北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)
第一次课第一章三角形的证明
知识点一：等腰三角形
1、全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.
2、等腰三角形的性质定理：
①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。
( “三线合一”)
③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。
（特殊线段相等）。
等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
知识点二：等边三角形
1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。
2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
知识点三：反证法
步骤：①假设：假设结论不成立；
②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；
③假设不成立；④原命题成立。
知识点四：直角三角形
1、直角三角形性质定理：
①角的角度：直角三角形，两锐角互余。
②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、直角三角形的判定定理：
①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此
三角形是直角三角形。
）
3、特殊的直角三角形：
① 在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。
② 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。
4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。
（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。
）
知识点五：垂直平分线（点到点）
1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（垂直平分线点到点的距离相等）
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上）
知识点六：角平分线（点到边）
1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角平分线性质定理的符号语言：∵D在∠ABC的角平分线BM上，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。
3、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
4、平分线判定定理的符号语言（∠ABC）：∵DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF，所以D在∠ABC的角
平分线。
（角平分线点到边的距离相等）
3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等。
知识点七：尺规作图：
1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。
②连接这两个交点。
2、等腰三角形的画法：①已知，求作②
例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。
已知：线段a和b.
求作：等腰三角形△ABC，使BC=B，高AD=a.
解：作法：
①.作射线BE；
②.在射线BE上取一点C，使BC=b；
③作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
④以点D为圆心，以a为半径画弧，交MN于A；
⑤连接AB、AC.
则△ABC就是所求作的三角形。
4、角平分线的画法（∠ABC）：
① 以角的顶点B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
② 分别以M、N分别为圆心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧交于点O；
③ 连接BO。
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
专题一：证明线段相等
1、如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE=EF，求证：AC=BF.
2、已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长
BC到E,使CE=CD,求证:BD=DE 。
专题二：证明角相等
3、如图，已知等边△ABC，现将△ABC折叠，使A点落在BC边上D点，折痕为EF，求证：∠BED=∠FDC．
4.已知:如图,△ABC（AB≠AC）中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分∠BAC
专题三：直角三角形的应用5、工人师傅要测量A山山顶的垂线到山一脚的距离AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一B山已被开发成功.已知B山A山等高,且两山斜坡长度DF与NP也相等.若山已知距离BP为100米,那么能否直接判定A山距离AF也为100米呢?
专题四：角平分线的应用
6、如图，，，，若，则_____ 。
7、△ABC中,∠C=90° DE⊥AB于D,交AC于E,若BC=BD,AC=5cm.则
AE+ED=_________.
．
8、已知：线段a和b.
求作：等腰三角形△ABC，使AB=AC=a，高AD=b.
9、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，
E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE。
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。
（2）求证：。
A
C
B
D
E。
北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)
北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)第一次课第一章：三角形的证明本章主要介绍了三角形的几何性质和证明方法。
等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它的性质定理有三条：1.两底角相等（等边对等角）。
2.底边的高、顶角的角平分线和底边的中线重合（“三线合一”）。
3.两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等（特殊线段相等）。
等边三角形等边三角形是指三条边相等的三角形。
它的性质定理有两条：1.三个内角都相等，且都等于60°。
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。
反证法反证法是一种证明方法，步骤如下：1.假设结论不成立。
2.将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论。
3.假设不成立。
4.原命题成立。
直角三角形直角三角形是指其中一个角是90°的三角形。
它的性质定理有两条：1.两锐角互余。
2.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
垂直平分线垂直平分线是指将一条线段垂直平分的直线。
它的性质定理有一条：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
角平分线角平分线是指将一个角平分的直线。
它的性质定理有一条：角平分线上的点到角两边的距离相等。
以上是本章的主要内容，其中涉及到了三角形的各种性质和证明方法，对于初学者来说是非常重要的基础知识。
2、角平分线定理的符号语言为：在三角形ABC中，若点D在角ABC的角平分线BM上，且DE⊥AB，DF⊥BC，则有DE=DF。
3、角平分线判定定理表述为：在三角形内部，若有一点到角的两边的距离相等，则该点在该角的角平分线上。
4、平分线判定定理的符号语言为：在三角形ABC中，若有DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF，则点D在角ABC的角平分线上。
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定定理：若点到角的两边的距离相等，则该点在该角的角平分线上。
