第5章-频域图像增强(4)
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频域图象增强
•被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果—— 理想低通滤波器的一种特性所影响
第6讲
第24页
6.2 低通滤波
90%
第6讲
第25页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
物理上可实现（理想低通滤波器在数学上定 义得很清楚，在计算机模拟中也可实现，但在截 断频率处直上直下的理想低通滤波器是不能用实 际的电子器件实现的）
H
(u,
v)
1
1
D(u, v)
/
D0
2n
某个百分比的频率 在D(u, v) = D0时
• H(u, v) = 1/2 • H(u, v) = 1/21/2
H (u,v) 1
0
D (u,v) D0
第6讲
第30页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器 Butterworth低通滤波器截止频率的设计
•变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过 的和被过滤掉的截止频率的明显划分
第6讲
第33页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器 图象由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低
通滤波进行平滑以改进图象质量 效果比较（相同截断频率）：图6.2.6
第6讲
第34页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
第6讲
第35页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
Butterworth低通滤波器与理想低通滤波器相比 •没有明显的跳跃； •模糊程度减少； •尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如 理想低通滤波器。
常用频域增强方法根据滤波特点，特别是消 除或保留的频率分量可以分为：1. 低通滤波； 2. 高通滤波；3. 带通和带阻滤波；4. 同态滤波 。
第5章频域图像增强20160801资料.
阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
截止频率15下、不同阶巴特沃斯低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
9
低通滤波器
截止频率为5
截止频率为15
截止频率为30
截止频率为50
截止频率为90
截止频率为180
不同截止频率下巴特沃斯低通滤波器的滤波结果
10
低通滤波器
– 指数低通滤波器：是一种物理可实现的低通滤波器， n阶指 数低通滤波器的传递函数定义为，
– 带通滤波器：带通滤波器允许某一带宽范围的频率成分通过，而
限制带宽范围以外的频率成分通过。
– 理想带通滤波器具有完全平坦的通带，在通带内没有增益或者衰 减，完全阻止通带之外的所有频率成分，通带与阻带之间的过渡 在瞬时频率完成，其传递函数定义为，
式中，W为带宽，半径 为频带中心，
和
分别
为下限和上限截止频率， 是点 到频谱中心的距离。
12
低通滤波器
截止频率为5
截止频率为15
截止频率为30
截止频率为50
截止频率为90
截止频率为180
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
13
高通滤波器
高通滤波器：其目的是允许图像的高频成分通过， 而限制低频成分通过。
– 理想低通滤波器：最理想的低通滤波器是完全截断频谱中 的低频成分，传递函数定义为，
通过，并限制高频成分通过；高通滤波是指允许高频成 分通过，并限制低频成分通过。
– 频域滤波表示为频域滤波器的传递函数
频谱
乘积的形式：
与输入图像
– 最后，对频域滤波结果 空域中，可表示为，
进行傅里叶逆变换，转换回
输入图像
f (x;y)
图像增强 第四讲-频域增强
j=-1
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。
=
1 9
F(Zm
,
Zn
)
1 i = -1
Zmi
1
Znj
j=-1
H(Zm , Zn
)
=
G(Zm , Zn ) F(Zm , Zn )
=
1 9
(1 +
Zm
+
Zm-1
)(1 +
Zn
+
Zn-1 )
以 Zm = e 和 jωm Zn = ejωn 代入上式,
图4.4.2 加权平均模板的频率响应
f(x,y)和h(x,y)卷积定义为：
f (x, y) * h(x, y)
1
M 1 N 1
f (m, n)h(x n, y n)
MN m0 n0
有： f (x, y)*h(x, y) F(u, v)H(u, v) f (x, y)h(x, y) F(u,v)* H(u,v)
15
设 g(x, y) f (x, y) * h(x, y)
得到傅立叶变换式:
1 H(ωm ,ωn ) = 9 (1 + 2cosωm )(1 + 2cosωn )
”分量当即ω图m 像= ω的n 灰= 0度平时均，|值H |处具理有前最后大不值变1；，当这ωm说明或“ωn直= 23流π 时，具有最小值0，即高频得到最大程度的抑制。
低通滤波法举例
(a) 原图像； (b) 频谱（r=5,11,45,68）； (c)(f) 低通滤波(r=5,11,45,68)
4.4 频域图像增强
图像增强的目的主要包括：①消除噪声， 改善图像的视觉效果；②突出边缘，有利于 识别和处理。前面是关于图像空间域增强的 知识，下面介绍频率域增强的方法。
第5章 图像的增强与变换
第五章图像的增强与变换§5.1 图像增强与变换§5.2 光谱增强§5.3 空间增强§5.4 多源信息的复合§5.1 图像增强与变换图像增强和变换为了突出相关的专题信息，提高图像的视觉效果，使分析者能更容易地识别图像内容，从图像中提取更有用的定量化信息。
按其作用的空间可分两种：光谱增强空间增强§5.2 光谱增强光谱增强对应于每个像元，与像元的空间排列和结构无关。
因此又叫点操作。
1. 彩色合成2. 对比度增强（直方图增强）3. 图像间运算为了充分利用色彩在遥感图像判读和信息提取中的优势，常常利用彩色合成的方法对多光谱图像进行处理，以得到彩色图像。
单波段彩色变换（密度分割）多波段彩色变换（真彩色，假彩色）HLS变换：色调(hue)、明度(lightness)和饱和度(saturation)的色彩模式。
即RGB模式ÆHLS模式。
