ 本节重点：正定二次型，正定矩阵；本节难点：正定矩阵的证明.主要讨论实数域（可以比较大小）上特殊而又重要的二次型：正定二次型；相应矩阵是正定矩阵. 一、正定二次型的判别1.定义 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的⇔对于任意一组不全为零．．．．的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .（0≥半正定；0<负定；0≤半负定；00<>也不定）[矩阵形式] n 元实二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n 都有. （用于证明） 2.标准形的正定性：222221121),,,(nn n x d x d x d x x x f +++= 是正定的⇔n i d i ,,2,1,0 =>. ――取)0,...,0,1,0,...,0(代入，即得n i d i ,,2,1,0 => ――用这个方法易证正定二次型的每个平方项系数全大于0. 【问题】二次型→标准形，正定性保持吗？ 3.命题：非退化线性替换保持正定性.根据以上两点，即得：4.定理6 n 元实二次型正定⇔正惯性指数为n ⇔实规范形为22221ny y y +++ ◎ 具体应用：要判定，先化简（标准形），再确定正惯性指数（方法1）. 二、正定矩阵的判别1.定义 A 是正定矩阵⇔A 实对称（前提条件！），且对应的二次型AX X '正定. 问：AX X '正定，它的规范形是什么？两者的矩阵什么关系？（合同） 即得： 2.命题 实对称矩阵是正定的⇔它与单位矩阵合同.（方法2.常用于证明）【充分性另证：0)()(0,0.,>'='∴≠≠∀≠'=CX CX AX X CX X C C C A 即正定】 3.推论 正定矩阵的行列式大于零（从而正定必可逆）. （证明……；反之不然！） 注意：正定矩阵⇒实对称、可逆.（必要条件））B A 与合同，A 正定B ⇒也正定. （先证对称，再利用命题）2）B A ,正定ABA ⇒正定. 证1：合同法.BA A ABA '=合同于B .证2：定义法.0)()(0,0>'−−→−∈≠−−→−∈≠∀AX B AX R AX R X X B n A n 正定可逆.3）A 正定32,A A ⇒也正定.（EA A A '=2或C C CE C A ''=2.23233EA A A =?不行…方幂无意义）【易错点】（作业）对称矩阵A ＝n n ij a ⨯)(（或二次型∑j i j iij x x a,）正定不能推出每个系数0>ij a ；每个0>ij a 也不能推出对称A ＝n n ij a ⨯)(（或∑ji j iij x x a,）正定. （反例P231）那么，正定和系数之间到底有什么联系呢？先介绍顺序主子式（个数n =）?=k P4.定理7： 实对称矩阵A 正定⇔实二次型AX X '正定⇔矩阵A 的顺序主子式全大于零. （法3）说明：本定理（特别是充分性）证明过程很经典，值得学习、掌握. 推广：主子式也成立（教材习题9）证明：必要性.注意顺序主子式对应的二次型相当于原来二次型后面几个变量取0，再利用推论.充分性.数学归纳法.考虑矩阵的分块运算，得到一个1-n 级的正定矩阵，再利用归纳假设.1=n ,命题成立.设1-n 时命题成立（什么意思？） 步骤1：构造符合归纳假设的1-n 矩阵.作分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=nn a A A αα1，1A 的顺序主子式全大于零1A −−−→−归纳假设正定 于是G E G A G n ,11-'＝是1-n 级可逆矩阵.步骤2：化A 为合同的对角矩阵（为什么要求合同？保持正定性）.取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='-nn n nn a G G E a GG G A G AC C αααα1111（记为,B 不是对角形，再化） 取⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=-1012αG E C n （分析分块矩阵初等变换与初等矩阵的关系即得） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-='--a E G G a E BC C n nn n 00001122αα,（记为D ）（分析：ααG G ''是数） 令21C C C =，得D AC C ='，两边取行列式，已知n 级顺序主子式0>A 0>→a 所以D 正定A D A −−−→−合同,正定. 证毕. ◎ 至此，关于正定的判定有哪些方法？（小结） 三、负定的判别1.定义：对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21<n c c c f （负定）2.判别：),,,(21n x x x f 负定⇔),,,(21n x x x f -正定 【问题】负定矩阵的顺序主子式有何特点？――奇数阶的全小于0、偶数阶的大于0 （理由：考虑f -正定的顺序主子式） 四、半正定的判别（参见定理8） 1.区别：半正定、正定的判别条件. 2.应用：《数学分析》二元函数的极值问题. 五、课后思考题◎正定矩阵的前提条件是实对称？两个正定矩阵的乘积还是正定的？ 【本节重点】正定二次型、正定矩阵的判别与证明.厦门大学2004考研题：写出实对称矩阵A 是正定矩阵的5个充要条件.（20分）《二次型》复习一、二次型的表示 1.一般形式：∑ji j iij x x a,2.矩阵形式：AX X '（要求A 对称、X 是列向量） 1)A 的求法:ii a ＝2i x 的系数，而ji ija a =＝j i x x 项的系数的一半2) 二次型与对称矩阵之间具有一一对应关系，并且两者的问题可互相转化.（怎么转化？） 3.标准形：（不含交叉项，只含平方项，总项数＝对应矩阵的秩） 4.规范形：系数为1或－1的标准形 二、合同关系1.A 与B 合同⇔AC C B '=，C 可逆. （合同与数域有关）2.如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么AC C B '=（合同） 3.合同关系保持秩不变，也保持对称性、正定性不变.4.任一对称矩阵都合同于某一个对角矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O d d r...1,其中A r =的秩 任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE ,其中A r =的秩 任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E ，其中A r =的秩 三、标准形（规范形）的求法【本章重点】 1.配方法2.合同变换法 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，对应的线性替换为CY X =【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．的初等变换，对E 只能作相应的列变换. 四、正定的判别与证明【本章重点】1.实对称矩阵A 正定⇔二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n都有. 2.必要条件：正定矩阵⇒实对称、可逆3.判别方法：1）定义法；2）化为标准形，正惯性指数n =；3）与单位矩阵合同；4）顺序主子式全部大于0（包括0>A ）.4.注意事项：正定矩阵的前提条件是实对称；两个（对称）正定矩阵的乘积不一定也（对称）正定.。