2022年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析试题(含详解)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）．A．3 B．2 C．1 D．02、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm3、有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm4、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（ ）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°5、如图，在△ABC 中，∠B =62°，∠C =24°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交AC 的两侧于点M 、N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．70ºB ．60ºC ．50ºD ．40°6、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°7、下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（ ）A ．3，4，5B ．2，3C ．8，15，17D ．23，24，258、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°9、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．3010、如图，在△AAA 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，若30A ∠=︒，2cm CD =，则AC 的长为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．2、如图，点P 是等边△ABC 内的一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若点P ′是△ABC 外的一点，且△P ′AB ≌△PAC ，则∠APB 的度数为___．3、如图，将宽为2cm 的纸条沿BC 折叠，45CAB ∠=︒，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）4、如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为______．1n n n A B A +△的边长为______．5、如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°．现给出以下3个关系：①CD 垂直于AB ，②BE 平分∠ABC ，③∠CFE ＝∠CEF ，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．3、如图1，在平面直角坐标系AAA 中，点A (−4,0)，A (4,0)，A (0,4)，给出如下定义：若P 为△AAA 内（不含边界）一点，且AP 与△AAA 的一条边相等，则称P 为△AAA 的友爱点．（1）在A 1(0,3)，A 2(−1,1)，()32,1P -中，△AAA 的友爱点是________；（2）如图2，若P 为△AAA 内一点，且∠AAA =∠AAA =15°，求证：P 为△AAA 的友爱点；（3）直线l为过点A(0,A)，且与A轴平行的直线，若直线A上存在△AAA的三个友爱点，直接写出A的取值范围．4、已知：（1）O是∠BAC内部的一点．①如图1，求证：∠BOC＞∠A；②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，在△CDE中，DC＝DE，DG⊥CE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP．（1）求证：BP＝EP；（2）若∠BCE＝135°，试判断△PBE的形状，并给出证明．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2、B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长．【详解】如图，连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．3、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．4、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．5、A【分析】根据∠BAD ＝∠BAC −∠DAC ，想办法求出∠BAC ，∠DAC 即可解决问题．【详解】解：∵∠B ＝62°，∠C ＝24°，∴∠BAC ＝180°−86°＝94°，由作图可知：MN 垂直平分线段AC ，∴DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝24°，∴∠BAD ＝94°−24°＝70°，故选：A ．【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．7、D【分析】由题意直接根据勾股定理的逆定理即如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行分析判断即可．【详解】解：A 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B 、22223+=，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C 、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D 、∵（32）2+（42）2=81+256=337，（52）2=625，∴（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理即此时三角形不是直角三角形，故选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10、D【分析】由题意知AD BD =，30DBA A CBD ∠=∠=∠=︒，24AD BD CD ===，AC CD DA =+可求出AC 的值．【详解】解：由题意知AD BD =30DBA A CBD ∴∠=∠=∠=︒在Rt BCD 中30CBD ∠=︒24BD CD AD ∴===又 AC CD DA =+故选D ．【点睛】本题考察了垂直平分线的性质，30角的直角三角形的性质．解题的关键在于灵活运用垂直平分线与30角的直角三角形的性质．二、填空题1【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =，∴GA =23AD 故答案为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．3、2利用折叠的性质可得出△ABC 是等腰三角形，有AC =AB ；过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则得CG =2，且△CGA 为等腰直角三角形，从而可求得AC 的值，则可求得面积．【详解】如图，由折叠性质得：∠ECB =∠ACB∵DE ∥AB∴∠DCA =∠CAB =45°∵∠DCA +∠ACB +∠ECB =180° ∴1(180)67.52ACB DCA ∠=︒-∠=︒∵∠CAB +∠ACB +∠ABC =180°∴∠ABC =∠ACB =67.5°∴AB =AC即△ABC 是等腰三角形过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则CG =2，且∠ACG =∠CAB =45°∴△CGA 为等腰直角三角形∴AG =CG =2由勾股定理得：AC ==∴AB =∴重叠部分△ABC 的面积为2112)22AB CG ⨯=⨯=故答案为：2【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC是等腰三角形是本题的关键．4、2a 2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到A n B n＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△A n B n A n+1的边长为A n B n＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．5、70°【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF=()180-2+302α︒⨯︒=60°-α；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF＝MA＋ME．证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG．∵点D 关于直线AC 的对称点为E ，∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ，∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α，∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG ≌△AEM ．∴AG ＝AM ．又∵∠AMG ＝60︒，∴△AGM 为等边三角形．∴MA ＝MG ．∴MF ＝MG ＋GF ＝MA ＋ME ．（2）MF MA ME =-，理由如下：如图1所示，∵点E 与点F 关于直线AB 对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，又∵∠NAM =30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．2、①②作为条件，③作为结论，证明见解析【分析】结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案．【详解】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∵∠CFE ＝∠BCF +∠EBC ，∠BEC ＝∠A +∠EBA ，∴∠CFE ＝∠CEF∴①②作为条件，③作为结论成立．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解．