1. 彩色合成单波段彩色变换(密度分割)（1）求图像的极大值dmax 和极小值d min ；（2）求图像的密度区间ΔD=dmax -d min +1；（3）求分割层的密度差Δd=ΔD／n，其中n为需分割的层数；（4）求各层的密度区间；（5）定出各密度层灰度值或颜色。
1.彩色合成1.彩色合成多波段彩色变换真彩色合成真彩色图像上影像的颜色与地物颜色基本一致。
把红色波段的影像作为合成图像中的红色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把蓝色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。
如TM321分别用RGB合成的图像。
假彩色合成假彩色图像是指图像上影像的色调与实际地物色调不一致的图像。
遥感中最常见的假彩色图像是彩色红外合成的标准假彩色图像。
它是在彩色合成时，把近红外波段的影像作为合成图像中的红色分量、把红色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。
如TM432用RGB合成的图像为标准假彩色图像。
第5章 图像频域增强
图像细节没有办法辨认，采用一般的灰度级线性变换法是不行的 图像的同态滤波属于图像频率域处理范畴，其作用是对图像灰度范围进行调整，通过 消除图像上照明不均的问题，增强暗区的图像细节，同时又不损失亮区的图像细节
我们人眼能分别得出图像的灰度不仅仅是由于光照函数（照射分量）决定，而且还与 反射函数（反射分量）有关： 反射函数反映出图像的具体内容。光照强度一般具有一致性，在空间上通常会有缓 慢变化的性质，在傅立叶变换下变现为低频分量 然而不一样的材料的反射率差异较大，经常会引起反射光的急剧变化，从而使图像 的灰度值发生变化，这种变化与高低频分量有关。 为了消除不均匀照度的影响，增强图像的高频部分的细节，可以采用建立在频域的 同态滤波器对光照不足或者有光照变化的图像进行处理，可以尽量减少因光照不足 引起的图像质量下降，并对感兴趣的景物进行有效增强，这样就在很大程度上做到 了原图像的图像增强。 同态滤波器能够减少低频并且增加高频，从而能减少光照变化并锐化边缘细节。
频域空间中，图像的信息表现为不同频率分量的组合。通过抑制某些频率分 量的输出，改变频率分布，达到不同的增强目的。 频域空间的增强有三个步骤： step 1：空域 频域 step 2：频域内增强 step 3：频域 空域
卷积定理
去除（抑制）图像中的高频分量而使低频通过，达到平滑和去除噪音 的效果。 （1）理想低通滤波器 截止频率 (5.2.1)
（3）带通和带阻滤波器的联系 两者是互补关系。
带通滤波器 带阻滤波器
陷波滤波器可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，所以本质上仍然是带 阻或带通滤波器 可分为陷波带阻滤波器和陷波带通滤波器 借助陷波滤波器可以消除周期噪声
理想陷波带阻滤波器
根据Fourier 变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，陷波带
我们人眼能分别得出图像的灰度不仅仅是由于光照函数（照射分量）决定，而且还与 反射函数（反射分量）有关： 反射函数反映出图像的具体内容。光照强度一般具有一致性，在空间上通常会有缓 慢变化的性质，在傅立叶变换下变现为低频分量 然而不一样的材料的反射率差异较大，经常会引起反射光的急剧变化，从而使图像 的灰度值发生变化，这种变化与高低频分量有关。 为了消除不均匀照度的影响，增强图像的高频部分的细节，可以采用建立在频域的 同态滤波器对光照不足或者有光照变化的图像进行处理，可以尽量减少因光照不足 引起的图像质量下降，并对感兴趣的景物进行有效增强，这样就在很大程度上做到 了原图像的图像增强。 同态滤波器能够减少低频并且增加高频，从而能减少光照变化并锐化边缘细节。
频域空间中，图像的信息表现为不同频率分量的组合。通过抑制某些频率分 量的输出，改变频率分布，达到不同的增强目的。 频域空间的增强有三个步骤： step 1：空域 频域 step 2：频域内增强 step 3：频域 空域
卷积定理
去除（抑制）图像中的高频分量而使低频通过，达到平滑和去除噪音 的效果。 （1）理想低通滤波器 截止频率 (5.2.1)
（3）带通和带阻滤波器的联系 两者是互补关系。
带通滤波器 带阻滤波器
陷波滤波器可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，所以本质上仍然是带 阻或带通滤波器 可分为陷波带阻滤波器和陷波带通滤波器 借助陷波滤波器可以消除周期噪声
理想陷波带阻滤波器
根据Fourier 变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，陷波带
5.图像的频域增强及傅里叶变换
5.图像的频域增强及傅里叶变换傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。
因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方而，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。
印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分呈：，通过低通滤波器来滤除髙频一一噪声；边缘也是图像的髙频分量，可以通过添加髙频分量来增强原始图像的边缘；2•图像分割Z边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来汁算纹理特征英他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据：常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换：傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。
连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。
离散情况下，傅里叶变换一左存在。
冈萨雷斯版＜图像处理＞里而的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决泄。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时, 讨论它的光谱或频率谱。
同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。
