于开平-结构动力学第十五讲
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于开平-结构动力学第十一讲
������ 2 ������ ������������ ������������ ������������ ������������ −������ 2 − ������ + ������ + ������������ − ������ + ������������ − ������ = 0 ������������ ������������ 2 ������������ 2
结 构 动 力 学
第三章 连续体振动的精确解法
（第十一讲）
主讲教师：于开平
哈尔滨工业大学航天学院
1.4 剪切变形与转动惯量对固有频率的影响
������ 截面剪力作用：受剪切变形影响梁轴线偏离了截面 ������ = ������������������ 法线，偏离角度������，称为剪切角。
梁轴线实际转动角度为：������������ = ������ − ������ 改变了截面转角与梁轴线转角原来 的简单一阶导数关系，不能用横向位移 完全描述梁的运动，需要用两个量。 剪切角与剪力关系：������ = ������������������ ������ − ������������
2
− ������������������ 2 ������
2
������
2
=0
������ 2 1 − ������ ������
2
2 2 ������ 4 ������ 2 ������ ������ ������������ + ������������ − ������������������ 2 =0 ������ ������ ������ ������
������ = ������������
结 构 动 力 学
第三章 连续体振动的精确解法
（第十一讲）
主讲教师：于开平
哈尔滨工业大学航天学院
1.4 剪切变形与转动惯量对固有频率的影响
������ 截面剪力作用：受剪切变形影响梁轴线偏离了截面 ������ = ������������������ 法线，偏离角度������，称为剪切角。
梁轴线实际转动角度为：������������ = ������ − ������ 改变了截面转角与梁轴线转角原来 的简单一阶导数关系，不能用横向位移 完全描述梁的运动，需要用两个量。 剪切角与剪力关系：������ = ������������������ ������ − ������������
2
− ������������������ 2 ������
2
������
2
=0
������ 2 1 − ������ ������
2
2 2 ������ 4 ������ 2 ������ ������ ������������ + ������������ − ������������������ 2 =0 ������ ������ ������ ������
������ = ������������
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学课件
m
EI = ∞
W=2
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m 2I
I
单自由度体系 三个自由度体系
v(t) u(t) θ(t)
三个自由度 水平振动时的计算体系
三个自由度 顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
§15-2 单自由度体系的运动方程 15建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法” 虚功法、 建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法”、虚功法、 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法” 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 m
P(t )
&&(t ) y
m&&(t ) = P(t ) y
运动方程
m
P(t )
一、柔度法
− m&&(t ) y
惯性力 && 柔度法步骤： 柔度法步骤(t ) f I = −my ： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； P(t ) + [−m&&(t )] = 0 y 2.求外力和惯性力引起的位移； 形式上的平衡方程， 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 3.令该位移等于体系位移。
∆
δ 11
P (t )
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题 例3.
&& my + ky = P(t )
P(t )
P(t )
m
EI1 = ∞
结构动力学课件(华中科技大学)
v02
2
y(t)
a
v0 a cos 初始相位角 tan1 y0
v0
T
自由振动总位移：
y0
0
t
a
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式: y(t) a sin(t ) 可知
时间经 T 2后 ，质量完成了一个振动周期。
用T 表示周期，周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
动力计算的内容：
1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型 2）荷载的变化规律及其动力反应 （自由振动）
（受迫振动）
13.1.2 动力荷载的分类
1）周期荷载
P(t ) 简谐荷载 t
2）冲击荷载
P(t)
P(t)
P
爆炸荷载1
P
P
一般周期荷载
t
P(t) 爆炸荷载2 P
突加荷载
tr
t
tr
t
t
P(t)
3）随机荷载
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
13.1.2 动力荷载的分类
本课程主要任务是：
求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出
结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依
据。
可靠性设计依据：
安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据；
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
第10章 结构动力学
