2020年普通高校招生全国统一考试仿真模拟江苏卷(五)数学
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题2．已知函数()()0x e f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x ey a =的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围． 【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A．()B．()C．()D．()【答案】A 【解析】 【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 5．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥r r，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥r r，b ∥α，则a α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b α⊥，故本命题不正确；C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r，b ∥α，故本命题不正确.故选：C 【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤12≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x y x y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.7．已知函数()()2,211,22x a x x fx x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()212212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题. 8．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.9．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D 【解析】 【分析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16p =. 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A 【解析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i + B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+.故选B 【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B．CD【解析】 【分析】设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论． 【详解】设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =IPA ⊥Q 平面ABC PA CD ∴⊥ABC ∆Q 是等边三角形 CD AB ∴⊥又PA AB A =ICD \^平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角ABC ∆Q 是边长为33CD AE ∴==，223AF AE ==且F 为ABC ∆所在截面圆的圆心 Q 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =221OF OA AF ∴=-=PA ⊥Q 平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+37tan 7CD CPD PD ∴∠===本题正确选项：C 【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】 推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 3．已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b r r 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D【解析】【分析】 根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r 以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=r r r r . 将a b λ=r r 代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）. 故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.4．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．3B ．3CD ．【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ， 可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC AG ==︒， 即23BC = 由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴…．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯= 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=； 1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.7．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 2【答案】D【解析】试题分析：11 1ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．193B．4 C．254D．132【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M的值，当3x=，1943M=>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x=，0M=；23x=，23M=；12x=-，16M=；3x=，196M=；23x=，236M=；12x=-，103M=；3x=，1943M=>，退出循环，输出结果为193，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A．6种B．12种C．24种D．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】【分析】【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ， ∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t =，即'()0g t =， 又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．故选B ．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．11．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 12．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：程序框图． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020届江苏省高三高考全真模拟(五)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（五）数学试题一、填空题1．已知集合{}1,A a =，1,{3}0,B -=，1,0,1{,2,}3A B =-U ，则实数a 的值为_______． 【答案】2【解析】根据并集的基本运算求解即可. 【详解】因为1,0,1{,2,}3A B =-U ,1,{3}0,B -=,{}1,A a =,故2a =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据并集结果求解参数的问题,属于基础题.2．若复数(()123)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的模是_______．【答案】【解析】先化简z ,再根据模长公式求解即可. 【详解】2123()()35255z i i i i i =+-=-+=+,故z ==故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的计算等.属于基础题. 3．执行如图所示的伪代码，则输出的T 的值为_______．【答案】15【解析】根据伪代码中的循环逐步计算即可. 【详解】 由题,初始值1,1Ti ==1.5i ≤成立, 111,123T i =⨯==+=；2.5i ≤成立, 133,325T i =⨯==+=；3.5i ≤成立, 3515,527Ti =⨯==+=；4.5i ≤不成立.输出15T =. 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了根据伪代码输出结果的问题.属于基础题.4．某盒子中装有绿色小球3个、红色小球4个、橙色小球5个，从中随机抽取1个小球，则未抽到橙色小球的概率是_______． 【答案】712【解析】根据古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】由题可知, 盒子中共有34512++=个.其中非橙色小球有347+=个.故随机抽取1个小球,未抽到橙色小球的概率是712. 故答案为：712【点睛】本题主要考查了概率的基本运算,属于基础题.5．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知抽到的最小编号为5号，则抽到的最大编号为_____号． 【答案】44【解析】根据系统抽样抽出的编号成等差数列求解即可. 【详解】由题可知,抽到的编号成等差数列,且公差为52134=.故抽到的最大编号为()5411344+-⨯=.故答案为：44 【点睛】本题主要考查了样本抽样的问题,需要根据抽出的编号成等差数列求解,属于基础题. 6．函数2()ln()f x x x =-的定义域为 ． 【答案】()0,1【解析】试题分析：由题意得2001x x x ->⇒<<，即定义域为(0,1) 【考点】函数定义域7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 与左顶点A 的连线段的中点落在双曲线C 的准线上，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】2【解析】求出FA 的中点坐标,再根据横坐标等于准线方程 【详解】设点(),0F c .由题意得线段FA 的中点坐标为(,0)2c a -.所以22c a a c-=,整理得2220c ac a --=,即220e e --=,解得2e =（负值舍去）.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了根据双曲线有关的点的坐标运算,需要根据题意确定坐标,再代入方程得出关于,a c 的齐次式化简求解即可.属于基础题. 8．已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______.【答案】6π 【解析】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值. 【详解】 由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<Q ，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若312a =，24448a a +=，则4S 的值是________． 【答案】45【解析】设公比为q ,再利用等比数列各项间的关系,用3a 与q 表达24448a a +=再化简求解q ,再求4S 即可. 