比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里而）；时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以』wt,可以使整个频谱搬移W U这个也叫调制左理，通讯里而信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）: 卷积泄理：时域卷积等于频域乘枳：时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。
（图像处理里而这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快：频率越小说明原始信号越平缓。
第5章-频域图像增强20161028
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
36
理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
36
理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
第5章傅立叶变换与频域图像增强
1 F (u , v) N
x பைடு நூலகம் y 0
N 1
N 1
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
F(u,v)通常是复数。
7
1 F (u , v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
f ( x, y ) cos(
频谱图像|F(u,v)|特点：
低频部分集中了大部分能量；
F (0,0) N f
高频部分对应边缘和噪声等细节内容。
频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率 不同，因而可获得不同的增强效果。
30
频域增强方法的三个步骤：
1.将图像从图像空间转换到频域空间（如傅里叶变换）；
x 0 y 0
N 1
N 1
ux vy f ( x, y ) exp[ j2( )] N
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
x 0 y 0
N 1
N 1
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) exp j (u, v)
f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为P×Q，
P=2N-1;
Q=2N-1.
G(u, v) H (u, v) F (u, v) g ( x, y) : N N
图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个 周期；
周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函 数进行补零扩展。
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14
频域滤波基本步骤
传递函数
为实数的滤波器称为零相位滤波器，
不会改变输出图像频谱的相位。
式中，
和
分别为
滤波器的传递函数
的实部和虚部。
输出图像
输入图像
15
频域滤波的基本流程
频域滤波的基本流程
– 空域 频域 – 频域滤波 – 频域 空域
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
随着截止频率的减小，振铃特性增强。
半径为5
理想低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
31
理想低通滤波器
半径为5
半径为15
半径为30
随着半径的增大，保留的低频成分越多，滤除的高频成分 越少，使得模糊程度减弱，图像保留的边缘、细节越多。
在图像处理中，理想低通滤波器是非常不实用的，但是原 理简单，通过它我们可以深入理解滤波器的滤波原理。
24
理想低通滤波器
二维离散傅里叶变换频率矩形
的中心位
于
，从点 到频谱中心
的
距离为
25
理想低通滤波器截止频率
理想低通滤波器的截止频率的设计 – 首先计算总的信号能量PT ：
– 其中， P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v)
是能量模。
26
理想低通滤波器截止频率
阶为1、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
36
巴特沃斯低通滤波器
二阶巴特沃斯低通滤波器的冲激响应函数从原点向 外下降到零值以下很小就返回零值。
阶为2、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
37
巴特沃斯低通滤波器
随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象 越明显。
12
频域滤波基本步骤
频域滤波的核心是设计滤波器的传递函数
。
根据卷积定理，频域滤波表示为频域滤波器的传递函 数与输入图像频谱乘积的形式：
式中，
为滤波器的传递函数，ຫໍສະໝຸດ 为的离散傅里叶变换，
和
的乘积是逐元素相乘。
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
– 滤波在频域更为直观，它可以解释空域滤波的某些 性质；
-11 -21 -11 116£ -21 84 -21
-11 -21 -11
– 利用频率成分与图像内容之间的对应关系，在频域 中设计滤波器，通过傅里叶逆变换获得冲激响应函 数，指导空域模板，在空域中执行图像增强。
20
低通滤波器
低通滤波器
– 允许图像的低频成分通过，限制高频成分通过。 – 限制或减弱频谱中的高频成分可以起到图像平滑
– 可以在频率域指定滤波器，做逆变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
11
频域滤波的意义
在频域中滤波的意义直观
– 低通滤波指允许频谱中的低频成分通过，限制高 频成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理， 与空域图像平滑具有等效的作用；
– 高通滤波指允许频谱中的高频成分通过，限制低 频成分通过，突出边缘和细节，与空域图像锐化 具有等效的作用。
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数
34
巴特沃斯低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。
若阶数 充分大，则当
，
；
当
，
，此时趋于理想低通
滤波器。
阶为1、2、5、8、10和20的巴特沃斯低通滤波器传递函数的径向剖面图
35
巴特沃斯低通滤波器
一阶巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象。
