2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题(Word版)
湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期末考试数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算0cos(330)-=A ．12B C ．12-D ．2.已知{{}|,|sin ,A x y B y y x x R ====∈,则A B =A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞3.若0.220210.22021,log 2021,(0.2)a b c ===,则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 4.已知函数()tan sin 2()f x x k x k R =-+∈，若13f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．0B ．1C ．3D ．5 5.现将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为 A ．()sin(4)3g x x π=-B ．()sin g x x =C ．()sin()12g x x π=-D ．()sin()6g x x π=-6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的下嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角．．．大约等于A.3π B.4π C. 2π D. 23π7.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小值为0B ．()f x 的最大值为2C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 8.已知函数20()lg 0x x f x xx ⎧+≤=⎨>⎩，则方程(())10f f x -=的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．11a b> 10.给出下面四个结论，其中正确的是 A ．角6πα=是1cos 22α=-的必要不充分条件 B ．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”是的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<”C ．方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点D ．若奇函数()f x 满足(2)(),f x f x +=-且当10x -≤≤时，(),f x x =-则(2021)1f =11.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x mx -+=的两个实根，则下列结论正确的是A ．tan tan m αβ+=-B ．22m > C ．tan 4m α+≥ D ．tan()mαβ+=-12.函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是 A ．(0)1f = B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．2()()3f x f x π=--D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为3π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1sin(),54πα-=则2cos(2)5πα-= 14.若函数[](),4,f x ax b x a a =+∈-的图像关于原点对称，则a = ，若am bx x=+，则[]1,2x ∈时m 的取值范围为15.写出一个最小正周期为2的偶函数()f x = .16.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图.车辆驾驶人员血液酒精含量阈值且右图表所示的函数模型0.540sin 13,023()9014, 2.x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩假设该人喝一瓶啤酒后至少经过(*)n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为 （参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式;（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 已知00,2x x π+是函数22()cos sin ()(0)6f x x x πωωω=-->的两个相邻的零点.（1）求()12f π的值；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点(,)(0),P m n n >将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为.Q （1）若513m =，求Q 点的坐标； （2）若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值.20.(本小题满分12分)已知函数()2sin cos f x x x a =+-.（1）当0a =时，求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）当0a >时,已知2()log (3)2g x a x =+-，若12,,[1,5]2x x ππ⎡⎤∃∈∀∈⎢⎥⎣⎦有12()()f x g x =，求a 的取值范围.21．(本小题满分12分)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头,卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？22．(本小题满分12分)若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,xxf x k -=+⨯其中k 为常数.（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3()2f x >的解集； （2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)(1,3]--上是“局部偶函数”， (),[1,1]()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨∈--⎩(i)求函数()F x 的值域；(ii)对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.荆州中学2020级高一年级上学期期末考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题1-8 B B C D D A C A 二、多项选择题 9-12 AB BC BCD BCD三、填空题13.7814. []2,1,2（第一空2分，第二空3分）15. cos x π（答案不唯一） 16. 6 四、解答题17.解（1）2221m m +-=32m =-或1m =（2分）又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，31,()m f x x ∴==（5分）（2）()f x 为增函数，224a a -<- 2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-（10分）18.解：化简解析式得1(2)1213()cos 2222cos wx cos wx f x wx π--+=-=+1cos 2cos sin 2sin 233wx wx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3cos 22)43wx wx wx π==+（2分） 周期002()2T x x ππ=+-=22T wππ== 1w =())23f x x π∴=+（4分）（1）()sin(2)1221232f πππ=⨯+=6分）（2）222232k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈ 51212k x k ππππ-+≤≤+，（8分） 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（12分）注：没写成区间扣2分，用了“”扣1分.19.解：因为角α的终边与单位圆交于点(,)(0)P m n n >， 所以sin ,cos .n m αα==（2分） 因为角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边， 所以sin sin()cos 2m πβαα=+==，cos cos()sin 2n πβαα=+=-=-.（4分）（1），因为角β的终边与单位圆的交点为Q ，2222sin cos 1,0n m n αα+=+=>，所以点Q 的坐标为125(,)1313-.（6分） （2）因为221sin cos ,sin cos 1,cos 05βββββ+=-+=<，所以34sin ,cos 55ββ==-，即34cos ,sin 55αα==.（10分）所以sin 4tan cos 3ααα==.（12分） （其他方法酌情给分）20.解（1）当220,()1cos cos cos cos 1a f x x x x x ==-+=-++ ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x = 22151()24y t t t =-++=--+ ,[]1,0t ∈-()f x ∴的值域为[]1,1-（4分）（2）设()f x 的值域为集合,()A g x 的值域为集合,B B A ⊆（5分）2()cos cos 1f x x x a =-++- ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x = 22151()24y t t a t a =-++-=--+- []1,0t ∈- []1,1A a a =---(6分)2()log (3)2g x a x =+- 又0a > ，所以2()g x 在[1,5] 上单调递增 [2a 2,3a 2]B =-- （8分）由B A ⊆得 22113321340a aa a a a -≥--⎧⎪-≤-⇒≤≤⎨⎪>⎩（10分）a ∴的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（12分） 21.解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===.（2分） 因为0ω>，所以22126T πππω===.（4分） 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（6分）（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥，（8分）所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，（10分） 解得112512,m x m m N +≤≤+∈. 取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时.（12分）（下错结论扣1分）22.（1）()()f x f x -=- 对[3,3]x ∈- 上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=- （2分）3()222x x f x -=->即132022x x --> 令2x t = 即23102t t -->112t > 或12t <- 又20x t => 22x ∴> （3分） 1x ∴> 又[3,3]x ∈-3()2f x ∴> 的解集为{}13x x <≤ .（4分） （2）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩ ①当[1,1]x ∈- 时，令2x t = ,1[,2]2t ∈,1y t t=- 在[1,1]- 上单调递增. 33[,]22y ∈- （5分） ②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =,1y t t =+ 为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃, 565[,]28y ∈ （6分）()F x ∴ 的值域为33565[,][,]2228-⋃ （7分）（3）①当0m >时，2()min 5()max F x mF x +> 3652()528m ⨯-+>⋅ 16065m ∴<< （9分）②当0m =时，2()min 50F x +> 32()5202⨯-+=>成立0m ∴= （10分） ③当0m <时，2()min 5()min F x mF x +> 332()5()22m ⨯-+>- 403m ∴-<< （11分）综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭（12分）高一期末考试数学试卷·第!异常的公式结尾页，共12页12。
荆州中学高一数学(文)上学期期末试卷(有答案)【推荐】.doc
荆州中学2019-2020学年度上学期期 末 试 卷年级：高一 科目：数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6aπ的值为( )A. 0 C. 12. 若sin 0α> 且tan 0α<，则2α的终边在( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限3. 若2弧度的圆心角所对的弦长为4sin1cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A.22cmB. 24cmC.22cm πD. 24cm π4. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于( )C.45. 已知0x 是函数()24x f x e x =+-的零点，若1020(1,),(,2)x x x x ∈-∈，则( ) A. 12()0,()0f x f x << B. 12()0,()0f x f x <> C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>6. 已知函数()s i n ()(,0)4g x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos f x x ω=的图象，只要将()y g x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度 7. 设(3,),(4,3)a m b =-=，若a 与b 的夹角是钝角，则实数m 的范围是( ) A. 4m >B. 4m <C. 4m <且94m ≠D. 4m <且94m ≠-8. 已知幂函数()f x的图象过点(2,2，则()f x 是（ ） A. 偶函数B. 奇函数C. 定义域上的增函数D. 定义域上的减函数9. 设全集U R =，集合219{{log (),[1,]}22A x yB y y x x ====-∈，则()U A B =u ð（ ）A. φB. [1,0)-C. 9[1,]2D. [0,2]10. ()f x 是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，则下列关系成立的是（ ）A. (2)(1)(3)f f f -<<B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (3)(2)(1)f f f <-<D. (2)(3)(1)f f f -<<11. 已知函数()f x 是定义在闭区间[,](0)a a a ->上的奇函数，()()1F x f x =+，则()F x 的最大值与最小值的和为（ ） A.4B. 2C. 1D. 012. 据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）,()(,x m f x m cx m <=≥为常数），已知工厂组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m 件产品所用的时间为15分钟，则m =( ) A.49 B. 25 C. 16 D. 9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．20.5203252731()()(0.1)()lg 2lg59649π--++-++= ______________．14. 若对于任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =-，则1()2f a =时，正数a = .15. 已知P 是函数2y x =图象上的一点，(1,1)A -，则O PO A ⋅的最大值为 .16．()y f x =为R 上的偶函数，且满足(4)(4)f x f x +=-，当[0,4]x ∈时，()f x x =，则2[2016sin(2)sin()cos ()]f αππαα+-⋅+--= _____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题12分）已知3log 14a <，求a 的取值集合.18. （本题12分）已知()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的图象如图所示.（1）根据图象写出()f x 的解析式；（2）A 为锐角三角形的一个内角，求()f A 的最大值，及当()f A 取最大值时A 的值.19．（本题12分）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122,AB e e =+1212,2,BE e e EC e e λ=-+=-+且,,A E C 三点共线.（1）求实数λ的值；若12(2,1),(2,2)e e ==-，求BC 的坐标；（2）已知点(3,5)D ，在（1）的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．20. （本题12分）有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上.（1）若这个梯形上底为2CD a =，求它的腰长x ；（2）求出这个梯形的周长y 关于腰长x 的函数解析式，并指出它的定义域；xyO（3）求这个梯形周长的最大值，并求出当它最大时，梯形的面积S.21．（本题12分）已知函数2()()21x f x a a R =-∈+ 是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，（不需证明）（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f kt f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．22．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3,4)P -[] （1）求sin α和cos α的值；（2）化简并求值：11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+.荆州中学2019-2020学年度上学期期 末 试 卷年级：高一 科目：数学（文科） 命题人：朱代文 审题人： 徐法章参考答案一、选择题：二、填空题：13. 101 14.215.1416. 1三、解答题： 17. 