(完整版)精选高难度压轴填空题----三角函数
专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析
专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (2)③三角函数零点问题（解答题） (3)④三角函数解答题综合 (6)①三角函数的图象与性质②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (9)③三角函数零点问题（解答题） (12)④三角函数解答题综合 (20)①三角函数的图象与性质设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；①当22m-=时，即②当3-=时，即t=m③当3->时，即t<m②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）由图可知，当1t =或12t -≤<当112t ≤<时，()h x 在区间⎡⎢⎣当21t <-或1t >时，()h x 在区间令ππ2πZ 62,x k k-=+∈故两个零点12,x x关于x故()122πcos cos3x x+=7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数由图可知，30a -≤≤，且21πt t +=，所以()12121ππsin sin 466x x t t ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭故a 的取值范围为()123,0,sin x x ⎡⎤-+⎣⎦8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，。
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。
解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。
2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。
高中三角函数专题练习题(及答案)
高中三角函数专题练习题（及答案）一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．3．在ABC 中，7AB =，23BC =，1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．5．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______9．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．10．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 12．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3213．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞14．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin αβαβ=+，则tan()αβ-=（ ）AB ．1C ．2+D 215．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1617．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,33A a π=2b 2c bc ++的取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]D ．(7，9]19．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞20．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．163三、解答题21．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．22．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 23．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域.25．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？26．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 27．已知函数()()233cos sin cos 02f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． 29．已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．⎝ 3．①③ 4．105．566．1⎡⎤⎣⎦7．4333-8．09． 3 21,32⎡⎢⎣⎦ 10．π3##60°二、单选题 11．C 12．D 13．D 14．D 15．C 16．C 17．B 18．D 19．B 20．A 三、解答题21．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+，∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 22．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.23．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==，所以333coscos sin sin cos()cos 2222222x a x x b x x xx -=+==⋅， ()2222212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 25．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =，11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题26．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ）当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】 解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z .所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c=-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=． (2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-为增函数，2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cosx =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
高中数学《三角函数》精选高难度压轴考点试题
