高数A(三)期末考试答案整理安徽大学
0
⎜⎝ 0
0 4k 0
⎜ 4k
0⎞ ⎜
0
⎟ ⎟
QT
=
⎜ ⎜
0
6k ⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝ 0
0 2k + 6k
2 −2k + 6k
2
0⎟
−2k
+
6k
⎟ ⎟
2⎟
2k + 6k 2
⎟ ⎟⎟⎠
13、解：二次型的矩阵为
各阶顺序主子式为
⎛ 2 2 −2⎞
⎜ ⎜
2
a
−4
⎟ ⎟
⎜⎝ −2 −4 5 ⎟⎠
2 2 −2 | 2 |= 2 ， 2 2 = 2a − 4 ， 2 a −4 = 2(3a −10) ，
。
10、从一批零件中，抽取 9 个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3
设零件直径服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，其中 μ 未知，σ = 0.21 （毫米）， Φ(1.96) = 0.975 ，
则这批零件平均直径 μ 的对应于置信度为 0.95 的置信区间为
⎛ 0 −1 1 ⎞
7、
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
2 0
−01⎟⎟⎟⎠
8、30
9、9
10、（19.77，20.05）
三、计算题（本大题共 4 小题，其中第 11 题和第 13 题各 10 分，第 12 题 14 分，第 14 题 12 分，共 46 分）
11、解：将第一行的-1 倍加到其余各行，得
x1
a2
a3
80
20
四、证明题（本大题共 2 小题，每题 12 分，共 24 分）
15、证明: （1）由于 A2 − 6 A − 7E = 0 ，所以 ( A + E)( A − 7E) = 0 ，下用反正法： 若 A − 7E 可逆，则 A + E = 0i( A − 7E)−1 = 0 ，此与假设 A + E ≠ 0 矛盾，所以 A − 7E 不可逆。
位化即可得到正交矩阵。将特征向量α1,α2,α3 单位化得
β1 = (0,
2 ,− 2
2 2
)T
，
β2
=
(1, 0, 0)T
，
β3
=
(0,
2, 2
2 )T 2
⎛
⎜0 1
⎜
令
Q
=
⎜ ⎜
⎜
2 2
0
⎜⎜⎝ −
2 2
0
⎞
0⎟
⎟
⎛2 0 0⎞
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2 2
⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，从而
Q
为正交矩阵，并且
Q−1
AQ
=
所以 (2)
∫ ∫1 [
1 Cx2 ydy]dx =
4
C =1
−1 x2
21
C = 21 4
P(0 ≤ X ≤ Y ) = ∫∫ f (x, y)dxdy 0≤x≤ y
∫ ∫ ∫ = 21 1 x2[ 1 ydy]dx = 21 1 x2 (1− x2 )dx
40
x
80
∫ = 21 1(x2 − x4 )dx = 7
2、已知 n 维向量组α1,α2,",αs (s ≥ 2) 线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数 k1, k2 ,", ks ，使得 k1α1 + k2α2 +" + ksαs = 0 (B) α1,α2 ,",αs 中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数 k1, k2 ,", ks ，使得 k1α1 + k2α2 +" + ksαs = 0 (D) 对于每一个αi 都可以由其余向量线性表出
12、(本小题 14 分) 已知三阶矩阵
⎛4 0 0⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
4 2
2 4
⎟ ⎟⎟⎠
求: (1) 矩阵 A的特征值及特征向量（6 分）；
(2) 正交矩阵 Q ，使得 Q−1AQ 为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4 分）；
(3) Ak ( k 为正整数)(4 分)。
《 高等数学 A(三) 》 （A 卷） 第 3 页 共 6 页
2a −2 −4 5
由于二次型正定，所以各阶顺序主子式均大于 0，即
解得 a > 10 / 3 。
⎧2(3a −10) > 0 ⎨⎩2a − 4 > 0
14、解：(1) 由于 f (x, y) 为 ( X ,Y ) 的联合密度函数，所以
+∞ +∞
∫ ∫ f (x, y)dxdy = 1 −∞ −∞
即
当 λ2 = 4 时，解下列方程组
⎧−2 ⎨⎩ −2
x3 x2
= =
0 0
得特征向量α2 = (1, 0, 0)T ；
当 λ3 = 6 时，解下列方程组
⎧2 ⎪⎨2
x1 x2
= −
0 2 x3
=
0
⎪⎩−2x2 + 2x3 = 0
得特征向量α3 = (0,1,1)T 。
(2) 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，所以只需将(1)中得到的特征向量单
。
三、计算题（本大题共 4 小题，共 46 分）
得分
11、(本小题 10 分) 计算下列行列式 x1 a2 a3 " an a1 x2 a3 " an
Dn = a1 a2 x3 " an """""
a1 a2 a3 " xn
(xi ≠ ai ,i = 1, 2,", n)