【详解】 设公比为q ,则33448a a q q⋅+=,即481248q q +=,解得2q =,所以13a =,故436122445S =+++=. 故答案为：45 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及各项间的关系化简.属于基础题.10．，则这个长方体的体积为______..【解析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积. 【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为,,a b c则可设：236 abacbc⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，三式相乘可知()26abc=∴长方体的体积：6V abc==本题正确结果：6【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.11．如图，在圆内接四边形ABCD中，2AB=，6BC=，4AD CD==，则AB AC⋅uu u r uuu r 的值是_______．【答案】167【解析】由圆的内接四边形有B Dπ+=,再利用,ABC ACDV V中的余弦定理可得22567AC=,进而利用平面向量的数量积公式,代入22567AC=化简求解即可.【详解】由题意得B Dπ+=,故cos cos0B D+=,所以22222222AB BC AC AD DC ACA ABB C DCD+-+-+=⋅⋅,即2222222644226244AC AC+-+-+=⨯⨯⨯⨯,解得22567AC=.而||||cosAB AC AB AC BAC⋅=⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r2222225626722AB AC BCAB AC AB AC +-+-=⋅⋅=⋅167=. 故答案为：167【点睛】本题主要考查了平面向量与解三角形综合解决平面中的数量积问题.需要根据题意 12．在平面直角坐标系xOy 中，过直线: 5l y x =-+上一点P 作直线，与圆22:(1)2C x y ++=交于点M ，N ．若M 是线段PN 的中点，则线段OP 的长是_________．【解析】根据圆心到直线的距离关系分析可知过,,P M N 的直线过圆心C 且与: 5l y x =-+垂直,再求出P 的坐标进而得到OP .【详解】由题得圆22:(1)2C x y ++=,因为CP ≥=,所以PM ≥=又因为MN ≤且PM MN =,所以PM =,即CP =此时过,,P M N 的直线过圆心C 且与: 5l y x =-+垂直,故:1MN l y x =-. 联立直线方程可得点P 的坐标为()3,2,故OP ==【点睛】本题主要考查了根据直线与圆的位置关系,需要根据直线到圆上距离的最值以及弦长小于等于半径的关系分析.属于中档题.13．在ABC V 中，已知如sin B A =，的最大值是________．【答案】1【解析】根据正弦定理可得AC =,再设2AB =,建立平面直角坐标系, 设(),C x y 根据三角函数的定义,=,再利用(),C x y 满足的轨迹方程得出y 的范围进而求得最大值即可. 【详解】解法一：因为sin B A =,所以AC =.不妨设2AB =,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系. 设(),C x y ,=化简得22880x y x +-+=,即22(4)8x y -+=.由三角函数的定义得sin A =,cos A =因为(2,0)BA =-u u u r,()2,BC x y =-u u u r ,所以o s c B =,=.==,因为22(4)8x y -+=,所以28y ≤,1=≤,当C ,即sin 3A =,cos A =,sin B =时等号成立,的最大值是1.解法二（平方消元法）：因为条件sin B A =含有sin B 和cos B ,故可以考虑平方消元.m=则sin cos cosA A m B=+,所以cossin cosAA m B-=.因为sin sinm B A=,所以22222cos si(si n sin con)())()sm B m B mA A A+=+=,化简得211sin2cos222m A A+=+.因为211sin2cos222m A A+=+)Aα=+≤其中tan4mα=.解得21m≤,所以11m-≤≤.当1m=时,312cos222A A=+,解得sin3A=,cos3A=,sin3B=,此时等号成立,的最大值是1.故答案为：1【点睛】本题主要考查了根据了三角函数求最值的问题,可考虑建立平面直角坐标系或者根据同角三角函数的关系求解.属于难题.14．已知函数223,()3,x ax a x af xx ax a x a⎧--≥=⎨-+-<⎩的图象与直线2y x=-有3个交点，则实数a的取值范围是________．【答案】|44{a a a>+<--【解析】分情况当0a=与0a>和0a<三种情况,再根据x的取值范围以及二次函数的零点存在定理数形结合分析即可.【详解】解法一：设22,(),x ax x ag x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩,()23h x x a =-+. 当0a =时,显然不成立. 当0a >时,若x a ≥,则由图象可知()g x 与()h x 的图象显然只有1个交点, 所以当x a <时,()g x 与()h x 的图象有2个交点,即关于x 的方程2(2)30x a x a -++=在(,)a -∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<⎨⎪-++>⎪⎩,解得4a >+当0a <时,若x a <,则由图象可知()g x 与()h x 的图象显然只有1个交点, 所以当x a ≥时,()g x 与()h x 的图象有2个交点,即关于x 的方程2(2)30x a x a ---=在[,)a +∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=-+>⎪-⎪>⎨⎪---⎪⎩…,解得4a <--综上,实数a的取值范围是|44{a a a >+<--.解法二：设22(2)3,()()2(2)3,x a x a x ag x f x x x a x a x a⎧---≥=+=⎨-++-<⎩. 当2a >时,()0g a a =-<,故()g x 在[,)a +∞上有1个零点,在(,)a -∞上有2个零点, 所以2(2)120a a ∆=+->,解得4a >+当2a <-时,()0g a a =->,故()g x 在(,)a -∞上有1个零点,在[,)a +∞上有2个零点, 所以2(2)120a a ∆=-+>,解得4a <--当22a -≤≤时,()g x 在(,)-∞+∞上单调递增,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是|44{a a a >+<--. 解法三：原题等价于()||g x x a =-与3()2ah x x=-的图象有3个交点. 当0a >时,由图象可知()g x 与()h x 的图象在[,)a +∞上显然只有1个交点, 只需()g x a x =-与3()2ah x x=-的图象在(,)a -∞上有2个交点, 即关于x 的方程2(2)30x a x a -++=在(,)a -∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<⎨⎪-++>⎪⎩,解得4a >+当0a <时,由图象可知()g x 与()h x 的图象在(,)a -∞上显然只有1个交点, 只需()g x x a =-与3()2ah x x=-的图象在[,)a +∞上有2个交点, 即关于x 的方程2(2)30x a x a ---=在[,)a +∞上有两个不相等的实数根,所以22(2)12022(2)30a a a a a a a a ⎧∆=-+>⎪-⎪>⎨⎪---≥⎪⎩,解得4a <--综上,实数a的取值范围是{|44a a a >+<--.故答案为：|44{a a a >+<-- 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求解参数范围的问题,需要根据函数的性质结合零点存在性定理进行分析,属于中档题.二、解答题15．α，β均为锐角，且cos α=sin β= （1）求αβ+的值； （2）求tan(2)αβ-的值．【答案】（1）4παβ+=（2）5537-【解析】(1)根据同角三角函数的关系以及两角和的余弦公式计算cos()αβ+,再根据(0,)a βπ+∈判定即可.(2)先求解tan 2β,再根据两角和的正切公式等计算tan(2)αβ-即可. 【详解】（1）解法一：因为α为锐角且cos 26α=,所以sin 26α==. 因为β为锐角且sin β=所以cos β==. 因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=-=, 又因为α,β均为锐角,所以(0,)a βπ+∈,所以4παβ+=.解法二：因为α为锐角且cos 26α=所以sin 26α==,1tan 5α=.因为β为锐角且sin β=所以cos β==,2tan 3β=.因为12tan tan 53tan()1121tan tan 153αβαβαβ+++===--⨯,又因为α,β均为锐角.所以(0,)a βπ+∈,所以4παβ+=.解法二：因为α为锐角且cos α=所以sin α==1tan 5α=.因为β为锐角且sin 13β=所以cos 13β==,2tan 3β=因为12tan tan 53tan()1121tan tan 153αβαβαβ+++===--⨯, 又因为α,β均为锐角,所以(0,)αβπ+∈,所以4παβ+=.（2）解法一：因为sin 13β=,cos 13β=所以2tan 3β=, 所以22222tan 123tan 21tan 5213βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为cos 26α=sin 26α=,所以1tan 5α=,所以112tan tan 25555tan(2)1121tan tan 237155αβαβαβ---===-++⨯. 解法二：因为4παβ+=,所以tan(2)tan 24παβαα⎡⎤⎛⎫-=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 32tan 3παα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为526cos26α=,26sin26α=所以1tan5α=,故22122tan55tan211tan121()5aαα⨯===--,所以15tan tan237512tan3151tan tan2551512aαααα++===--⨯故155tan(2)tan337αβα-=-=-.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式以及和差角的三角函数公式,需要根据题意分析角度之间的关系,选择合适的公式化简求解.属于中档题.16．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．（1）求证：//OE平面PBC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，4AC=，5AB=，4sin5ABC∠=，求证：AC PD⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)根据中位线的性质证明//OE PB即可.(2) 在ABCV中利用正弦定理可得90ACB∠=︒,再根据面面垂直的性质证明AC⊥平面PAD,进而可得AC PD⊥.【详解】证明（1）因为四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点,所以O 为BD 的中点. 又因为E 为侧棱PD 的中点, 所以//OE PB .又因为PB ⊂平面PBC ,OE ⊄平面PBC , 所以//OE 平面PBC .（2）在ABC V 中,因为4AC =,5AB =,4sin 5ABC ∠=, 由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠, 可得45sin 5sin 14ABCAB A AC CB ⨯⋅∠∠===,所以90ACB ∠=︒,即AC BC ⊥. 又因为四边形ABCD 为平行四边形, 所以//AD BC ,所以AC AD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,AC ⊂平面ABCD , 所以AC ⊥平面PAD .