高二数学《等差数列的概念》教学设计

《等差数列的概念》教学设计

一、教材分析

本节内容是北师大版高中数学必修五第一章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式,并且会用公式解决一些简单问题。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，同时也为培养学生观察问题、启发学生思考问题做好了素材。等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、设计思想

数学是培养学生分析问题、解决问题的能力，数学教学强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于此认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。让学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，从而激发学生的学习兴趣，提高他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创造力。

三、教学策略

在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论。

教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

四、学情分析

我所教学的学生是我校高二（3）、（4）班的学生，经过一年的学习，学生已储备一定的基础知识，也已适应高中的学习生活，智力也有所发展，并且具备了一定的思维能力、运算能力、推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

五、教学目标

1．知识与能力：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式。

2．过程与方法：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力。

3．情感、态度、价值观：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣。

六、教学重点、难点

重点：等差数列的概念及通项公式的推导。

难点：对等差数列概念的理解及概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法及通项公式的应用。

七、教学准备

搜集资料、教师精心制作课件、学生提前预习。

八．教学过程

（一）、导入

提问：数列的概念和通项公式是什么？

学生：按一定次序排列的一列数叫数列，数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用这

。

个公式来表示，这个公式叫这个数列的通项公式

师：回答非常好。

师：那么以下三行数是数列吗？

①1，2, 3，…

②0，0, 0，…

③6，1, 2, 0，-1，5，…

学生：①②是，③不是。

师：请同学们阅读教材中的实例模型，然后看下面的一个例子：（设计意图：通过具体实例分析，让学生真正体会到数学离不开生活，与我们的生活息息相关，引导他们要善于发现问题。）

把我们班班上学生学号从小到大排成一列：④1，2，3，4，5， (52)

师：你能发现这些数字的规律吗？

学生：后一项与它前一项的差等于常数

师：1，2，3，4，5，…，52。这个数列和课本上的三个数列实例具有相同特征吗？

学生：一样，都是从第二项起，每一项与。它前一项的差为同一个常数。

教师将学生的回答在课件中演示出来，通过实例使学生理解两个特征①同一常数②从第二项起。

师：能不能用数学语言来描述此特征？

学生：

师：完整吗？还有没由需要补充的？

学生：，d是常数

师：满足这样条件的数列很多，我们能不能给它们起个名字来反应他们的特征呢？

（二）新课

1、教师课件演示等差数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个同一常数d为公差，a1为数列的首项。

师：请同学们说出以上四个数列的公差？

学生：①d=2 ②d=-0.5 ③d=4 ④d=1

师：这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？

（学生自主回答，至少三个人）注：常数列也是等差数列，公差是0.（如：1,1,1,…）

2、启发、引导推出等差数列的通项公式

（设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法.）

对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。

师：问题先写出学生学号从小到大排列的一列数的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。

学生：an=n

师：你们能写出以上数列①②③的通项公式吗？

①an=2n+36, ②an=-0.5n+25.5, ③an=4n-2。

师：问题 若一个数列123,,,......,,......n a a a a 是等差数列，它的公差是d ，那么数列{}n a 的通项公式是什么？启发学生：可用首项与公差表示数列中任意一项。（设计意图：培养学生归纳、猜想能力）

d a a =-12即：d a a +=12，

d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=，

d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=

……

归纳猜想：d n a a n )1(1-+=

问题：从第几项开始归纳的？n=1时呢？

引导学生发现：从第二项开始，所以n ≥2,当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式:

d n a a n )1(1-+= （+∈N n ）

问题：还有没有其他的推导方法？（设计意图：培养学生合理的推理能力），教师引导学生用下面的方法归纳：

d n a d a d a d a a n n n n )1(321321-+==+=+=+=---Λ

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

d n a a n )1(1-+= （+∈N n ）

我们把这种方法称为迭代法。

问题：还有其他的推导方法吗？（估计较难）启发学生：看方法一的第一种表达形式 d a a =-12

d a a =-23

d a a =-34

……

1n n a a d --=

有何规律？

将这 (n-1)个等式两边分别相加就可以得到

d n a a n )1(1-+=

这种方法叫累加法，

师：总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代法；累加法。

共同特点：利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习中可以

得到证明。

3、掌握公式，灵活应用（设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，灵活应用）

例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

（3）已知等差数列{}n a 中，35,20205-=-=a a ，求该数列的通项公式。

解：(1)由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-1)*(-3)=-49.

