北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
选修4-5不等式选讲学案
选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。
怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。
当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。
高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第一章《平均值不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第一章《平均值不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
知识与技能
(1).回顾和复习平均值不等式(两个).
(2).理解三个正数的平均值不等式.了解n个正数的平均值不等式.
(3).会运用三个正数的平均值不等式求一些特定函数的最值.
过程与方法
(1).经历从两个实数的重要不等式到基本不等式的复习回顾,从而循序渐进的过渡到三个正数实数的平均值不等式的过程,不断逐步提高学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;
(2).通过平均值不等式的推导和运用,进一步掌握证明的综合法,并渗透等价转化的数学思想方法和运用条件的数学严谨性。
情感、态度与价值观
在动手探讨和证明平均值不等式的学习过程中,培养学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;亲身经历平均值不等式的获得过程,感受数学的连续美,同时养成扎实严谨的学习习惯,增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神.
2学情分析
知识方面
(1)在必修5学生已经学习了基本不等式,并初步理解了基本不等式的意义和利用基本不等式解决问题的方法,具备主动探究平均值不等式的基础;
(2)根据学习类比推理的经验,学生对基本不等式有了一定的认识,会继续往下猜测,所以,将猜测的结果理性化将会是对他们的一个挑战;
学生自身方面
(1)我所教授的班级是理科实验班,他们数学基础相对好一点,思维比较活跃,对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望,对老师的讲授敢于质疑,有自己的想法和主见,愿意自己去探索是什么和为什么,并且具备了初步的探索能力;
(2)对数学猜测的学习只是停留在表面,对猜测的形成过程不重视,所以无法深刻理解;。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-5：不等式选讲 含有绝对值的不等式》2
《绝对值的不等式的解法及应用》教学设计
【教学目标】
1 掌握含有两个有绝对值的不等式的解法，
2 掌握含参数绝对值不等式的解法
3 通过教学，体会数形结合、等价转化的数学思想方法．
【教学重点】
含有绝对值的不等式的解法．
【教学难点】
理解绝对值不等式解法的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．首先复习绝对值的概念和绝对值不等式的基本性质，然后师生共同探讨两个绝对值不等式的解法，从而逐步引导学生学习简单的含有绝对值的不等式的解法．。
北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套PPT课件
(4)如果a b, c 0,那么ac bc;如果a b, c 0, 那么ac bc。 （乘法法则）
如果a b 0, c d 0,那么ac bd。
(5)如果a b 0,那么an bn(n N, n 2)。
（乘方法则）
(6)如果a b 0,那么n a n b(n N, n 2)。
正数的绝对值是它本身 零的绝对值是零， 负数的绝对值是它的相反数
思考1
如何用数学符号表示一个 思考2
数x的绝对值呢？
|x|≥0
对任意实数 x ，有
x, x 0, x 0, x 0,
x, x 0.