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的知识和数学知识（微分方程的求解）。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2014-1-10
第10章
10.2体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系中全部质量位置所需要的独立几何参数数目，成为体系的动力自由 度。
4 ( x) sin
2014-1-10
…
广义坐标法是一种数学简化方法
第10章
10.2体系的动力自由度
有限单元法：
可以看作是分区的广义坐标法，其要点与静力问题一样，是先把结构划分 成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行广义坐标法。详见 有限单元法参考资料，这里不再赘述。 一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠 的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的 方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 有限单元法也是一种数学简化方法
2014-1-10
第10章
10.1 概述
2.动力荷载及其分类
动力荷载分类方法有很多种，常见的是按动力作用随时间的变化规律来分。 周期性荷载：其特点是在多次循环中荷载相继呈现相同的时间历程。如旋 转机械装置因质量偏心而引起的离心力。 周期性荷载又可分为简谐荷载和非简谐周期荷载，所有非简谐周期荷载均 可借助Fourier级数分解成一系列简谐荷载之和。 冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。 随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。 前两种荷载属于确定性荷载，可以从运动方程解出位移的时间历程并进一 步求出应力的时间历程。 随机荷载属于非确定性荷载，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确 定的时间历程，因而~92层之间有一颗巨 大的‘金色大球’，由实 心钢板堆焊而成，直径约 5.4米，重达680吨，价值 400W美元。其实质是调质 阻尼器TMD（Tuned Mass Damper），作用是减轻飓 风、地震给大楼带来的震 动。
结构动力学-课件(全10章+总结)(刘晶波,杜修力主编.机械工业出版社出版)
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或 其它广义量。
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。
质量块mg 无质量弹簧k
(a) 弹簧－质点
2ust
动力反应
u
(b) 静力和动力反应
静力问题和动力问题位移反应的区别
1.4 结构离散化方法
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由 度的过程
三种常用的离散化方法： 1、集中质量法、 2、广义坐标法、 3、有限元法。
F (t) = Asinωt F (t) = Acosωt F (t) = Asin(ωt − φ)
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p(t)
t
(a) 简谐荷载
1.2 动力荷载的类型
（2）非简谐周期荷载
荷载随时间作周期性变化，是时间t的周期函数，但不
能简单地用简谐函数来表示。 例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋 桨产生的推力等。
n =1
nπx
L
sin(.)— 形函数（形状函数），给定函数，满足边界条件；
bn(t)— 广义坐标，一组待定参数，对动力问题是作为时间的函数。
∑ u( x, t )
=
N n =1
bn
(t)
sin
nπx
L
2、广义坐标法
悬臂梁：
x
(b) 悬臂梁
用幂级数展开：
∞
∑ u(x) = b0 + b1x + b2 x2 + L = bn xn n=0
结构动力学和静力学的本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的，对结构中质量位 置及其运动的描述是结构动力分析中的关键，这导致 了结构动力学和结构静力学中对结构体系自由度定义 的不同。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
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xt t
( xt t xt ) (1 ) xt (1 )txt t 2
K K a0 M a1C
将它们同时代入第三个方程，只剩下待求时刻的位移，整理得 Kxt t Qt t
Qt t Qt M (a6 xt a2 xt a3 xt ) C (a1 xt a4 xt a5 xt )
x(t ) lim
x(t t ) x(t ) xt t xt t 0 t t
1 x x x x xt t t t t t t 2 t t
x(t ) lim
x(t ) x(t t ) xt xt t t 0 t t
2.3 纽马克方法(Newmark method)
对待求的下一时刻的位移、速度和加速度在当前时刻������进行泰勒展开
1 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) t 3 x (t ) O(t 4 ) 2 6 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) O(t 3 ) 2 x (t t ) x (t ) x (tn ) O(t ) x(t t ) x(t ) tx (t ) O(t 2 ) t
(2) 确定初始值
x 0 , x 0 , x0
x0 = M 1 (Q (0) Cx0 - Kx0 )
1 1 2
(3) 选择时步长∆������ , 使它满足∆������ < ∆������������������ = ������������ /������(������������ 为系统的最小周期)
结 构 动 力 学
第五章 结构动力学中常用的数值算法
（第十五讲）
主讲教师：于开平 哈尔滨工业大学航天学院
2 结构动力响应的数值解法——典型直接积分法
2.1 引言
Mx Cx Kx Q (t ) x (0) x0 x (0) v0
i) 非比例阻尼 ii) 非线性情况F(x,v) iii) 有冲击作用
(4) 将计算结果和������时刻的位移分别赋值给前一时刻，用于下一次的递推计算
xt t xt , xt xt t