解：1a >时，3331log 0,log 1,log 1log 444aa a a a<∴-<>-= 314,43a a ∴<< 413a ∴<<……………………5分 当01a <<时，3log 04a> 3log 1log 4a a a ∴>= 34a ∴< 314a ∴<<……………………10分 综合得：34(,1)(1,)43a ∈……………………12分18. 解：（1）2A =373(),,41264T T ππππ=--== 2w ∴= 6x π=-时， 2()0,6πϕ-+= 3πϕ∴=()2sin(2)3f x x π∴=+……………………6分（2）(0,)2A π∈42(,)333A πππ∴+∈ ∴当且仅当2,3212A A πππ+==时()f A 最大，max ()2f A =……………………12分19. 解：（1）1212(2)()AE AB BE e e e e =+=++-+12(1)e e λ=++A E C 、、三点共线 ∴存在实数k 使得AE k EC = 即1212(1)(2)e e k e e λ++=-+ 得12(1)(1)e k e λλ+=--由题意得12013,122k k k λλ+=⎧∴=-=-⎨=-⎩……………4分此时1213(7,2)2BC BE EC e e =+=--=--……………6分（2）四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴= 设(,)A x y 则(3,5)AD x y =--又(7,2)BD =--3752x y -=-⎧⎨-=-⎩ 得107x y =⎧⎨=⎩(10,7)A ∴……………12分20. 解：（1）22222(2)a x a -=--284,x a ∴=- x ∴=4分（2）由（1）知：242,2x a -=224124622x y x x x -∴=++=-++0a x >∴<， 定义域为……………8分（3）由（2）知，1x =时，y 最大此时梯形的上底72,2a =高h =17(4)22S ∴=+=21. 解：（1） 由题意：2()21x f x a =-+是定义域为R 的奇函数 (0)0f ∴= 即02021a -=+ 1a ∴= 当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++ 211221()()212121x x x x x x f x f x -------===-=-+++故1a =进满足题意………………5分（2）单调递增函数……………7分（3）由（2）得22(2)()0f kt f t tk ++->等价于22(2)()f kt f t tk +>-即222kt t tk +>-+ ∴2(1)20k t tk +-+>对任意t R ∈恒成立①1k =-时，20t +>不恒成立②1k ≠-时，100t +>⎧⎨∆<⎩解得：(4k ∈-+综合得：k 的取值范围是(4-+. …………12分 22. 解（1）3,4,5x y r =-==43sin ,cos 55y x r r αα∴====-………………3分 （2）原式＝(sin )(cos )(sin )(sin )(cos )sin sin cos αααααααα-----sin 4tan cos 3ααα-=-==-………………10分。
最新版湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学(理)Word版含答案
荆州中学2017～2018学年上学期高一年级期末考试数学试题(理科)一、选择题（本题共有12小题，每小题5分，共计60分，每小题有且仅有一个正确答案）1.已知集合{}2,1=A ，集合B 满足{}2,1=B A ，则满足条件的集合B 的个数为 （ ）A . 1 B. 2C. 3D. 42. 计算cos 47°cos 13°－cos 43°sin 167°的结果等于（ ）A.22B.33C. 12D.323.下列四组函数中的()x f 和()x g 相等的是（ ）A . ()()1,12-=-=xx x g x x f B. ()()x xx g x x f sin cos ,tan ==C.()()362,xx g x x f == D. ()()()42,x x g x x f ==4. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A. π6B. π4C. π3D. π25. 若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a ⊥ b ，则|a ＋2b |＝（ ）A. 9B. 249+C. 3D. 221+6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数7.已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则3a ＋2b 等于（ ） A ．(－2，－4) B ．(－1，－2) C ．(－4，－8)D ．(1，2)8.函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是（ ）A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)9. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足CB AC +2=0，则等于( )A.2－OB →B.-＋2OB →C.32－13OB →D.31-＋23OB → 10.设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A ．4B ．2C ．1D. 1211.已知0,2tan sin 32πααα-<<⋅=且则⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin πα的值是( ) A ．0B. 23-C ．1- D.23 12.设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝e x ＋b (b 为常数)，则f (－ln2)等于( ) A ．21- B ．1 C ．－1 D ．－3二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共计20分） 13. 时间经过5小时，分针转过的弧度数为___________14.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2 018)的值为________．15.已知函数()()log ,01131,12a x x f x a x a x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩对定义域中任意的21x x ，，当21x x <时都有()()21x f x f >成立，则实数a 的取值范围是__________．16.两个向量,22,1=+=-，则()()____935=-⋅-.三、解答题（本题共有6小题，共计70分，每小题都要求写出计算或推理过程）17.（本题满分10分）已知函数()(]()[)6,, 1.53, 1.5,12,1,x x f x x x x x --∈-∞-⎧⎪=∈-⎨⎪+∈+∞⎩（1）画出函数()f x 的图象；（2）由图像写出满足()3≥x f 的所有x 的集合（直接写出结果）； （3）由图像写出满足函数()x f 的值域（直接写出结果）.18. （本题满分12分）已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求cos β的值.19. （本题满分12分） (1)计算()()()2231203log 8.94lg 25lg 27log --+-+++；(2) 已知()xy y x y x 22loglog,2lg 2lg lg --=+求的值.20. （本题满分12分）已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．21. （本题满分12分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．22. （本题满分12分）已知函数f(x)=c bx ax ++2，其中.,,*Z c N b N a ∈∈∈（1）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R) 的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；（2）若对任意实数x ，不等式)1(2)(42+≤≤x x f x 恒成立,且存在)1(2)(0200+<x x f x 使得成立，求c 的值.荆州中学2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学（理科）参考答案二、填空题三、解答题17.解：（1）图像如图…………4分 （2）(][),91,-∞-+∞ …………7分（3）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭…………10分18. 解 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437， ...............................2分∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43 .......................................................4分于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. .....................................6分 (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314. .........................8分由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ................................................10分 ＝17×1314＋437×3314＝12. ……………………………..12分 19.（1）132……………………………………………6分 （2）0,0,20x y x y >>->102y x ∴<< ……………………………………………7分()()2lg lg 2lg 22x y x y xy x y +=-∴=-……………………………………………8分2225405410x xy y y yx x ∴-+=⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭()114y yx x∴==或舍去 ……………………………………………10分4∴-===- ……………………………………………11分……………………………………………12分20. 解： (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， …………………………………2分 ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， ………………………………………4分因此a ＝2，b ＝－5. ………………………………6分(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， …………………………………8分 又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， …………………………………9分 ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . …………………………………11分 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . …………………………12分21. 解：(1)由图象知A ＝2，T ＝8，……………………………………………1分 ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. ……………………………………………2分又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ……………………………………………4分∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. ……………………………………………6分 (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ……………………………9分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ……………………10分 ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； ………………………… 11分 当π4x ＝－π，即x ＝－4时， y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2 …………………………12分22.解：（1） f(sinx)=c x b x a ++sin sin 2，且20b a >> 所以12ba-<-，故f(sinx)随着sinx 的增大而增大 ,4)1()(sin min -=-=∴f x f f(sinx)max =f(1)=2， ………………2分⎩⎨⎧=++-=+-∴,2,4c b a c b a ⎩⎨⎧--==,1,3a c b 又b>2a ，a N *∈,.2,1-==∴c a ………………………………4分.23)(2-+=∴x x x f417)(min -=x f ……………………………………………5分 (2)24()2(1),4(1)2(11)4,(1) 4.x f x x f f ≤≤+∴≤≤+=∴=4,4().a b c b a c ∴++=-=-+即 ……………………………6分.0)4(,4)(2恒成立即又≥+-+≥c x b ax x x f ,04)(,04)4(2≤---≤--=∆∴ac c a ac b 即…………9分.22)(,0,2,22+=∴=∴==x x f b c a 时当不存在 .22)(2000+<x x f x 使 …………………………………10分21,1,2,()2 1.a c b f x x x ==∴=∴=++当时2*()0,.420,2,.1 2.a c a cb a a a N a a ∴-≤∴=∴=-≥≤∈∴==又或此时存在x 0,使200()2(1). 1.f x x c <+=故 ……………………12分。
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|1},{|A x x B x y =>==，则A B =（ ）A ．[1,3)B ．[3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(1,3]【答案】D【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{|1},{|A x x B x y =>== 所以(1,),(,3]A B =+∞=-∞，所以(]1,3A B =．故选：D ．2．已知R α∈则“1cos 2α=-”是“22,Z 3k k παπ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题意可知22,3k k παπ=±∈Z ，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为1cos 2α=-，解得22,3k k παπ=±∈Z ， ∴“1cos 2α=-”是“22,3k k παπ=+∈Z ”的必要不充分条件. 故选：B .3．已知角α的终边过点(),12(0)xx x -≠，若sin 0α<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义，得到不等式，再解指数不等式即可； 【详解】解：因为角α的终边过点(),12(0)xx x -≠，由sin 0α<，得120x -<，解得0x >．即(0,)x ∈+∞ 故选：A ．4．已知函数()()3211mf x m m x-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则m =（ ） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．2或-1【答案】B【分析】由函数()f x 是幂函数，结合函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求出m ．【详解】由函数()()3211mf x m m x-=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则310m -<，即1m =-. 故选：B.5．计算：123log 279-+-=（ ）A ．23-B ．0C ．103D ．283【答案】A【分析】利用指数和对数的运算法则求解 【详解】原式121349=+-,123433=+-=-故选：A ．6．已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．23D ．34【答案】D【分析】易知10,0x x ->>，结合基本不等式，可得()11x x =+-≥而可求出(33)x x -的最大值.【详解】因为01x <<，所以10,0x x ->>，所以()1x x +-≥，当且仅当1x x =-，即12x =时，等号成立，所以1≤，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤.所以(33)x x -的最大值为34.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．已知函数2e ()e 1x x m mf x x-=-+是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则实数m =（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】用奇函数的定义判断即可.【详解】因为2()1x x m e m f x e x -=-+，所以2()1x x m e mf x e x----=++，又函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则有()()f x f x -=-，即21211x x x x me mm e m e x e x ⎛⎫--+=-- ⎪++⎝⎭恒成立， 所以()(21)10xm e -+=．因为10x e +>，所以12m =． 故选:B .8．已知函数()lg f x x =的零点为a ，设3a b =，ln c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据零点定义将()f x 零点转化成函数lg y x =，y =得01a <<，根据指数函数和对数函数的单调性判断出b ，c 值，之后比较大小即可得出答案.【详解】解：由已知得lg a =01a <<， 则1b >，0c <， 所以c a b <<．【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.二、多选题9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】BD【分析】依题意求出2θ的取值范围，从而得出θ的取值范围，即可判断θ所在的象限； 【详解】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，k Z ∈，所以4k k ππθπ-<<，k Z ∈，当k 为偶数时，θ在第四象限，当k 为奇数时，θ在第二象限，即θ在第二或第四象限． 故选：BD ．10．已知函数2()24(0)f x ax ax a =++>，若12x x <，则（ ） A ．当122x x +>-时，()()12f x f x < B ．当122x x +=-时，()()12f x f x = C ．当122x x +>-时，()()12f x f x > D ．