3、（1）P 1、P 2；（2）见解析；（3）0＜m ＜2【分析】（1）根据A （x 1，y 1）、和B （x 2，y 2）之间的距离公式AB 即可；（2）由题意易知∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，进而可求得∠PAC =∠OCP =30°，则可得出∠ACP =∠APC =75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；（3）由题意，△ABC 在友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC=AC 三种情况，分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点()4,0A -，()4,0B 关于y 轴对称，点()10,3P 在y 轴上，∴AP 1=BP 1，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 2CP 2=∴AP 2= CP 2，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 3=CP 3BP 3BC =∴故P 3不是ABC 的友爱点，综上，ABC 的友爱点是P 1、P 2，故答案为：P 1、P 2；（2）∵点()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，∴OA=OB=OC ，AC= BC ， ∠BOC =90°，∴∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，∵15PAB PCB ∠=∠=︒，∴∠PAC =∠OCP =30°，∴∠ACP =45°+30°=75°，∴∠APC =180°－∠PAC －∠ACP =180°－30°－75°=75°，∴∠ACP =∠APC ，∴AP=AC=BC ，∴P 为ABC 的友爱点；（3）由题意，△ABC 的友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC 三种情况，若AP=BP ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，即点P 在y 轴线段OC 上，若AP=PC ，则点P 在线段AC 的垂直平分线上；若AP =BC ，则点P 在以点A 为圆心，BC 即AC 长为半径的圆上，如图，设AC 的中点为G ，则G 的坐标为（－2，2），由图可知，当直线l 为过点G 和过点()0,M m 且与x 轴平行的直线在x 轴之间时，直线l 上存在ABC 的三个友爱点，∴m 的取值范围为0＜m ＜2．【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．4、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析【分析】（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，∴∠BOC＞∠A；②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；证明：如图所示，设∠B＝x，∵OA＝OB＝OC，∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；即∠BOC＝2∠BAC．【点睛】此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．5、（1）见解析；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出答案；（2）证出∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°，则可得出结论．【详解】（1）证明：连接PC，∵AB＝AC，AF⊥BC，DC＝DE，DG⊥CE，∴AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∴PC＝PB，PC＝PE，∴PB＝PE．（2）解：△PBE的形状为等腰直角三角形；∵∠BCE＝135°，∠PGC＝∠PFC＝90°，∴在Rt△PGC和Rt△PFC中，∠FPC+∠GPC＝45°；∵AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∠FPC＝∠FPB，∠GPC＝∠GPE，∴∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°；∵PB＝PE，∴△PBE的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．。
北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明 复习
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．84．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN ＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝，DE＝．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE＝90°，∵∠DOB是直角，∠1＝25°，∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝90°+65°＝155°．故选：C．3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．8解：如上图：满足条件的点N共有（﹣2，0）（2，0）（2，0）（4，0）．故选：B．4．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解：连接．，根据作图得到．．在与中，（），，即射线是的平分线，正确，不符合题意；根据作图得到，是等腰三角形，正确，不符合题意；根据作图得到，又射线平分，是的垂直平分线，．两点关于所在直线对称，正确，不符合题意；根据作图不能得出平分，不是的平分线，．两点关于所在直线不对称，错误，符合题意．故答案为：．两点关于所在直线对称5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解：①．∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②．∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④．∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．8．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解：，于，于，，，故本选项正确；，，，，，，点在的平分线上，故本选项正确；，，，，，，正确；是的中点，无法判定，故本选项错误．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M．N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.解：在中，，为的中点，．12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等解：A．矩形的对角线相等且互相平分，是真命题；B．两点之间，线段最短，是真命题；C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；故选：C．二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．解：条件是AC＝AD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．解：垂直平分，，的周长．故答案为：．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．解：，，平分，，．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝5cm，DE＝8cm．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，，∴△ACO≌△A′C′O，∴OC＝C′O，AO＝A′O，∴BC＝B′C′，在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．证明：连接CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BF＝CF，∵FE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．解：（1）∵DE＝PE，∴∠EDP＝∠CPB＝65°，∴∠BED＝∠EDP+∠CPB＝130°，故答案为：130；（2）∵AB∥CP，∴∠ABP+∠CPB＝180°，∴∠ABP＝115°，∵∠EDP＝65°，∴∠CDE＝115°，∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．∴∠FBE＝∠ABE＝57.5°，∠FDE＝∠CDE＝57.5°，∴∠BFD＝360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°＝115°．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．。
北师大版八年级数学 下册第一章：三角形的证明 期末复习题
北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明期末复习题一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASA C．SAS D．AAS2．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(A)A．35° B．40°C．45°D．50°3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为(A)A．6 B．5 C．4 D．34．在△ABC中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，∠C＝30°，则AD的长为(C)A. 3B. 2 C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为(B)A．12 B．9 C．8 D．66．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．若等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(B)A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为(C)A．5 B．4 C．3 D．2e10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是(A) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题3分，共21分)11．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点．若∠B ＝50°，则∠DAC 的度数是40°． 12．