思考3
一个实数x绝对值的几何意义是什么？
（开方法则）
含有绝对值的不等式
教学目标
【重点】 （1）不等式︱x｜>a和｜x|<a(a>0)的解法 。 （2）利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c 和｜ax+b｜<c(c>0)。 【难点】
利用变量替换解不等式｜ax+b｜>c 和｜ax+b｜<c(c>0)。
填空
不等式的基本性质： 1.已知a＞b，则不等式两边同时加上一个数c,
北师大版高中数学选 修4-5不等式பைடு நூலகம்讲全套
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已知a, b都是实数, 那么 “a2>b2”是“a>b”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1. 不等式的基本性质有哪些？ 2. 请你证明：
①如果a>b, c>d, 那么a+c>b+d; ②如果a>b>0, c>d>0, 那么ac>bd;
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-5不等式选讲 不等式的证明》
选修4－5不等式选讲第2课时不等式的证明1 不等式证明的常用方法1 比拟法：比拟法是证明不等式的一种最根本的方法，也是一种常用方法，根本不等式就是用比拟法证得的．比拟法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比拟法证明不等式的步骤：作差商、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细表达．2 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的根本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果〞，在使用综合法证明不等式时，常常用到根本不等式．3 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因〞．2 不等式证明的其他方法和技巧1 反证法从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．2 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥C n≥B，利用传递性到达证明的目的．3 数学归纳法[备课札记]题型1用比拟法证明不等式例1求证：求证：1当∈R时，1＋24≥23＋2；2当a，b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!解析：1证法一1＋24－23＋2＝23－1－＋1－1＝－123－－1＝－123－2＋－1＝－1[22－1＋－1]＝－1222＋2＋1＝－12[2＋错误!2＋错误!]≥0，∴1＋24≥23＋2证法二1＋24－23＋2＝4－23＋2＋4－22＋1＝－12·2＋2－12≥0，∴1＋24≥23＋22错误!＝a错误!b错误!＝错误!错误!，当a＝b时，错误!错误!＝1当a>b>0时，错误!>1，错误!>0，那么错误!错误!>1当b>a>0时，01综上可知，当a、b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!成立．用比拟法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解错误!a>0，b>0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!证明：证法1∵错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥0，∴原不等式成立．证法2由于错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝1又a>0，b>0，错误!>0，∴错误!＋错误!≥错误!＋错误!题型2用分析法、综合法证明不等式例2设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2解析：证法一综合法∵a≥b>0，∴a2≥b2，那么3a2≥2b2，那么3a2－2b2≥0又a－b≥0，∴a－b3a2－2b2≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，那么3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，故原不等式成立．证法二分析法要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2a－b＋2b2b－a≥0，也即a－b3a2－2b2≥0*∵a≥b>0，∴a－b≥0又a2≥b2，那么3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0，*式显然成立，故原不等式成立．综合法是由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，但是，要求考生要有较强的观察与变形的能力分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充但凡能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明错误!a>0，求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2证明：要证错误!－错误!≥a＋错误!－2，只需证错误!＋2≥a＋错误!＋错误!，只需证a2＋错误!＋4＋4错误!≥a2＋错误!＋2＋2错误!错误!＋2，即证2错误!≥错误!错误!，只需证4错误!≥2错误!，即证a2＋错误!≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3放缩法在不等式中的应用例3设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当||>m时，求证：|错误!＋错误!|m，∴||>|a|，||>|b|，||>1，∴|错误!＋错误!|≤|错误!|＋|错误!|＝错误!＋错误!，添加或减少项，利用有界性等(2)在用放缩法证明不等式时，“放〞和“缩〞均有一个度错误!假设实数、、满足＋2＋3＝aa为常数，求2＋2＋2的最小值．解：∵ 12＋22＋322＋2＋2≥＋2＋32＝a2，即142＋2＋2≥a2，∴2＋2＋2≥错误!，即2＋2＋2的最小值为错误!例4：假设a，b，c都是小于1的正数，求证：1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!证明：假设1－ab，1－bc，1－ca同时大于错误!，∵1－a>0，b>0，∴错误!≥错误!>错误!＝错误!，同理错误!>错误!，错误!>错误!三个不等式相加得错误!>错误!，不可能，∴1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!