1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角A B C ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：m BCC B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③ 解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 35267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC=60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是AB CDx xx -4 3)8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析： )4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题17 三角函数问题(填空题)(解析版)
专题17 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.已知函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x ）的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f （1）+f （2）＝ ． 【答案】3【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f （x ）＝cos （2ωx +2φ）+1+，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【解答】解：∵函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1＝A •+1＝cos （2ωx +2φ）+1+（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，由0＜φ＜，可得2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）＝﹣（sin+sin）+2×2＝﹣1+4＝3．故答案为：3．【知识点】三角函数的最值、余弦函数的单调性、余弦函数的图象2.已知等边△ABC的边长为1，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且S△ADF＝S△DEF＝．若AD＝x，CE＝y，则的取值范围为．【分析】由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，运用三角形的面积公式，求得y关于x的函数式，令y≤1，得＜x≤或＜x≤1，再由换元法和基本不等式，以及对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，S△ADF＝S△DEF＝＝•＝，即有S△ADF＝x（1﹣z）•＝，可得z＝1﹣，由z≥0，可得≤x≤1，由S△DEF＝﹣﹣（1﹣x）（1﹣y）•﹣yz•＝，化为1﹣x﹣y+xy+y（1﹣）＝，即为y＝，由y≤1，即有≥0，即或，结合≤x≤1，可得＜x≤或＜x≤1，①则＝，可令3x﹣2＝t，即x＝，可得＝＝，若t＝0，则x＝，＝0；若t＞0，即＜x≤1，可得＝≤＝，当且仅当t＝1，即x＝1时，取得等号，又＞0，可得此时0＜≤；当t＜0时，即≤x＜，由①可得≤x≤，则﹣1≤t≤﹣，则﹣≤t+≤﹣2，则＝≥＝，当且仅当t＝﹣1，x＝时，取得等号，且≤＝2，即≤≤2，则的范围是[0，]∪[，2]．故答案为：[0，]∪[，2]．【知识点】三角形中的几何计算专项突破一、填空题（共15小题）1.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，则ω＝，函数f（x）的单调减区间为．【分析】由题意可得x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值，由此求出函数的解析式，可得它的减区间．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，∴x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值．故函数的最小正周期为2×（6﹣2）＝8＝，∴ω＝．∴2×+φ＝﹣，6×+φ＝，∴φ＝﹣π，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sin x．令2kπ﹣≤x≤2kπ+，求得8k﹣2≤x≤8k+2，可得函数f（x）的单调减区间为[8k﹣2，8k+2]，k∈Z，故答案为：；[8k﹣2，8k+2]，k∈Z．【知识点】正弦函数的单调性2.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2．则＝，∠BAD＝．【分析】由题意利用三角形内角平分线的性质、余弦定理，求得结果．【解答】解：△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2，则由三角形内角平分线的性质可得，＝＝．设∠BAD＝θ，则θ为锐角，设BD＝x，则DC＝2x．由题意在△ABD、△ACD中，分别利用余弦定理可得，x2＝1+﹣2×1××cosθ，4x2＝4+﹣2×2××cosθ，∴4+﹣2×2××cosθ＝4（1+﹣2×1××cosθ），求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：，．【知识点】余弦定理、正弦定理3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若CD是边AB上的中线，且CD＝CA，则的最小值为．【分析】易知cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，结合余弦定理可推出a2﹣b2＝，将cos A和cos B均用余弦定理表示，并代入中化简，再结合基本不等式即可得解．【解答】解：根据题意，作出如下所示图形，则CD＝CA＝b，∵∠ADC＝π﹣∠BDC，∴cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，由余弦定理得，＝﹣，化简得a2﹣b2＝，∴＝+•＝+•＝+•≥2＝，当且仅当＝•，即a＝b时，等号成立，∴的最小值为．故答案为：．【知识点】三角形中的几何计算、正弦定理4.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，，且f（x）在区间上单调，则ω取值的个数有个．【答案】3【分析】设函数的最小正周期为T，则T＝，由，可知，，又f（x）在区间上单调，于是，综合解得ω可以为2，6，10，共3个值．【解答】解：设函数的最小正周期为T，则T＝，∵，，∴，n∈N*，即ω＝2（2n﹣1），n∈N*，又f（x）在区间上单调，∴，解得0＜ω＜12，∴n可以为1，2，3，即ω为2，6，10，共3个值．故答案为：3．【知识点】正弦函数的单调性5.已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．【分析】先整理解析式，由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出结论．【解答】解：函数＝sinωx﹣＝sin（），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴≥π⇒ω≤1；因为ω＞0；分别取k＝0，1，2，3…∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…＝（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故答案为：（0，]∪[，]．