又因为PD ⊂平面PAD ,所以AC PD ⊥. 【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据线面垂直与面面垂直的性质证明线线垂直等,属于中档题.17．为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，有一张边长为27cm 的等边三角形纸片ABC ，从中裁出等边三角形纸片111A B C 作为底面，从剩余梯形11ABB A 中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长； （2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？ 【答案】（1）18cm （2）18cm【解析】(1) 设三棱柱的底面边长为xcm ,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可. (2)同(1)可知231(27)8V x x =-,再求导分析函数的单调性求最大值即可. 【详解】设三棱柱的底面边长为xcm ,即1AC x =, 则127A A x =-.因为ABC V 为等边三角形,所以三棱柱的高为1(27))3x x -=-.（1）因为三棱柱的底面积为21224x x x ⨯⨯=⨯,侧面积为23)(27)62x x x x ⨯⨯-=-,22)x x x =-, 解得18x =或0x =（舍去）. 即三棱柱的底面边长为18cm .（2）三棱柱的体积2231)(27)8V x x x x =⨯-=-.因为0x >,)06x ->, 所以027x <<. 因为213(543)(18)88V x x x x '=-=-, 所以当018x <<时,0V '>,故V 单调递增; 当1827x <<时,0V '<,故V 单调递减. 所以当18x =时,V 取到极大值,也是最大值,23max 1729(271818)82V =⨯-=. 即当底面边长为18cm 时,三棱柱的体积最大,为3729cm 2. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的边长,再求出体积关于边长的表达式,再求导分析最值即可.属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点、右顶点分别为F ，A ，过原点的直线与椭圆C 交于点P 、Q （点P 在第一象限内），连结PA ，QF ．若2AF =，OAP △的面积是OFQ V面积的3倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知M 为线段PA 的中点，连结QA ，QM ． ①求证：Q ，F ，M 三点共线；②记直线QP ，QM ，QA 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若13252k k k +=，求PQM V 的面积．【答案】（1）22198x y +=（2）①见解析②4【解析】(1)根据2AF =可得2a c -=,又OAP △的面积是OFQ V面积的3倍,所以3a c =,再联立求解基本量即可.(2) 设()00,P x y ,再表示出QF k ,FM k 关于()00,P x y 的表达式,化简证明QF FM k k =即可.(3)由 13252k k k +=可得01x =,代入椭圆可得8(1,)3P ,进而求出183423PQM POA S S ==⨯⨯=V V 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为2AF =,所以2a c -=. 设()00,P x y ,则OAP △的面积为012ay . 过原点的直线与椭圆C 交于点P ,Q , 所以()00,Q x y --,故OFQ V的面积为012cy . 因为OAP △的面积是OFQ V面积的3倍, 所以3a c =,解得3a =,1c =,b =所以椭圆C 的标准方程为22198x y +=.（2）①因为()00,P x y ,所以003(,)22x y M +. 因为()00,Q x y --,所以00000()1()1QF y yk x x --==--+,000023112FMy y k x x ==++-,故Q ,F ,M 三点共线. ②因为010y k x =,0201y k x =+,0303y k x =+,且13252k k k +=, 所以0000005321y y y x x x +=⋅++ 化简得200560x x +-=, 解得01x =或06x =-（舍去）,代入22198x y +=中,得20649y =因为点P 在第一象限内,所以083y =,故8(1,)3P . 因为M 为线段P A 的中点,所以12PQM PQA S S =V V . 因为O 为线段PQ 的中点, 所以12POA PQA S S =V V , 故183423PQM POA S S ==⨯⨯=V V . 【点睛】本题主要考查了椭圆中利用坐标法解决三点共线以及斜率的问题,需要根据题意设点的坐标,再表达出斜率与面积公式等.属于中档题.19．在等差数列{}n a 中为其前n 项和，且231a a +=，10145S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0122222n n a a a T a +++=+L ，求n T ； （3）若（2）中n T 满足111415n n T T ++≥，求n 的值． 【答案】（1）32n a n =-（2）n T 13225n n +=⨯--（3）1n =．【解析】(1)利用基本量法, 设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,再代入条件求解即可. (2)根据(1)中32n a n =-可表达出n T ,再根据分组与等比数列求和公式求解即可. (3) 记111()n n P n T T +=+,利用作差法可证明()()1P n P n +<,继而可得4()15P n ≤,结合111415n n T T ++≥可知1n = 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则2311122311a a a d a d a d +=+++=+=,1011045145S a d =+=,解得11a =,3d =,所以1(1)32n a a n d n =+-=-, 即数列{}n a 的通项公式为32n a n =-. （2）0122222n n a a a T a +++=+L()()(01322322322)n =⨯-+⨯-+⋯+⨯-()01322222n n =⨯+++--L11232212n n +-=⨯---13225n n +=⨯--.（3）因为()211322(1)53225n n n n T T n n +++⎡⎤-=⨯-+--⨯--⎣⎦13220n +=⨯->,所以1n n T T +>.又因为150T =>.所以0n T >,故111n nT T +<. 记111()n n P n T T +=+, 则2111111(1)()n n nn P n P n T T T T +++⎛⎫⎛⎫+-=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21111110n n n nT T T T +++=-+-< 所以()()1P n P n +<. 又因为114(1)51515P =+=,所以4()15P n ≤, 因为111415n n T T ++≥,所以1n =. 【点睛】本题主要考查了基本量求解等差数列通项公式的问题,同时也考查了等比数列的求和以及作差法分析数列的单调性以及不等式的问题,属于中档题.20．已知函数()xf x e ax =-，其中e 是自然对数的底数（1）若()()()g x f x f x =+-，求()g x 的最小值；（2）记f （x ）的图象在x t =处的切线的纵截距为()h t ，求()h t 的极值； （3）若()f x 有2个零点()1212,x x x x <，求证：12112x x +>． 【答案】（1）2（2）极大值1，无极小值．（3）见解析 【解析】(1)利用基本不等式求解即可.(2)利用导数的几何意义可得()f x 的图象在x t =处的切线方程,进而求得截距()()1t h t t e =-,再求导分析单调性与极值即可.(3)讨论单调性可得0a ≥,再设()211x tx t =>,再根据零点可知11e xax =,22ex ax =,继而化简可得1ln 1t x t =-,2ln 1t t x t =-.将原不等式转换为证明12ln 0t t t -->,再构造函数求导分析单调性与最小值证明即可. 【详解】（1）因为()()()e e 2x x g x f x f x -=+-=+≥=, 当且仅当0x =时等号成立,所以()g x 的最小值为2. （2）因为()xf x e a '=-,所以()tf t e a '=-.因为()tf t e at =-,所以()f x 的图象在x t =处的切线方程为()()()t t y e at e a x t --=--.令0x =,得()()1th t t e =-,所以()th t te '=-,所以当0t <时,()0h t '>,故()h t 单调递增; 当0t >时,()0h t '<.故()h t 单调递减.所以当0t =时,h （t ）取到极大值,为1,无极小值.（3）因为()xf x e a '=-,所以当0a ≤时,()0f x >′,故()f x 单调递增, 所以()f x 至多有1个零点,故0a ≥. 因为()111e 0xf x ax =-=,所以11e 0xax =>,故1>0x . 因为12x x <,所以20x >. 设()211x tx t =>. 因为11e xax =,22ex ax =,两式相除得21e x x t -=,所以21111(1)ln x x tx x t x t -=-=-=, 解得1ln 1t x t =-,2ln 1t tx t =-. 要证12112x x +>, 即证112ln ln t t t t t--+>, 即证212ln t t t ->, 即证12ln 0t t t-->. 设1()2(ln 1)m t t t tt =-->,则22121()1(1)0mt t t t t'=+-=-> 故()m t 单调递增, 所以()()10m t m >=, 因此原命题得证. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数求解函数的单调性与极值的问题,同时也考查了利用导数解决零点有关的不等式问题.需要根据题意设()211x tx t =>,再将所证不等式化简成关于t 的不等式,进而求导分析单调性与最值证明即可.属于难题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1P 在矩阵23a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,3P '，求矩阵M 的特征值． 【答案】特征值为1和3． 【解析】根据矩阵变换计算可得1,0,a b =⎧⎨=⎩代入M 计算特征值即可.【详解】由21233133a a b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,解得1,0,a b =⎧⎨=⎩所以1203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M , 所以12()(1)(3)03f λλλλλ--==---.令()0f λ=,得1λ=或3λ=,即矩阵M 的特征值为1和3. 【点睛】本题主要考查了矩阵变换以及特征值的计算等.属于基础题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）．若曲线C 与直线:l y x =相交于点A ，B ，求线段AB 的长． 【答案】4【解析】将11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩上下平方再分析可得2212y x -=,再联立直线:l y x =与曲线C 的直角坐标方程可得点A ,B ,坐标,进而求得线段AB 的长. 【详解】解法一：将曲线C的参数方程1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩,即22222211241122x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩化为普通方程得2212y x -=联立2212y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以A,(B ,所以4AB ==.