《 高等数学 A(三) 》 （A 卷） 第 2 页 共 6 页
0
0
0
x3 − a3
0
0
0
0
xn − an
∑ =
( x1
+
n i=2
ai
(x1 − a1 xi − ai
)
)(
x2
−
a2 )(x3
−
a3 )
(xn − an )
∑ = (1+
n i =1
xi
ai −
ai
)(
x1
−
a1
)(
x2
− a2 )(x3
− a3)
(xn − an )
12、 解：(1)
λ−4 0 0 | λE − A |= 0 λ − 4 −2 = (λ − 2)(λ − 4)(λ − 6)
∑ (C)
1 σ2
n
( Xi − X )2 ~ χ 2 (n)
i =1
∑ (D)
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2
~
χ 2(n
− 1)
专业
年级
院/系
《 高等数学 A(三) 》 （A 卷） 第 1 页 共 6 页
二、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
得分
⎧
6、若齐次线性方程组
⎪ ⎨
kx1 + x2 − x3 = 0 x1 − kx2 − x3 = 0
五、综合分析题（本大题共 10 分）
得分
17、 设总体 X ~ N (μ,σ 2 ) ，其中 μ 和σ 2 为未知参数， ( X1, X 2,", X n ) 是 总体 X 的一个子样。 (1) 求参数 μ 和σ 2 的极大似然估计 μˆ 和σˆ 2 (6 分)；
(2) 判断σˆ 2 是否为σ 2 的无偏估计量(4 分)。
学号
答 题勿超装 订 线
姓名
安徽大学 2008—2009 学年第一学期
《高等数学 A（三）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
一、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）
得分
1、下列陈述正确的是（ ）。 (A) 若方程组 Am×n x = 0 有唯一解，则方程组 Am×n x = b 有唯一解 (B) 若方程组 Am×n x = b 有唯一解，则方程组 Am×n x = 0 有唯一解 (C) 若方程组 Am×n x = 0 有无穷多解，则方程组 Am×n x = b 有无穷多解 (D) 若方程组 Am×n x = b 无解，则方程组 Am×n x = 0 无解
3、设 0 < P( A) < 1, 0 < P(B) < 1 且 P( A | B) + P( A | B) = 1 ，则 ( )。
(A) 事件 A 与事件 B 互不相容
(B) 事件 A 与事件 B 对立
(C) 事件 A 与事件 B 不独立
(D) 事件 A 与事件 B 独立
4、设 X ~ E(λ) （指数分布）， X1, X 2 ,", X n 是总体 X 的样本，则参数 λ 的矩估计是( )。
（2）由于 A2 − 6 A − 7E = 0 ，所以 ( A − 5E)( A − E) = 12E ，从而
第3页共5页
[ 1 ( A − 5E)]( A − E) = E 12 所以 A − E 可逆，并且 ( A − E)−1 = 1 ( A − 5E) 。 12
16、证明：(1) 由于
∫ ∫ ∫ ∫ EX =
(A)
max{
1≤i≤ n
X
i
}
(B) 2 X
(C) X
(D) 1/ X
5、设 X1, X 2 ,", X n 是来自正态总体 N (μ,σ 2 ) 的样本，则下列结论正确的是( )。
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
安徽高三高中数学期末考试带答案解析
安徽高三高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数满足（其中为虚数单位），则=（）A．B．C．D．52.在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4.公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（）A．18B．24C．60D．905.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．86.已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A．B．C．D．7.设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（）A．1B．2C．3D．48.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（）A．B．C．D．9.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（）A．4B．C．D．010.用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种A．4080B．3360C．1920D．72011.设当时，函数取得最大值，则=（）A．B．C．D．12.已知正方体，则下列说法不正确的是（）A．若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线C．若点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变D．若点在直线上运动时，二面角的大小不变二、填空题1.