高等代数北大版教案-第5章二次型
高等代数北大版教案-第5章二次型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN４８第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程：定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++n n x x a x a 2222222 (2)n nn x a + (3)称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型.例如：2332223121213423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：４９令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+22211n nn n n n n x a x x a x x a +++∑∑===n i nj j i ij x x a 11(5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以A A ='.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，()n x x x AX X 21='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121∑∑===ni nj j i ij x x a 11.５０故 AX X x x x f n '=),,,(21 .显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且 B B A A ='=',，则，B A = 线性替换的矩阵表示令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c cc c c C 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n y y y Y 21,那么，线性替换(4)可以写成， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y 21 或者CY X =.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 AX X x x x f n '=),,,(21 ，A A ='， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换CY X = (8) 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y '.现在来看矩阵B 与矩阵A 的关系 把(8)代入(7)有AX X x x x f n '=),,,(21 ACY C Y CY A CY ''='=)()(BY Y Y AC C Y '=''=)(.５１容易看出，矩阵AC C '也是对称的，事实上，AC C C A C AC C '=''''='')(.由此，即得AC C B '=.定义2 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使AC C B '=.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 AE E A '=.(2)对称性 由 AC C B '=，即得)()(11--'=C B C A .(3)传递性 由111AC C A '=，2122C A C A '=，即得)()(21212C C A C C A '=.因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形一 授课内容：§2 标准形二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.５２五 教学过程：I 导入可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2222211n n x d x d x d +++ (1)II 讲授新课定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的.2222211n n x d x d x d +++ =()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d00000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的一个标准形.例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：作非退化的线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x５３则3213212121321)(2)(6))((2),,(y y y y y y y y y y x x x f ++---+=323122218422y y y y y y +--=322223231822)(2y y y y y y +---=再令 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311y z y z y y z 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311zy z y z z y则),,(321x x x f 233222212822z z z z z -+-=23232216)2(22z z z z +--=.最后令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==33322112z w z z w z w 或⎪⎩⎪⎨⎧=+==33322112wz w w z w z则 ),,(321x x x f 232221622w w w +-=是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011011321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321100210001100010101w w w ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w . 用矩阵的方法来解 例 化二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=为标准形.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=031301110A .取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000110111C ,则111AC C A '=５４⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031301110⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=042420202. