盈亏问题——差量比较法
小升初数学：盈亏问题三种类型,找准数量差,用比较法化难为简!
小升初数学：盈亏问题三种类型，找准数量差，用比较法化难为简！我国有本古老的世界数学名著，叫《九章算术），此书是因书中共有九章有关实际应用问题及解法的内容而得名，这本书的第六章是“盈不足章，也就是专门讨论盈亏问题的。
盈，就是多余；，就是不足、不够的意思。
解有关盈亏问题，常常通过比较进行。
一、基本知识点1、含义按一定人数等分一定物品，每人分得少一些则有剩余，就叫盈；每人分得多一些则不足，就叫亏。
在两次分配中，一次有余（盈）一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求分配的份数或被分配的总量的应用题，叫做盈亏问题，也叫做余不足问题。
2、特点对象总量和总的组数是不变的。
3、类型（1）一盈一亏；（2）全盈；（3）全亏。
4、数量关系（1）（盈+亏）÷两次分配的每份数量差=份数；（2）（大盈-小盈）÷两次分配的每份数量差=份数；（3）（大亏-小亏）÷两次分配的每份数量差=份数。
（4）总数=每份数量×份数+盈数总数=每份数量×份数-亏数5、口诀一盈一亏，盈亏加在一起；全盈全亏，大的减去小的；除以分配差，结果就是分配的物或人。
6、解题思路先将两种分配方案进行比较，分析由于分配标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
注意数量差与每份之间的对应关系。
☞二、一张思维导图归纳总结☞三、经典应用（1）一盈一亏例1、幼儿园老师给小朋友们发皮球，如果每入发5个，还剩3个；如果每人发7少9个.问：有多少个小朋友，多少个皮球？【分析】比较两种分球法中各个量之间的关系：每人发5个，还剩3个；每人发7个，则少9个。
这两种分法，每人相差7-5=2（个），第一种余3个，第二种少9个，那么两次总共相差9+3=12（个），每人相差2个，结果总数就相差12个，所以有（12÷2）个小朋友，6×5+3=33（个）皮球。
第5讲_盈亏问题与比较法
第5讲盈亏问题与比较法（二）有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。
例1 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。
问：学生有多少人？分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。
假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。
这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9－6＝3（人）。
解：（6＋9）÷（9－6）＝5（条），6×5＋6=36（人）。
答：有36名学生。
例2 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。
问：一共要挖几个坑？分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。
这样就变成了“典型”的盈亏问题。
盈亏总额为4＋3＝7（个）坑，两次分配数之差为6－5＝1（个）坑。
解：[3＋（6－4）×2]÷（6-5）＝7（人）5×7＋3＝38（个）。
答：一共要挖38个坑。
小练习：市二实验小学组织学生参加科技展。
如果每车坐75人，则有5人不能乘车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车。
这次参观一共有几辆汽车？有多少位学生？例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。
问：桥有多高？绳子有多长？分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。
两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16——6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折），所以：桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）。
盈亏问题
盈亏问题盈亏问题的基本解法是：份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差。
1、幼儿园的小朋友分饼干，如果每个人分6块饼干，那么还多出12块，如果每个人分8块饼干，那还差24块。
问幼儿园一共用多少小朋友？一共有多少块饼干？2.某校安排学生宿舍，如固果每间5人，则有14人没有床位，如果每间7人，则多4个空床位，问宿舍几间？学生几人？3. 用一根绳子绕树三圈，余3米.如果绕树四圈，则差4米。
树周长有几米？绳长有几米？4.小聪用一根绳来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳子长9米，小葱把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时在井口外的绳子还有3米，求这口井的深度？5.人民路小学三四五年级的同学乘汽车去春游。