（2）由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得an=a1+(n-1)d=-5+((n-1)*(-4)=-4n-1.

（3）设an=a1+(n-1)d(n ∈N +),由a5=a1+4d=-20,a20=a1+19d=-35,得a1=-16,d=-1,所以an=a1+(n-1)d=-16+(n-1)*(-1)=-15-n

4、课堂练习（学生板演，教师点拨）

本节练习1、2、3.

5、认真归纳，小结知识

提出问题：这节课你学到了什么？用到了哪些数学思想方法？（教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳展示出来.）

6、巩固练习，布置作业

a.阅读作业：通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。

b.书面作业：教材习题1-2A 组5、6、7题。

八、教学反思

新课堂是以学生为主体，老师是课堂的组织者、引导者。整个教学过程体现的是学生对

知识的经历、认知、理解、掌握、应用，展现的是学生的思维过程，以及在这个过程当中出现的问题，这时就是发挥教师作用的时候，教师要适时点拨，及时肯定、表扬，这样才会有显著的教学效果。正是如此，对本节课的设计，我把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流有机结合起来，使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识得到了提升，数学思想方法被激活，创新意识被加强。学生的学习具有一定的潜力，我们要循循善诱激发学生的能力，使学生喜欢学习数学，感觉数学就在他的身边。

【学生】是，a n=n

【师】把上面的数列各项依次记为a1,a2,a3,…a52，填空：

【学生】填空并归纳出一般规律：，（）

【师】上面这个规律还有其他形式吗？

【学生】或者写成，（）

上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例

（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：

48，53，58，63

【师】上面的三个数列又分别有什么规律呢？

【学生】（1），，

（2），，

（3），，

【师】归纳上面数列的共同特征：

（d是常数），，，

【师】满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？

【学生（共同）】等差数列。

提出课题《等差数列》

【师】给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。

对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

【师】这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？

【学生】某剧场前8排的座位数分别是

52，50，48，46，44，42，40，38.

【学生】全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是

21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25

抢答：观察下列数列是否为等差数列

1，2，4，6，8，10，12，……

0，1，2，3，4，5，6，……

3，3，3，3，3，3，3……

2，4，7，11，16，……

-8，-6，-4，0，2，4，……

3，0，-3，-6，-9，……

（注：常数列也是等差数列，公差是0。）

设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的

数学思想方法。

师生活动：

【师】对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。

先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。

【师】若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的

通项公式是什么？

启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。

【学生】：即：

即：

即：

……

由此可得：

【师】从第几项开始归纳的？

【学生】第二项，所以n≥2。

【师】n=1时呢？

【学生】当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

（）

【师】很好!

（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？

【学生】还可用下面的方法归纳：

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

（）

【师】我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗？

（学生面露难色）

启发：看方法一的第一个式子

……

有何规律？

【学生】可以用累加的方法，左边累加后得，右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即=d+d+d+…….+d

=（n-1）d

【师】这种方法叫累加法

总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。

（注：通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。）

(四)通项公式的应用时间：10分钟

设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？

提高学生分析问题，解决问题的能力。

师生活动：教师板演，学生练习

例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

（3）已知等差数列中，，求该数列的通项公式。

分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？——首项和公差

（2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？——先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401 = 成立。

（3）中已知两项，求通项公式的关键还是先求首项和公差。这里可以通过列方程组求解。

答案：(1)；(2)-401是这个数列的第100项；(3)。

(3)的补充说明：由列两个等式可知，

你能类似的推出等差数列中任两项的关系吗？

类比：

两式相减得—等差数列的性质。

例2、已知数列的通项公式为，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

【师】：如何分析题意？

【学生】：由等差数列定义，要判定{a n}是不是等差数列，只要看a n-a n-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。

（学生叙述，教师板书）

解：取数列{a n}中的任意相邻两项a n-1与a n（n≥2）。

∴a n-a n-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p，

它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列，且公差为p。

在通项公式中，令n=1得a1=p+q，

所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。

【师】数列的通项公式给出的是a n与n之间的一种关系，一个n都对应着一个a n，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？