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000101012C ，则2122C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---042420202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=240420002. 再取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002100013C ，则3233C A C A '=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--240420002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001 3A 是对角矩阵，因此令321C C C C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100011011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111311，就有AC C '⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=600020002.作非退化的线性替换CY X =即得),,(321x x x f 232221622y y y +-=.５５§3 唯一性一 授课内容：§3 唯一性二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型313221321262),,(x x x x x x x x x f +-=经过非退化的线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100110311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321w w w 得到标准形232221622w w w +-.而经过非退化的线性替换５６⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3100312111211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 就得到另一个标准形23222132212y y y +-. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，),,,(21n x x x f 变为标准形，不妨设标准形为2222211r r y d y d y d +++ ，0≠i d ，r i ,,2,1 = (1)易知，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++nn r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (2) (1)就变为22221r z z z +++ (3) (3)称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.对于实数域的情形设),,,(21n x x x f 是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使),,,(21n x x x f 变为标准形，2211p p y d y d ++ 2211r r p p y d y d ---++ (4)0>i d r i ,,2,1 = ，r 就是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++n n r r rrr z y z y z d y z d y 1111111 (5) (4)就变为221p z z ++ 221r p z z ---+ (6)(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然，规范形完全被p r ,这两个数所决定.定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型),,,(21n x x x f 的规范形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数，它们的差r p p r p -=--2)(称为),,,(21n x x x f 的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.§4 正定二次型一 授课内容：§4 正定二次型二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程：定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .显然，二次型),,,(21n x x x f 221n x x ++=是正定的，因为只有在021====n c c c 时，221n c c ++ 才为零.一般的，实二次型),,,(21n x x x f 2222211n n x d x d x d +++=是正定的，当且仅当0>i d n i ,,2,1 =.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .定理5说明，正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为221n y y ++ (5)定义5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式iii i iii a a a a a a a a a P 212222111211=),,2,1(n i =称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.定理6 实二次型),,,(21n x x x f ∑∑===ni nj j i ij x x a 11AX X '=是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零.例 判断二次型3231212322213214845),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=是否正定.解：),,(321x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----524212425它的顺序主子式05> ，01225> ， 0524212425>---- 因之，),,(321x x x f 正定. 与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的.对于半正定，我们有定理7 对于实二次型),,,(21n x x x f AX X '=，其中A 是实对称的，下面条件等价：(1)),,,(21n x x x f 是半正定的. (2)它的正惯性指数与秩相等. (3)有可逆实矩阵C ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AC C21，其中，0≥i d n i ,,2,1 =. (4)有实矩阵C 使C C A '=.(5)A 的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=212122211000),(x x x x x x x f 就是一个反例.。
第五章第五节二次型及其标准形