如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。
一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？6. 三年级1班和2班两个班级的学生到东湖春游，他们租了一些船。
如果每个船坐3人，则多出了25人，如果每只船坐5人，则还空出3只船。
问：他们一共租借了多少只船？两个班的一共有多少人？7.学校安排学生听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅，参加会议的学生有多少人？8.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？9、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。
请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？10、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？11、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？12、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
盈亏问题(一) 2
盈亏问题（一）【盈亏问题介绍】现在把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。
如果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。
凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
解盈亏问题常常用到比较法。
思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数与不足数之和看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，我们有如下的公式：盈亏问题的关系式：1、（盈＋亏）÷两次分配的差＝份数2、（大盈－小盈）÷两次分配的差＝份数3、（大亏－小亏）÷两次分配的差＝份数每次分的数量×份数＋盈＝总数量，每次分的数量×份数－亏＝总数量，解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。
典型例题：例1、幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具，如果每班分10个玩具，则少12个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？练习1、小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元，如果买6千克，则少了4元，问苹果每千克多少元？小明带了多少钱？练习2、老师在图书室借了一些科技书分发给几个同学去看，如果每人分3本，多两本；如果每人发4本,则少6本。
问：有多少个同学看书？老师借了多少本？例2、老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本；优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？练习3、把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多出12粒，如果每人分6粒，则多出2粒，问有几个小朋友？有多少粒糖？例3、学校派一些学生搬树苗，如果每人搬6棵，则差4棵，如果每人搬8棵，则差18棵，学校派了多少名学生？这批树苗有多少棵？练习4、自然课上，老师给学生发树叶，如果每人分5片树叶，则差3片树叶，如果每人分7片树叶，则差25片树叶，这节课有多少学生？老师一共带了多少树叶？例4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学，如果增加一条船，每条船正好坐6个同学，这个班有多少个同学？练习5、老师把一篮苹果分给小班同学，如果减少一个同学，每个班正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个，求这篮苹果一共有多少个？家庭作业1、一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵，如果每人栽8棵，则还缺4棵，这个小组有多少人？一共有多少棵树？2、一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩12本，如果每人搬4本，还缺6本，这组学生有几人？这批书有多少本？3、妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多出了12个，如果每人分7个，则多出了6个，全家有几人？妈妈买回多少个苹果？4、某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，空出床位24张，如果每间宿舍住10人，则空出床位2张，学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？5、数学兴趣小组同学做数学题，如果每人做6道题，则少4道，如果每人做8道题，则少16道，问有几个同学？一共有多少道数学题？6、学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人，如果每行排9人，则有一行少7人，一共排了多少行？一共有多少人？7、四年级同学去划船，如果增加一条船，正好每条船上坐7人，如果减少一条船，正好每条船上坐8人，求四年级一共有多少名学生？8、若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？9、单位安排职工到会议室听报告。