()1f x 与()2f x 的大小与a 有关【答案】AB【分析】由已知得二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，当122x x +=-时，1x 与2x 的中点为1-，可判断B ；当122x x +>-时，1x 与2x 的中点大于1-，又12x x <可判断A C ；当0a >时，()1f x 与()2f x 的大小与a 无关可判断D ．【详解】函数2()24(0)f x ax ax a =++>，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，当122x x +=-时，1x 与2x 的中点为1-．∴()()12f x f x =，选项B 正确；当122x x +>-时，1x 与2x 的中点大于1-，又12x x <，∴点2x 到对称轴的距离大于点1x 到对称轴的距离，∴()()12f x f x <，选项A 正确，C 错误； 显然当0a >时，()1f x 与()2f x 的大小与a 无关，选项D 错误．【点睛】本题考查了二次函数的单调性，关键点是二次函数的单调性和开口方向和对称轴的位置有关，分析问题时一定注意这个问题，考查了分析问题的能力及数形结合思想.11．已知函数)(442cos 2cos 2sin 2f x x x x x =+-，则（ ）A ．)(f x 的最小正周期为π B ．)(f x 的图象关于直线6x π=对称C ．)(f x 的单调递增区间为)(,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣D ．)(f x 的图象关于点,024π⎛⎫-⎪ ⎭⎝对称 【答案】CD【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再利用三角函数的周期公式可判断A ；利用正弦函数对称性、单调性、对称中心，可判断BCD ．【详解】)(()()22222cos 2cos 2+sin 2cos2sin 2f x x x x xx x =+-4cos 42sin 46x x x π⎛⎫=+=+⎪ ⎭⎝，所以)(f x 的最小正周期为242ππ=， 令)(462x k k Z πππ+=+∈，解得)(124k x k Z ππ=+∈，所以)(f x 的图象关于直线)(124k x k Z ππ=+∈对称， 令+24+2,262k x k k Z πππππ-<+<∈，解得++,62122k k x k Z ππππ-<<∈，所以)(f x 的单调递增区间为)(,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，令)(46x k k Z ππ+=∈，解得)(244k x k Z ππ=-+∈，所以)(f x 的图象关于点)(,0244k k Z ππ⎛⎫-+∈⎪ ⎭⎝对称， 故选：CD.【点睛】方法点睛：在解决()()sin f x A x ωφ=+的性质：单调性、对称轴、对称中心，常运用整体代换法得以解决.12．已知函数()f x 满足：当1x 时，(4)()f x f x -=，当(3,1]x ∈-时()|1|2f x x =+-；当1x >时，()log (1)a f x x =-（0a >，且1a ≠）．若函数()f x 的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（ ） A ．()f x 为周期函数B ．()f x 的值域为RC ．实数a 的取值范围为(2,)+∞D ．实数a 的取值范围为[22,)+∞【答案】BC【分析】当1x >时，根据函数的解析式，即可判断函数不具有周期性，且函数的值域为R ，作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象，依题意函数()log (1)a f x x =-的图象与所作的图象至少有三个交点，即可得到不等式，解得即可，【详解】解：当1x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），不是周期函数，且值域为R ，因为当1x 时，(4)()f x f x -=，当(3,1]x ∈-时()|1|2f x x =+-； 作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象如下所示，再作出该部分图象关于原点对称的图象．如图所示，若函数()f x 的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数()log (1)a f x x =-的图象与所作的图象至少有三个交点，所以1,log (51)2,aa >⎧⎨-<⎩解得2a >．故选：BC ．三、填空题13．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的半径为_______． 【答案】3【分析】利用弧长公式可求半径.【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =．故答案为：3.14．命题“m ∃∈R ，使关于x 的方程210mx x -+=有实数解”的否定是_________. 【答案】m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解 【分析】直接利用特称命题的否定为全称命题求解即可. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题， 否定特称命题是，既要否定结论，又要改变量词，所以命题“m ∃∈R ，使关于x 的方程210mx x -+=有实数解”的否定为： “m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解”. 故答案为：m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解15．若sin 2cos )4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】3-【分析】利用和差公式展开sin cos )42πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，然后代入化简计算，可得tan α.【详解】因为sin cos )2cos )4πααααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，得sin 3cos 0αα+=．所以tan 3α=-．故答案为：3-16．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3)【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围.【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.四、解答题 17．已知1tan 2α=． （1）若α为锐角，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭； （2）求tan 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭． 【答案】（1）10；（2）-7.【分析】（1）由α为锐角，可求出sin α和cos α，利用两角和与差的余弦公式代入求值即可；（2）利用正切的二倍角公式求出tan 2α，进而利用两角和与差的正切公式求值即可． 【详解】由1tan 2α=，得cos 2sin αα=．（1）由解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩α为锐角，sin αα∴==cos 3πα⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭cos cossin sin33ππαα=-12=10=．（2）由1tan 2α=， 则22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 41tan 213tan 27441tan 213πααα++⎛⎫∴+===- ⎪-⎝⎭-．18．已知函数()()()log 22log 4a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最大值为2.求a 的值. 【答案】（1）(4,1)-；（2）2a =.【分析】（1）根据对数的性质进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则有22040x x ->⎧⎨+>⎩，解得41x -<<，所以函数()f x 的定义域为(4,1)-.（2）函数可化22325()log (22)log (4)log (268)log 222a a a a f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=--+=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因为41x -<<，所23252502222x ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭.因为1a >，所以232525log 2log 222a ax ⎡⎤⎛⎫-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即max 25()log 2af x =， 由25log 22a=，解得522a =. 19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()f x x mx =+，函数()f x 在y 轴左侧的图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论关于x 的方程()0f x a -=的根的个数．【答案】（1）222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；（2）具体见解析．【分析】（1）根据偶函数的定义求出0x >时的函数解析式即可. （2）对参数a 分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.【详解】解：（1）由图可知2(2)(2)(2)0f m -=-+⨯-=，解得2m =． 设0x >，则0x -<，∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=，∴2()2(0)f x x x x =->．∴222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩．（2）作出函数()f x 的图象如图所示：min ()(1)(1)1f x f f =-==-．由图可知，当1a <-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为0；当0a >或1a =-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为2；当10a -<<时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为4；当0a =时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为3．【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.20．如图是边长为100米的正方形场地，其中60AE =米，80CD =米，DEF 区域被占用，现在五边形ABCDE 区域内规划一个矩形BNPM 区域，使点P ，M ，N 分别在线段,,DE AB BC 上．（1）设PN x =米，MP y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM 面积的最大值，并确定点P 的位置．【答案】（1）2260y x =-+，定义域为{|80100}x x ≤≤；（2）8000平方米；点P 在点D 的位置.【分析】（1）由EPQ EDF ，写出对应比例关系可得函数关系，结合图形可得定义域；（2）由()S x xy =代入（1）所得关系式，可得面积二次函数，再研究二次函数的最值即可.【详解】作PQ AF ⊥，交AF 于点Q ，所以100PQ x =-米，60EQ y =-米．又EPQ EDF ，所以EQ EF PQ FD =，604010020y x -=-． 所以2260y x =-+，函数定义域为{|80100}x x ≤≤．（2）设矩形BNPM 的面积为()S x 平方米，则2()(2260)2260S x xy x x x x ==-+=-+， []80,100x ∈由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为65x =，所以当80100x ≤≤时，()S x 单调递减．所以当80x =米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，其最大值为2280260808000-⨯+⨯=平方米．此时80PN =米，100MP =米，即点P 在点D 的位置时矩形BNPM 的面积最大． 答: 点P 在点D 的位置时，矩形BNPM 的面积最大为8000平方米.21．已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x m x m m =-+∈R ．（1）若1m =，求()f x 的单调递减区间；（2）若3m ()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（1）37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）最小值1-；最大值2．【分析】（1）若1m =，()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3222,242k x k k πππππ+-+∈Z 可求；（2）若m =()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则根据x 的取值范围可求. 【详解】解：()2()sin 22cos 1sin 2cos2f x x m x x m x =--=-，（1）∵1m =，∴()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由3222,242k x k k πππππ+-+∈Z ，得37,88k x k k ππππ++∈Z ． ∴函数()f x 的单调减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）当m =()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 取最小值1-；当226x ππ-=时，即3x π=时，()g x 取最大值2． 【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变化求三角函数的性质，解题的关键是正确利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为正弦型函数.22．已知指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图象过点1,22⎛ ⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()(2)(1)1g x f x mf x =--+，且在区间(1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点的坐标代入即可. （2）换元后，用二次函数根的分布求解.【详解】（1）由题意()f x的图象过点12⎛⎝⎭，∴122a =，解得12a =． 故函数()f x 的解析式为1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∵()(2)(1)1g x f x mf x =--+， ∴211()2122x x g x m ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令1,(0,2)2x t t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴221,(0,2)y t mt t =-+∈， 函数211()2122x x g x m ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(1,)-+∞上有两个零点，等价于221y t mt =-+在(0,2)t ∈上有两个零点， 则22202010,22210,(2)4110,202,2m m m m ⎧-⨯+>⎪-⨯+>⎪⎪⎨∆=--⨯⨯>⎪-⎪<-<⎪⎩即210,5,41,02,m m m >⎧⎪⎪<⎪⎨⎪>⎪<<⎪⎩ 解得514m <<． 故实数m 的取值范围为51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2020-2021学年荆州市沙市中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年荆州市沙市中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|(x−3)(x+1)<0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=()A. {−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {0,1,2,3}2.设α为第四象限的角，若sin3αsinα=135，则tanα=()A. −13B. −23C. −√62D. −33.已知a⃗=(1,k)，b⃗ =(k,4)，那么“k=−2”是“a⃗，b⃗ 共线”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件4.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为()A. 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J5.sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A. 14B. √32C. 12D. √346.已知函数，则()A. 4B.C. 一4D.7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，AB=BD= CD，点P在棱AC上运动.设CP的长度为x，△PBD的面积为S，则S= f(x)的大致图象是()A.B.C.D.8.若cos2αcos(π4+α)=12，则cosα+sinα=( )A. 12B. √22C. 14D. √24二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.如图所示，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( )A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. AP ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不是定值C. 三棱锥B 1−D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P10. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)，ω>0，则下列说法正确的是( )A. 若将f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象与图象重合，则ω的最小值为8 B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为12C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54] D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]11. 