如果三角形三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，那么它最短边上的高为8cm. 13．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC 交AC 于点E.若DE ＝7，AE ＝5，则AC 的长为12．14．如图，在锐角△ABC 中，直线PL 为BC 的垂直平分线，射线BM 为∠ABC 的平分线，PL 与BM 相交于点P.若∠PBC ＝30°，∠ACP ＝20°，则∠A 的度数为70°．15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，直线m 经过点C ，分别过点A ，B 作直线m 的垂线，垂足分别为点E ，F.若AE ＝3，AC ＝5，则线段EF 的长为1或7．16．已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6 cm ，△ABC 的面积为18 cm 2，则EF 边上的高的长是6cm.17．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为三、解答题(共69分)18．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证： (1)BD ＝CE ；(2)∠M ＝∠N.【解答】 证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM. 由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN ， ∴△ACM ≌△ABN(ASA)．19．如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．求证： (1)AC 平分∠BAD ；(2)BE ＝DE.证明：(1)在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC ＝∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)得，∠BAE ＝∠DAE.在△BAE 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE(SAS)．∴BE ＝DE.20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连接AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB ＝FE.解：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠ABC. ∵∠C ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.∴∠BAD ＝90°－36°＝54°. (2)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC.∵EF ∥BC ， ∴∠FEB ＝∠CBE. ∴∠FBE ＝∠FEB. ∴FB ＝FE.21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)，并加以证明．解：AD ＝AF. 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵DE ⊥BC ，∴∠BEF ＝∠DEC ＝90°.∴∠BFE ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠C ＝90°. ∴∠BFE ＝∠D. ∵∠BFE ＝∠DFA ，∴AD＝AF.22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．23．按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，长方形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C，D 是直线MN上的两点，点C，A，B在同一直线上，且DA⊥CA，CD＝2AD.小王看中了①号楼A 单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由． 解：过点A 作AG ⊥MN ，垂足为G. ∵CD ＝2AD ＝440，DA ⊥CA ， ∴AC ＝4402－2202＝220 3. ∵S △ACD ＝12AC ·AD ＝12CD ·AG ，∴AG ＝2203×220440＝1103≈191＜200.∴A 单元用户会受到影响，售楼人员的话不可信．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)若∠A ＝40°，求∠DBC 的度数；(3)若AE ＝6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ， ∴DB ＝DA.∴△ABD 是等腰三角形．(2)∵△ABD 是等腰三角形，∠A ＝40°， ∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∠ABC ＝∠C ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. (3)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，AE ＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.∵△CBD的周长为20，∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.25．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．解：(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBO＋∠OBC＝∠ECO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)不一定成立．理由：如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.如图4，可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．。
北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文
第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》含详细答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．52．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到A．1B．2C．D．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版八年级数学(下)第一章 角平分线
1.4角平分线一、知识点梳理1.角平分线性质定理：①角平分线平分已知角②角平分线上的点到这个角两边的距离相等2.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知角的角平分线二、经典题型总结题型一：利用角平分线的性质证明线段相等题型二：利用角平分线的性质求线段的长题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定题型四：利用角平分线的性质解决实际问题三、解题技巧点睛1.当题目中出现“角平分线”的时候马上想到角平分线的两条性质，一定会用到2.在角平分线的题目中如果出现平行线，则一定会涉及到等腰三角形3.三角形中两个底角平分线的交角与顶角的关系三角形中两个底角外角平分线的交角与顶角的关系公式：四、易错点分析在利用角平分线求角的过程中容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用角平分线的性质证明线段相等例题：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.题型二：利用角平分线的性质求线段的长例题：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，求△DBE的周长．题型三：利用角平分线的性质定理进行角平分线的判定例题：已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC.题型四：利用角平分线的性质解决实际问题例题：某大学两个分校区M、N和两条相交叉的公路,如图所示(点M,N表示校区,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两校区的距离相等，到两条公路的距离也相等。
(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你设计的理由。