设是周期为的偶函数，当时, ,则 .2.展开式中的常数项为 .3.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点.如果的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等于 .4.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则_____________.三、解答题1.已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（Ⅰ）当时，求的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.2.在中，角所对的边为，且满足.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求的取值范围.3.已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.4.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.5.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).6.选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.7.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.安徽高三高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知复数满足（其中为虚数单位），则=（）A．B．C．D．5【答案】C【解析】,所以，故选C.【考点】复数的运算.2.在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由正弦定理可知,所以是的充分必要条件，故选A.【考点】充要条件的判断.3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】椭圆的焦点坐标为，所以，所以双曲线方程为，渐近线方程为.【考点】双曲线的简单几何性质.4.公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（）A．18B．24C．60D．90【答案】C【解析】由题意可知，整理得，因为，所以，所以，故选C.【考点】等差数列的通项公式与前项和公式.5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8【答案】D【解析】根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为的长方体，被一个平面截去一部分剩余的，如图所示，所以该几何体的体积为，故选D.【考点】三视图与几何体的体积.6.已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运行程序可知：，是，是；，是，是；，是，否；，是，否；，是，是；所以该程序的运行周期为，当运行个周期后重复上面的运算得到，是，否；此时不满足，推出程序，此时输出的,故选A.【考点】程序框图中的循环结构.7.设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为，而表示可行域内点与点连线的斜率，由选项可知，作出可行域，如下图，由图可知的最小值为，即，所以，故选A.【考点】简单得线性规划.【方法点睛】本题主要考查了简单得线性规划，属于中档题.本题解答的关键是通过分离常数把分式型目标函数化成，从而找到目标函数的几何意义——可行域内点与点连线的斜率，结合图形找出最值点，在高考中对分式结构的处理方式一般是分离变形，找出其意义.8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，所以在上单调递减，又，所以，故选A.【考点】利用导数研究函数的单调性.9.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（）A．4B．C．D．0【答案】A【解析】建立如图所示平面直角坐标系，,,当时，，所以当时，同样可得，故选A.【考点】平面向量的数量积运算.10.用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种A．4080B．3360C．1920D．720【答案】A【解析】四面体的对棱可涂同一种颜色，也可以涂不同的颜色，按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色，一共需要三种颜色，不同的涂色方案共有种；②若相对的棱中有对涂同一种颜色，一共需要四种颜色，不同的涂色方案共有种；③若相对的棱中有对涂同一种颜色，一共需要五种颜色，不同的涂色方案共有种；④若所有相对的棱都涂不同颜色，一共需要六种颜色，不同的涂色方案共有种，所以共有种不同的涂色方案，故选A.【考点】排列、组合与基本的计数原理.11.设当时，函数取得最大值，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，其中，因为当时，函数取得最大值，所以，即，又，联立方程组可得，故选C.【考点】两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式.