盈亏问题公式
盈亏问题公式1一次有余盈,一次不够亏,可用公式：盈+亏÷两次每人分配数的差=人数.2两次都有余盈,可用公式：大盈-小盈÷两次每人分配数的差=人数.3两次都不够亏,可用公式：大亏-小亏÷两次每人分配数的差=人数.4一次不够亏,另一次刚好分完,可用公式：亏÷两次每人分配数的差=人数.5一次有余盈,另一次刚好分完,可用公式：盈÷两次每人分配数的差盈亏问题的关系式：1、盈＋亏÷两次分配的差＝份数2、大盈－小盈÷两次分配的差＝份数3、大亏－小亏÷两次分配的差＝份数每次分的数量×份数＋盈＝总数量,每次分的数量×份数－亏＝总数量,1、幼儿园中1班的小朋友分橘子,若每人分4个橘子就多出10个,若每人分6个橘子,就少6个橘子,请问该班有多少个小朋友橘子有多少个2、五4班同学春游去划船,如果少租一条船,每条船上正好坐9个人,如果多租一条船,每条船上正好坐6个人,五4班有学生多少人3、学校将一批钢笔奖给三好学生,若每人奖8支就缺11支；若每人奖7支就缺7支.问：这批钢笔有多少只三好学生有多少人4、同学们打羽毛球,若没组分6个羽毛球,则少10个球；若每组分4个羽毛球,则少2个球.问：共有多少个学生打球有多少个羽毛球5、饲养员分桃子给小猴,如果每只小猴分10个桃子,则有两个小猴没有；如果每只小猴分7个桃子,则还会剩下10个桃子.请问：桃子有多少个小猴有多少只6、甲、乙两个工程队同时抢修两短距离同样长的铁路,开工12天后,乙队完成了任务,甲队还需再修300米才能完成任务.问：两条铁路全长多少米7、同学们修补图书,若每人修5本,还剩5本,若其中两人各修4本,其余人就要各修6本,正好修完,这里有多少名同学多少本书8、工人们修公路,如果每天修200米,那么修完全程就得延期10天；如果每天修220米,那么修完全程就得延期5天.问：这条路全长多少米9、幼儿园某班学生做游戏,如果每个学生分得的子弹一样多,弹子就多12颗,如果再增加12颗子弹,那么每人正好分的12颗.问：这个班有多少学生有多少颗子弹10李娟从家去学校,如果每分钟走60米,那么要迟到5分钟；如果每分钟走90米,那么能提前4分钟到.请问：李娟的家到学校的距离是多少米c巧汧7H棜t 2014-11-061、老师拿来一批树苗,分给一些同学去栽,每人每次分给一棵,一轮一轮往下分,当分剩下12棵时不够每人分一棵了,如果再拿来8棵,那么每个同学正好栽10棵;问参加栽树的有多少名同学原有树苗多少棵分析：当分剩下12棵时不够每人分一棵了,如果再拿来8棵,那么每个同学正好栽10棵;通过这一句话,我们可以知道参加种树的同学一共有12+8=20人,加上再拿来的8棵,一共有2010=200棵;所以,原有树苗=200-8=192棵;解答：有同学12+8=20名,原有树苗2010-8=192棵;2、少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑;请问,共有多少名少先队员共挖了多少树坑分析：这是一个典型的盈亏问题,关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑”统一一下;即：应该统一成每人挖6个树坑,形成统一的标准;那么它就相当于每人挖6个树坑,就要差6-42=4个树坑;这样,盈亏总数就是3+4=7,所以,有少先队员7/6-5=7名,共挖了57+3=38个坑;解答：盈亏总数等于3+6-42=7,少先队员有7/6-5=7名,共挖了57+3=38个树坑;3、学校安排学生到会议室听报告;如果每3人坐一条长椅,那么剩下48人没有坐；若每5人坐一条长椅,则刚好空出两条长椅;问听报告的学生有多少人分析：典型盈亏问题;盈亏总数48+52=58,所以,长椅的数量就等于58/5-3=29条;那么,听报告的人数等于293+48=135人;解答：长椅有48+52/5-3=29条,听报告的学生有293+48=135人;4、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,小明带的钱买5支钢笔差1元5角,买8支圆珠笔多6角;问小明带了多少钱分析：在盈亏问题中,我们得到的计算公式是指同一对象的;而现在分别是圆珠笔和钢笔两种东西;因此,我们要利用盈亏问题的公式计算就必须将它转化成为同一对象--钢笔或者圆珠笔;小明带的钱买5支钢笔差1元5角,我们可以将它转化成买5支圆珠笔,因为我们知道钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,把买5支钢笔改买5支圆珠笔,就要省下6元钱,也就是比原来差1元5角,