对于某些问题中所证结论假设是“都是〞“都不是〞“至多〞“至少〞等问题，一般用反证法有些题目虽不含此类要求(如此题)，但直接证明不易入手，也可考虑用反证法注意在否认时，需将“且〞改为“或〞例5：用数学归纳法证明：3n≥1＋2nn∈N*．证明：1n＝1时，3n＝3,1＋2n＝3，那么3n≥1＋2n成立．2假设n＝≥1，∈N*时命题成立．即3≥1＋2，那么当n＝＋1时，3＋1＝3·3≥31＋2．又31＋2－[1＋2＋1]＝4，而4>0，那么31＋2>1＋2＋1，那么3＋1>1＋2＋1，即命题对于n＝＋1也成立．由1，2得命题对于一切正整数n都成立．与自然数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合手段．错误!用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．证明：1 当n＝5时，25>52，结论成立．2 假设当n＝∈N，≥5时，结论成立，即有2>2，那么当n＝＋1时，左边＝2＋1＝2·2>2·2＝＋12＋2－2－1＝＋12＋－1－错误!－1＋错误!>＋12＝右边∴也就是说，当n＝＋1时，结论成立．∴由1、2可知，不等式2n>n2对n∈N，n≥5时恒成立．1 在a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求am＋bnbm＋an的最小值．解：利用柯西不等式求解，am＋bnan＋bm≥错误!＋错误!2＝mn·a＋b2＝2·1＝2，且仅当错误!＝错误!m＝n时取最小值22 设、、∈R，且满足2＋2＋2＝1，＋2＋3＝错误!，求＋＋的值．解：由柯西不等式可知＋2＋32＝14≤2＋2＋2·12＋22＋32，因为2＋2＋2＝1，所以当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．此时＝2，＝3代入＋2＋3＝错误!得＝错误!，即＝错误!，＝错误!，所以＋＋＝错误!3 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b证明：∵ 2a3－b3－2ab2＋a2b＝2a3－2ab2＋a2b－b3＝2aa2－b2＋ba2－b2＝a2－b22a＋b＝a＋ba－b2a＋b，又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，∴a＋ba－b2a＋b≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b4 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1证明：1 ab＋bc＋ca≤错误!；2 错误!＋错误!＋错误!≥1证明：1 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca由题设得a＋b＋c2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1所以3ab＋bc＋ca≤1，即ab＋bc＋ca≤错误!2 因为错误!＋b≥2a，错误!＋c≥2b，错误!＋a≥2c，故错误!＋错误!＋错误!＋a＋b＋c≥2a＋b＋c，即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c所以错误!＋错误!＋错误!≥11 正数a、b、c满足abc＝1，求证：a＋2b＋2c＋2≥27证明：a＋2b＋2c＋2＝a＋1＋1b＋1＋1c＋1＋1≥3·错误!·3·错误!·3·错误!＝27·错误!＝27当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．2 函数f＝m－|－2|，m∈R，且f＋2≥0的解集为[－1，1]．1 求m的值；2 假设a，b，c∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋2b＋3c≥9解：1 ∵ f＋2＝m－||≥0，∴||≤m，∴m≥0，－m≤≤m，∴f＋2≥0的解集是[－1，1]，故m＝12 由1知错误!＋错误!＋错误!＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c ＝a＋2b＋3c错误!≥错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!2＝93 ，，∈R＋，且＋＋＝11 假设22＋32＋62＝1，求，，的值．2 假设22＋32＋t2≥1恒成立，求正数t的取值范围．解：1 ∵ 22＋32＋62错误!＋错误!＋错误!≥＋＋2＝1，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取“＝〞．∴ 2＝3＝6，又∵＋＋＝1，∴＝错误!，＝错误!，＝错误!2 ∵ 22＋32＋t2错误!≥＋＋2＝1，∴22＋32＋t2min＝错误!∵22＋32＋t2≥1恒成立，∴错误!≥1∴t≥64 1 求函数＝错误!＋错误!的最大值；2 假设函数＝a错误!＋错误!最大值为2错误!，求正数a的值．解：1 ∵错误!＋错误!2≤1＋1－1＋5－＝8, ∴错误!＋错误!≤2错误!当且仅当1·错误!＝1·错误!即＝3时，ma＝2错误!2 a错误!＋错误!2＝错误!2≤a2＋4＋1＋错误!－＝错误!a2＋4，由错误!a2＋4＝2021＝±2，又∵ a>0，∴a＝21 算术—几何平均不等式假设a1，a2，…，a n∈R＋，n>1且n∈N*，那么错误!叫做这n个正数的算术平均数，错误!叫做这n个正数的几何平均数．根本不等式：错误!≥错误!n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n．2 绝对值三角形不等式假设a、b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb －c≥0时，等号成立．3 柯西不等式假设a、b、c、d为实数，那么a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd24 三角不等式设1、1、2、2∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。
选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列15
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第15课时 利用柯西不等式求最大（小）值
三维目标：
重点难点：
教学设计：
一、引入：
1、柯西不等式：211212)(∑∑∑===≥n
i i i n i i n i i
b a b a 。
二、范例分析：
例1、把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。
怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？
例2、如图，等腰直角三角形AOB 的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P 的位置。
分析：
三、小结：
四、练习：
五、作业：。
高中数学：不等式选讲教案北师大版选修4-5
