2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷(二十五)数学

2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十五）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求．

l ．若1z i =-+，则

1

z z

+=（ ） A ．0

B 2

C ．1

D 2

2．已知集合{}4A x x a =-≤∣，(){}30B x x x =-≤，且{}02A B x x =≤≤，则a =（ ）

A ．2-

B ．0

C ．2

D ．4

3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖．三角攒尖，四角攒尖．八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以八角攒尖为例．它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）

A ．

cos 3cos

8

α

π B ．

sin 3sin

8

α

π C ．

3cos 8cos πα

D ．

3sin

8sin πα

4．在以正五边形ABCDE 的顶点为顶点的三角形中，任取一个，是钝角三角形的概率为（ ）

A ．

12

B ．

13

C ．

14

D ．

23

5．已知变量x ，y ，z 都是正数，y 与x 的回归方程：?3y

bx =+，且x 每增加1个单位，y 减少2个单位，y 与z 的回归方程：2

?2y

z =，则（ ） A ．y 与x 正相关，z 与x 正相关 B ．y 与x 正相关，z 与x 负相关 C ．y 与x 负相关，z 与x 正相关

D ．y 与x 负相关，z 与x 负相关

6．P 是圆22

:(3)4M x y +-=上的动点，则P

到直线:30l y --=的最短距离为（ ）

A ．5

B ．3

C ．2

D ．1

7．设函数()2cos(2)||2f x x a π????

=++<

??

?

在57,1212ππ??

-

????

上的图像大致如图，则a 与?分别为（ ）

A ．1-和6

π-

B ．1和3

π-

C ．1和

3

π D ．1和

6

π 8．若1()53

a

=，则5log 3a =（ ）

A ．1-

B ．1

C ．l 2

5log 3

D ．2

3log 5

9．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）

A ．

14

B ．

310

C ．

34

D ．

45

10．已知,22ππα??

∈-

??

?，cos23sin 10αα++=，则tan α=（ ） A

．B

．3

-

C

D

．

3

11．过双曲线22

22:(0,0)x y C a b a b

->>的右焦点2F ，且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于第一象限的一点

A ，1F 为左焦点，直线1F A 的倾斜角为π

4

，则离心率为（ ） A

．1)

B

1

C

．

D

12．边长为4的正方形ABCD 的四个顶点都在球O 上，OA 与平面ABCD 所成角为

4

π

，则球O 的表面积为（ ） A ．64π

B ．32π

C ．16π

D ．128π

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13．x 、y 满足约束条件220200x y x y x +-≤??

--≤??≥?

，则2z y x =-的最大值为____________．

14．设向量(1,2), (2,5)a b m m =-=-，若//a b ，则m =____________．

15．曲线2x

y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=，则a =____________．

16．长方体1111ABCD A B C D -的展开图如图所示，侧面展开图是正方形1AMNA ，下底面为矩形ABFE ，且

22AB AE ==，对角线1A M 上一动点Q ，当AQ FQ +最小时，AQF ∠的余弦值为____________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．第17-21题为必考题．第22、23题

为选考题．

（一）必考题：共60分． 17．（12分）

公差0d ≠的等差数列{}n a 中，数列{}n a 的前n 项和为n S 且520S =，3a 是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2n a

a n

b a =?，求{}n b 的前n 项和n T ．

18．（12分）

如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，1O 、O 分别是上、下底面的圆心，C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是1AA 与BC 中点． （1）求证：//DE 平面11A CB ；

（2）求DE 与平面1B BC 所成角的正弦值．

19．（12分）

我国西北某地区很适合优质苹果生长，种植了大量苹果．为了防止虫害，在苹果刚结果时，就给每个果子套上袋子，在成熟采摘时，一经销商来收购苹果，一次只能收购一个果园的苹果．苹果分为一、二、三、四，四个等级，“一等”苹果经销商售价为8元/千克，“二等”苹果售价为6元/千克，“三等”苹果售价为5元/千克，“四等”苹果售价为1元/千克，现有甲、乙两个果农，甲果农的苹果3元/千克，乙果农的苹果3.2元/千克，收购商还要付其它费用0.5元/千克，收购商要在甲、乙两个果农中选择一人的苹果收购，由于果园的苹果量很大，不可能每个都检查，由于套着袋子，收购商看不见苹果，所以在甲、乙两个果农的果园中各采摘40千克样本，制成如下表（单位：千克）：

（1）分别估计甲、乙两果农的苹果“一等品”的概率;

（2）分别估计40千克样本中，收购甲、乙两果农的苹果平均每千克获利，若以平均每千克获利的多少

为依据来决定收购，你建议收购商应该收购谁的．

20．（12分）

椭圆22

22:1(0)3x y C b b b

+=>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，直线BD 的倾斜

角为135?．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直

线上．

21．（12分）

已知函数()ln f x ax x =-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性; （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l

的参数方程为42

x t y ?=????=+??（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4

13cos 4k

k k k ρπθ=

??