已知函数f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ，则( )A. π是函数f(x)的一个周期B. x=−π6是函数f(x)的一条对称轴C. 函数f(x)的一个增区间是(−π3,π6 )D. 把函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位，得到函数f(x)的图象12.已知点(8,32)在对数函数f(x)的图象上，则()A. f(0.5)>0B. 1f(2)>1f(5)C. 若x∈[14,2]，则f(x)∈[−2,1]D. 函数f(x2−2x−3)的单调递增区间为(3,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，则满足f(x+1)<0的x的取值范围______ ．14.若函数f(x)=sin2x对任意的x∈R，都有f(x)=f(x+C)(C为正常数)成立，则C的最小值为______ ．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b=______．16.设函数f(x)=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有______ ．(1)函数f(x)在R上有最小值；(2)当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；(3)函数f(x)的图象关于点(0,c)对称；(4)方程f(x)=0可能有四个不同实数根．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，实数满足，设(1)当函数的定义域为时，求的值域(2)求函数关系式，并求函数的定义域(3)求的取值范围18. 已知a⃗=(1,cosx)，b⃗ =(sin2x,2cosx)，且f(x)=a⃗⋅b⃗ −1．(1)求函数y=f(x)，x∈[0,π]的单调增区间；(2)证明：无论m为何值，直线4x−y+m=0与函数y=f(x)的图象不相切．19. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2009年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如表所示：x1234f(x) 4.00 5.587.008.44x+a．若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b值保留1位小数)；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．−2x)在一个周期内的图象(要求列表作图)．20. 用五点法作出函数f(x)=3sin(π3．21. 设a是实数，定义在R上的函数f(x)=a−22x+1(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)证明：对于任意实数a，f(x)是增函数．22. (本题共14分，其中(1)题6分，(2)题8分)(1)已知函数，求函数的定义域；(2)已知直线与函数的图像有两个公共点，求的取值范围。
2022-2023学年湖北省荆州中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}22,2,1,0,1,2M x x N =<=--∣M N ⋂=A ．B ．{}2,1,0,1,2--{}1,0,1-C ．D ．{}1,1-{}2,2-【答案】B【分析】解一元二次不等式求得集合M ，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】,,{}22{|M x x x x =<=<∣{}2,1,0,1,2N =--故{1,0,1}M N ⋂=-故选：B.2．命题“，”的否定是（ ）x ∀∈R 3210x x -+≤A ．，B ．，x ∃∈R 3210x x -+≥x ∃∈R 3210x x -+>C ．， D ．，x ∃∈R 3210x x -+≤x ∀∈R 3210x x -+>【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，x ∀∈R 3210x x -+≤x ∃∈R .3210x x -+>故选：B3．已知正数，满足，则的最小值为（ ）a b 2a b +=19a b +A ．6B ．8C ．16D ．20【答案】B【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.19a b +【详解】因正数，满足，则a b 2a b +=1911919()((10)22b a a b a b a b a b +=++=++，1(1082≥+=当且仅当，即时取“=”，由及解得：，9b aa b =3b a =3b a =2a b +=13,22a b ==所以当时，取得最小值8.13,22a b ==19a b +故选：B4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）x 2680kx kx k -++≥x R ∈k A ．B ．[]0,1(]0,1C ．D ．()(),01,-∞⋃+∞(][),01,-∞+∞ 【答案】A【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二0k =0k ≠次不等式恒成立问题.【详解】当时，该不等式为，成立；0k =80≥当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需0k ≠x 2680kx kx k -++≥x R ∈，解得，()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩01k <≤综上所述，的取值范围是，k []0,1故选：A.5．若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以2αy sin 20α<故选：D.方法二：当时，，选项B 错误；6πα=-cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭当时，，选项A 错误；3πα=-2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭由在第四象限可得：，则，选项C 错误，选项D 正确；αsin 0,cos 0αα<>sin 22sin cos 0ααα=<故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x-<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R 所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1et I K t --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）*t *tA ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t KI t e --=+()0.95I t K *=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t K I t e --=+ ()()0.23530.951t K I t K e **--==+()0.235319t e *-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.8．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b ay x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b ay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.二、多选题9．关于角度，下列说法正确的是（ ）A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若是第三象限角，则是第二或第四象限角α2α【答案】BD【分析】根据角度的知识确定正确答案.【详解】A 选项，时钟经过两个小时，时针转过的角度是，A 选项错误.60-︒B 选项，钝角的范围是；锐角的范围是，α90180α︒<<︒β090β︒<<︒，B 选项正确.αβ>C 选项，不是象限角，所以C 选项错误.90︒D 选项，，，3π2ππ2π2k k α+<<+π3πππ224k k α+<<+所以是第二或第四象限角，D 选项正确.2α故选：BD10．若不等式的解集是，则以下正确的有（ ）20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．a ＜0B ．1ca =-C ． 230a b c ++>D ．的解集为（﹣2，）20cx bx a ++>12【答案】ABC【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.【详解】解：不等式的解集是，开口向下，故A 正确；20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，故B 正确；12-220ax bx c ++=12()12c a =⨯-=-根据对称轴和可推出，带入选项中的式子可得324b a -=420a b c ++=32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故C 正确；32323502a b c a a a a ⎛⎫++=+⨯--=-> ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，12-220ax bx c ++=13222b a-=-=12()12c a =⨯-=-当，，故解得，D 错误；0x =0c >22302cx bx a cx cx c ++=+->1(,2)(,)2-∞-+∞ 故选：ABC11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b+≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-≤【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.1a b +=【详解】对于A ，，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=当且仅当时，等号成立，故A 正确；12a b ==对于B ，，所以，故B 正确；211a b a -=->-11222a b -->=对于C ，，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==-⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故C不正确；12a b ==对于D ，因为，2112a b =+≤++=时，等号成立，故D 正确；≤12a b ==故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中()f x R [)0,5x ∈()243f x x x =-+正确的是（ ）A ．的增区间为，()f x ()()15,2535,55k k k k ++⋃++Zk ∈B ．若与在上有10个零点，则的范围是y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1C ．当时，的值域为，则的取值范围[]0,x a ∈()f x []0,3a []1,4D ．若与有3个交点，则的取值范围为()20y kx k =->()y f x =k 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利()f x 用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如时经分析可得与有3个交点，1k =()20y kx k =->()y f x =可判断选项D 不正确，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1故选项B 正确；对于选项C ：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围()10f =()43f =[]0,x a ∈()f x []0,3a ，故选项C 正确；[]1,4对于选项D ：当时，直线为过点，也过点，当时，1k =2y x =-()5,3()f x ()5,310x =，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为1028y =-=()10,8()10,8()f x 1k =与有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，2y x =-()y f x =故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则=__________.()f x kx α=()2,4k α+【答案】3【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解.1k =【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，1k =()2,4422,αα==3k α+=故答案为：3【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题.14．已知扇形的周长为，面积为，扇形的圆心角（正角）的弧度数为_________．20cm 29cm 【答案】29【分析】利用扇形弧长和面积公式可构造方程求得扇形圆心角的弧度数.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则扇形弧长，r ()02παα<<202l r r α==-又扇形面积，或，()11202922S lr r r ==-⋅=1r ∴=9r =或，则（舍）或，18l ∴=2l =18α=29α=扇形圆心角的弧度数为.∴29故答案为：.2915．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、双空题16．记定义为，若函数，则函数[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()[]()[]()21234()f x I x I x -=-，，的最大值为__________；不等式的解集为__________．()f x ()2f x x≥-【答案】 1{|1}x x ≥【分析】根据 定义为，得到求解.[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()22,13,121,234,340,4x x x f x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩【详解】解：因为定义为，[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，所以，[]()()[]()221,23,41,13,3,12,,344,24,4x x I x x x I x x x x x -<-<⎧⎧⎪⎪=-≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩所以，()[]()()[]()221,23,42,13,121,234,340,4x x x f x I x I x x x x x --<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=-=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩当 时，；1x <-()2f x =-当时，；12x -≤≤()[]3,1f x ∈-当时，；23x <<()1f x =当时，；34x ≤≤()[]0,1f x ∈当时，；>4x ()0f x =所以函数的最大值为1；()f x 当 时，，解得，此时无解；1x <-22x -≥-1x ≥当时，，即，解得或，此时；12x -≤≤232x x -≥-2230x x +-≥3x ≤-1x ≥12x ≤≤当时，，解得，此时；23x <<12x ≥-21x ≥-23x <<当时，，解得，此时；34x ≤≤42x x -≥-4x ≥-34x ≤≤当时，，解得，此时，>4x 02x ≥-0x ≥>4x 综上：不等式的解集为，()2f x x≥-{|1}x x ≥故答案为：1，.{|1}x x ≥五、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsin cos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan 634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或 ，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数sin()cos sin()cos(2)()cos tan()sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.1(),052f παα=-<<sin cos ,s cos in αααα⋅-【答案】（1）；（2）()sin cos f ααα=+75-【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.【详解】解：（1）sin()cos sin()cos(2)sin cos (sin )cos ()cos tan()cos cos tan sin 2f πααπαπααααααπαααααα-+--=+=+--⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以.()sin cos f ααα=+（2）由，平方可得，1()sin cos 5f ααα=+=221sin 2sin cos cos 25αααα++=即. 所以， 242sin cos 25αα⋅=-12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，，所以,02πα-<<sin 0α<cos 0α>sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.20．已知函数.()243x x f x x -+=（1）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；()fx )+∞（2）求函数在区间上的值域.()f x []1,4【答案】（1）见解析；（2）34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）在区间内任取两数,并规定好大小,再作差,根据函数单调性)+∞12,x x ()()12f x f x -的定义判断即可；（2）根据函数的单调性即可求得在区间上的值域.()f x []1,4【详解】解：（1，12x x <<则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x x x x x x -⋅-=，12x x << 故，120x x -<，1230x x ->，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅-<，()()120f x f x ∴-<即，()()12f x f x <函数在区间是增函数；∴()243x x f x x-+=)+∞（2）由（1）知函数在上是增函数，()243x x f x x -+=当时，任取x ⎡∈⎣121≤<x x 则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x xx x x x -⋅-=121x x <≤<故，120x x -<，1230x x -<，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅->，()()120f x f x ∴->即，()()12f x f x >函数在区间是减函数；∴()243x x f x x -+=⎡⎣，m ax ()4f x f ∴===-，()21413101f -⨯+== ，()244433444f -⨯+==故，()max 34f x =故函数在区间上的值域为.