(5) 返回步骤(1)计算下时刻的位移 根据这个算法流程，同学们可自行用计算机语言来实现。
2.2 中心差分法 (The central difference method)
( xt t xt ) (1 ) xt (1 )txt t 2
(4) 将计算结果分别赋值给前一时刻，用于下一次的递推计算
xt xt t , xt =xt t , xt xt t
(5) 返回步骤(1)计算下时刻的位移
2.3 纽马克方法(Newmark method)
则运动方程可简写成 Mxt t Qt
其中 M a0 M a1C
Qt Qt ( K a2 M ) xt (a0 M a1C ) xt t
x0 a1 ( xt xt ), x0 a0 ( xt 2 x0 xt ) xt =(x0 xt ) / a1
1) 这三种典型情况，模态叠加不适用，数值积分。 2) 模态分解后，因载荷形式复杂，无法给出解析解，需要数值积分。 这类方法，不需要先进行模态变换，可直接进行积分，因此相比 于模态叠加法，被称为直接积分类方法。
2.2 中心差分法 (The central difference method)
该方法用利用数学上的差商代替导数的思想
Mxt + Cxt + Kxt = Qt
2.2 中心差分法 (The central difference method)
将上述中心时刻 t 的速度、加速度表示代入并整理得
1 2 1 K M x M C t xt t 2 2 ( t ) ( t ) 2 t 1 1 2 , a , a 将其中各矩阵前的系数，分别简记为 a0 1 2 (t )2 2t (t ) 2 1 1 M C xt t Qt 2 ( t ) 2 t
(4) 形成等效刚度矩阵
K K a0 M a1C
(5) 对等效刚度矩阵三角分解
K LDLT
2.3 纽马克方法(Newmark method)
纽马克法的解题步骤——算法流程 2. 对每一时间步进行循环
(1) 计算������ + ∆������ 时刻的等效载荷
Qt t Qt M (a6 xt a2 xt a3 xt ) C (a1 xt a4 xt a5 xt )
Qt Qt ( K a2 M ) xt (a0 M a1C ) xt t
(2) 求解������ + ∆������ 时刻的位移
( LDLT ) xt t Qt
(3) 如需要计算时刻������的速度和加速度值，可通过它们的位移差分表示来计算
xt a1 ( xt t xt t ), xt a0 ( xt t 2 xt xt t )
������������ ������
= ������
2������ ������ ������
= ������ ，
������
2
������������ 为系统的最小周期，������������ 为系统的最高频率。显然对大型结构，中心差分方 法的时间步长要取得很小。 时间步长越小计算精度越高，但过小，相同计算时间区间内 0, ������ ，需计算的 步数������Τ∆������就大大增加，计算量也跟着增加。因此，时间步长的选择首先要满 足稳定性要求，然后要在精度和计算量之间平衡。
• 如果不仅对称，同时还正定，可直接做第一讲里介绍的Cholesky分解，
分解成LLT，三角分解后求逆比直接求逆效率要高得多； • 注
2.2 中心差分法 (The central difference method)
中心差分法的解题步骤——算法流程 2. 对每一时间步进行循环 (1) 计算时刻������的等效荷载
将三阶导数表达式代入位移和速度泰勒展开式 t 2 t 2 x (t t ) x (t ) tx (t ) x (t ) x (t t ) O(t 4 ) 3 6
x (t t ) x (t )
t t x (t ) x (t t ) O(t 3 ) 2 2
利用这两种速度表示的平均来确定当前时刻的速度，
1 ( xt t xt t ). 2t
用以当前时刻������为中心的前后时刻位移的差分来计算速度，这也是中心差 分名字的由来。不同时刻的函数值做差，称为函数对时间的差分运算。 加速度用速度的差商表示，每一个时刻的速度再用位移的差商表示
纽马克方法的几点补充说明 1) 常用算法中，为保证计算精度， ������ = 1/2 ，因此也常被称作纽马克 −������ 方法。 为保证计算是无条件稳定的，一般取������ ≥ 1/4。其中������ = 1/4的算法，也被称 为平均加速度方法，相当于在计算的时间区间内假设加速度是不变的。 2) 需要进行一次解代数方程组的运算，不能直接递推求解，无条件稳定的纽 马克−������方法属于隐式算法。
2.3 纽马克方法(Newmark method)
1 xt t xt txt [( ) xt xt t ]t 2 2 xt t xt [(1 ) xt xt t ]t
其中������, ������ 为加权常数，然后假设������ + ∆������ 时刻的近似值满足运动方程
2.3 纽马克方法(Newmark method)
纽马克法的解题步骤——算法流程 1. 初始值计算 (1) 形成系统矩阵K，M和C
(2) 确定初始值 x0 , x0 , x0 ，其中初始加速度的计算与中心差分法一样
(3) 选择时间步长∆t，算法参数γ、β，并计算积分常数
a0
1 1 a 1 a t 2 ， 1 t , 3 2 t a4 1 a5 ( 2) a t (1 ) a t 2 ， , 6 ， 7
2.4 结构动响应数值算法性能评价指标分析
xt x0 1 1 x0 x0 2a1 2a0
式中零时刻加速度可通过观测补充给出，也可通过零时刻的动力学方程给出
x0 = M 1 (Q (0) Cx0 - Kx0 )
2.2 中心差分法 (The central difference method)
中心差分法的解题步骤——算法流程 1. 初始值计算 (1) 形成刚度矩阵 K, 质量矩阵 M 和阻尼矩阵C。
Mxt t Cxt t Kxt t Qt t
三个方程可以确定三个待定量。由第一个方程可以解出待求时刻加速度表示
xt t =
1 1 1 ( x x ) x ( 1) xt t t t t 2 t t 2
将这个加速度表示代入第二个方程，可以解出待求时刻速度表示
xt xt t xt 1 xt t xt xt xt t t t t t 1 时间变量在下 ( x 2 x x ) t t t t t 2 标的，表示该 (t )
时刻的近似值
假设上述中心时刻t的速度、加速度连同位移满足振动方程
(2) 求解������ + ∆������ 时刻的位移
( LDLT ) xt t Qt t
(3) 计算������ + ∆������ 时刻的加速度和速度 1 1 1 xt t = ( x x ) x ( 1) xt t t 2 t t t t 2
xt t
确定步长后，计算系数 a0 (t )2 , a1 2t , a2 (t )2 (4) 计算 xt x0