【知识点】两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数6.函数的最小正周期T＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期T＝＝π，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值为2，则当sin（2x+）＝1时，sin（2x+2φ+）＝﹣1，则2φ＝（2k﹣1）•π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案为：π；．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在△ABC中，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，，则BD的长度的最大值是．【分析】根据可分析出△ABC是直角三角形，画出图形，可设∠ACD＝α，借助于余弦定理在三角形BCD中表示出BD2，然后再利用三角形ACD借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．【解答】解：在三角形ABC中，设AC＝x，则BC＝，且．由正弦定理得，解得，显然B为锐角，故B＝．∴．设∠ACD＝α，∴．∴在△BCD中，＝3（x2+1）+6x sinα……①．又∵在△ACD中，．∴．代入①式得：BD2＝．令t＝x2+1，则上式可化为，（）……②．∴，令y′＝0得，可见t＞5．即t2﹣10t+16＝0，∴t＝8或t＝2（舍）将t＝8代入②式得BD2＝27，故．（因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点）故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，则AD的最大值是．【分析】△ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出△ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，sin A sin B＝sin B cos A，因为sin B≠0，所以tan A＝；又因为0＜A＜π，所以A＝；设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R＝＝＝；取BC的中点M，如图所示；在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝；在Rt△DOM中，DM＝BD﹣BM＝，OD＝＝＝1；由AD≤AO+OD＝R+OD＝+1，当且仅当圆心O在AD上时取“＝”；所以AD的最大值是+1．故答案为：+1．【知识点】余弦定理、正弦定理9.如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA＝3，AB＝5，∠COD＝，点E在弧CD上，F在AB上，∠EOF＝．设∠FOC＝x，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x＝．【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角x结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．【解答】解：因为∠EOF＝，所以∠DOE＝x﹣，x∈[，]依题意得当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S△OAF+S扇DOE＝OA•AF+OD2•∠DOE＝×3×+×52•（x﹣）＝令＝令，故时，s取得最小值，此时．故答案为：【知识点】扇形面积公式10.如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．【答案】5【分析】根据题意把设＝，＝，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，P A，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设＝，＝，则＝+＝﹣3﹣，＝+＝2+，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使＝λ＝﹣λ﹣3λ，＝μ＝2μ+μ，故＝﹣＝（λ+2μ）+（3λ+μ）．而＝+＝2+3，∴，解得，故＝，＝，即AP：PM＝4：1．BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，P A＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，则x＝•4t•2t•sinα＝＝≤，当t2＝，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为2（+）＝x，则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．【知识点】解三角形11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，D为AC上一点，AD：DC＝1：3，则△ABC面积最大时，BD＝．【分析】由2＝c，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得b＝，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时a的值，再由余弦定理计算可得所求值．【解答】解：∵2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，∴c cos A＝﹣a cos C，∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C＝sin A，∴sin（A+C）＝sin B＝sin A，∴b＝，由p＝，p﹣a＝，p﹣c＝，p﹣b＝，由三角形的海伦面积公式可得S△ABC＝＝＝＝＝＝＝，当a2＝12，即a＝2时，b＝2，△ABC的面积取得最大值，∵D为AC上一点，AD：DC＝1：3，∴AD＝，∴由余弦定理可得cos A＝＝＝，解得BD＝．故答案为：．【知识点】余弦定理12.如图，边长为a的正方形ABCD内的点P，Q满足：AP∥CQ，AP＝b，CQ＝2b，PQ＝b，则当∠P AB最小时，a：b的值为．【答案】2【分析】作四边形PQCR，可得R在分AC为的阿氏圆上，求出b＝PQ＝即可【解答】解：作平行四边形PQCR，则＝，根据阿氏圆定理，可知点R在分AC为的阿氏圆上，设圆在直线AC上的两点及圆心分别是M、N、O，易知CM＝CA，CO＝CA，OM＝ON＝CA，当AR与圆O相切于下方时，∠P AB最小，此时b＝PQ＝AR0＝＝，所以，故答案为2．【知识点】三角形中的几何计算13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3a sin A＝2b sin B+c sin C．记△ABC的面积为S．则的最大值为．【分析】观察已知条件3a sin A＝2b sin B+c sin C．与目标式，构造它们之间的联系．【解答】解：由条件及正弦定理可得3a2＝2b2+c2，所以＝＝＝•＝•＝≤＝．故答案为：．【知识点】正弦定理14.，若，则α＝【分析】根据两角和差的公式，利用换元法转化为方程进行求解即可．