()f x []1,434,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：()f x D 1.取值：任取，，规定，1x 2x D ∈12x x <2.作差：计算；()()12f x f x -3.定号：确定的正负；()()12f x f x -4.得出结论：根据的符号得出结论.()()12f x f x -21．某市城郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲500m 500m ⨯广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示及的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积最大，并求出最大值S 【答案】（1），定义域是(6，500)；（2）设计时，运动场1500030306S x x =--50m 60m x y ，==地面积最大，最大值为2430平方米.【分析】（1）总面积为，且，可得，（其中，从而3000xy =26a y +=3000y x =15003a x =-6500)x <<运动场占地面积为，代入整理即得；(4)(6)S x a x a =-+-（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的150003030(6S x x =-+的值．x 【详解】解：（1）由已知其定义域是.30003000,,xy y x =∴=(6,500)(4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-，，26a y += ∴1500332y a x =-=-，其定义域是.150015000(210)(3)30306S x x x x ∴=--=--(6,500)（2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤-=-⨯=当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =50(6,500)x =∈此时，，，．50x =60y =2430max S =答：设计 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m 60m x y ，==22．已知函数.1()ln 1x f x x -=+(1)求证：是奇函数；()f x (2)若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-t (3)若存在，且，使得函数在区间上的值域为,(1,)αβ∈+∞αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m【答案】(1)证明见解析(2)(,3ln 2)-∞-(3)209m <<【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）对于任意都有成立，仅需即可；[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-（3）由单调性可得是方程，即的两实数根，根据()f x ,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）又即解得，101x x ->+(1)(1)0x x -+>(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞所以的定义域为，关于原点对称，()f x (,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞又因为，1111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭所以是奇函数.()f x （2）由题意，令，2()ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2()11u x x =-+(()0)u x >因为在上为增函数，在上为增函数，()u x (1,)+∞ln u (0,)+∞所以在上为增函数，当时，，()f x (1,)+∞[]3,5x ∈ln 2()ln 2ln 3f x -≤≤-对于任意都有成立，仅需即可，[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-所以，解得.ln 23t ->-3ln 2t <-（3）由（2）可知在上为增函数，()f x (1,)+∞又因为在区间上的值域为，()f x [],αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以且，所以，0m >1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程，即的两实数根，,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=令，2()2(2)2h x mx m x m =+-+-则由题意对称轴，，，214m x m -=>2(2)42(2)0m m m ∆=--⨯⨯->(1)0h m =>解得.209m <<。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣1，0，1，2，3}（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，3} 2．（5分）命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”的否定是（）A．对任意的常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数B．对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数C．存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数D．存在常数α，函数f（x）＝xα是幂函数3．（5分）设a＝log20.3，b＝log0.30.2，c＝0.20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c4．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＜0＜c＜b，则下列各式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a2≤b2C．b+c＜bc D．6．（5分）某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快．经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）（单位：月）的关系有三种函数模型y＝pa x（p＞0，a＞1）、y＝m log a x（m ＞0，a＞1）和y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）可供选择，则下列说法正确的是（）A．应选y＝pa x（p＞0，a＞1）B．应选y＝m log a x（m＞0，a＞1）C．应选y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）D．三种函数模型都可以7．（5分）已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）x t﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．B．C．32D．648．（5分）函数f（x）＝cos3x的图象大致是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（s，t），正数m，则（）A．m+n＝4B．m2+n2≥8C．mn≥4D．10．（5分）若将函数的图象先向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象（x）的说法错误的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）图象的一个对称中心坐标为C．g（x）的值域为D．g（x）图象的一条对称轴方程为11．（5分）已知4cos（﹣α﹣）＝sin（2α+），则下列结论正确的是（）A．B．C．tan4α＝0D．tanα＝112．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x），f（x+2）﹣f（x）＝0，1]时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称B．当x∈[4，5]时，f（x）＝﹣2（x﹣5）2C．当x∈[2，3]时，f（x）单调递减D．a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）3，则f（x）＝．16．（5分）已知函数g（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0）满足，g（π），且最小正周期，则符合条件的ω的取值个数为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）①角α的终边上有一点M（2，4）；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③2α为锐角且，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．问题：已知角α的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，______．求18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+m≤0}，B＝{y|y＝3x，x≤n}．（1）若集合A为空集，求实数m的取值范围；（2）当m＝﹣8时，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数n的取值范围．19．（12分）体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2）．方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．（1）试求两种行走方式的平均速度，；（2）比较，的大小．20．（12分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝4x﹣m•3x﹣2，其中m是常数．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）用定义法证明：f（x）在[0，+∞）上单调递增．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示（，1），（，0）．（1）求f（x）的解析式；（2）设M，N为函数y＝t的图象与f（x）的图象的两个交点（点M在点N左侧），求t的值．22．（12分）已知函数f（x）＝（log4x）2﹣a log4x+3，其中a为常数．（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（2）若对，1≤f（x）≤27恒成立2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣1，0，1，2，3}（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，3}【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣3，0，1，8，则M∩N＝{0，1，5}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”的否定是（）A．对任意的常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数B．对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数C．存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数D．存在常数α，函数f（x）＝xα是幂函数【分析】利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可．【解答】解：命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”是全称命题，其否定是特称命题，故其否定为“存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数”．故选：C．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3．（5分）设a＝log20.3，b＝log0.30.2，c＝0.20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a＝log20.7＜log21＝7，b＝log0.33.2＞log0.60.3＝2，0＜c＝0.80.3＜7.20＝3，∴b＞c＞a．故选：B．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【分析】根据正切函数的定义与性质，即可求得f（x）的单调增区间．【解答】解：函数中，令，k∈Z；解得，k∈Z；所以f（x）的单调增区间为（kπ﹣，kπ+）．故选：C．【点评】本题考查了正切函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5．（5分）已知a＜0＜c＜b，则下列各式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a2≤b2C．b+c＜bc D．【分析】直接利用不等式的基本性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：①因为a＜0＜c＜b，a2，b3的大小无法确定，A，B均不正确；②取b＝1.2，c＝2.1，所以C不正确；③可得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．（5分）某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快．经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）（单位：月）的关系有三种函数模型y＝pa x（p＞0，a＞1）、y＝m log a x（m ＞0，a＞1）和y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）可供选择，则下列说法正确的是（）A．应选y＝pa x（p＞0，a＞1）B．应选y＝m log a x（m＞0，a＞1）C．应选y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）D．三种函数模型都可以【分析】利用题中给出的三个函数解析式，判断三个函数增长速度情况进行选择，然后代入求解即可．【解答】解：该植物生长蔓延的速度越来越快，而y＝pa x（p＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝m log a x（m＞2，a＞1）和y＝nxα（n＞0，4＜α＜1）的增长速度越来越慢，故应选择y＝pa x（p＞0，a＞7）．由题意知，解得．所以．故选：A．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用问题，涉及了利用函数解析式判断函数性质的应用，属于基础题．7．（5分）已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）x t﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．B．C．32D．64【分析】先利用幂函数的定义得到t2﹣4t﹣4＝1，求出t的值后，再利用幂函数的单调性进行判断，即可得到答案．【解答】解：由f（x）＝（t2﹣4t﹣6）x t﹣2是幂函数，可知t2﹣2t﹣4＝1，即t2﹣4t﹣5＝5，解得t＝﹣1或t＝5，所以f（x）＝x﹣2或f（x）＝x3，又幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＝x﹣5，所以．故选：B．【点评】本题考查了幂函数的理解和应用，主要考查了幂函数的定义以及幂函数的单调性，属于基础题．8．（5分）函数f（x）＝cos3x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行判断即可．【解答】解：因为，所以函数f（x）为奇函数，D；又，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（s，t），正数m，则（）A．m+n＝4B．m2+n2≥8C．mn≥4D．【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，基本不等式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意得，函数f（x）的图象过定点（2，s＝t＝2，所以A正确；由重要不等式m4+n2≥2mn可得3（m2+n2）≥（m+n）4＝16，故m2+n2≥4，当且仅当m＝n＝2时取等号；由基本不等式可得，，当且仅当，故C错误；又＝，当且仅当，即m＝n＝2时取等号．故选：ABD．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于中档题．10．（5分）若将函数的图象先向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象（x）的说法错误的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）图象的一个对称中心坐标为C．g（x）的值域为D．g（x）图象的一条对称轴方程为【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数的图象先向右平移，可得y＝sin（x﹣；再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象，故函数f（x）的最小正周期T＝π，所以A错误；因为，所以g（x）的图象关于点，所以B正确；易知g（x）的值域为[﹣1，1]；∵，函数取得的不是最值，故，所以D错误，故选：ACD．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11．（5分）已知4cos（﹣α﹣）＝sin（2α+），则下列结论正确的是（）A．B．C．tan4α＝0D．tanα＝1【分析】利用诱导公式对已知条件转化为，然后再由两角和与差的三角函数和二倍角公式进行变形处理，得到，所以cosα﹣sinα＝0或，据此对各个选项进行分析判断即可．【解答】解：由可得，即，即，所以cosα﹣sinα＝3或，由可知，故cosα﹣sinα＝0，即cosα＝sinα，所以tanα＝8，且，故tan4α＝7．故选：BCD．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，属于中档题．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x），f（x+2）﹣f（x）＝0，1]时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称B．