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
第五章 相似矩阵及二次型
第五章：相似矩阵及二次型本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。
4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。
§1 向量的内积、长度及正交性内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2≤；n维向量x 与y 的夹角[]yx y x ,arccos=θ；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。
重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。
§2 方阵的特征值与特征向量内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式()λλλλ---=nn n n n n a a a a a a a a a f212222111211；若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
§3 相 似 矩 阵内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，则有 1）,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λknkkk λλλ()()()().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λϕλϕλϕϕ2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。
长安大学《线性代数》课件-第5章二次型 (2)
n
a
i , j 1
ij
xi x j
ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 xn )n
12 x
2
x
x
a
x
aa2 n2 nxx2 nx)n
ax21
(
a
x
a
x
2222 2 2
2 221 1 1
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
如果要把 f = 2y12 + y22 + y32 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1
y2 z 2
y z
2
2
可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32
例 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
2 3
1 3 , 则Q是正交矩阵。
2 3
例
2
2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 ax 2 4 x1 x 2 4 x 2 x 3
经正交变换 x Q y 化为标准形 f y12 by2 2 4 y 3 2
求 a,b;
解 二次型的矩阵为
2 2 0
ann xn2
2an1, n xn 1 xn
称为二次型．
例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2
2
2
都是二次型。
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
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本节学习了二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，学习了求二次型秩的方法。课后加强二次型秩的计算
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
2014级会计学本科班
授课时间
教学时间安排
2学时
授课题目
（章节）
第二节化二次型为标准形
教学目的、要求（教学目标）
⑴了解二次型与对称矩阵的规范形
⑵掌握化二次型为标准形的三种方法
，
则
注:说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
例题选讲
用配方法化二次型为标准形
例1将 化为标准形.
例2化二次型 成标准形,并求所用的变换矩阵.
用初等变换化二次为标准型
例3求一可逆线性变换将
化为标准型.
例4求一可逆线性变换化 为标准形.
用正交变换化二次型为标准形
例5将二次型
通过正交变换 化成标准形.
2.若 为负定或半负定矩阵，则 为 的极大值；
3.若 为不定矩阵，则 不是极值；
例题选讲
二次型有定性的概念
例1二次型 当 时,显然有
所以这个二次型是正定的,其矩阵 是正定矩阵.
例2二次型 将其改写成
当 时, ,故 是半负定,其对应的矩阵 是半负定矩阵.
例3 是不定二次型,因其符号有时正有时负,如
正定矩阵的判别法
则 就可化为标准形 其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.
内容要点
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.
拉格朗日配方法的步骤:
(1)若二次型含有 的平方项,则先把含有 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形;
教学重点
与难点
化二次型为标准形的三种方法
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
内容导入
若二次型 经可逆线性变换 化为只含平方项的形式
则称之为二次型 的标准形.
由第4章实对称矩阵的对角化方法可知,可取 为正交变换矩阵，则二次型 在线性变换 下,可化为 如果 为对角矩阵
定理6秩为 的 元实二次型 ,设其规范形为
则
(1) 负定的充分必要条件是 且 (即负定二次型,其规范形为 )
(2) 半正定的充分必要条件是 (即半正定二次型的规范形为 )
(3) 半负定的充分必要条件是 (即 )
(4) 不定的充分必要条件是 (即 )
定义2 阶矩阵 的 个行标和列标相同的子式
称为 的一个 阶主子式.而子式
矩阵的合同关系基本性质:
(1)反身性
对任意方阵 ;
(2)对称性若 则
(3)传递性若 则
例题选讲
例1二次型 的矩阵是
反之,对称矩阵 所对应的二次型是
例2求二次型
的秩.
理论讲解30分钟，习题选讲10分钟，练习、答疑5分钟
提问：n元二次型是如何定义的？
提问：二次型的秩是怎样定义的？
注:若 ,则 与任何向量都正交.
称为 的 阶顺序主子式.
定理7 阶矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 的所有顺序主子式 .
注：(1)若 是负定矩阵，则 为正定矩阵,。
(2) 是负定矩阵的充要条件是：
其中 是 的 阶顺序主子式.
(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a.对称矩阵 是半正定（半负定）的;
b. 的所有主子式大于（小于）或等于零；
提问：实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的定义是什么？
作业与
课外训练
1.设二次型 试确定当 取何值时, 为正定二次型.
