有界磁场问题分类点拨

教师用有界磁场问题分类点拨一、带电粒子在圆形磁场中的运动例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为Ｌ的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示,求O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间.解析 ：电子所受重力不计。

它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。

圆弧段轨迹ＡB 所对的圆心角为θ,电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动, 如图2所示，连结ＯB,∵△OAO ″≌△O ＢＯ″,又O Ａ⊥Ｏ″A ,故OB ⊥Ｏ″Ｂ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见Ｏ、Ｂ、P 在同一直线上，且∠O ＇OP ＝∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯO ＇P 中，O ＇P ＝（L +r ）tan θ，而)2(tan 1)2tan(2tan 2θθθ-=，Rr =)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出Ｏ'P 了,电子经过磁场的时间可用t =VRV AB θ=来求得。

由R V mBeV 2=得Ｒ＝θtan )(.r L OP eBmV+= mV eBr R r ==)2tan(θ,2222222)2(tan 1)2tan(2tan rB e V m eBrmV -=-=θθθ 22222,)(2tan )(r B e V m eBrmVr L r L P O -+=+=θ， )2arctan(22222rB e V m eBrmV-=θ )2arctan(22222rB e V m eBrmV eB m V R t -==θ 例２、如图２,半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O,磁感强度T B 332.0=,方向垂直纸面向里．在Ｏ处有一放射源Ｓ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子.已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=,电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．MNO ,图1MNO ,图2解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由R v m Bqv 2= 得cm m m Bq mv R 2020.0102.3332.0102.31064.619627==⨯⨯⨯⨯⨯==--虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图2中虚线. 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角.在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦,同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆直径的A 端射出.如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得212sin==R r ϕ，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060． 二、带电粒子在半无界磁场中的运动例３、(１999年高考试题)如图３中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场.Ｏ是M Ｎ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇,Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． （2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔.解析：(１） 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：R v m Bqv 2= ,解得BqmvR =（2)如图３所示，以OP 为弦的可以画出两个半径相同的圆,分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨道,圆心分别为O 1和O ２,在O 处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为α，由几何关系知∠PO 1Ｑ1=∠PO 2Q 2=α从O 点射入到相遇,粒子在１的路径为半个圆周加P Q 1弧长等于αR ；粒子在2的路径为半个圆周减P Q 2弧长等于αＲ.粒子1的运动时间 t 1=21T ＋v R α 粒子２的运动时间 t ２=21T -vR αM N. . . . . .. . . . . .两个粒子射入的时间间隔△t ＝t 1-t 2=2vR α 由几何关系得Ｒcos21α＝21op =21Ｌ，解得：α=2arccos RL 2 故△t =Bq m 4.ar ｃ ｃos mvLBq2 例4、如图４所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内,有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场,方向与xoy 平面垂直,在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源,在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子,粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围.解析:带电粒子在磁场中运动时有R v m Bqv 2=，则cm m Bq mv R 101.0106.1100.1100.1106.1182425==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---． 如图１5所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与Ｐ连线正好为其圆轨迹的直径时,Ａ点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因cm R Op 10==,cm R AP 202==，则cm OP AP OA 31022=-=．当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时,Ｂ点既为粒子能打到y 轴下方的最低点,易得cm R OB 10==．综上,带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-． 三、带电粒子在长方形磁场中的运动例５、如图５,长为L 间距为d 的水平两极板间,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感强度为B ，两板不带电,现有质量为m ,电量为q 的带正电粒子（重力不计)，从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入,欲使粒子不打在板上,求粒子速率v 应满足什么条件．图4o cm x /cmy /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯•图5⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→•d Lvcm /解析：如图４,设粒子以速率1v 运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨迹１）,则其圆轨迹半径为41d R =，又由1211R v m Bqv =得m Bqdv 41=，则粒子入射速率小于1v 时可不打在板上．设粒子以速率2v 运动时,粒子正好打在右极板边缘（图4中轨迹2)，由图可得22222)2(dR L R -+=,则其圆轨迹半径为d d L R 44222+=,又由2222R v mBqv =得md d L Bq v 4)4(222+=，则粒子入射速率大于2v 时可不打在板上.综上，要粒子不打在板上,其入射速率应满足：mBqdv 4<或md d L Bq v 4)4(22+>．例6、长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图4所示,磁感强度为Ｂ，板间距离也为L ，板不带电,现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力）,从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是:A.使粒子的速度V <BqL /4m ；B.使粒子的速度V >5BqL /４ｍ；C.使粒子的速度V ＞BqL /m ；Ｄ.使粒子速度Ｂq Ｌ/４m <V <5Bq Ｌ/４m解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值ｒ1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r ２时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时ｒ的最小值r 1以及粒子在左边穿出时r 的最大值ｒ２,由几何知识得:粒子擦着板从右边穿出时,圆心在O 点,有：ｒ１2=Ｌ2+(ｒ１-L /２）２得r １＝5Ｌ/4,又由于r 1=mV 1/Ｂq 得V 1=５ＢｑL /4m ，∴V ＞5BqL /4ｍ时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在Ｏ＇点,有r 2＝L /4，又由ｒ2＝mV 2/Bq =L /4得V ２＝BqL ／４ｍ ∴V 2<ＢqL /４m 时粒子能从左边穿出。