当x∈[4，5]时，f（x）＝﹣2（x﹣5）2C．当x∈[2，3]时，f（x）单调递减D．a的取值范围是【分析】先根据题意得到函数f（x）为偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合的方法以及函数的性质对选项逐一判断即可．【解答】解：由f（x）﹣f（﹣x）＝0，可知f（x）是偶函数，由f（x+2）﹣f（x）＝8，可知知f（x）是周期为2的周期函数，因为当x∈[0，2]时2，所以f（x）图象关于x＝﹣1对称，故选项A正确；当x∈[6，5]时2，故选项B正确；当x∈[5，3]时，f（x）单调性与x∈[0，所以当x∈[7，3]时，故选项C错误；设g（x）＝log a（x+1），则函数y＝f（x）﹣log a（x+6）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，等价于函数f（x）与g（x）图象在（0，+∞）上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有g（2）＞f（2）a（3+1）＞﹣2，解得．故选：AB．【点评】本题考查了命题真假的判断，主要考查了函数的综合应用，涉及了函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，同时考查了函数的零点与方程根之间的关系，知识点考查的面广，对学生掌握知识的广度有较高的要求，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为{x|x＞1且x≠2}或（1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．【解答】解：由题意可得，解得x＞2且x≠2，即该函数的定义域为{x|x＞1且x≠3}．故答案为：{x|x＞1且x≠2}或（8，2）∪（2．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%．【分析】设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有（56﹣x）%只喜欢足球，有（38﹣x）%只喜欢游泳，列出方程能求出该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例．【解答】解：设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有（56﹣x）%只喜欢足球，有（38﹣x）%只喜欢游泳，由题意得：（56﹣x）%+x%+（38﹣x）%＝75%，解得x＝19．故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%．故答案为：19%．【点评】本题考查该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例的求法，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）3，则f（x）＝x3．【分析】根据条件构造方程组进行求解即可．【解答】解：因为2f（x）﹣f（﹣x）＝3x2，①所以2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣3x2，②②除以2得，③①+③得，即f（x）＝x7．故答案为：x3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用条件构造方程组是解决本题的关键，是基础题．16．（5分）已知函数g（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0）满足，g（π），且最小正周期，则符合条件的ω的取值个数为5．【分析】由，g（π）＝3，且最小正周期可得，由此即可求解．【解答】解：因为g（x）满足，g（π）＝2，所以，得0＜ω≤6，，所以，解得0≤n≤4，故ω的取值共有5个，故答案为：5．【点评】本题考查了三角函数的周期性，考查了学生的运算能力，属于基础题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）①角α的终边上有一点M（2，4）；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③2α为锐角且，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．问题：已知角α的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，______．求【分析】选条件①．利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，利用两角和的余弦公式即可计算求解；选条件②．利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，利用两角和的余弦公式即可计算求解；选条件③．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求，．利用两句话的余弦公式即可计算得解．【解答】解：方案一：选条件①．由题意可知，．所以，．所以＝＝．方案二：选条件②．因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为，所以，．所以，．所以＝＝．方案三：选条件③.，结合2α为锐角，解得，所以，．所以＝＝．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+m≤0}，B＝{y|y＝3x，x≤n}．（1）若集合A为空集，求实数m的取值范围；（2）当m＝﹣8时，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数n的取值范围．【分析】（1）根据集合为空集的定义进行求解即可．（2）根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）因为集合A为空集，所以△＝4﹣4m＜8，解得m＞1，即实数m的取值范围是{m|m＞1}．（2）当m＝﹣6时，A＝{x|x2﹣2x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，因为B＝{y|y＝3x，x≤n}＝{y|0＜y≤8n}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以3n≤4，解得n≤3log32，故实数n的取值范围是{n|n≤4log32}．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合之间的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．19．（12分）体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2）．方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．（1）试求两种行走方式的平均速度，；（2）比较，的大小．【分析】（1）方式一种的平均速度易求，方式二中设出用的时间已经路程，然后根据条件即可求解；（2）作差比较即可求解．【解答】解：（1）易知，设方式二中所用时间为t，路程为s，则；（2）＝，因为x1＞0，x8＞0，且x1≠x7，所以，即．【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题．20．（12分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝4x﹣m•3x﹣2，其中m是常数．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）用定义法证明：f（x）在[0，+∞）上单调递增．【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行转化求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】（1）解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即43﹣m⋅30﹣2＝0，解得m＝﹣1．故当x≥3时，f（x）＝4x+3x﹣8，设x＜0，则﹣x＞0﹣x+5﹣x﹣2，而f（x）是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣4﹣x﹣3﹣x+2，所以当x＜0时，f（x）＝﹣8﹣x﹣3﹣x+2．（2）证明：由（1）知当x≥6时，f（x）＝4﹣x+3﹣x﹣3，任取x1，x2∈[4，+∞）1＜x2，则＝，因为x1＜x7，所以，，所以，所以f（x8）﹣f（x2）＜0，即f（x3）＜f（x2），所以f（x）在[0．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示（，1），（，0）．（1）求f（x）的解析式；（2）设M，N为函数y＝t的图象与f（x）的图象的两个交点（点M在点N左侧），求t的值．【分析】（1）由函数图象可得A，函数周期，利用周期公式可求ω，将最高点代入，结合，可求，即可得解函数解析式．（2）设M（x0，t），，则，利用两角和的正弦公式计算可得sin2x0＝0，求得，进而可求t的值．【解答】解：（1）由题意易知A＝1，周期，所以f（x）＝sin（8x+φ）．将最高点代入f（x）＝sin（5x+φ）中可得，得，即．又因为，所以．所以．（2）设M（x0，t），，则，所以＝，所以sin3x0＝0，所以7x0＝kπ（k∈Z），即，所以．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝（log4x）2﹣a log4x+3，其中a为常数．（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（2）若对，1≤f（x）≤27恒成立【分析】（1）利用换元法结合一元二次函数的性质进行求解即可．（2）利用换元法结合不等式恒成立进行转化求解即可．【解答】解．（1）令t＝log4x，易知t∈R2﹣8t+3在R上的值域．因为y＝t2﹣8t+3＝（t﹣1）7+2，所以f（x）的值域为[2．（2）对，1≤f（x）≤27恒成立，即，恒成立，设u＝log4x，因为．故等价于，1≤g（u）＝u6﹣au+3≤27恒成立，即等价于对恒成立，令，，则在上单调递增，所以．令，，由基本不等式可知，当且仅当时取等号．所以，即实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数值域以及不等式恒成立问题，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键，是中档题．。
湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (含解析)
湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3] C．（1，+∞）D．[3，+∞）2．已知α∈R，则“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＜0，则实数x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．4．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣15．计算：＝（）A．B．0 C．D．6．已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（）A．B．C．D．7．已知函数是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则实数m＝（）A．﹣1 B．C．1 D．28．已知函数的零点为a，设b＝3a，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、多项选择题（共4小题）.9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角10．已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，则（）A．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＜f（x2）B．当x1+x2＝﹣2时，f（x1）＝f（x2）C．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小与a有关11．已知函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的单调递增区间为D．f（x）的图象关于点对称12．已知函数f（x）满足：当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2；当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．f（x）为周期函数B．f（x）的值域为RC．实数a的取值范围为（2，+∞）D．实数a的取值范围为三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为．14．命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数解”的否定是．15．若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则tanα＝．16．已知函数有最小值，则的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知tanα＝．（1）若α为锐角，求；（2）求．18．已知函数f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．20．如图是边长为100米的正方形场地，其中AE＝60米，CD＝80米，△DEF区域被占用，现在五边形ABCDE区域内规划一个矩形BNPM区域，使点P，M，N分别在线段DE，AB，BC上．（1）设PN＝x米，MP＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值，并确定点P的位置．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m（m∈R）．（1）若m＝1，求f（x）的单调递减区间；（2）若，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最值．22．已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象过点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，且在区间（﹣1，+∞）上有两个零点，求实数m的取值范围．湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3] C．（1，+∞）D．[3，+∞）解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤3}，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．已知α∈R，则“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由cosα＝﹣，解得，“α＝2kπ+，k∈Z”可以推出“cosα＝﹣”，满足必要性，“cosα＝﹣”不能推出“α＝2kπ+，k∈Z”，不满足充分性，所以“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的必要不充分条件．故选：B．3．已知角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＜0，则实数x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．解：∵角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＝＜0，∴1﹣2x＜0，∴2x＞20，∴x＞0，故选：A．4．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣1解：由函数f（x）是幂函数，则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，又函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，则m3﹣1＜0，即m＝﹣1，故选：B．5．计算：＝（）A．B．0 C．D．解：原式＝，故选：A．6．已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（）A．B．C．D．解：设y＝x（3﹣3x）则y＝﹣3（x2﹣x）＝﹣3（x﹣）2+∵0＜x＜1当x＝时，函数取得最大值：．故选：C．7．已知函数是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则实数m＝（）A．﹣1 B．C．1 D．2解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝+，又由函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，即（﹣）+（+）＝＝0在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，必有2m﹣1＝0，即m＝，故选：B．8．已知函数的零点为a，设b＝3a，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c解：由已知得＜0，a＞0，可得：0＜a＜1，∴b＞1，c＜0，∴c＜a＜b．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：由已知得2kπ﹣＜2θ＜2kπ，所以kπ﹣＜θ＜kπ，即θ在第二或第四象限．故选：BD．10．已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，则（）A．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＜f（x2）B．当x1+x2＝﹣2时，f（x1）＝f（x2）C．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小与a有关解：二次函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0）的图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，当x1+x2＝﹣2时，x1，x2关于x＝﹣1对称，此时f（x1）＝f（x2），选项B正确；当x1+x2＞﹣2时，x1与x2的中点大于﹣1，又x1＜x2，∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，∴f（x1）＜f（x2），选项A正确，C错误；显然当a＞0时，f（x1）与f（x2）的大小与a无关，选项D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的单调递增区间为D．f（x）的图象关于点对称解：∵函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x＝sin4x+cos4x＝2sin（4x+），故它的最小正周期为＝，故A错误；令x＝，求得f（x）＝1，不是最值，故（x）的图象不关于直线对称，故B错误；令2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，可得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z，故C正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得（x）的图象关于点对称，故D正确，故选：CD．