【解答】解：∵sin（﹣α）＝sin[﹣（α+）]＝cos（α+），∴由，得sin（α+）+cos（α+）＝sin2（α+）+﹣1①设t＝sin（α+）+cos（α+），则t＝sin（α++）＝sin（α+），∵，∴α+∈[，]，则t＞0，同时sin2（α+）＝t2﹣1，则方程①等价为t＝t2﹣1+﹣1＝0，即t2﹣t+﹣2＝0．即t＝＝＝，即t＝＝或t＝＝1（舍）由t＝sin（α+）＝，得sin（α+）＝1，即α+＝，即α＝﹣＝，故答案为：．【知识点】两角和与差的三角函数15.如图已知等边△ABC的边长为2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE交于点F，AB＝2AD，AC＝3AE，则△BCF的面积为．【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，进一步求出点ABCDE的坐标，进一步求出直线BE和CD的直线方程，最后利用二元一次方程组求出点F的坐标，最后求出三角形的面积．【解答】解：根据等边三角形建立平面直角坐标系：如图所示：由于三角形为边长为2的等边三角形，故：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）AB＝2AD，AC＝3AE，所以：D为线段AB的中点，所以：D（），E为线段AC的三等分点，过点E作EH∥AO，得到：E（），所以：直线BE的方程为：y＝＝，直线CD的直线方程为：，所以：，解得：，y＝，则：．故答案为：【知识点】三角形中的几何计算。
精选高难度压轴填空题——三角函数（附解析）家有高中生收了！
精选高难度压轴填空题——三角函数（附解析）家有高中生收
了！
三角函数在现代科技的发展当中，举足轻重。
如果三角函数学不好，就无法进入气势恢宏的现代数学殿堂，就无法欣赏数学那令人陶醉的逻辑之美，我们对数学的认知永远只能停留于肤浅的“算术”层面。
“三角函数”是一个重要的数学工具，也是现代数学的重要基础。
自然而然，三角函数在我们高中阶段就成了是重点考察的内容，是决定高考胜败的关键所在。
所以为了让同学们更好地学习数学，小编今天就为大家整理了精选三角函数高难度压轴填空题，同学们一定吃透，高考稳拿高分。
篇幅有限，只能截取部分，同学和家长领完整版打印出来，方便复习，加深记忆。
三角函数太重要，别再让它成为高考中的痛！
领取方式：
点击小编头像，私信发送关键字“数学”即可免费领取。
同学家长请放心，绝对免费，没有套路。
第9讲 三角函数填空压轴题(原卷版)
第9讲 三角函数填空压轴题1．（2021·江苏三校联考）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________．2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则M 的最小值为________． 3．（2021·全国超级全能生联考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，设()sin h x x π=，若函数()()()g x f xh x =-，则()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为___________． 4．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________5．（2021·河南信阳期末（理））在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________6．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．7．（2021·河南三门峡期末（理））已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）．8．（2021·广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______．9．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大． 10．（2021·山西临汾一模（理））对于一个函数()()y f x x D =∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得()12kx m f x kx m +≤≤+在x D ∈时恒成立，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道．则下列函数在[)1,+∞内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①()()1sin cos 2f x x =+；②()ln x f x x =；③()f x =()2cos 3f x x x =+．11．（2021·江苏常州一模）若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12．（2021·广西玉林模拟）函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6x π=-，则ω的最小值为___________．13．（2021·内蒙古呼和浩特一模（理））四边形ABCD 内接于圆O ，10AB CD ==，6AD =，60BCD ∠=︒，下面四个结论：①四边形ABCD 为梯形； ②圆O 的直径为14；③ABD △的三边长度可以构成一个等差数列；④四边形ABCD 的面积为 其中正确结论的序号有___________．14．（2021·甘肃高三一模（文））函数()cos 22f x x x =-，x ∈R ，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；④满足()f x ≤x 的取值范围是3,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）15．（2021·内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．16．（2021·中学生标准学术能力诊断性3月测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =，sin BAD ∠=，cos 4BAC ∠=，则AD =__________．17．（2021·甘肃兰州模拟（文））在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________．18．（2021·甘肃兰州模拟）在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，1sin 3C =，则22sin sin A B -的值为______．19．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______．21．（2021·辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中所有真命题的序号为___________．22．（2021·广东揭阳一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，2222a b c =+，则ABC 的面积的最大值为_______________．23．（2021·江西上饶一模（理））已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，则cos B 的最小值为_______．24．（2021·内蒙古包头期末（理））已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______． 25．