解法二：将曲线C的参数方程1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩代入直线l 中,得221)t =,解得1t =或1)t =-,所以A,(B ,所以4AB ==【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化,同时也考查了联立方程求解弦长的问题,属于中档题.23．已知1x ≥-，1y ≥-，且33+1x y ≤，求证223x y x y +++≤． 【答案】见解析【解析】利用作差法证明321x x x ≥++与321y y y ≥++即可证明223x y x y +++≤.【详解】证明：因为1x ≥-,所以3221()(1)(1)0x x x x x +-+=-+≥, 故321x x x ≥++. 同理可得321y y y ≥++.所以2233113x x y y x y ++++++≤≤. 【点睛】本题主要考查了作差法证明不等式的问题,需要根据题意配凑需要证明的不等式,属于中档题.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C y px =的准线方程为1x =-． （1）求p 的值；（2）过抛物线C 的焦点的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，交抛物线C 的准线于点P ，若A 为线段PB 的中点，求线段AB 的长． 【答案】（1）2（2）92【解析】(1)根据抛物线的准线标准方程求交集即可.(2) 设直线l 的方程为()1y k x =-,()()1122,,,A x y B x y 联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理以及中点坐标表达A 为线段PB 的中点,代入可得14233k y k =-,28233ky k =+.再代入韦达定理124y y =-化简求解得28k =,继而利用弦长公式求解线段AB 的长即可. 【详解】 （1）因为12p-=-,所以2p =. （2）因为直线l 交抛物线C 的准线于点P ,所以直线l 存在斜率. 设直线l 的方程为()1y k x =-,()()1122,,,A x y B x y .令1x =-,得2y k =-,所以(1,2)P k --.由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,得2440ky y k --=. 因为直线l 与抛物线C 有两个交点,所以0k ≠,且22(4)4(4)16160k k k ∆=---=+>, 所以124y y k+=,124y y =-. 因为A 为线段PB 的中点, 所以1222y y k =-.由1212422y y k y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得14233k y k =-,28233k y k =+. 因为12428243333k k y y k k ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 化简得422278(8)(1)0k k k k --=-+=, 解得28k =,故92AB ===. 【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理与中点坐标公式等化简求解斜率的问题,同时也考查了弦长的公式与计算.属于中档题.25．已知集合1,2,3,},{A m =⋯，数列{})3(n a n ≥满足n a A ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，记满足n S t =的数列{}n a 的个数为(),f n t ．（1）若2m =，求()4,5f ，()5,7f ； （2）若3m =，求(),22f n n -，(),22f n n +． 【答案】（1）()4,54f =，(5,7)10f =（2）22220(,22)n rn r nn rr f n n C C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---=-=∑．22222(,22)C Cn r r r nn rr f n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+-=+=∑．【解析】(1)根据(),f n t 的定义,结合组合数求解即可.(2) 因为{}1,2,3n a ∈,故设数列{}n a 中有p 个1,q 个2,r 个3,再分别分析当22n S n =-与22n S n =+时r 满足的范围,再根据组合数的方法求解即可.【详解】（1）由题意得12345a a a a +++=且{}1,2n a ∈, 所以数列{}n a 中有一个为2,其余为1, 故()144,54f C ==,同理可得25(5,7)C 10f ==.（2）因为{}1,2,3n a ∈,所以设数列{}n a 中有p 个1,q 个2,r 个3, 则p q r n ++=.① （i ）因为22n S n =-, 所以2322p q r n ++=-.② 由①和②得22q r n +=-, 所以22q n r =--. 因为220q n r =--≥,所以22n r -≤. 又因为r ∈N ,所以22n r -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦（22n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为22n -的整数部分） 又因为22q n r n r =--≤-, 所以2r ≥-,即202r n -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦, 所以22220(,22)n rn r nn rr f n n C C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---=-=∑.（ⅱ）因为22n S n =+, 所以2322p q r n ++=+.③ 由①和③得22q r n +=+, 所以22q n r =+-. 因为220q n r =+-≥,所以22n r +≤. 又因为r ∈N , 所以22n r +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦（22n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦为22n +的整数部分）又因为22q n r n r =+-≤-, 所以2r ≥,即222r n +⎡≤⎤≤⎢⎥⎣⎦, 所以22222(,22)C Cn rr r nn rr f n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+-=+=∑.【点睛】本题主要考查了数列的新定义问题,需要根据所给的信息列出(),f n t 满足的关系式,分析其中的元素的个数,再结合组合数分析即可.属于难题.。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)
22．（ 10 分） 在直角坐标系
xoy 中， 点
P（
0，﹣
1），曲线
??1：
{
??= ??=
?-1???+???????????（??t?为??参数），
其中 0≤α＜π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ+ρcos2θ＝
8sinθ．
（Ⅰ）若
??=
??，求 4
C1 与
??= 6 ∴ a+b＝﹣ 2．
故答案为：﹣ 2．
2．（ 5 分）已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，则 A∩（ ? UB） ＝ {2}
【解答】 解：∵全集 U＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，
﹣ ANC 与四棱锥 P﹣ ABCD 的体积的比值为
．
9．（ 5 分）已知点 P（ 2，2 √2）为抛物线 y2＝ 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是
．
10．（ 5 分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为
48π，则圆柱的
侧面积为
．
11．（ 5 分）设 [ x]表示不超过 x 的最大整数，如 [ π] ＝ 3，[ ﹣ 3.2] ＝﹣ 4，则 [ lg1]+[ lg2]+[ lg3]+ …
1 ．
4
【解答】 解：设平行四边形 ABCD 的面积为 2S，则三角形 ABC 的面积为 S；设四棱锥 P
﹣ ABCD 的高为 2h，则三棱锥 N﹣ ABC 的高为 h，
∵ N 为线段 PB 的中点，
2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷五(含附加题)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上1．设集合(){}2lg 1A x y x ==-，{}3,0x B y y x ==>，则A B =I ________． 2．复数()z=i 1+2 i 的虚部________．3．以双曲线2213y x -=的椭圆的标准方程为________． 4．正实数a ，b ，c 满足：131log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313log c c =，a ，b ，c 的大小关系是________． 5．函数sin 221y x x =+的值域________．6．设()f x 是定义在R 上的偶函数且()()3f x f x +=对x R ∈恒成立，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x π=，则12320202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．7．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，则9S =________． 8．在[]2,2-上随机地取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为________．9．如图，在ABC V 中，AB AC >，BC =60A =︒，ABC V的面积为，则角平分线AD 的长等于________．10．ABC V 中，13AM AB =，14AN AC =，线段BN 与CM 交于点P ．若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=________．11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________．12．三棱锥P ABC -的底面ABC V 是边长为3的正三角形，3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -的体积为________．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，若3AF BF =，则AB =________．14．已知函数()()()()10ln 10x x e x f x x x x⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，关于x 的方程()()()21220f x t f x t -++=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则t 的取值范围是________．二．解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，()m a =u r，()cos ,sin n A B =r ，向量m u r 与向量n r平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2b =，求ABC V 的面积．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为边AB 的中点，将正方形沿DE 折成直二面角，连接AC ，AB ，得到四棱锥A CDEB -，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF P 平面ABC ；（Ⅱ）求四面体FBEC 的体积．