-++ ?

??

．

（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；

（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点，若有，求出交点的坐标；若无，说明理由． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数1

()|1||1|2

f x x x =

--+． （1）在如图所示的网格纸中作出函数()f x 的图象； （2）求()4f x x ≤-的解集．

数学参考答案

1．【答案】B

【解析】1i z =--，1(1)111222z i i i i z i +--===+--

，则1z z +=． 2．【答案】A

【解析】由题意，{}4A x x a =≤+∣，{}

03B x x =≤≤，

又{}02A

B x x =≤≤，故42a +=，得2a =-，故选A ．

3．【答案】C

【解析】如图，O 为正八棱锥S ABCDEFCH -底面外接圆心，连接OA ，OB ，OE ，

由题意，38

OAB π

∠=

，SAB α∠=， 则3cos

138cos cos 28cos SA AB SA OA OA π

παα

=?=??=．

4．【答案】A

【解析】如图，以正五边形ABCDE 的顶点为顶点的三角形有ABE 、ADC 、BAC 、

BDE 、CBD 、CAE 、DCE 、DAB 、EAD 、EBC ，10个，

钝角三角形有ABE 、BAC 、CBD ，DCE 、EAD

，5个， 是钝角三角形的概率为

1

2

.

5．【答案】D

【解析】由题意，得：2b =-，故y 与z 正相关，y 与x 负相关，可得：z 与x 负相关． 6．【答案】C

【解析】如图，过M 作MA l ⊥于A ，当P 在线段MA 上时，PA 为最短距离，

||3MA =

=，|21PA MA =-=.

7．【答案】C

【解析】由图知()f x 得最大值为3，即231a a +=?=，

又2cos 123

π

??+=?=±

，

由图可看出()f x 得图像是由()cos 2g x x =得图像首先向左平移，再向上平移后得来的， 则3

π

?=

．

8．【答案】D

【解析】由函数31

()5log 53

a

a =?=-，

则353533log 3

log 3log 5log 3log 51log 5

a =-?=-?

=-. 9．【答案】D 【解析】由111111111223

11

S n n n =

-+-++

-=-++， 当4n =时，程序终止，输出15

14

5S =-

=. 10．【答案】B 【解析】2

212sin

3sin 102sin 3sin 20αααα-++=?--=，

1

sin 2

α=-或sin

2α=，由

sin 1α≤，

所以1

sin 2

α=-

，cos tan 23αα=?=-

． 11．【答案】D

【解析】如图，由题意，212|||2AF F F c

==

，1|AF

=∣，可得：

12221c

AF AF c a e a -=-=?

===.

12．【答案】A

【解析】如图，设正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ，由题意，14

OAO π

∠=

，

则1cos

sin

4

4

AO AO AD π

π

=?=?4AO AD ?==，

表面积2

4464S ππ

=?=．

13．【答案】1

【解析】22y x z y x z -=?=+，

z 的几何意义是在y 轴上截距，画出可行域的图，如图，阴影部分，

当直线2y x z =+过220x y +-=与y 轴交点时，z 最大为1z =．

14．【答案】1 【解析】25

//45112

m m a b m m m -?=?-=-?=-． 15．【答案】1-

【解析】e 210x

y x '=-=-?=，切点为(0,1)，

得：0101a a ++=?=-.

16．【答案】

5665

【解析】A 关于对角线1A M 的对称点是N ，连FN 与1A M 交于Q ，

此时AQ FQ FN +=最小，

由题意得：16A A AM ==，AN =

FN==

AF=

由余弦定理得：cos ANF

∠==

256

cos221

65

cos AQF ANF

∠=∠=-=．

17．【答案】

（1）1

n

a n

=+；（2）2

2n

n+

?．

【解析】

（1）由题意，

()()

()

2

2111

1

317

1

5

262

5241

2020

2

a d a a d a

a a a

a d d

S

??+=+

=

=?

??

??

???

+=

=?

=

??

?

?

，

得1

n

a n

=+．

（2）1

2(1)2

n

n

n n

a

b a n+

=?=+?，

231

22322(1)2

n n

n

T n n+

=?+?++?++?①，

3412

222322(1)2

n n

n

T n n

++

=?+?++?++?②，

①-②得：23412

22222(1)2

n n

n

T n

++

-=?++++-+?

()

31

222

212

22(1)22

12

n

n n

n n

-

++

-

=+?-+?=-?

-

，

得：2

2n

n

T n+

=?．

18．【答案】（1）见解析； （2）

7

【解析】（1）取1CB 的中点为M ，连接DE ，ME ，1A M

则11////EM BB AA ，且111

2

EM AA A D =

=， ∴四边形1A DEM 是平行四边形，与1A M ?平面11ACB ， ∴//DE 平面11ACB .