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为________．26．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________．27．（2021·安徽皖江名校联盟2月联考）设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC =-⋅．则sin sin B C的值是___________．28．（2021·安徽高三月考（文））关于函数cos 23()2x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的性质，下列表述正确的是 ①是周期函数，且最小正周期是π； ②是轴对称图形，且对称轴是直线,26k x k Z ππ=-∈； ③定义域是R ，值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ⑤单调减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 29．（2021·陕西咸阳一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x ．其中真命题有________．30．（2021·江西景德镇期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac -+=-，G 为ABC 的重心，则GA =________ 31．（2021·安徽蚌埠二模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为___________．32．（2021·安徽池州期末（理））已知在锐角ABC且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________．33．（2021·江西新余期末（理））已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______． 34．（2021·平罗中学高三期末（文））设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数． 其中正确的结论序号是___________________．（写出所有正确结论的序号）．35．（2021·浙江宁波模拟）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin cos cos21B C A A +=，则2a bc的最小值为______．36．（2021·江苏扬州月考）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为36的等腰三角形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且BC AC =．记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12S S =_______．37．（2021·广东中山期末）数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________．（写出一个即可）38．（2021百校3月联考）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c =，6b =，D 是AC 边上近A 点的三等分点，且2ABD CBD ∠=∠，则CBD ∠=_____；BC =______．。
高考数学 填空试题分类汇编—三角函数 试题
2021年高考数学试题分类汇编——三角函数〔2021理数〕〔11〕函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ . 解析：()242sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 故最小正周期为π，此题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题〔2021全国卷2理数〕〔13〕a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，那么tan a = ． 【答案】12-【命题意图】本试题主要考察三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考察考生的计算才能.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22tan 4tan 21tan 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.〔2021全国卷2文数〕〔13〕α是第二象限的角,tan α=1/2，那么cos α=__________【解析】：此题考察了同角三角函数的根底知识∵1tan 2α=-，∴cos α=〔2021文数〕〔15〕如题〔15〕图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P 〔点P 不在C 上〕且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，那么232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .解析：232312311coscossinsincos33333ααααααααα++++-=又1232αααπ++=，所以1231cos 32ααα++=-〔2021文数〕〔12〕函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 。
答案：2π〔2021文数〕〔15〕 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设2a =，2b =,sin cos 2B B +=,那么角A 的大小为 .答案：〔2021文数〕〔10〕在ABC ∆中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 ACx xx -4 335267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。
于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是55410. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值解析：2008江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯=，根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==BAC C由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值11. 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②()f x =2sin()4x π+；③()f x；④()f x =21xx x -+，其中是“倍约束函数的序号是 ①③④解析：①x x 22≤；②数形结合不可能存在k 使|||)4sin(2|x k x ≤+π恒成立；③)1(1122≥-≥⇒≤-x x x k x k x 成立；④11122+-≥⇒≤+-x x k x k x x x 12. 