17．某公园有一块边长为6百米的正ABC V 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将ABC V 分成面积之比为2∶1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）（Ⅰ）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值．18．如图，椭圆E ：2215x y +=，经过E 的左焦点F ，斜率为()110k k ≠的直线l 与E 交于A ，B 两点．（Ⅰ）当11k =时，求AB ；（Ⅱ）给定()1,0R ，延长AR ，BR 分别与椭圆E 交于点C ，D ，设直线CD 的斜率为2k ． 证明：12k k 为定值，并求此定值． 19．已知函数()()ln 11f x x x ax x =---，a R ∈．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a >时，求证：函数()()1g x f x =+恰有两个零点．20．给定数列1a ，2a ，…，n a ，对1i =，2，…，1n -，该数列前i 项1a ，2a ，…，i a 的最小值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，…，n a 的最大值记为i B ，令i i i d B A =-． （Ⅰ）设数列{}n a 为2，1，6，3写出1d ，2d ，3d 的值；（Ⅱ）设1a ，2a ，…，()4n a n ≥是等比数列，公比01q <<，且10a >，证明：1d ，2d ，…，1n d -是等比数列；（Ⅲ）设1d ，2d ，…，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：1a ，2a ，…，1n a -是等差数列．数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知二阶矩阵A 有特征值14λ=及其对应的一个特征向量111α⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，特征值21λ=-及其对应的一个特征向量211α⎛⎫= ⎪-⎝⎭u r ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线l 的参数方程是1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为：ρθ=，直线l 与曲线C 交于O ，A 两点．（Ⅰ）求直线l 的普通方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上一点，求满足POA S V 的点P 有多少个？ C ．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()212f x x x =---，()1g x x =+． （Ⅰ）求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）当(]2,1x a a ∈-+时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =．（Ⅰ）求直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小． 23．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅱ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五数学Ⅰ答案二．解答题15．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由()11112514324372a d a d a d a d +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=+-+=⎩⎪⎩． ∴()1121n a a n d n =+-=-．123b a ==，()499117812b S ⨯+===．∴34127b q b ==，113n n n b b q -=⋅=． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，213n nn c -=，则 ()()2111111323213333n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯①()()2311111113232133333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯② ①－②得：()231211111122221333333n n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯ ()121111331122113313n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯--⨯-． ∴113n n n T +=-．又∵11033n n +<≤∴113n T ≤<． 16．解：（Ⅰ）证明：取线段AC 的中点M ，连接MF ，MB ．。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
【精品高考数学】[2020年江苏高考仿真模拟卷-数学]+答案
2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。
2020江苏高考数学模拟数学试题五
2020年江苏高考数学全真模拟试卷（五）（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={1,a },B ={－1,0,3},A U B ={－1,0,1,2,3},则实数a 的值为 ▲ ．2.若复数z =(1＋2i )(3－i),其中i 为虚数单位,则z 的模是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的T 的值为 ▲ ．4.某盒子中装有绿色小球3个、红色小球4个、橙色小球5个,从中随 机抽取1个小球,则未抽到橙色小球的概率是 ▲ ．5.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知抽到的最小编号为5号,则抽到的最大编号 为 ▲ 号．6.函数y =ln(x －x 2)的定义域是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲C : x 2a 2－y 2b 2=1 (a >0,b>0)的右焦点F 与左顶点A 的连线段的中点落在双曲线C 的准线上,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8.若函数f (x ) = sin （2x+φ） (0＜φ＜π2 )图象的一条对称轴方程为x=π6 ，则φ的值为 ▲ ．9.已知数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和．若a 3=12,4a 2+a 4=48,则S 4的值是 ▲ ． 10.若长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 , 则该长方体的体积为 ▲ ．（第3题图）11.如图,在圆内接四边形ABCD 中,AB =2,BC =6,AD =CD =4, 则AB → ・AC → 的值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，过直线l ：y =－x ＋5上一点P 作 直线,与圆C :x 2+(y +1) 2=2交于点M ，N .若M 是线段PN 的中点,则线段OP 的长是 ▲ ． 13.在△ABC 中,已知如sin B= 2 sin A ,则sin A 2 cos A ＋cos B的最大值是 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax －3a ， x ≥a ，－x 2＋ax －3a ，x ＜a ， 的图象与直线y =－2x 有3个交点,则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)α，β均为锐角，且cos α=526 26 , sin β=21313 .(1)求α＋β的值; (2)求tan （α－2β）的值.16.(本小题满分14分)如图,在四校锥P -ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,E 为侧棱PD 的中点，O 为AC 与BD 的交点. (1) 求证: OE ∥平面PBC ;(2) 若平面P AD ⊥平面ABCD ,AC =4,AB =5,sin ∠ABC =45,求证: AC ⊥PD .17.(本小题满分14分)（第11题）（第16题）OACDBEP为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: x2a2＋y2b2=1 (a>b>0)的右焦点、右顶点分别为F,A,过原点的直线与椭圆C交于点P,Q(点P在第一象限内),连结PA,QF.若AF=2,△OAP的面积是△OFQ面积的3倍.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 已知M为线段P A的中点,连结QA,QM.①求证: Q,F,M三点共线;②记直线QP,QM,QA的斜率分别为k1,k2,k3,若k1＋k3＝52k2,求△PQM的面积. ACA1B1（第17题）（第18题）19.(本小题满分16分)在等差数列{a n}中为其前n项和,且a2＋a3＝1,S10＝145.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若a1＋a2＋a22＋…＋a2n,求T n ;(3) 若(2)中T n满足1T n＋1T n＋1≥415,求n的值.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x－ax,其中e是自然对数的底数(1) 若g(x)=f(x)+f(－x),求g(x)的最小值;(2) 记f(x)的图象在x=t处的切线的纵截距为h(t),求h(t)的极值;(3) 若f(x)有2个零点x1,x2(x1<x2),求证:1x1＋1x2＞2.2020年江苏高考数学全真模拟试卷(五)（南通教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,点P (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 3对应的变换作用下得到点P'(3,3),求矩阵M 的特征值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12 (t ＋1t )，y ＝ 2 2 (t －1t)， (t 为参数).若曲线C 与直线l :y =x相交于点A ,B ,求线段AB 的长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ≥－1,y ≥－1,且x 3＋y 3≤1,，求证x ＋y ＋x 2＋y 2≤3.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C :y 2=2px 的准线方程为x =－1. (1) 求p 的值;(2) 过抛物线C 的焦点的直线l 交抛物线C 于点A ,B ,交抛物线C 的准线于点P ,若A 为线段PB 的中点,求线段AB 的长.23.(本小题满分10分)已知集合A ={1,2,3,…,m },数列{a n }(n ≥3)满足a n ∈A ,S n 为数列{a n }的前n 项和,记满足S n =t 的数列{a n }的个数为f (n ,t )(1)若m =2,求f (4,5), f (5,7);(2)若m =3,求f (n ,2n －2),f (n ,2n ＋2).（第22题）。
2020年江苏省泰州中学高考数学五模试卷