反而可以多出6元-1元5角=4元5角;这样我们就将原来的问题转化成了：小明带的钱买5支圆珠笔多4元5角,买8支圆珠笔多6角;问小明带了多少钱那么,盈亏总数=4元5角-6角=3元9角,每支圆珠笔价钱=3元9角/8-5=1元3角;所以,小明共有81元3角+6角=11元;解答：买5支钢笔差1元5角,相当于买5支圆珠笔多4元5角,每支圆珠笔的价钱=4元5角-6角/8-5=1元3角;小明带了81元3角+6角=11元;5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友;如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个;已知大班比小班多3个小朋友,问这筐苹果共有多少个分析：与上一题类似,需要转化成两次对同一对象;解答：分给大班的小朋友每人5个则余10个,大班比小班多3个小朋友,相当于分给小班的小朋友每人5个则余10+35=25个,盈亏总数=25+2=27,小班人数=27/8-5=9人,苹果有95+25=70个;6、某校到了一批新生,如果每个寝室安排8个人,要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人,寝室就要增加10个,问这批学生可能有多少人分析：如果每个寝室安排8个人,要用33个寝室,那么人数肯定多于328=256人,但不超过338=264人；如果每个寝室少安排2个人,寝室就要增加10个,即如果每个寝室安排6个人,要用43个寝室,那么人数肯定多于426=252人,但不超过436=258人；两次比较,人数应该多于256人,不超过258人;所以,这批学生可能有257或258人;解答：832=256,642=252,256>252,人数超过256人；833=264,643=258,258<264,人数不超过258人;这批学生可能有257或258人;7、幼儿园老师给小朋友分糖果;若每人分8块,还剩10块；若每人分9块,最后一人分不到9块,但至少可分到一块;那么糖果最多有多少块分析：最后一人分不到9块,那么最多可以分到8块,即若每人分9块,还差1块;根据盈亏计算公式,人数有1+10/9-8=11人,糖果最多有911-1=98块；最后一人分不到9块,但至少可分到一块,即最少是最后一人差8块,根据盈亏计算公式,人数有8+10/9-8=18人,糖果最多有918-8=154块；所以,这批糖果最多有154块;解答：9-1=8,人数最多有10+8/9-8=18人,糖果最多189-8=154快;8、有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人;如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够;如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够;问第二组有多少人分析：如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够;说明第一组人数少于48/4=12人,多于48/5=9......3,即9人；如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够;说明第二组人数少于48/3=16人,多于48/4=12人；因为已知第二组比第一组多5人,所以,第一组只能是10人,第二组15人;解答：48/4=12,48/5=9......5,48/3=16,第一组少于12人,多于9人；第二组少于16人,多于12人;因为已知第二组比第一组多5人,所以,第二组有15人;9、在若干盒卡片,每盒中卡片数一样多;把这些卡片分给一些小朋友,如果只分一盒,每人均至少可得7张,但若都分8张则还缺少5张;现在把所有卡片都分完,每人都分到60张,而且还多出4张;问共有小朋友多少人分析：60/7=8......4,60/8=7......4,说明卡片的盒数是8盒,“若都分8张则还缺少5张”,即如果我们在每盒中加5张8盒共加40张,每人就可以得到88=64张,现在实际每人得到60张,即每人需要退出4张,其中要有4张是每人60张后多下来的,还有40张是我们一开始借来的要还出去,即要退出44张,4/4==11,说明有11人;解答：60/7=8......4,60/8=7......4,卡片有8盒,小朋友人数有4+58/4=11人;10、用绳测井深,把绳三折,井外余2米,把绳四折,还差1米不到井口,那么井深多少米绳长多少米分析：典型盈亏问题;盈亏总数=32+41=10米;解答：井深=32+41/4-3=10米,绳长=10+23=36米;11、有两根同样长的绳子,第一根平均剪成5段,第二根平均剪成7段,第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米;原来每根绳子长多少米分析：第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米;那么,如果同样是5段的话,第二种就要比第一种少52=10米,现在第二种7段和第一种5段一样长,说明第二种的两段长是10米,也就是说每一段为10/2=5米;所以,绳子长为57=35米;解答：原来每根绳子长为725/2=35米;12、有一个班的同学去划船