【方法点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式，属于中档题.解答本题的关键是根据辅助角公式把函数化成正弦型函数的形式，根据题意得到关系式，再结合同角三角函数的基本关系式，解方程组求得的值.12.已知正方体，则下列说法不正确的是（）A．若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线C．若点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变D．若点在直线上运动时，二面角的大小不变【答案】C【解析】A选项中，由正方体的性质可得：,于是平面,因此直线上的点到平面的距离不变，点在直线上运动时，的面积不变，因此三棱锥的体积不变；B选项中，设正方体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，由可得，整理可得，所以点的轨迹是过点的直线，故B正确；当点在直线上运动时，由A可知：直线上的点到平面的距离不变，而的大小在改变，因此直线与平面所成角的大小会随点的移动而变化，故C错误；D选项中，当点在直线上运动时，由A可知：直线上的点到平面的距离不变，到的距离不变，因此二面角的大小不变，故D正确，故选C.【考点】空间直线与平面的平行关系，线面角及二面角及几何体的体积.【方法点睛】本题主要考查了空间直线与平面的平行关系，线面角及二面角及几何体的体积，考查了考生的空间想象能力、推理能力，属于难题.本题解答的关键是发现平面，从而点在直线上运动时，直线上的点到平面的距离不变，这样就容易判断A,C,D三个命题的真假，对于B命题可通过建立空间直角坐标，利用向量求解点的轨迹方程，从而判断其真假.二、填空题1.设是周期为的偶函数，当时, ,则 .【答案】【解析】因为是周期为的偶函数，所以【考点】函数的奇偶性与周期性.2.展开式中的常数项为 .【答案】【解析】因为，所以展开式的通项公式为，令可得，所以展开式中的常数项为.【考点】二项式定理.3.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点.如果的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等于 .【答案】【解析】设直线的方程为，由可得，由韦达定理可得，，所以，即，又，解方程组可得，所以.【考点】直线与抛物线的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，最常用的技巧是设而不解，通过韦达定理进行整体代换，设出直线的方程及两点的坐标，联立方程组得到两点坐标与参数的关系，通过计算发现的斜率互为相反数是解答本题的关键.4.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则_____________.【答案】【解析】因为，所以，因此数列是递增数列，且，由得，所以，所以.【考点】数列的递推公式、数列求和.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式、数列求和，考查了考生的推理能力，属于中档题.解答本题的关键是根据条件进行变形，得到数列数列是递增数列，且，进一步变形得到递推公式，从而对进行裂项相消，求出前项的和.三、解答题1.已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（Ⅰ）当时，求的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）通过三角恒等变换把化成，由题意得到周期，求得，根据函数的奇偶性和的范围求出其值，得到，由得到的范围，找到单调递减区间，求出的范围即可；（II）根据函数图象的变换法则得到，由得，求出的范围.试题解析：（I）由题意得：，因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，又因为函数为奇函数，所以，且，所以，故函数为.要使单调减，需满足，所以函数的减区间为.（II）由题意可得：，，，，，即函数的值域为.【考点】三角恒等变换与正弦函数的图象与性质.2.在中，角所对的边为，且满足.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）根据条件和两角和与差的正、余弦公式可得，整理可得，求得角的值；（II）由正弦定理把用角表示，通过三角恒等变换化成正弦型函数，结合角的范围，求得的取值范围.试题解析：（I）由已知得，化简得故（II）因为，所以，由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC，因为，所以，所以【考点】正弦定理解三角形和三角函数的值域.3.已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】（I）由等差中项可得，即，分别求出时，，验证可得；（II）把（I）的结论代入可得，采用裂项相消法即可求得.试题解析：（I）时，时，，又，两式相减得为是以1为首项，2为公差的等差数列，即.（II），又，综上成立.【考点】递推公式求通项和裂项法求和.4.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】（I）求出时，，根据直线方程的点斜式可得切线方程；（II）当时，若不等式恒成立等价于，通过讨论的范围，得到其在上的单调性，分别求出求出最小值，得到的范围，最后取并集即得实数的取值范围.