2020年江苏省泰州中学高考数学五模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x|x >0}，B ={−1,0，1，2}，则A ∩B 等于______．2. 设i 是虚数单位，复数z 满足(3+4i)z =4−3i ，则复数z 的虚部为______．3. 执行如图的程序框图，如果输入i =6，则输出的S 值为______．4. 函数y =√3−2x −x 2的定义域是______．5. 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为______ ．6. 若x ，y 满足不等式组{x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1，则3x +2y 的最大值为______．7. 已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出四个命题：①若m//n ，m ⊥α，则n ⊥α②若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n ③若m//α，m ⊥β，则α⊥β④若α⊥β，m//α，则m ⊥β 其中正确命题的序号是______．8. 等差数列{a n }的公差为2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，若S 20=40，则a 1+a 3+a 5+a 7…+a 19=______． 9. 若双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为______．10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx −y +4=0与直线l 2：x +ky −3=0相交于点P ，则当实数k变化时，点P 到直线4x −3y +10=0的距离的最大值为______．11. 已知点P 在△ABC 内，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并设△PCB ，△PCA ，△PAB 的面积依次S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=______．12. 已知函数f(x)={4x −x 2,x ≥03x,x <0，若函数g(x)=|f(x)|−3x +b 有三个零点，则实数b 的取值范围为______．13. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)，若方程f(x)=35的解为x 1，x 2(0<x 1<x 2<π)，则x 1+x 2=______，sin(x 1−x 2)=______．14. 已知x 1，x 2是函数f(x)=x 2+mlnx −2x ，m ∈R 的两个极值点，若x 1<x 2，则f(x 1)x 2的取值范围为______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bcosA −ccosB =(c −a)cosB ．(1)求B 的大小；(2)若D 在BC 边上，BD =2DC =2，△ABC 的面积为3√3；求sin∠CAD ．16. 如图，在四棱锥PABCD 中，M 是PA 上的点，△ABD 为正三角形，CB =CD ，PA ⊥BD ．(1)求证：平面MBD ⊥平面PAC ；(2)若∠BCD =120°，DM//平面BPC ，求证：点M 为线段PA 的中点．17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，焦距为2√2，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B．(1)求椭圆M的方程；(2)设P(−2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C、D与点Q(−74,12)共线，求斜率k的值．18.某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD(如图).经测量，AB长为2百米，CD长为6百米，AB与CD相距2百米，田地内有一条笔直的小路EF(E在BC上，F在AD上)与AB平行且相距0.5百米．现准备从风景区入口处A出发再修一条笔直的小路AN与BC交于N，在小路EF与AN的交点P处拟建一座瞭望塔．(1)若瞭望塔P恰好建在小路AN的中点处，求小路AN的长；(2)两条小路EF与AN将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区．求观赏区面积S的最小值．19. 已知函数f(x)=ae x +2e −x +(a −2)x(a ∈R,e 是自然对数的底数)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x >0时，f(x)≥(a +2)cosx ，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }是首项为1的等差数列，数列{b n }是公比不为1的等比数列，且满足a 1+a 2=b 2，a 2+a 3=b 3，a 4+a 5=b 4．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)令c n =a n+2b n+2(an b n +1)(a n+1b n+1+1)(n ∈N ∗)，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求证：对任意的n ∈N ∗，都有1<S n <43；(3)若数列{d n }满足d 1=1，d n +d n+1=b n ，记T n =∑dkb 2kn k=1，是否存在整数λ，使得对任意的n ∈N ∗都有1≤λT n −dnb 2n<2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21. 已知矩阵A =[4001]，B =[1205]，列向量X =[b a ]． (1)求矩阵AB ；(2)若B −1A −1X =[15]，求a ，b 的值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为(2√2,3π4)，直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π4)+2√2=0．(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．23.在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．(1)如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；(2)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？24. (1)填空：C n−1m +C n+1m+1=C m n 及mn C nm =C y m+1(n ≥2,n ∈N ∗,m ∈N ∗).则x =______y =______(结果用m ，n 表示)(2)已知f(n)=12C n 0−13C n 1+14C n 2+⋯…+(−1)n 1n+2C nn ，n ∈N ∗.猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论．答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解：由集合A={x|x>0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B={x|x>0}∩{−1,0，1，2}={1，2}．故答案为：{1,2}．直接由交集的运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】−1【解析】解：由(3+4i)z=4−3i，得z=4−3i3+4i =(4−3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−25i25=−i，∴复数z的虚部为−1．故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】21【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+⋯+6=21．故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4.【答案】[−3,1]【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的定义域，一元二次不等式的解法，属于基础题．根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案． 【解答】解：由3−2x −x 2≥0得：x 2+2x −3≤0， 即(x +3)(x −1)≤0， 解得：x ∈[−3,1]， 故答案为：[−3,1]．5.【答案】29【解析】解：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3×3=9种放法在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法 ∴在1，2号盒子中各有1个球的概率为29 故答案为：29确定所有放法，求出在1，2号盒子中各有1个球的放法，即可得到结论． 本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：作出x ，y 满足不等式组{x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1的可行域如图：易知可行域为一个三角形，由{x +y =1x −y =1解得A(1,0)，令z =3x +2y ，当目标函数z =3x +2y 经过可行域的A 时，直线在y 轴上的截距取得最大值，此时z =3x +2y 取得最大值3， 故答案为：3．先根据约束条件画出可行域，z =3x +2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本小题考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.【答案】①③【解析】解：对于①，m//n，m⊥α时，由线面垂直的判定定理得n⊥α，①正确；对于②，当α//β，m⊂α，n⊂β时，有m//n或m、n异面，②错误；对于③，当m//α，m⊥β时，过m作平面γ，使γ∩α=n，则n//m，且n⊥β，∴α⊥β，③正确；对于④，当α⊥β，m//α时，有m//β或m⊂β或m与β相交或m⊥β，④错误．综上，正确的命题序号是①③．故答案为：①③．根据空间中的线线、线面、面面间的位置关系，结合几何符号与空间想象，对选项中的命题判断正误即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系与应用问题，是基础题．8.【答案】10【解析】解：由题意可得，S20=20a1+20×192×2=40，解可得，a1=−17，则a1+a3+a5+a7…+a19=10a10=10(−17+9×2)=10．故答案为：10由已知结合等差数列的求和公式可求a1，然后结合等差数列的性质及通项公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．9.【答案】y=±√52x【解析】解：因为双曲线x24−y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)，∴c=3∴4+b2=32即b2=5∴双曲线为x24−y25=1，令x24−y25=0，即y=±√52x故答案为：y=±√52x根据双曲线和抛物线的性质，求出焦点坐标，然后求出b 2，最后根据x 24−y 25=0，求出双曲线的渐近线方程本题主要考查了双曲线和抛物线的性质，属于基础题．10.【答案】92【解析】解：根据题意，直线l 1的方程为kx −y +4=0，恒过点(0,4)，直线l 2的方程为x +ky −3=0，恒过点(3,0)，且有k ×1+(−1)×k =0，即直线l 1与直线l 2垂直，若两直线相交于点P ，则点P 在以(0,4)和(3,0)为端点的圆上，则P 的轨迹方程为(x −32)2+(y −2)2=254，其圆心为(32,2)，半径r =52，圆心(32,2)到直线4x −3y +10=0的距离d =|4×32−3×2+10|√16+9=2，则点P 到直线4x −3y +10=0的距离的最大值为d +r =2+52=92； 故答案为：92根据题意，由直线l 1、直线l 2的方程分析其恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P 的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析P 的轨迹，属于基础题．11.