综上可得正确答案是A 、B 。

四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例７、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ,质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示,若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ACl l r 1 O V+q V图6 图7D•⨯⨯⨯⨯⨯⨯C图４⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯•d L1v ••2R 1o 2o 212v间什么范围内射出.解析：如图6所示，设粒子速率为1v 时,其圆轨迹正好与AC 边相切于E 点． 由图知，在E AO 1∆中，11R E O =，113R a A O -=,由AO E O 11030cos =得11323R a R -=,解得aR )32(31-=，则a R a AO AE )332(23211-=-==． 又由1211R vm Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-==，则要粒子能从AC 间离开磁场,其速率应大于1v ．如图7所示,设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与B Ｃ边相切于Ｆ点,与AC 相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心,则a AG AD R 32===.又由2222R v m Bqv =得m aqBv 32=，则要粒子能从AC 间离开磁场,其速率应小于等于2v .综上，要粒子能从AC 间离开磁场,粒子速率应满足maqBv m aqB3)32(3≤<-. 粒子从距A 点a a 3~)332(-的EG 间射出．五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例8、如图11所示,A 、B 为水平放置的足够长的平行板,板间距离为m d 2100.1-⨯=,A 板中央有一电子源Ｐ,在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子,Ｑ为Ｐ点正上方Ｂ板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场,磁感应强度T B 3101.9-⨯=,已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=,电子电量C e 19106.1-⨯=,不计电子的重力和电子间相互作用力,且电子打到板上均被吸收,并转移到大地.求：(1）沿PQ 方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围.(2）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点,则电子的发射方向（用图中θ角表图6DB1o A B示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围.解析：如图１2所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由rv m Bev 2=可得Bemv r m m =，代入数据解得d m r m 21022=⨯=-． 该电子运动轨迹圆心在A 板上Ｈ处,恰能击中B 板Ｍ处.随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小.击中B 板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d ,并恰能落在Ａ板上Ｈ处.所以电子能击中B 板ＭN 区域和A 板ＰH 区域.在∆ＭFH 中,有d d d MF HM FH 3)2(2222-=-=，s m d PF QM /1068.2)32(3-⨯=-==, m d QN 2101-⨯==，m d PH 21022-⨯==.电子能击中Ｂ板Q 点右侧与Q 点相距m m 23101~1068.2--⨯⨯的范围.电子能击中A 板P 点右侧与Ｐ点相距m 2102~0-⨯的范围.(２)如图１3所示,要使P 点发出的电子能击中Q 点，则有Be mv r =,2sin dr =θ． 解得6108sin ⨯=θv .v 取最大速度s m /102.37⨯时,有41sin =θ，41arcsin min =θ;v 取最小速度时有2max πθ=，s m v /1086min ⨯=.所以电子速度与θ之间应满足6108sin ⨯=θv ,且]2,41[arcsin πθ∈,]/102.3,/108[76s m s m v ⨯⨯∈六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ,方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的Ｏ点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到Ｏ点,然后重复上述运动过程.求:（1） 中间磁场区域的宽度d ;（2） 带电粒子从O 点开始运动到第一次回到Ｏ点所用时间ｔ.BB图9图13P图14o cm x /cmy /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯•解析：（1)带电粒子在电场中加速,由动能定理，可得: 221mV qEL = 带电粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律，可得:RV m BqV 2=由以上两式，可得qmELB R 21=.可见在两磁场区粒子运动半径相同,如图11所示,三段圆弧的圆心组成的三角形ΔＯ1O ２O ３是等边三角形，其边长为２Ｒ.所以中间磁场区域的宽度为qmELB R d 62160sin 0==(２）在电场中qEmLqE mV a V t 22221===, 在中间磁场中运动时间qB mT t 3232π==在右侧磁场中运动时间qBm T t 35653π==, 则粒子第一次回到Ｏ点的所用时间为qBmqE mL t t t t 3722321π+=++=． 七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动例1０、核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。