试题解析：（I）当时，，即曲线在处的切线的斜率为，又，所以所求切线方程为.（II）当时，若不等式恒成立易知1若，则恒成立，在R上单调递增；又，所以当时，，符合题意.2若，由，解得，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以时，函数取得最小值.则当，即时，则当时，，符合题意.当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.综上，实数的取值范围是【考点】导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值，考查了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题.求切线方程，通常根据导数求出切线斜率和切点坐标，结合直线方程的点斜式求解；对于不等式在某个区间上恒成立问题，通常转化为函数的最值，通过分类讨论参数与区间的关系，研究其单调性，转化为解不等式求解.5.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）.【解析】（I）求出函数的导函数，分和两种情况，判断在上的符号变化情况，得到其单调性；（II）令，只需在上恒大于即可，又，故在处必大于等于.构造函数，由可得，对函数求导，判断其符号得其单调性，求出其值域，可得到函数单调性递增，所以.试题解析：（I）由题意得：当时，上单调递减.当时，，当时，，当时，故在上单调递减，在上单调递增.（II）原不等式等价于在上恒成立，一方面，令只需在上恒大于0即可，又，故在处必大于等于0.令可得.另一方面，当时，又，，，故在时恒大于0，当时，在单调递增.故也在单调递增.即在上恒大于0..综上，.【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立，考查了分类讨论和转化与化归的数学思想方法，考查了考生分析问题和处理问题的能力，属于难题.解答本题时，最常见的错误是部分考生忽略了函数的定义域，应该牢固把握研究函数定义域优先的选择；解答的难点是第二问构造新函数转化后，导函数的零点不能直接求出，再次构造新函数，二次求导判断导函数的符号，充分体现了导数在研究函数单调性中的工具作用.6.选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（I）；（II）【解析】（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，在根据化简可得曲线在极坐标系中的方程；（II）利用普通方程求出交点坐标，得到弦长.试题解析：（I）曲线的普通方程为，即，将代入方程化简得.所以，曲线的极坐标方程是.（II）直线的直角坐标方程为，由得直线与曲线C的交点坐标为，所以弦长.【考点】参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用.7.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.。
安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数A(一)、B(一)试卷.pdf
).
A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件
C.充分必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
姓名
专业
院/系
《高等数学 A(一)、B(一) 》（A 卷） 第 1 页 共 6 页
安徽大学期末试卷
2.
设
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x
sin
1 x
,
⎪⎩1,
A． 跳跃间断点
x ≠ 0 ，则 x = 0 是 f (x) 的(
=
_______________.
5. 曲线 y = 1 (x > 0) 与直线 y = x, y = 2 所围成的面积为_______________. x
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
得分
1.
lim
x → x0−
f (x) =
lim
x → x0+
f (x) 是
f
(x) 在 x0 处可微的(
安徽大学期末试卷
4.
lim
(sin
1
+
sin
1
+
sin
1
+
"
+
sin
1
)
1 n
n→∞
2
3
4
n
∫ 5.
x2 1− x4 dx
∫ 6.
dx
ex + 4e−x
《高等数学 A(一)、B(一) 》（A 卷） 第 3 页 共 6 页
∫ 7.
a
1
0 (a2 + x2 )3/ 2 dx
(a > 0)
安徽大学期末试卷MK09-10(1)高数A(三)答案.pdf
=λ
∑ 由此可知 λˆ
=
1 n
n i =1
xi 2
是λ
的无偏估计量。
五、证明题（本大题 8 分） 17. （本小题 8 分）证明：
（1）由 A2 + 2 AB − 2E = 0 得到
1 A( A + 2B) = E 2 故有 A + 2B 可逆。
（2）由（1）知 A + 2B 可逆，且逆矩阵为 1 A ，因而有 2
n i =1
xi 2
=0
得到 λ 的最大似然估计值为
∑ λˆ
=
1 n
n i =1
xi 2
∑ λ
的最大似然估计量为 λˆ
=
1 n
n i =1
Xi2
∫ （3）由于 EX 2 =
+∞
x2
i
2
−