【答案】5：4：3【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作四边形， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以△AEP 与△AFP 的面积相等，设面积为1， 则△PAB 的面积为S 3=3， △PAC 的面积S 2=4， 因为PF//AB ，CF AC =34， 所以S △PABS△ABC=14，所以△ABC 的面积为S =3×4=12， 所以△PBC 的面积S 1=12−3−4=5，所以S 1：S 2：S 3=5：4：3． 故答案为：5：4：3．作图使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作四边，由向量的加法法则可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设S △AEP =S △AFP =1，再利用同底或等高分析面积S 1，S 2，S 3，即可得出答案． 本题考查共线向量，面积比，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】(−∞,−6)∪(−14,0]【解析】 【分析】本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．求出函数ℎ(x)=|f(x)|−3x 的解析式，画出函数的图象，利用函数的最值，转化求解即可． 【解答】解：函数f(x)={4x −x 2,x ≥03x ,x <0，若函数g(x)=|f(x)|−3x +b 有三个零点，就是ℎ(x)=|f(x)|−3x 与y =−b 有3个交点， ℎ(x)={x −x 2,0≤x ≤4x 2−7x,x >4−3x −3x,x <0，画出两个函数的图象如图：当x <0时，−3x −3x ≥6，当且仅当x =−1时取等号，此时−b >6，可得b <−6； 当0≤x ≤4时，x −x 2≤14，当x =12时取得最大值，满足条件的b ∈(−14,0]． 综上，b ∈(−∞,−6)∪(−14,0]． 故答案为：(−∞,−6)∪(−14,0]．13.【答案】2π3−45【解析】解：∵函数f(x)=sin(2x−π6)，若方程f(x)=35的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，∴2x1−π6+(2x2−π6)=2×π2，则x1+x2=2π3，因为0<x<π，∴2x−π6∈(−π6,11π6).又因为方程f(x)=35的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，x1+x2=2π3，∴x2=2π3−x1，∴sin(x1−x2)=sin[x1−(2π−x1)]=sin(2x1−2π)=−cos(2x1−π).由0<x1<x2<π，可得0<x1<π3，故2x1−π6∈(−π6,π2).再根据sin(2x1−π6)=35，可得cos(2x1−π6)=45，故sin(x1−x2)=−cos(2x1−π6)=−45．故答案为：2π3；−45．由题意利用正弦函数的图象的对称性求出x1+x2的值．由已知可得x2=2π3−x1，结合x1<x2求出x1的范围，再由sin(x1−x2)=−cos(2x1−π6)，求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．14.【答案】(−32−ln2,0)【解析】解：因为f(x)=x2−2x+mlnx，t′(x)=2x2−2x+mx，所以f(x)有两个极值点x1、x2等价于方程2x2−2x+m=0在(0,+∞)上有两个不等的正根．∴{△=4−8m>0x1+x2=1>0x1x2=m2>0⇒0<m<12.0<x1<12，则f(x1)x2=x12−2x1+mlnx1x2=(1−x1)2−11−x1+2x1lnx1=1−x1+1x1−1+2x1lnx1．令g(x)=1−x+1x−1+2xlnx，(0<x<12).g′(x)=2lnx+1−1(x−1)2∵0<x<12，∴2lnx+1<−2ln2+1<0．∴0<x<12时，g′(x)<0．故g(x)在(0,12)递减，−32−ln2<g(x)<0． 则f(x 1)x 2的取值范围为(−32−ln2,0)．故答案为：(−32−ln2,0)．可得方程2x 2−2x +m =0在(0,+∞)上有两个不等的正根． {△=4−8m >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=m2>0⇒0<m <12.0<x 1<12，则f(x 1)x 2=x 12−2x 1+mlnx 1x 2=(1−x 1)2−11−x 1+2x 1lnx 1=1−x 1+1x 1−1+2x 1lnx 1．令g(x)=1−x +1x−1+2xlnx ，(0<x <12).利用导数即可求得f(x 1)x 2的取值范围故答案．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．15.【答案】解：(1)∵bcosA −ccosB =(c −a)cosB ．由正弦定理可得，sinBcosA +sinAcosB =2sinCcosB ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosB ， 因为sinC ≠0， 所以cosB =12， 故B =13π；(2)S △ABC =12AB ⋅BCsinB =12×AB ×3×√32=3√3，故AB =4，△ABD 中，由余弦定理可得，cosB =12=AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD=16+4−AD 22×4×2，解可得，AD =2√3，易得AD 2+BD 2=AB 2，即AD ⊥DB ，AC =√13， Rt △ADC 中，sin∠DAC =√13=√1313【解析】(1)由已知结合正弦定理及和角公式进行化简可求cos B ，进而可求B ； (2)由已知结合余弦定理可求AD ，然后结合勾股定理及锐角三角函数即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】证明：(1)取BD 的中点O ，连结OA ，OC ，∵△ABD 为正三角形，∴OA ⊥BD ．∵CB =CD ，∴OC ⊥BD ．在平面ABCD 内，过O 点垂直于BD 的直线有且只有一条，∴A，O，C三点共线，即AC⊥BD．∵PA⊥BD，AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAC．(2)(证法1)延长BC，AD，交于Q点，连结PQ，如图1；∵DM//平面BPC，DM⊂平面PAQ，平面BPC∩平面PAQ=PQ，∴DM//PQ．在△CBD中，∵CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴∠ABC=30°+60°=90°，∴△ABO为直角三角形．∵在Rt△ABQ中，∠BAQ=60°，∴AQ=2AB=2AD，∴点D是AQ的中点，∴点M为线段PA的中点．(证法2)取AB的中点N，连结MN和DN，如图2；易算得∠ABC=90°，即AB⊥BC．∵△ABD为正三角形，∴DN⊥AB．又DN，BC，AB共面，∴DN//CB．∵DN⊄平面BPC，CB⊂平面BPC，∴DN//平面BPC ．DM//平面BPC ，DN ，DM ⊂平面DMN ， ∴平面DMN//平面BPC ．∵MN ⊂平面DMN ，∴MN//平面BPC ． ∵MN ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面BPC =PB ， ∴MN//PB ． ∵N 是AB 的中点， ∴M 为线段PA 的中点．【解析】(1)取BD 的中点O ，连结OA ，OC ，证明A ，O ，C 三点共线，得出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，证明BD ⊥平面PAC ，平面MBD ⊥平面PAC ；(2)(证法1)延长BC ，AD ，交于Q 点，连结PQ ，证明DM//PQ ，得出点M 为线段PA 的中点． (证法2)取AB 的中点N ，连结MN 和DN ，证明DN//CB ，MN//PB ，得出M 为线段PA 的中点． 本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意可知：2c =2√2，则c =√2，椭圆的离心率e =c a =√63，则a =√3，b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆M 的标准方程为x 23+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线PA 的斜率k PA =y 1x 1+2，直线PA 的方程为y =y1x 1+2(x +2)，联立{x 2+3y 2=3y =y 1x 1+2(x +2)，消去y 整理得(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12−3x 12−12x 1−12)=0，由x 12+3y 12=3代入上式得，整理得(4x 1+7)x 2+(12−4x 12)x −(7x 12+12x 1)=0，x 1⋅x C =−7x 12+12x 14x 1+7，x C =−7x 1+127+4x 1，则y C =y 1x1+2(−7x 1+127+4x 1+2)=y17+4x 1，则C(−7x 1+127+4x 1,y17+4x 1)，同理可得：D(−7x 2+127+4x 2,y27+4x 2)，由Q(−74,12)，则QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 1+7),2y 1−4x 1−72(7+4x 1))，QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14(4x 2+7),2y 2−4x 2−72(7+4x 2))， 由C 、D 与点Q(−74,12)共线可得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 则14(4x1+7)⋅2y 2−4x 2−72(7+4x 2)=14(4x2+7)⋅2y 1−4x 1−72(7+4x 1)，整理得y 1−y 2=2(x 1−x 2)，则直线AB 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=2，∴k 的值为2．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式即可求得a 的值，即可求得b 的值，求得椭圆方程；(2)求得直线PA 的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，即可求得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，根据向量的共线定理，即可求得直线AB 的斜率． 本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题．18.【答案】解：过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线，垂足分别为Q 、M 、G ．如图所示：(1)因为P 是AN 的中点，所以MN =2PQ =1 由已知条件易知△CBG 是等腰直角三角形， 所以BM =MN =1，所以AM =AB +BM =2+1=3．在直角三角形AMN 中，由勾股定理的AN =√AM 2+MN 2=√32+12=√10． 答：小路AN 的长为√10百米；(2)以直线CD 所在直线为X 轴，边CD 的垂直平分线为Y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 如图所示：设P(t,12),t ∈[0,32)则直线AP ：y =12(t+1)(x +1)． 联立直线BC ：y =x −1得y N =22t+1 所以△PEN 的高为 22t+1−12=3−2t2(2t+1)． 所以S =12⋅(t +32)⋅12+12⋅(32−t)⋅3−2t2(2t+1)=12⋅2t 2−t+32t+1．令2t +1=m ∈[1,4) 则S =14⋅m 2−3m+8m =14⋅(m +8m −3)≥√2−34所以当m =2√2即t =√2−12时，S 的最小值为√2−34． 答：观赏区面积S 的最小值为(√2−34)平方百米．【解析】(1)直接利用辅助线的垂线的做法进行应用，最后利用勾股定理的应用求出结果． (2)利用直线方程的应用和基本不等式的应用求出最小值．