2.判别二次型 是否正定.
课外阅读资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
(1)将二次型表成矩阵形式 求出 ;
(2)求出A的所有特征值 ;
(3)求出对应于特征值的特征向量 ;
(4)将特征向量 正交化,单位化,得 ,记
(5)作正交变换 ,则得f的标准形
四、二次型与对称矩阵的规范型
将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为
取 ,则 于是
其中 .
称 为二次型的矩阵形式.其中实对称矩阵 称为该二次型的矩阵.二次型 称为实对称矩阵 的二次型.实对称矩阵 的秩称为二次型的秩.于是，二次型 与其实对称矩阵 之间有一一对应关系.
三、线性变换
定义2关系式
称为由变量 到 的线性变换.矩阵
称为线性变换矩阵.当 时，称该线性变换为可逆线性变换.
例4当 取何值时,二次型 为正定.
.
例5判别二次型 为负定.
.
例6证明:如果A为正定矩阵,则 也是正定矩阵.
例7设某企业用一种原料生产两种产品的产量分别为 单位，原料消耗量 单位 ，若原料及两种产品的价格分别为 (万元/单位)，在只考虑原料成本的情况下，求使企业利润最大的产量.
理论讲解40分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑20分钟
对于一般二次型 ,我们的问题是：寻求可逆的线性变换 将二次型化为标准型，将其代入得
这里， 为关于 的二次型，对应的矩阵为 .
四、矩阵的合同
定义3设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得 则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为
易见,二次型 的矩阵A与经过非退化线性变换 得到的二次型的矩阵 是合同的.
三、用正交变换化二次型为标准形
定理3若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令 ,则B也为对称矩阵,且
注:(1)二次型经可逆变换 后,其秩不变,但f的矩阵由A变为
(2)要使二次型f经可逆变换 变成标准形,即要使 成为对角矩阵,即
定理4任给二次型 总有正交
变换 使f化为标准形
其中 是f的矩阵 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
⑴了解二次型的概念
⑵掌握二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质
⑶熟练掌握求二次型秩的方法
教学重点
与难点
二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，求二次型秩的方法
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
问题导入：在解析几何中，为了便于研究二次曲线
的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换
与难点
正定二次型的判断方法
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
教学基本内容
及过程
内容要点
一、二次型有定性的概念
定义1具有对称矩阵 之二次型
(1)如果对任何非零向量 ,都有
（或 ）
成立，则称 为正定（负定）二次型，矩阵 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2有平方项,但是 ,则先作可逆变换
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换,但平方项的系数与 的特征值无关.
因为二次型 与它的对称矩阵 有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2对任一实对称矩阵 ，存在非奇异矩阵 ，使
为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
作业与
课外训练
P1423
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
成立，且有非零向量 ，使 ，则称 为半正定（半负定）二次型，矩阵 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
把方程化为标准形式
.
这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论 个变量的二次多项式的化简问题.
内容要点
一、二次型的概念
定义1含有 个变量 的二次齐次函数
称为二次型.当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.
二、二次型的矩阵
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为 ，它把二次型 化为标准型 ，则 .已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积,故存在初等矩阵 ，使 ,于是
.
由此可见,对 矩阵 施以相应于右乘 的初等列变换,再对 施以相应于左乘 的初等行变换,则矩阵 变为对角矩阵 ,而单位矩阵 就变为所要求的可逆矩阵 .
物流学院
2015—2016学年度第1学期
线性代数课堂教学方案
授课年级2014
专业层次会计学本科
授课班级1、2、3、4班
授课教师
2015年8月28日
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
2014级会计学本科班
授课时间
教学时间安排
1学时
授课题目
（章节）
第五章二次型
第一节二次型及其矩阵
教学目的、要求（教学目标）
课后小结
这节课我们主要学习了化二次型为标准形的三种方法以及二次型规范型的概念，课后加强化二次型为标准形的练习。
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
2014级会计学本科班
授课时间