（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）

【学生】与一次函数内容类似，即a n与n之间的关系是一次函数的关系；

由本例的结论可知，如果a n是关于n的一次函数，那么数列{a n}是等差数列。

【师】本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。

由上面例题实际上可以得出证明数列{a n}是等差数列的一种方法。

时间：5分钟

（六）课时小结时间：5分钟

提出问题：这节课你学到了什么？

教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。

①等差数列定义和通项公式:（n∈）

③等差数列的性质：

十、作业设计

（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。

（二）书面作业：课本45页习题2.2组A1，2，3，4题。

（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质。

十一、教后反思

新课堂是活动的课堂，讨论合作交流的课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂。本节课的设计，把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起。学生课后的评价是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔。最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。

《等差数列》是北师大版高中数学必修五第一章第二节的内容,本节两课时。本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一，而所处章节《数列》又是高中数学的重要内容，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

案例教学法

学生的认知具有情境关联性，呈现相关案例，创设特定情境可帮助学生理解事件的意义，构建知识链节，并全身心地投入进来。

分析：激发学习兴趣，丰富精神世界，提高逻辑思维能力。

小组学习法

采用异质分组方式，建立强弱搭配、团结协作的学习小组。

分析：让学生在分组讨论、案例探究中学习，学会与人合作

七、教学过程及时间安排

教学理念：数学教学是数学活动的教学，是师生之间交往互动共同发展的过程,数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。

设计思想：本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，

保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，

塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创

新。

一、教材分析：

（一）教学内容：

本节课《等差数列》是《高中数学第一册》第三章第二节第一课时的内容，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

（二）教学地位:

本节是第二章的基础，是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入学习。数列是高中数学重要内容之一，是前一章《函数》内容的延伸，体现教材编排的连续性。等差数列作为数列部分的主要内容，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，

它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二、学习者分析：

高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

三、教学目标：

1、知识目标：

理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。

2、能力目标：

培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。

3、情感目标:

①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

四、教法和学法的分析：

结合本节课特点，我采用指导自主学习方法，即学生主动观察――分析概括――师生互动，形成概念――启发引导，演绎结论――拓展开放，巩固提高。

1、通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

2、在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。

五、教学媒体和教学技术的选用：

多媒体计算机和几何画板：

通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

六、教学程序：

（一）设置问题，引导发现形成概念

多媒体播放动画，动画场景：一个小探险家在古墓中寻宝，来到宝藏门外，发现门上有四个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开。门上还有四组数字，如下：

1）1，3，5，（），9

2）15，12，（），6，3

3）48，53，58，（）3，68

4）8，（），8，8，8

你能正确找出密码进入宝藏的大门吗？

（场景设计想法：以学生比较喜欢的探险内容为引题，可以引起学生对本节课的兴趣，在游戏中加入关于等差数列的特征，让学生自己发现规律）

师：你能发现这些数字的规律吗？

学生：后一项与它前一项的差等于常数

师：1，2，5，8，15，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？

学生：不一样，应该是后一项与它前一项的差都等于同一个常数

师：1，3，4，5，6，这个数列和上面的四组数列具有相同特征吗？

学生：不一样，应该是从第二项起，每一项和它前一项的差为同一个常数

教师将学生的回答在课件中演示出来，通过反例使学生理解两个特征同一常数和从第二项起。

师：能不能用数学语言来描述刚才的特征？

学生：

师：等价吗？还有没有不完备的地方？

学生：，d是常数

师：满足这样条件的数列很多，我们能给它们起个名字，反应它们的特种吗？

学生：等差数列

教师课件演示等差数列定义，在重点词语下划线！

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个同一常数d为公差，a1为数列的首项。

师：大家能分别说出刚才引题中的那四个数列的公差吗？

学生：1）d=2 2）d=-3 3）d=5 4）d=0

师：大家能自己举几个关于等差数列的例子，并指出它们的公差？

（学生自主回答，大概5个左右）

（二）启发、引导推出等差数列的通项公式

师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，

它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？

启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。

学生甲：