（2）设AB a =，点D 到平面1B BC 的距离为h ，

则由1////DA B B DA ?平面1B BC 故h 等于点A 到平面1B BC 的距离，

AC CB ⊥，1AC B B AC ⊥?⊥平面1B BC ，

故2

h AC ==

，

而2

2

2

214164

DE AE AD a DE ?=+=

=.

故所求线面角的正弦为

h DE =. 19．【答案】（1）81405P ==甲一等

，7

40

P =乙一等； （2）见解析

【解析】（1）由表得：概率的估计值分别为81405P ==甲一等

，7

40

P =乙一等 （2）由上表知：

甲果农的40千克苹果样本中，收购商每千克获利频数分布为：

乙果农的40千克苹果样本中，收购商每千克获利频数分布为：

甲果农的40千克苹果样本中，收购商平均每千克获利为：

4.58 2.510 1.514 2.58

1.5540

?+?+?-?=(元)

乙果农的40千克苹果样本中，收购商平均每千克获利为：

4.37 2.316 1.38 2.79

1.32540

?+?+?-?=(元)，

比较甲，乙两果农的苹果样本中，收购商平均每千克获利，应该选甲果农的苹果.

20．【答案】（1）2

213

x y +=；（2）3x =． 【解析】（1）()0,B b ，

由题意，tan135111

BD b

k b =

=?=-?=-， 椭圆C 的方程2

213

x y +=． （2）设(,)P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，

过D 的动直线：(1)y k x =-，

代入椭圆C 的方程得：(

)

2

222

316330k x k x k +-+-=，

得：21226

31k x x k

+=+，21

22

33

31

k x x k -?=+， )

2

222

22222

221333

x y y

x x x

+=?=-=?

= 分别由P ，1A

，M 及P ，

2A ，N 三点共线，

=

=，

2==

222

222223363131131313131

k k k k x x k k k k ??--+??--++

==

++

2222

3336312k k k k ??--++

==

=-

23x ==，

即P 在直线3x =上．

21．【答案】（1）见解析； （2）10,e ??

???

．

【解析】（1）当1a =时，由11

()1x f x x x

-'=-

=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； （2）由1

()f x a x

'=-

， 若0a ≤，1

()0f x a x

'=-

<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意； 若0a >，1()1()a x a f x a x x

-'=-= 当1

(0,)x a

∈时，()0f x '<，()f x 单调减；

当1(,)x a

∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调增，

则1

x a

=

是()f x 的极小点， (i)若111110ln 1 lne 0a

e f a e a a a a ??

?<≤?=?-≥-= ???

，

此时，()f x 最多有一个零点，不合题意;… (ii)111110e ln 1ln 0a f a e e a a a a ??

<<

?>?=?-<-= ???

， 又11()10f a e e =?

+>，故在11

(,)e a

内，()f x 有一个零点， 又∵1(0,)x a

∈时，()f x 单调递减，

在1(0,)a

内()f x 有且只有一个零点.

由(1)知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，

2244222(

)2ln 2(ln )2f a a a a a a =?-=->， 故在2

14

(,

)a a 内，()f x 有一个零点， 又∵1(,)x a

∈+∞时，()f x 单调增，

在1(,)a

+∞内，()f x 有且只有一个零点

所以a 的取值范围为1(0,)e

.

22．【答案】（1

）0x +-=

，330x y --=；

（2）见解析．

【解析】（1）当1k =

时，4cos 4223cos 4ρρθθπθ??=?-= ? ?????+ ?

??

，

即

433022

x y x y -=?--=，

由242

x t t y ?=-????=+??（t 为参数）

消去t

并整理得：0x +-=． （2）当2k =时，2

2222

244

3sin 413sin 13cos 2ρρρθπθ

θ=

=?+=+??++ ?

??

， 得：2

2

2

24414

x x y y +=?+=，

:04l x y x +-=?=+， 代入2

2

44x y +=，

得：271800x -+=，

2471800-??<，

所以，直线l 和C 无交点．

23．【答案】（1）见解析； （2）5

3

x ≥

． 【解析】（1）依题意，13,12213

1()|1||1|,1122

213,122x x f x x x x x x x ?+≤-??

?=--+=---<

，

做出函数()f x 的图象如图所示：

（2）由（1）可知，

解法1：()4()40f x x f x x ≤-?-+≤，

111,122111057()4,1122

22135,122

x x x f x x x x x x x ?-+≤-??

??-+≤??

-+=-+-<

?

?-+≥??， 或5

702211x x ?-+≤???-<

50

522

31x x x ?-+≤??≥??≥?

． 解法2：图像法，直线4y x =-只与()f x 中的射线AB 相交于B ，

由51303

22

743x y x y x y ??

=??=--≤???????=-=-????

， 得：5

7,33B ??-

???

，

故当5

3

x ≥

，直线4y x =-不在()f x 图像的下方， 即()4f x x ≤-，故解集为5,3

??+∞????

．