;他们算了一下,如果增加1条船,正好每条船坐6人；如果减少1条船,正好每条船坐9个人;问：这个班共有多少名同学分析：增加一条和减少一条,前后相差2条,也就是说,每条船坐6人正好,每条船坐9人则空出两条船;这样就是一个盈亏问题的标准形式了;解答：增加一条船后的船数=92/9-6=6条,这个班共有66=36名同学;13、张宇上午7时20分从家里出发到校上课;如果每分钟走50步,离上课还有7分钟；如果每分钟走35步,就要迟到5分钟;求学校的上课时间;分析：这种盈亏问题的另一种比较常见的类型;主要是在计算盈亏总数时必须注意量的单位的统一;这里,盈亏总数不是7+5=12分,而是750+535=525步;所以,准点到校用时为525/50-35=35分钟;所以,上课时间是7点55分;解答：准点到校的用时=750+535/50-35=35分钟,学校上课时间为7点55分;14、"六一"儿童节,小明到商店买了一盒花球和一盒白球,两盒内的球的数量相等;花球原价1元钱2个,白球原价1元钱3个;因节日商店优惠销售,两种球的售价都是2元钱5个,结果小明少花了4元钱,那么小明共买了多少个球分析：花球原价1元钱2个,白球原价1元钱3个;即花球原价10元钱20个,白球原价10元钱30个;那么,同样买花球和白球各30个,花球要比白球多花10/2=5元,共需要30/2+30/3=25元;现在两种球的售价都是2元钱5个,花球和白球各买30个需要30/522=24元,说明花球和白球各买30个能省下25-24=1元;现在共省了4元,说明花球和白球各有304=120个,共买了1202=240个;解答：花球和白球各买30个时,可比原来省下=30/2+30/3-30/522=1元,省下4元,花球和白球各买304=120个;所以,小明共买了240个球;15、苹果和梨各有若干只;如果5只苹果和3只梨装一袋,苹果还多4只,梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋,苹果恰好装完,梨还多12只;那么苹果和梨共有多少只分析：7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果,梨从刚好到多12只,相当于把原来装好的袋拿出了12/3=4袋,抽出其中的苹果45=20只和原来剩下的4只共20+4=24只苹果,添加到其余原来装好的袋子中去;每袋添加2只,添加了24/2=12袋刚好装完;所以,原来装了12+4=16袋,苹果有165+4=84只,梨有163=48只,合起来有84+48=132只;解答：12/35+4=24,5只苹果和3只梨装一袋,共装了24/2+4=16袋,所以,苹果和梨共有=163+5=4=132只;例1.某班学生去划船,如果增加一条船,那么每条船正好坐6人；如果减少一条船,那么每条船就要坐9人;问：学生有多少人分析：本题也是盈亏问题,为清楚起见,我们将题中条件加以转化;假设船数固定不变,题目的条件"如果增加一条船……"表示"如果每船坐6人,那么有6人无船可坐"；"如果减少一条船……"表示"如果每船坐9人,那么就空出一条船";这样,用盈亏问题来做,盈亏总额为6＋9=15人,两次分配的差为9--6＝3人;解：6＋9÷9--6＝5条,6×5＋6=36人,答：有36名学生;例2.少先队员植树,如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑,那么恰好将坑挖完;问：一共要挖几个坑分析：我们将"其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑"转化为"每人都挖6个坑,就多挖了4个坑";这样就变成了"典型"的盈亏问题;盈亏总额为4＋3＝7个坑,两次分配数之差为6--5＝1个坑;解：3＋6-4×2÷6-5＝7人,5×7＋3＝38个;答：一共要挖38个坑;例3.在桥上用绳子测桥离水面的高度;若把绳子对折垂到水面,则余8米；若把绳子三折垂到水面,则余2米;问：桥有多高绳子有多长解：因为把绳子对折余8米,所以是余了8×2=16米；同样,把绳子三折余2米,就是余了3×2＝6米;两种方案都是"盈",故盈亏总额为16--6=10米,两次分配数之差为3-2＝1折,所以桥高8×2-2×3÷3-2＝10米,绳子的长度为2×10＋8×2＝36米;例4.有若干个苹果和若干个梨;如果按每1个苹果配2个梨分堆,那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆,那么苹果分完时还剩1个梨;问：苹果和梨各有多少个解：容易看出这是一道盈亏应用题,但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到;原因在于第一种方案是1个苹果"搭配"2个梨,第二种方案是3个苹果"搭配"5个梨;如果将这两种方案统一为1个苹果"搭配"若干个梨,那么问题就好解决了;将原题条件变为"1个苹果搭配2个梨,缺4个梨；有梨15×2-4＝26个;例5.