12．已知函数f（x）满足：当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2；当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．f（x）为周期函数B．f（x）的值域为RC．实数a的取值范围为（2，+∞）D．实数a的取值范围为解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1），不是周期函数，A错误，对于B，当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1），这部分函数的值域为R，则f（x）的值域为R，B正确，对于C，当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2，且当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），作出函数f（x）在（﹣∞，0]上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数f（x）＝log a（x﹣1）的图象与所作的图象至少有三个交点，必有，解得a＞2，C正确，对于D，由C的结论，D错误，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为3．解：扇形的圆心角θ＝，即r＝＝＝3，所以r＝3．故答案为：3．14．命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数解”的否定是∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．解：因为：“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数根”是特称命题，所以其否定为全称命题；所以，其否定为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．故答案为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．15．若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则tanα＝﹣3．解：若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则sinα×+cosα×＝（sinα+2cosα），∴sinα+3cosα＝0，tanα＝＝﹣3，故答案为：﹣3．16．已知函数有最小值，则的取值范围为[2，3）．解：当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）2+2的最小值为2；当x＞2时，要使f（x）存在最小值，必有a+log22≥2，解得a≥1．∴，∴．故答案为：[2，3）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知tanα＝．（1）若α为锐角，求；（2）求．解：由tanα＝，得cosα＝2sinα，（1）由，解得sinα＝，cosα＝，或sinα＝﹣，cosα＝﹣，∵α为锐角，∴sinα＝，cosα＝，∴cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣＝．（2）∵tanα＝，则tan2α＝＝＝，∴＝＝＝﹣7．18．已知函数f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣4＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣4，1）；（2）函数可化为f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4）＝，∵﹣4＜x＜1，∴．∵a＞1，∴，即，由，解得．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．解：（1）由图可知f（﹣2）＝（﹣2）2+m（﹣2）＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x（x＞0），∴f（x）＝．（2）作出函数f（x）的图象如图所示：易知f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，方程f（x）﹣a＝0的根的个数等价于y＝a与函数f（x）的图象交点的个数，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0，当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2，当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4，当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．20．如图是边长为100米的正方形场地，其中AE＝60米，CD＝80米，△DEF区域被占用，现在五边形ABCDE区域内规划一个矩形BNPM区域，使点P，M，N分别在线段DE，AB，BC上．（1）设PN＝x米，MP＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值，并确定点P的位置．解：（1）作PQ⊥AF于点Q，∴PQ＝100﹣x米，EQ＝y﹣60米．又△EPQ∽△EDF，∴，即，∴y＝﹣2x+260，定义域为{x|80≤x≤100}；（2）设矩形BNPM的面积为S（x）平方米，则S（x）＝xy＝x（﹣2x+260）＝﹣2x2+260x，由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为x＝65，∴当80≤x≤100时，S（x）单调递减，∴当x＝80米时，矩形BNPM的面积取得最大值，其最大值为﹣2×802+260×80＝8000平方米．此时PN＝80米，MP＝100米，即点P在点D的位置时，矩形BNPM的面积最大．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m（m∈R）．（1）若m＝1，求f（x）的单调递减区间；（2）若，将f（x ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x ）在区间上的最值．解：（1）若m＝1，函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m＝2sin x cos x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x ＝sin（2x ﹣）．令2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，求得f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）若，将f（x）＝2sin（2x ﹣）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x +﹣）＝2sin（2x ﹣）的图象，当x∈[0，]时，2x ﹣∈[﹣，]，11当2x ﹣＝﹣即x＝0时，g（x）取最小值为﹣1；2x ﹣＝即x ＝时，g （x）取最大值为2．22．已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象过点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，且在区间（﹣1，+∞）上有两个零点，求实数m的取值范围．解：（1）由题意，f（x ）的图象过点，∴，解得，故函数f（x ）的解析式为；（2）∵g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，∴，令，由于x∈（﹣1，+∞），则t∈（0，2），∴y＝t2﹣2mt+1，t∈（0，2），函数在（﹣1，+∞）上有两个零点，等价于y＝t2﹣2mt+1在t∈（0，2）上有两个零点，则，解得，所以，故实数m 的取值范围为．12。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一(上)期末数学试卷 (含解析)
2020-2021学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．计算cos（﹣330°）＝（）A．B．C．D．2．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝（0.2）2021，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．已知函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2（k∈R），若，则＝（）A．0B．1C．3D．55．现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）＝sin xC．D．6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最大值为2C．D．在上有解8．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是（）A．4B．5C．6D．7二、多项选择题（共4小题）.9．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．10．给出下面四个结论，其中正确的是（）A．角是的必要不充分条件B．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”C．方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点D．若奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则f（2021）＝111．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两个实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣m B．C．m+tanα≥4D．tan（α+β）＝﹣m12．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．f（0）＝1B．在区间上单调递增C．D．若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．14．若函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则a＝；若m＝bx+，则x∈[1，2]时，m的取值范围为．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝．16．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范围．18．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．19．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P（m，n）（n＞0），将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝﹣，求tanα的值．20．已知函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a．（1）当a＝0时，求f（x）在上的值域；（2）当a＞0时，已知g（x）＝a log2（x+3）﹣2，若∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），求a的取值范围．21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：001：002：003：004：005：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻6：007：008：009：0010：0011：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻18：0019：0020：0021：0022：0023：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有 1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？22．若函数f（x）对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I 上的“局部偶函数”．已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣3，3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函数”，．（ⅰ）求函数F（x）的值域；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．计算cos（﹣330°）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣330°）＝cos（﹣360°+30°）＝cos30°＝．故选：B．2．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）解：∵A＝{x|x≥0}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B＝[0，1]．故选：B．3．若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝（0.2）2021，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b解：∵a20210.2＞a0＝1，b＝log0.22021＜log0.21＝0，0＜c＝（0.2）2021＜0.20＝1，∴a＞c＞b．故选：C．4．已知函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2（k∈R），若，则＝（）A．0B．1C．3D．5解：根据题意，函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2，则f（﹣x）＝tan（﹣x）﹣k sin（﹣x）+2＝﹣tan x+k sin x+2，则f（x）+f（﹣x）＝4，若，则＝4﹣（﹣1）＝5，故选：D．5．现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）＝sin xC．D．解：现将函数的图象向右平移个单位，可得y＝sin（2x﹣）的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象，故选：D．6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．解：∵AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．设∠ABC＝2θ．∴则sinθ＝＝0.866≈，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ＝π，∴α＝π﹣＝．故选：A．7．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最大值为2C．D．在上有解解：对于A，∀x∈R，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝≥1，所以f（x）的最小值是1，选项A错误；对于B，∀x∈R，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝≤，所以f（x）的最大值是，选项B错误；对于C，函数f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝|cos x|+|sin x|＝f（x），所以选项C正确；对于D，x∈[0，]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[，1]，所以函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[1，]，f（x）＝在x∈[0，]上无解，选项D错误．故选：C．8．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是（）A．4B．5C．6D．7解：函数f（x）＝的图像如图：令f（x）＝t，则方程f（f（x））﹣1＝0即为f（t）＝1对应的t值，则t＝10或t＝﹣3或t＝﹣1，t＝10时对应的x有2个，t＝﹣3时对应的x有1个，t＝﹣1时对应的x有1个，故方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是4个，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．解：∵a＜b，∴a+c＜b+c，e﹣a＞e﹣b，ac2≤bc2（c＝0时取等号），与的大小关系不确定．故选：AB．10．给出下面四个结论，其中正确的是（）A．角是的必要不充分条件B．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”C．方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点D．若奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则f（2021）＝1解：因为，所以2α＝或2α＝，k∈Z，所以α＝或α＝k∈Z，所以不能推出，也不能推出，即角是的既不充分又不必要条件，故选项A不正确；命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”，故选项B正确；令f（x）＝log3x+x﹣3，f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝1＞0，所以f（x）的零点在（2，3）上，而f（x）在定义域内单调递增，所以方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点，故选项C正确；因为f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），即y＝f（x）的周期为4，所以f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又因函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1，故选项D不正确．故选：BC．11．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两个实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣m B．C．m+tanα≥4D．tan（α+β）＝﹣m解：∵，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝m＞0，故A错误；tanα•tanβ＝2，tan（α+β）＝＝＝﹣m，故D正确；∴m＞2＝2，故B正确；m+tanα＝2tanα+tanβ≥2＝4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立，故C正确．故选：BCD．12．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．f（0）＝1B．在区间上单调递增C．D．