99.80% 99.97% 半径为5的小圆周包含整个能量的96%。
29
理想低通滤波器
理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为 灰度振荡。
随着截止频率的减小，振铃特性增强。
半径为15
理想低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
30
理想低通滤波器
理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为 灰度振荡。
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪；
均值平滑模板
高斯平滑模板
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
傅里叶逆变换
增强图像
g (x;y)
16
频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤：
– 计算
的二维离散傅里叶变换
。
输入图像
乘以
使图像的低频成分移
到频谱的中央部分。
直流成分
3
4
图像
2D DFT 2D IDFT
12 43
中心移位
2
1
低频成分
高频成分 低频成分
高频成分
二维离散傅里叶谱的频率成分分布图
8
频域增强的理论基础
卷积定理
g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)
卷积定理是空间域滤波和 频率域滤波之间的纽带。
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
g(x,y) = F-1[H(u,v)F(u,v)]
9
频域增强的理论基础
频率平面与图像空域特性的关系
–图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个 区域为低频区域。
4邻域拉普拉斯
8邻域拉普拉斯
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变
化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来是图像增强 技术的完整内容。
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
高频成分携带能量虽少，但包 含有丰富的边界、细节信息， 所以截止频率D0变小时，虽然 亮度足够（能量损失不大）， 但图像变模糊了。
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理想低通滤波器截止频率
一幅256256图像的实例 D0 = 5、15、30、50、80、120 β = 95.78% 、 98.22% 、 99.13% 、 99.54% 、
理想低通滤波器完全截断频谱中的高频成分， 其传 递函数定义为
式中， 是点 到频谱中心
为截止频率。
的距离，
23
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现，且会产生 振铃效应，表现为在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡。
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巴特沃斯低通滤波器
巴特沃斯低通滤波器是一种物理可实现的低通滤波 器， n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为
式中，
是点 到频谱中心
为截止频率。
当 下降到它的
时， 。
的距离， ，即从最大值1
33
巴特沃斯低通滤波器
特点：通带与阻带之间并非锐截止而是逐渐下降为零， 通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不 明显。
的作用。
频域中的低通滤波器和空域中的平滑模板具有等 效的作用。
121 116£ 2 4 2
121
21
低通滤波器的可实现性
理想低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器 指数低通滤波器
物理不可实现 物理可实现
振铃效应：在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡 的图像失真现象。
22
理想低通滤波器
傅里叶逆变换
频域滤波的方框图
增强图像
g (x;y)
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对频域滤波结果 域中：
频域滤波基本步骤
进行傅里叶逆变换，转换回空
式中，
为滤波图像， 表示傅里叶逆变换。
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
傅里叶逆变换
频域滤波的方框图
增强图像
g (x;y)
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指数低通滤波器
二阶指数低通滤波器具有高斯函数形式，也称为高 斯低通滤波器。由于高斯函数的傅里叶逆变换也是 高斯函数，二阶指数低通滤波器也没有振铃效应。
阶为2的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
46
指数低通滤波器
随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越 明显。
阶为5的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
径向剖面图
43
指数低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。
若阶数 充分大，则当
时，
；
当
时，
，此时趋于理想
低通滤波器。
阶为1、2、5、8、10和20的指数低通滤波器传递函数的径向剖面图
44
指数低通滤波器
一阶指数低通滤波器没有振铃效应。
阶为1的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
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频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤（续）：
– 设计频域滤波器的传递函数
，与输入图像
的频谱
相乘，获得频域滤波结果
。
– 计算
的二维离散傅里叶逆变换
，截
取它的实部
，并乘以
以抵消第1
步的移位。
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