xe
x2 λ
dx
=
λ
0
λ
∑ ∑ 因此 Eλˆ
=
E
⎛ ⎜⎝
1 n
n i =1
EX
i
2
⎞ ⎟⎠
=
1 n
n i =1
EX i2
0 0
−1 0
−2 0
−2 0
−6 0
−3⎟⎟ 0⎟
⎜ ⎝
0
0
0
0
0
0
⎟ ⎠
⎛1 0 −1 −1 −5 −2⎞
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3⎟ ⎟Leabharlann 0⎟⎜ ⎝0
0
0
0
0
0
⎟ ⎠
对应的线性方程组为
数学分析(A3)期末考试试题解答与评分标准
6
第六题，10 分
试利用 F ourier 积分公式证明： ∫
0 +∞
π sinx sinπusinux 2 du = 0 1 − u2
|x| ≥ π |x| > π
答案： 令 f (x) 表示要证明的等式右边的函数； (uπ ) 利用 F ourier 积分公式，利用奇偶性可得 a(u) = 0，b(u) = sin 1−u2 ，验证傅里叶积分收敛 到自身的条件，即可得到要证的等式。 注记： 积化和差步骤得 2 分，傅里叶级数指明收敛条件得 1 分，如果只指明了奇函数，直接带入就 得到结果的，得 4 分；
（3）判断无穷乘积
(1 +
（4）研究函数项级数
n=1 +∞ ∑
x2 e−nx 在 [0, +∞) 上的一致收敛性。
∫ 1n=1 lnx （5）判断广义积分 0 √1 dx 的收敛性。 −x2 答案： （1）当 0 ≤ x < e 时，级数收敛；当 x ≥ e 时，级数发散； ∫ +∞ lnx （2）利用 Leibniz 判别法，并注意到积分 2 x dx 发散，可知原级数条件收敛； + ∞ ∑ 1 （3）注意到这是正项级数，结合 收敛，可知原级数收敛； n2 n=1 （4）求导可得到该函数项级数的一个优级数
1 n2 ，结合
+∞ ∑ 1 收敛，利用 W eierstrass 判别 2 n n=1
法可知，原函数项级数一致收敛； ∫1 1 （5）利用 L′ hospital 法则说明 1 不是被积函数的瑕点，在 0 处证明被积函数和 0 √ dx 同 x 敛散即可；或者利用换元，x = sint，原积分可以显式算出，其值为 − π ln 2 ； 2 注记： （1）利用 Cauthy /D′ Alembert 等判别法或 Stirling 公式/Hardamard 收敛半径公式/等均可， 若半径错误，得零分；未讨论断点值，扣 1 分；未讨论大于等于 e，扣 1 分； （2）答案是绝对收敛的，得零分；使用 Leibniz 判别法时，两个条件未指明，各扣一分；结 论正确但是证明错误，得两分；不证明绝对值对应的级数发散，扣 3 分； （3）答案是发散，得零分；只指明通项趋向于零的，得两分； （4）利用优级数，并且求导说明了找到的级数确实是优级数的得满分；只指明结论的，得三 分；未说明级数收敛，仅说明通项一致趋向于零的，零分；直接求和并放缩的，结论正确满分， 有过程错误，扣三分； （5）答案是发散的，得零分；仅答案正确，两分；分别考虑 0 和 1 出两个点，满分；
安徽大学《概率论与数理统计A三》2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
安徽大学2016—2017学年第一学期《高等数学A （三）》（概率论与数理统计）考试试卷考试试卷（（A 卷）（闭卷 时间120分钟分钟）考场登记表序号一、 填空题填空题（（每小题3分，共15分）1． 设A ，B 是随机事件，()0.4P A =，()0.2P AB =，(|)(|)1P A B P A B +=， 则()__________P A B =∪． 2． 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则方程220x x X −+=无实根的概率为______． 3． 设X 服从正态分布(3,4)N ，Y 服从参数12λ=的指数分布，且,X Y 相互独立，又25Z X Y =−+，则DZ =___________．4． 设12,,,n X X X ⋯为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值 和样本方差，若2X kS +为2np 的无偏估计量，则________k =．5． 设总体X 服从正态分布(,8)N µ，µ为未知参数，1232,,,X X X ⋯是取自总体X 的一个 简单随机样本，X 为样本均值，如果以区间()1,1X X −+作为µ的置信区间，则置信水平 为_________． （标准正态分布分布函数值(2)0.977Φ=，(3)0.999Φ≈，(4)1Φ≈）二、单选题选题（（每小题3分，共15分）6． 将一枚均匀硬币连续抛掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（ ）． （A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立 （C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立题 号 一 二 三 四 五 总分得 分阅卷人分得分院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分分7． 设随机变量X 的分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，1Y X =−，Y 的分布函数记为()G y ，概率密度记为()g y ，则有（ ）（A ）()(1)g y f y =− （B ）()1()g y f y =−（C ）()(1)G y F y =−（D ）()1()G y F y =− 8． 