六、中考真题再现（2019.甘肃.20题）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）（2019.宁夏.15题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．七、习题巩固训练1.如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE的长为（）A．2 B．1.5 C．1 D．0.52.已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°3.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°, B．110°, C．100°, D．90°4.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，PE＝6，则AB与CD之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．125.如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.57.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：58.如图，∠XOY＝90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C为垂足，若OA+OB+OC＝1，则OC＝（）A．2﹣B．C．﹣2 D．2﹣39.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D（0，），点B的横坐标为1，则点C的坐标是（）A．（0，2）B．（0，+）C．（0，）D．（0，5）10．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC 于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE （AB+BC+AC）；③BE＝（AB+BC﹣AC）；④AC＝AF+DC．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④11.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE=2，AB=6，则AC的长是_____．12.如图，已知AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线交点，过点O作OE⊥AC于E，OG⊥CD于G，延长GO交AB于F．若OE＝2，则FG的长为．13.如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则______．14.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为____cm．15.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．16.如图，AB＝BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12 cm2，则△BCD的面积为________ cm2.17.如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．18.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．19.如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在PA上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．21.如图，P为∠AOB的角平分线上的一点，PH⊥OA，垂直为H．M为PH上一点，MN⊥OB，与OP，OB的交点分别为Q，N．求证：MP＝MQ．22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：AE＝FH．23.如图，已知，OM是的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，试说明：．24．如图，是的角平分线，，，垂足分别是、，连接，与相交于点.求证：.25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC 于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．26.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．28.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．。
北师大版初中八年级数学下册单元复习课 第一章勾 股 定 理
(2)∵在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10， 如图，作 CD⊥AB，垂足为 D， S△ABC＝12 ×AC×BC＝12 AB×CD， ∴CD＝4.8， h(AB)＝AB－CD， h(AB)＝10－4.8＝5.2.
4．(2021·信阳质检)如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2 ＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角 边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在 如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四 个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α， 则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示) ①a2＋b2＋c2＋d2＝____________； ②b与c的关系为____________，a与d的关系为____________．
2.(2020·苏州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD ＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝___1___．
3．(2021·百色期中)我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与 这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高 差”等于AB－CD，记为h(AB).
解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2. (或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．) ②在题图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方 形面积的和． 即 c2＝12 ab×4＋(b－a)2，化简得：a2＋b2＝c2. 在题图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形 化 (1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题． (2)借助方程思想，通过列方程解决问题． 2．善于寻找直角三角形 (1)题目中含有直角三角形，可直接利用． (2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．
北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)
戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。
注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。
⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。
⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。
⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。
不等式： 。
变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式： 。
例2：⑴a 是正数： ；⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ；⑷x 的3倍与－2的差是负数： ；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2： 。
变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍； （2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。
北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明含答案(预热题)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长是（）A.2B.C.3D.42、在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A.25°B.40°或30°C.25°或40°D.50°3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于( )A.17B.18C.19D.204、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中符合题意的个数是（）①点D到∠BAC的两边距离相等；②点D在AB的中垂线上；③AD＝2CD④AB＝2CDA.1B.2C.3D.45、等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A.7cmB.8cmC.7cm或3cmD.3cm6、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P 在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7、等腰三角形的底角是顶角的2倍，则底角度数为（）A. B. C. D.8、如图所示，在第1个中，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的底角度数是（）A. B. C. D.9、如图，在中，，过点作交于点.若，则的度数为（）A.18°B.20°C.30°D.36°10、若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A.9B.12C.7或9D.9或1211、如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个12、如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则BC的长为（）A.5B.4C.10D.813、在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断正确的是（）①∠A=∠D时，两三角形相似；②∠A=∠E时，两三角形相似；③时，两三角形相似；④∠B=∠E时，两三角形相似。