若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为解：由图可知﹣A＝﹣2，所以A＝2，，所以T＝π＝，即ω＝2，将（，﹣2）代入f（x）＝2sin（2x+φ）得2sin（2×+φ）＝﹣2，即φ＝+2kπ（k∈Z），所以f（x）＝2sin（2x+），f（0）＝2sin＝，故选项A不正确；当x∈时，2x+∈[﹣，]，函数y＝2sin x在[﹣，]上单调递增，所以f（x）在区间上单调递增，故选项B正确；＝﹣2sin[2（）+]＝2sin（2x+）＝f（x），故选项C正确；令f（x）＝2sin（2x+）＝1，即sin（2x+）＝，所以2x+＝或（k∈Z），即x＝或（k∈Z），若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为＝，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．解：因为，则＝cos2（）1﹣2sin2（）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．14．若函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则a＝2；若m＝bx+，则x∈[1，2]时，m的取值范围为[1，2]．解：因为函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，且a﹣4+a＝0，所以a＝2，且f（0）＝b＝0，此时m＝在x∈[1，2]上单调递减，故m∈[1，2]．故答案为：2；[1，2]．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝cos（πx）（答案不唯一）．解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则f（x）＝cos（πx），故答案为：cos（πx）（答案不唯一）16．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为6．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）解：由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，所以，解得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，因为n∈N*，所以n的值为6．故答案为：6．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范围．解：（1）由函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1是幂函数，所以2m2+m﹣2＝1，解得m＝1或m＝﹣；当m＝1时，f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝﹣时，f（x）＝x﹣2，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f（x）＝x3．（2）由f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f（2﹣a）＜f（a2﹣4）等价于2﹣a＜a2﹣4，化简得a2+a﹣6＞0，解得a＜﹣3或a＞2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．18．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．解：（1）f（x）＝（1+cos2ωx）﹣[1﹣cos（2ωx﹣）]＝cos2ωx+（cos2ωx+sin2ωx）＝cos2ωx+sin2ωx＝（cos2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），∵x0，x0+是函数的两个相邻的零点．∴＝x0+﹣x0＝，即＝，得ω＝1，即f（x）＝sin（2x+），则＝sin（2×+）＝sin＝．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z∵0≤x≤π时，∴当k＝0时，﹣≤x≤，此时0≤x≤，当k＝1时，≤x≤，此时≤x≤π，综上函数的递增区间为[0，]，[，π]．19．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P（m，n）（n＞0），将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝﹣，求tanα的值．解：（1）∵β＝α+，若m＝，则cosα＝m＝，sinα＝，设Q（x，y），则x＝cosβ＝﹣sinα＝，y＝sinβ＝cosα＝，即Q（，）．（2）∵sinβ+cosβ＝﹣，∴sin（α+）+cos（α+）＝﹣，即cosα﹣sinα＝﹣，①，平方得1﹣2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0，∵sinα＝n＞0，∴cosα＞0，则sinα+cosα＝＝＝＝②，由①②得cosα＝，sinα＝，则tanα＝．20．已知函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a．（1）当a＝0时，求f（x）在上的值域；（2）当a＞0时，已知g（x）＝a log2（x+3）﹣2，若∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a＝1﹣cos2x+cos x﹣a＝﹣cos2x+cos x+1﹣a，当a＝0时，f（x）＝﹣cos2x+cos x+1，当x∈时，﹣1≤cos x≤0，令t＝cos x，则t∈[﹣1，0]，所以y＝﹣t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，所以y在[﹣1，0]上单调递增，则﹣1≤y≤1，所以函数f（x）在上的值域为[﹣1，1]；（2）当时，﹣1≤cos x1≤0，所以﹣1﹣a≤f（x）≤1﹣a，故f（x1）的值域为[﹣1﹣a，1﹣a]，当x2∈[1，5]时，a＞0，g（x2）＝a log2（x2+3）﹣2在[1，5]上单调递增，所以g（1）≤g（x2）≤g（5），即2a﹣2≤g（x2）≤3a﹣2，故g（x2）的值域为[2a﹣2，3a﹣2]，因为∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），所以[2a﹣2，3a﹣2]⊆[﹣1﹣a，1﹣a]，则，解得，所以a的取值范围为．21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：001：002：003：004：005：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻6：007：008：009：0010：0011：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻18：0019：0020：0021：0022：0023：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有 1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？解：（1）由表中的数据可得：A＝2.5，b＝5，观察可知3：00和15：00时刻水深相同，故T＝12，因为ω＞0，所以ω＝，因为x＝3时y取到最大值，所以3×φ＝，解得φ＝2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y＝2.5sin x+5（1≤x≤23）；（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin x+5≥6.25，即sin，所以，解得1+12m≤x≤5+12m，m∈N，取m＝0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17，故该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时．22．若函数f（x）对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I 上的“局部偶函数”．已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣3，3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函数”，．（ⅰ）求函数F（x）的值域；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣（2x+k•2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，当x∈[﹣3，3]时，不等式，即为2（2x）2﹣3•2x﹣2＞0，可得2x＞2，即x＞1，则原不等式的解集为（1，3]；（2）（ⅰ）F（x）＝，令t＝2x，则y＝t﹣在[，2]递增，当x∈[﹣1，1]时，F（x）∈[﹣，]；因为y＝t+在（2，4]递增，所以x∈（1，3]时，F（x）∈（，]；又因为f（x）在[﹣3，﹣1）∪（1，3]为“局部偶函数”，可得x∈[﹣3，﹣1）∪（1，3]时，F（x）∈（，]；综上可得，F（x）的值域为[﹣，]∪（，]；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，可得2F（x）min+5＞mF（x）max，即有2×（﹣）+5＞m，解得m＜，即m的取值范围是（﹣∞，）．。
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.sin2010°=( )A. 12B. −12C. √32D. −√322.集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|⩽2,x ∈Z}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ⩽2,x ∈R}B. {x|0<x ⩽2,x ∈Z}C. {−1,−2,1,2}D. {1,2,3}3.函数f(x)=1og 12x(x ∈[116,12])，则f(x)的最大值为( )A. 4B. 8C. −4D. −84.对于任意函数f(x)，若f(−x)也有意义，则称g(x)=f(x)+f(−x)2为f(x)的偶部，称ℎ(x)=f(x)−f(−x)2为f(x)的奇部，若f(x)=(x +1)⋅(|x|−1)，则不等式g(x)⋅ℎ(x)>0的解为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (0,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,0)5.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则=( )A.B.C.D.6.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A. 3n(sin 30°n +tan 30°n )B. 6n(sin 30°n +tan 30°n) C. 3n(sin60°n+tan60°n)D. 6n(sin60°n+tan60°n)7.若函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)，则f(x)在[−π8,π8]上的最大值为( )A. √24B. √22C. 12D. 18. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意实数x 都有f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx −k 有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−14,14]B. (0,14]C. (14,13]D. (0,13)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.若a >b >0，则以下结论正确的是( )A. ac 2>bc 2B. a 2>ab >b 2C. lga >lgbD. 1a <1b10. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数，且函数y =f(x +8)为偶函数，则下列结论正确的是( )A. f(6)>f(5)B. f(6)=f(10)C. f(7)>f(9)D. f(7)>f(10)11. 若函数f(x)={2x 2lnx,x >0−x 3−4x 2,x ≤0的图象和直线y =ax 有四个不同的交点，则实数a 的取值可以是( )A. 4B. 2C. 0D. −1e12. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)，ω>0，则下列说法正确的是( )A. 若将f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象与图象重合，则ω的最小值为8 B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为12C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54] D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=______．14. 奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(6)+f(−3)=______．15. 已知函数f(x)={2x −4,x >0−x −3,x <0，则f(f(−4))=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设a ∈R ，定义<x >为不小于实数x 的最小整数(如<π>=4，<−π>=−3)，若n ∈Z ，则满足<n +a >=n 的实数a 的取值范围是 (1) ；若a ∈R ，则方程<3x +1>=2x −12的根为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 二次函数y =ax 2+bx +c(x ∈R)的部分对应值如下表：x−3−2−11234求不等式ax2+bx+c>0的解集．18.已知函数f(x)=12sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，点P，Q分别为函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=√2，f(Aπ)=√34，求角C的大小．19.已知tanα、tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根，且α、β∈(−π2,π2)，求α+β的值．20.已知函数f(x)=|x+1|+|x−3|．(1)求不等式f(x)<4x的解集；(2)若关于x的方程f(x)=|m|存在实数解，求实数m的取值范围．21.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n2+10n)万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；哪一种方案较为合算？请说明理由．22.已知函数f(x)=2x．(1)解方程f(log4x)=3；(2)已知不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立，求实数a的取值范围；(3)存在x∈(−∞,0]，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=sin(180°+30°)=−sin30°=−12．故选：B．直接利用三角函数的诱导公式计算得答案．本题考查利用三角函数的诱导公式求值，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：解绝对值不等式|x−1|⩽2得：−1≤x≤3，又x∈Z，所以N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，故选：D．由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．3.答案：A解析：解：∵116≤x≤12；∴log1212≤log12x≤log12116；∴1≤f(x)≤4；∴f(x)的最大值为4．故选：A．根据题意可得出116≤x≤12，从而得出log1212≤log12x≤log12116，从而可求出f(x)的值域，进而得出f(x)的最大值．考查函数最值的定义及求法，以及对数函数的单调性，对数的运算．4.答案：C解析：解：∵f(x)=(x+1)⋅(|x|−1)，∴f(−x)=(−x+1)⋅(|−x|−1)=(−x+1)⋅(|x|−1)，∴g(x)=f(x)+f(−x)2=(|x|−1)(x+1−x+1)2=|x|−1，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2=(|x|−1)(x+1+x−1)2=x(|x|−1)，∴不等式g(x)⋅ℎ(x)>0即为x(|x|−1)2>0，解得0<x<1或x>1，故选：C．由f(x)的解析式写出f(−x)的解析式，从而得g(x)和ℎ(x)的解析式，再解不等式即可．本题考查不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查函数图象关于点对称的函数，利用相关动点法，设点P(x,y)为f(x)上任一点，借助中点坐标公式求出P关于点(0,1)的对称点，将对称点坐标代入g(x)即可．解：设上任意一点坐标为(x,y)，关于点对称的点的坐标为(−x,2−y)，所以代入得：．即：y=．故选B．6.答案：A解析：本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于中档题．设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．解：如图，设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，。
湖北省荆州市沙市中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
【分析】
（1）利用“1”的变换，基本不等求最值；（2）根据三角函数的定义求 ， ，以及 ，再代入 求值.
【详解】
（1）
，当且仅当 时，即 时等号成立， 的最小值是
（2）由条件可知 ， ，
，
18．条件性选择见解析，（1） ；（2）单调递增区间为 ；
对称中心的坐标为 ；对称轴为直线 ， .
【分析】
由函数值域为 求得 的范围，然后进行判断．
【详解】
依题意知：函数 的值域为 ，
则 或 ，解得： 或 ，
故选：ABD．
13．11
【分析】
根据分段函数的解析式，先计算 ，然后计算 即可.
【详解】
由题可知：
所以 ，
则
故答案为：11
14．
【分析】
由已知的等式变形后求出 的值，然后利用同角三角函数间的基本关系把所求式子中的分母的“1”变形为 ，然后再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于 的关系式，将 的值代入即可求出值.
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 ________．
四、解答题
17．（1）设 ，若 ，求 的最小值；
（2）若角 的终边经过点 ，求 的值．
18．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①函数 ．
②函数 ；
③函数 对任意 都有 成立；
已知_______（填所选条件序号），函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
所以排除B，故C正确
故选：C
8．C
【分析】
先化简函数的解析式，然后利用 的范围求出 的范围，根据题意列不等式求解 .
【详解】
，因为 ，得 ，因为函数在 有且只有四个零点，则 ，解得 .