设随机变量X ，Y 相互独立，且EX ，EY 和DX ，DY 存在，则下列等式中不成 立的是（ ），下列表示式中a ，b 均为常数．（A ）()E aX bY aEX bEY ±=± （B ）()E aX bY abEX EY ⋅=⋅ （C ）22()D aX bY a DX b DY +=+ （D ）22()D aX bY a DX b DY −=− 9． 设12,,,n X X X ⋯是来自总体X 的简单随机样本，EX µ=，1DX =，下列说法)(0,1)X N µ−∼ ()2E Xµ=由切比雪夫不等式可知()211P X n µεε−<≥−（ε为任意正数） ○4 若µ为未知参数，则样本均值X 是µ的矩估计量 中正确的有（ ）个．（A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）410． 在正态总体的假设检验中，显著性水平为α，则下列结论正确的是（ ）． （A ）若在0.1α=下接受0H ，则在0.05α=下必接受0H（B ）若在0.1α=下接受0H ，则在0.05α=下必拒绝0H （C ）若在0.1α=下拒绝0H ，则在0.05α=下必接受0H（D ）若在0.1α=下拒绝0H ，则在0.05α=下必拒绝0H三、分析计算题分析计算题（（每小题12分，共60分）11．一道单选题有四个答案可供选择．已知60%的考生对相关知识完全掌握，他们可选出正确答案；20%的考生对相关知识部分掌握，他们可剔除两个不正确答案，然后随机选一个答案；20%的考生对相关知识完全不掌握，他们随机选一个答案． （1）现任意挑选一位学生参加考试，求他选得正确答案的概率；（2）已知某位考生选对了答案，求他确实是完全掌握相关知识的概率．分得分第3 页共6 页12．设连续型随机变量X的概率密度函数为20,()0,xAxexfxx−≥=<.求：（1）常数A的值；（2）X的分布函数()Fx；（3）概率(12)PX−≤<．13．设随机变量X与Y的概率分布律分别为：且22()1PXY==，求：（1）(,)XY的联合分布律；（2）ZXY=的分布律；（3）X与Y的相关系数XYρ．答 题题 勿勿 超超 装装 订订 线线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------14． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1,1,(,)0,.x y f x y <<=其他 试判断X 与Y的独立性，并给出理由．15． 设总体X 的概率密度函数为(1),01,()0,x x f x θθ +<<= 其他.其中1θ>−是未知参数．设12,,,n X X X ⋯为来自总体X 的简单随机样本，试求参数θ的矩估计量和极大似然估计量． 四、应用题应用题（（每小题5分，共5分）16．某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车辆丢失率为0. 6%，试利用中心极限定理，求保险公司一年获利润不少于60000元的概率为多少？得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------五、证明证明题题（每小题5分，共5分）17． 设1X ，2X ，3X ，4X 分别为来自总体10,2N的简单随机样本，证明：统计量Y =服从自由度为2的t 分布．分得分。
安徽大学-高数A(三)A,B卷(附参考答案)
安徽大学《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。
(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解 (B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解 (D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关(C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。
(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。
(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝ 。
安徽大学期末试卷MK_10-11(1)高数A(三)答案.pdf
安徽大学2010—2011学年第一学期《高等数学A （三）》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.A 2. C 3. D 4.C 5. B二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6.22E A + 7. 8.24649 9.43 10.]15.20,87.19[三、计算题（本大题共10分）11.解：将的第2列直到第列依次加到第1列得,n D n ma a a m a a a m a ma a maa m a m a a a maD n nn ni i n ni in ni i n ni in −−−=−−−−−=∑∑∑∑====""""""""""""""2221212121111)(,再将第1行乘上1−分别加到第2行直到第行得,n ).