本题考查的知识要点：勾股定理，基本不等式，直线方程的求法，坐标系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)f′(x)=ae x −2e −x +(a −2)=ae2x +(a−2)e x −2e x，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在R 上递减；当a >0时，由f′(x)<0解得x <ln 2a ，故函数f(x)在(−∞,ln 2a )上单调递减， 由f′(x)>0解得x >ln 2a ，故函数f(x)在(ln 2a ,+∞)上单调递增．(2)当x =π2时，f(π2)=ae π2+2e−π2+(a −2)⋅π2≥0，即(e π2+π2)a ≥π−2e π2>0，故a >0，令g(x)=f(x)−(a +2)cosx =ae x +2e −x +(a −2)x −(a +2)cosx ，则g′(x)=ae 2x −2e x+(a −2)+(a +2)sinx ，若a ≥2，则当x ∈[0,π]时，g′(x)≥0，函数g(x)在[0,π]上单调递增，当x ∈(π,+∞)时，g′(x)≥ae x −2e −x +(a −2)−(a +2)≥ae π−2e −π−4≥4a −24−4>0， ∴当x ∈[0,+∞)时，g(x)单调递增，则g(x)≥g(0)=0，符合题意；若0<a <2，则g′(0)=2(a −2)<0，g′(x)≥ae x −2e −x +(a −2)−(a +2)=ae x −2e −x −4， 由ae x −2e −x −4=0得x =ln 2+√4+2aa>0，故g′(ln2+√4+2aa)≥0，∴存在x 0∈(0,ln2+√4+2aa]，使得g′(x 0)=0，且当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，∴g(x)在x ∈(0,x 0)上单调递减，∴当x ∈(0,x 0)时，g(x)<g(0)=0，不合题意， 综上，实数a 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)求导，分a ≤0及a >0讨论即可得出单调性情况；(2)由f(π2)≥0可得a >0，再以a ≥2及0<a <2两种情况讨论即可得出结论．本题考查函数的导数与函数的单调性，最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想，属于中档偏上题目．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则 {2+d =b 1q2+3d =b 1q 22+7d =b 1q 3，所以{2d =b 1q(q −1)4d =b 1q 2(q −1)，因为q ≠1，0，所以q =2， 所以{2+d =2b 12+3d =4b 12+7d =8b 1，解得d =b 1=2，所以a n =1+2(n −1)=2n −1,b n =2⋅2n−1=2n ； (2)证明：因为c n =a n+2b n+2(an b n +1)(a n+1b n+1+1)=(2n+3)2n+2[(2n−1)⋅2n +1]⋅[(2n+1)⋅2n+1+1]=4[1(2n−1)⋅2n +1−1(2n+1)⋅2n+1+1]， 所以S n =c 1+c 2+c 3+⋯c n =4[(11+1⋅21−11+3⋅22)+(11+3⋅22−11+5⋅23)+⋯+(11+(2n−1)⋅2n −11+(2n+1)⋅2n+1)]=4[(11+1⋅21−11+(2n +1)⋅2n+1]=4(13−11+(2n +1)⋅2n+1)<43,又因为对任意的n ∈N ∗，都有S n 单调递增， 即 S n >S 1=c 1=5×83×13=4039>1，所以对任意的n ∈N ∗，都有1<S n <43成立； (3)假设存在满足要求的整数λ，令n =1，则1≤λ⋅d 1b 2−d1b 2<2，解得5≤λ<9；令n =2，则1≤λ⋅(d 1b 2+d 2b 4)−d 2b 4<2，解得175≤λ<335；令n =3，则1≤λ⋅(d 1b 2+d 2b 4+d 3b 6)−d 3b 6<2，解得6723≤λ<13323；所以5≤λ<13323，又已知λ∈Z ，故若存在，则λ=5，下证：当λ=5时，对任意的n ∈N ∗，都有1≤λT n −d nb2n<2成立．T n =14d 1+(14)2d 2+(14)3d 3+⋯+(14)n d n ；T n+1=14d 1+(14)2d 2+(14)3d 3+⋯+(14)n d n +(14)n+1d n+1，14T n +T n+1=14d 1+(14)2(d 1+d 2)+(14)3(d 2+d 3)+⋯+(14)n+1(d n +d n+1)； 即T n +4T n+1=d 1+(14)1(d 1+d 2)+(14)2(d 2+d 3)+⋯+(14)n (d n +d n+1)=1+14⋅2+(14)222+(14)323+⋯+(14)n 2n =1+12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n =2−(12)n ． 又T n+1=T n +(14)n+1d n+1；所以T n +T n+1=5T n +(14)n d n+1=2−(12)n ， 则5T n =2−(12)n −(14)n d n+1，5T n −d n b 2n=2−(12)n −(14)n ⋅d n+1−d n b 2n=2−(12)n −(14)n ⋅d n+1−(14)n ⋅d n =2−(12)n −(14)n ⋅(d n +d n+1)=2−(12)n −(14)n ⋅2n =2−2⋅(12)n ， 而对任意的n ∈N ∗，2−2⋅(12)n 单调递增， 所以2−2⋅(12)1≤2−2⋅(12)n <2， 即对任意的n ∈N ∗都有1≤5T n −d nb2n<2成立，得证．所以，存在整数λ=5，使得对任意的n ∈N ∗都有1≤λT n −dnb 2n<2成立．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；(2)求得c n ，由数列的裂项相消求和，以及不等式的性质和数列的单调性，即可得证；(3)假设存在满足要求的整数λ，可令n =1，2，3，求得λ的范围，推得若存在，可得λ=5，再证明对任意的n ∈N ∗，都有1≤λT n −d nb2n<2成立，注意运用数列的错位相减法求和，结合不等式的性质和数列的单调性即可．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)AB =[4001][1205]=[4805]；(2)由B −1A −1X =[15]，解得X =AB[15]=[4805][15]=[528]，又因为X =[b a ]，所以a =28，b =5．【解析】(1)根据矩阵的乘法，即可求得AB ；(2)根据矩阵乘法计算公式，求得X =AB[15]，即可求得X ，即可求得a 和b 的值． 本题考查矩阵的乘法，矩阵的乘法的运算，考查转化思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)+2√2=0，即ρsinθ−ρcosθ+4=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x −y −4=0． 将曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =sinα(α为参数)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1；(2)设N(√3cosα,sinα)，α∈[0,2π)， 点M 的极坐标(2√2,3π4)化为直角坐标(−2,2)，则P(√32cosα−1,12sinα+1)，∴点P 到直线l 的距离d =|√32cosα−12sinα−6|√2=|sin(α−π3)+6|√2≤7√22．∴当α=5π6时，点M 到直线l 的距离的最大值为7√22．【解析】(1)由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)+2√2=0，得ρsinθ−ρcosθ+4=0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入可得直线l 的直角坐标方程．直接将曲线C 的参数方程消去参数α，可得曲线C 的普通方程； (2)设N(√3cosα,sinα)，α∈[0,2π)，化点M 的极坐标(2√2,3π4)化为直角坐标(−2,2)，利用中点坐标公式求得P(√32cosα−1,12sinα+1)，再由点到直线的距离公式求解． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】解：(1)由题意知随机变量X 的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X =0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P(X=0)=C60C55C115；P(X=1)=C61C54C115；P(X=2)=C62C53C115；P(X=3)=C63C52C115；P(X=4)=C64C51C115；P(X=5)=C65C50C115．∴随机变量X的概率分布如下表：E(X)=0×C60C55C115+1×C61C54C115+2×C62C53C115+3×C63C52C115+4×C64C51C115+5×C65C50C115=630231≈2.73(2)由题意知①上场队员有3名主力，方案有：(C63−C41)(C52−C22)=144(种)②上场队员有4名主力，方案有：(C64−C42)C51=45(种)③上场队员有5名主力，方案有：(C65−C43)C50=C44C21=2(种)教练员组队方案共有144+45+2=191种．【解析】(1)由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，当X=1时，表示主力队员参加比赛的人数为1，当X=2时，表示主力队员参加比赛的人数为2，以此类推，写出概率和分布列求出期望．(2)上场队员有3名主力，方案有：(C63−C41)(C52−C22)=144(种)；上场队员有4名主力，方案有：(C64−C42)C51=45(种)；上场队员有5名主力，方案有：(C65−C43)C50=C44C21=2(种).列出三种情况，相加得到结论．本题考查离散型随机变量的期望和应用，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．24.【答案】m或n−m n−1【解析】解：(1)C n−1m +C n−1m−1=C n m =C nx ， 可得x =m 或n −m ；m n C n m =m n ⋅n!m!(n−m)!=(n−1)!(m−1)!(n−m)=C n−1m−1=C y m−1， 解得y =n −1；故答案为：m 或n −m ，n −1；(2)f(1)=12−13=16，f(2)=12−23+14=112，猜想f(n)=1(n+1)(n+2)．下面用数学归纳法证明：①n =1时f(1)=16=12×3，猜想成立；②假设n =k(k ∈N ∗)时猜想成立，即f(k)=12C k 0−13C k 1+14C k 2−⋯+(−1)k 1k+2C k k =1(k+1)(k+2)，则n =k +1时，由C n m =C n−1m +C n−1m−1及C n−1m−1=m n C n m 得 f(k +1)=12C k+10−13C k+11+14C k+12−⋯+(−1)k+11k +3C k+1k+1 =12C k 0−13(C k 1+C k 0)+14(C k 2+C k 1)+⋯+(−1)k 1k +2(C k k +C k k−1)+(−1)k+11k +3C k+1k+1 =f(k)−13C k 0+14C k 1+⋯+(−1)k1k+2C k k−1+(−1)k+11k+3C k k ， 又1m+3C k m =1m+3⋅m+1k+1C k+1m+1=1k+1(1−2m+3)C k+1m+1， 则f(k +1)=f(k)−1k+1[(1−23)C k+11−(1−24)C k+12+⋯+(1−2k+3)C k+1k+1] =f(k)−1k +1{[−C k+10+C k+11−C k+12+⋯+(−1)k C k+1k+1]+[22C k+10−23C k+11+⋯+(−1)k+12k +3C k+1k+1]} =f(k)−2k+1f(k +1)，即k+3k+1f(k +1)=f(k)=1(k+1)(k+2)，则f(k +1)=1(k+2)(k+3)，则n =k +1猜想成立．由①②知f(n)=1(n+1)(n+2)．(1)由组合数公式和性质，可得x ，y 的值；(2)计算f(1)，f(2)，猜想f(n)=1(n+1)(n+2).运用数学归纳法证明，注意由n =k ，推得n =k +1成立，结合(1)的结论．本题考查组合数的公式和性质，以及数学归纳法的运用，考查化简变形能力和推理能力，是一道难题．。