乐乐家去学校上学,每分钟走50米,走了2分钟后,发觉按这样的速度走下去,到学校就会迟到8分钟;于是乐乐开始加快速度,每分钟比原来多走10米,结果到达学校时离上课还有5分钟;问：乐乐家离学校有多远解：乐乐从改变速度的那一点到学校,若每分钟走50米,则要迟到8分钟,也就是到上课时间时,他离学校还有50×8＝400米；若每分钟多走10米,即每分钟走60米,则到达学校时离上课还有5分钟,如果一直走到上课时间,那么他将多走50＋10×5＝300米;所以盈亏总额,即总的路程相差:400＋300＝700米;两种走法每分钟相差10米,因此所用时间为700÷10＝70分,也就是说,从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟;所以乐乐家到学校的距离为:50×2＋70＋8＝4000米,或50×2＋60×70--5＝4000米;例6.王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前1天完成;工作4天后,由于改进了技术,每天可多加工5个,结果提前3天完成;问：这批零件有多少个解：每天加工20个,如果一直加工到计划时间,那么将多加工20个零件；改进技术后,如果一直加工到计划时间,那么将多加工20＋5×3＝75个;盈亏总额为75--20＝55个;两种加工的速度比较,每天相差5个;根据盈亏问题的公式,从改进技术时到计划完工的时间是55÷5＝11天,计划时间为11＋4＝15天,这批零件共有20×15--1＝280个;1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距+1 全长＝株距×株数－1 株距＝全长÷株数－1⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×株数＋1 株距＝全长÷株数＋12 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数就这个可以相互转换的时间=桥长+车长/速度速度=桥长+车长/时间桥长+车长= 速度时间桥长=速度时间-车长车长= 速度时间-桥长速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和追及路程=速度差×追及时间追及时间=追及路程÷速度差速度差=追击路程÷追及时间速度差=速度快的速度=速度慢的速度追及问题：相向而行：追及路程/追及速度和=追及时间同向而行：追及路程/追及速度差=追及时间顺水速度=静水船速+水流速度逆水速度=静水船速-水流速度静水船速=顺水速度+逆水速度除以2水流速度=顺水速度-逆水速度除以2。
盈亏问题
盈亏问题盈亏问题又叫做盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，会有剩余（盈）；如果按另一种标准分，分配后后会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈+亏）÷两次所分之差=人数基本口诀：有余加不足，大减小来除还有一些非标准的盈亏问题，他们被分为四类：1、两盈：两次分配都有余2、两亏：两次分配都不够3、盈，适足：一次分配有余，另一次分配正好；4、亏，适足：一次分配不够，另一次分配正好；解答这些非标准的盈亏问题的数量关系式分别是：1、两盈：两次盈数的差÷两次分的差=参与分配对象总数2、两亏：两次亏数的差÷两次分的差=参与分配对象总数3、一盈一亏：盈与亏的和÷两次分的差=参与分配对象总数一、盈盈：【例1】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？（盈盈）1.学校分配宿舍，每间房住3人，则多出20人；每个房间住5人，刚好安排好。
共有宿舍多少间，学生多少人？（盈盈）2.猴子分桃子。
每只小猴分5个还多23个；如果每只小猴分9个还多3个，这堆桃子有多少个？小猴有多少个？（盈盈）3.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少辆车？多少人？（盈盈）4.给敬老院里的老人分苹果，如果每人分11个，则要剩下39个；如果每人分14个，则剩下12个。
问共有多少个老人？共有多少个苹果？（盈盈）5.（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后，猴王开始分配.若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个。
若大、小猴都分4个，猴王能留下20个。
在这群猴子中，大猴(不包括猴王）比小猴多多少只.（盈盈）6.老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？（盈盈）7.—条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。
盈 亏 问 题
１０＋６＝１６（个）
１６＋４＝２０（个） ２０÷（５－４）＝２０（人）
２０×４＋４＝８４（个）
9、买来一批苹果，分给幼儿园大班的 小朋友.如果每个人分5个苹果，那么 还剩余32个；如果每人分8个苹果，那 么还有5个小朋友分不到苹果.这批苹 果的个数是多少？
５×８＝４０（个）
４０＋３２＝７２（个）
解：由其中两人各擦4块、其余各擦5块则余12 块，可知，若每人都擦5块，则余12-（5-4） ×2=10块，而每人擦6块则正好.可见每人多擦 一块可把余下的10块擦完.则擦玻璃人数是[12（5-4）×2]÷（6-5）=10（人），
玻璃的块数是6×10=60（块）。 答：有10人擦玻璃，共有60块玻璃.