()(00001)(1121m a m mm a a m a D n i i n nn i i n −−=−−−=∑∑=−="""""""四、分析题（本大题共6小题，共62分） 12.（本小题12分）解：方程组的增广矩阵为:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−−−−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=a a a a a a a a a a a a A 2111031102111111112112111111112, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛++−−−−→a a a a a a 24)2)(1(003110211于是,(1)当时,,1=a 1)(=A r 3)(=A r ,方程组无解;(2)当21−≠≠a a 且时,3)()(==A r A r ,方程组有唯一解;(3)当时,2−=a 2)()(==A r A r ,方程组有无穷多解. 当方程组有无穷多组解时,此时⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=000033302211221111211112A ,对应的线性方程组为:⎩⎨⎧=+−−=−+3332232321x x x x x 令，得到原非齐次线性方程组的一个特解：. 03=x T )0,1,1(0−−=γ原非齐次线性方程组对应的导出组为:⎩⎨⎧=+−=−+0330232321x x x x x , 令，得到基础解系为； 13=x T )1,1,1(=η故原非齐次线性方程组的结构解为:ηγk X +=0，k 为任意常数。
安徽财经大学大学《高等数学A》2023-2024学年第一学期期末试卷
一、选择题：（每小题3分，共18分安徽财经大学试卷安徽财经大学2０23-2０24学年度第1学期试卷《高等数学A 》（上）试题(A 卷)参考答案和评分标准）1、已知,2)3('=f 则h f h f h 2)3()3(lim 0--→=（D ）1-)(1)(2/3-)(2/3A D C B ）（2、当0→x 时，下列无穷小中与2x 为同阶无穷小的是（C ）11)()3arcsin()()1ln()(1A 423-+--x D x C x B e x ）（3、如果)(x f 的导数为x cos ，则)(x f 的一个原函数为（D ）x D x C x B x cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1A -+-+）（4、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<---=0,1sin 0,0,1cos 1)(x b x x x a x x e x x f x 在0=x 处连续，则常数b a,的值为（A ）1,0)(0,1)(1,0)(1,1A -========b a D b a C b a B b a ）（5、曲线32122---=x x x y 有（A ）铅直渐近线没有水平渐进线，两条铅直渐近线两条水平渐进线，一条铅直渐近线一条水平渐进线，两条条铅直渐近线）一条水平渐进线，一（)()()(A D C B 6、设)(x f 在0=x 点附近有二阶连续导数，且1cos 1)(''lim 0=-→x x xf x ，则（C ）专业班级姓名学号----------------------密------------------------------封-----------------------线-----------------------------的极小值。
是且的拐点。
）是曲线，且（的极小值。
是且的拐点。
）是曲线，但（）（)()0(,0)0('')()()0(0,0)0('')()()0(,0)0('')()()0(0,0)0(''A x f f f D x f f f C x f f f B x f y f f ≠===≠二、填空题（每小题3分，共18分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数C(三)答案.pdf
<
⎫ 1⎬
⎭
=
P⎨⎧− 1 < ⎩
X
− 10 4
< 1⎬⎫ ⎭
= Φ(1) − Φ(−1)
＝ Φ(1) − (1 − Φ(1))
= 2Φ(1) − 1
= 2 × 0.8413 −1 = 0.6826
（２）解法 1:
由正态分布的对称性知 c = 10.
解法 2:
因为 P ( X > c) = P ( X ≤ c)
4
4
故 X ,Y 相关。
15.(本小题 14 分)
∫ 解:
pX
(x)
=
⎪⎧
1
4xydy,0
⎨0
⎪⎩0, 其它
≤
x
≤
1
=
⎧2x,0 ≤ x ⎩⎨0, 其它
≤
1
同理有
pY
(
y)
=
⎧2 y,0 ≤ ⎩⎨0, 其它
y
≤
1
∫ EX =
1
x ⋅ 2xdx
=
2
0
3
同理,
∫ ∫ ∫ EY =
1 y ⋅ 2 ydy = 2
解：设 B = {取到的产品为次品}
10. (19.8728,20.1472)
A1 = {取到的产品来自于甲车间} A2 = {取到的产品来自于乙车间} A3 = {取到的产品来自于丙车间}
（１） 由全概率公式有
P(B) = P( A1 )P(B | A1 ) + P( A2 )P(B | A2 ) + P( A3 )P(B | A3 )
σn
1.1 6
1 − α = 0.95 ,故 z0.025 = 1.96