若[]0,απ∈,,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R ，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为= 22解析：令x x x f sin )(3+=，则απαπαπαπαcos )2()2sin()2()2(33--=-+-=-fλ2=，λββββββ2)cos sin 4(22sin 8)2(33-=+=+=f ，故022=+-βπα13. 已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M ．4016解析：x x f x x sin 12009120092008)(++-+=，注意到1200912009+-x x 和x sin 都为奇函数，故对函数)(x f 考虑构造新函数x x g xx sin 1200912009)(++-=为奇函数，而)(2008)(x g x f +=，在区间],[a a -上由奇函数的对称性知0)()(=+-x g x g ，故401622008=⨯=+N M14. 函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为 _______43π解析：22)4(b a f +±=π即0)(2222=+⇒+±=-b a b a b a 15. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．－1解析：()()ππ33f t f t +=-+知)(x f 一条对称轴是3π=x ，1)3sin(±=+ϕωπ，0)3cos(=+ϕωπ16. 设)2,0(π∈x ，则函数)cos 1)(cos sin 1(sin 2222xx x x ++最小值是__________425解析：令x b x a 22cos ,sin ==，则41,1≤=+ab b a ，原式ba ab ab ab +++=14252441=++≥ 17. 若对于)2,0(π∈x ，不等式9cos sin 122≥+xpx 恒成立，则正实 数p 的取值范围为__________[)4∞，+解析：9)1(cos sin sin cos )1()cos sin 1)(cos (sin 222222222≥+≥+++=++p xx p x x p x p x x x 18. 设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 πππ220121)1(e e e --解析：]2011,0[,0sin 2)('∈=⇒==x k x x e x f xπ，但要使)(x f 取极大值，则2011,...,5,3,1=k ，故各极大值和为ππππππ22012201131)1(...e e e ee e --=+++19. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则=+222c b a _ 3 解析：12cos sin sin sin cos sin )sin cos sin cos (cos sin 22222=-+==⋅=+c b a c C ab c B A C C C B B A A C C 20. 设b a ,均为大于1的自然数，函数x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=，若存在实数m ，使得)()(m g m f =，则b a +的值为_________4解析：1)sin(1)1(0cos sin )()(22+≤++=-⇒=--+=-a x a a b x b x a ab x g x f ϕ因b a ,均为大于1的自然数，故)2(,21211221211)1(1222222≥-++=+-+=-++=-+≤a aa a a a a a a a ab 的最大值5，故2=b ，此时2=a21. 直线l 与函数]),0[(sin π∈=x x y 图象相切于点A ，且OP l //，O 为原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作x AC ⊥轴，垂足为C ，则_____=⋅BC BA 442-π解析：设)sin ,(00x x A ，切线方程为)(cos sin 000x x x x y -=-，令0=y ，00tan x x x B -=，202)(tan x BC ==⋅，而π2cos 0==OP k x44)2()2(1cos sin )(tan 22220220-=-==∴πππx x x22. 设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋c b的取值范围是 ]5,2[解析：因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，．所以ABC S ∆＝212a ＝1sin 2bc A ，所以sin A ＝2a bc ．又因为cos A ＝2222b c a bc +-＝212b c a c b bc ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A 同时b c＋c b ≥2，所以b c ＋cb∈[2． 23. 已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R AB AC AO BC AO 24. 在ABC ∆中， 223cos cos 222C A a c b +=，且ABC ∆的面积sin S a C =，则a c +的值是________4解析：sin S a C =得2=b ，223coscos 222C A a c b += b A c C a b A c C a 3)cos 1()cos 1(232cos 12cos 1=+++⇒=+⋅++⋅⇒ 4233)cos cos (==+⇒=++⇒=+++⇒b c a b b c a b A c C a c a25. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ26. 已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为__[,)23ππ--∪(,]32ππ解析：注意到)(x f 的奇偶性和单调性即可27. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是 ．87解析：如图，设βα=∠=∠C A ,,由余弦定理知：1cos 3cos cos 2cos 222222-=⇒⋅-+==⋅-+αββαBC CD BC CD BD AB AD AB AD 332cos 0)1,1(<<⇒-∈α，又87)63(cos 23sin 41sin 4322222+--=+=+αβαT S ，当63cos =α时，最大值为87 28. 设点),(00y x P 是函数x ytan =与x y -=（0>x ）图象的一个交点，则=++)12)(cos 1(020x x __________2解析：)0(tan 000>=x x x ，法一：消0x ，2cos 2)1(tan 0202=⋅+x x ，法二：消0tan x ，用万能公式.ACDS T说明：若无00>x ，则可以用特殊值00=x 求解____]3,1[30. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解31. 在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π 解析：数形结合，先画22==b AC ，再以C 为圆心，2=a 为半径画圆，如图即可解得.法二：正弦定理b BbA a ≥=sin sin 32. 如图，动点M 在圆228x y +=上，(2,0)A 为一定点，则OMA ∠的最大值为 4π解析：本题等同于31题。