总共相差砖数：7+2=9（块） 每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队
员9÷1=9（人）。 共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）
4×9+7=43（块）
或 5×9-2=43（块）
答：共有少先队员9人，砖的总数是 43块。
例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算 了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果； 如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买 回的苹果有多少个？计划吃多少天？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个 已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各 种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情 况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它 统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种 树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果 每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树 苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？
盈亏问题-2016.11.18-莱布尼茨
盈亏问题知识点：把若干物品平均分给一定数量的对象，若有剩余则称为盈，若不够则称为亏。
研究这一类算法的应用题就成为盈亏问题。
基本的盈亏问题有三种类型：盈亏型：（盈+亏）÷两次分配差=份数盈盈型：（大盈—小盈）÷两次分配差=份数亏亏型：（大亏—小亏）÷两次分配差=份数有盈有亏相加，单盈单亏相减。
【例1】★（学而思网校）精灵王子把一箱水果分给同学们，如果每人分4个，就多15个；如果每人分7个，就少12个。
有多少名同学呢？这批水果有多少个？【答案】9名;51个【解析】差量分析：每人4个，盈15个每人7个，亏12个（盈+亏）÷两次分配差=份数（15+12）÷（7-4）=9（名） 4×9+15=51（个）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）把一些糖果分给小朋友们，如果每个人分到4颗，则多16颗；如果每位小朋友分6颗，则剩下4颗。
问小朋友有几名？这些糖果有几颗？【答案】6名;40颗【解析】差量分析：每人4个，盈16颗每人6个，盈4颗（盈-盈）÷两次分配差=份数（16-4）÷（6-4）=6（名） 4×6+16=40（颗）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）将月季花插入花瓶中。
如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶插6朵，则缺少1朵。
求月季花的朵数和花瓶的只数。
【答案】41朵;7只【解析】差量分析：每瓶8朵，少15朵每瓶6朵，少1朵（亏-亏）÷两次分配差=份数（15-1）÷（8-6）=7（只） 7×6-1=41（朵）【例4】★（学而思网校）老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。
如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果。
请问：这一堆苹果一共有多少个？【答案】48个【解析】前面例题分的份数相同，份数的量不同。
这道题是量相同份数不同。
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*公式：(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数
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3) “亏亏” 型
例如：学而思学校新买来一批书，将它们分给几 位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本， 还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【分析】两次分配的数量不一样，第二次分配时每人少发 了1本，也就是在第一次分配的基础上从每一个人那里拿 回了一本书，总共拿回了9-2=7（本)书，所之差=人数或单位数
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3.巩固练习
1)老师给同学们分苹果，每人分10个，就 多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共 有多少个学生？多少个苹果？
【分析】第二次每人多分了1个，所以 有8÷1=8（名）学生，8×10+8=88 （个）苹果
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2） 老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就 多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那 么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃 子？
【分析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案 盈2个，所以盈亏综合是9-2=7（个），两次分配之差 是11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子： 7÷1=7（只），老猴子有7×10+9=79（个）桃子。
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小总结
(盈 + 亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈 - 盈)÷ 两次分得之差 =人数或单位数 (亏 - 亏)÷ 两次分得之差 =人数或单位数
*公式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
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2). “盈盈” 型
例如：明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果 每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱 是多少？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与蛋糕的价格不变， 比较两种方案，两次分配的数量是不一样的，第二次分配 时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每一个 人退了1元钱，总共退回8-4=4 （元），因此就知道，共 有4÷1=4 （人），蛋糕价钱是 8×4-8=24（元）．
解题关键：抓住两次分配时盈亏总量的变化。
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2.盈亏问题的三种关系类型
1) “盈亏”型
例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果， 如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒， 问：有多少位同学分多少粒糖果？
【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变， 比较两种分配方案，第一种没人分4粒就多9粒，第二种每 人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15 （粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数 之差为15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69 （粒）。
盈亏问题
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差量比较法
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一、教学目标： 1.熟练掌握盈亏问题的本质.
2.运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．
二、教学重难点：
1.重点：基本盈亏问题的类型
2.难点:利用差量比较法解决生活实际问题
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三、教学过程：
1.盈亏问题
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出 现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”， 分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把 一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果 每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多 分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法 的应用题叫做“盈亏问题”．