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
平均值不等式-北师大版选修4-5不等式选讲教案
平均值不等式-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、知识点回顾1. 不等式的定义不等式是指两个实数之间的大小关系的式子。
2. 不等式的性质不等式在进行推导时要注意以下性质：•加减同项•倍乘同项•变形3. 平均值不等式平均值不等式是指对于一组实数a1, a2, ……,an，其算术平均数与其几何平均数之间存在如下关系：(a1 + a2 + …… + an) / n ≥ (a1 × a2 × …… × an) ^ (1/n)当且仅当所有的a1～an都相等时等号成立。
二、练习题1. 已知正整数a、b、c和d，且a < b < c < d，那么以下哪个不等式成立？(A)(a + d) / 2 > (b + c) / 2(B)(a + d) / 2 < (b + c) / 2(C)(a + d) / 2 ≥ (b + c) / 2(D)(a + d) / 2 ≤ (b + c) / 2解答：由于a、b、c、d是正整数，且a < b < c < d，因此有：•b > a•c > b•d > c两边分别相加得：a + d >b + c两边同时除以2，得：(a + d) / 2 > (b + c) / 2因此选项（A）成立，其他选项均不成立。
2. 已知a、b是正整数，且a + b = 10，那么a×b的最大值是多少？解答：按照平均值不等式的形式，有：(a + b) / 2 ≥ (a × b) ^ (1/2)代入a + b = 10，得到：5 ≥ (a × b) ^ (1/2)两边平方，得：25 ≥ a × b因此a×b的最大值为25。
三、实例演练1. 元素平均值不等式已知正数1 ≤ x1 < x2 < …… < xn，证明：(x1 + x2 + …… + xn) / n ≥ (x1 × x2 × …… × xn) ^ (1/n)证明：当n=2时，式子变形为：(x1 + x2) / 2 ≥ (x1 × x2) ^ (1/2)两边平方得：(x1 + x2) ^ 2 / 4 ≥ x1 × x2化简得：(x1 - x2) ^ 2 ≥ 0该式显然成立，因此对于n=2时，原式成立。
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课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么n nb a >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nn b a >(n ∈N ，且n>1)。
三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c 。
四、练习：五、作业：选修4_5 不等式选讲课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。
a - 图1-1 a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。
如图1-2所示。
–a a 图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
方法1：分域讨论★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？）例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。
原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5。
因为1，2的距离为1，所以x 在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）)2÷；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2。
这就是说，4≥x 或.1-≤x例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
三、小结：四、练习：解不等式1、 .1122>-x2、01314<--x3、 423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、 1422<--x x 6、 212+>-x x . 7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x 9、 21<++x x 10、 .24>--x x五、作业：选修4_5 不等式选讲课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b baba 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b baba 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( （2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明 c b c a b a -+-≤-。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）2,2c b y c a x <-<- ， ∴c cc b y a x =+<-+-22 （2） 由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()( 例5、已知.6,4ay a x <<求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x <<，∴23,22a y a x <<， 由例1及上式，a aa y x y x =+<+≤-223232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：四、练习：1、已知.2,2cb Bc a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知.6,4cb yc a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、作业：链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。
关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。
我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式121+≤-+-x x x 。
题意即是在数轴上找出到11=ξ与22=ξ的距离之和不大于到点13-=ξ的距离的所有流动点x 。
首先在数轴上找到点11=ξ，22=ξ，13-=ξ（如图）。
3ξ 1x 1ξ 2ξ 2x x -1 0 1 2 3从图上判断，在1ξ与2ξ之间的一切点显示都合乎要求。
事实上，这种点到1ξ与2ξ的距离和正好是1，而到3ξ的距离是)21(1)1(2≤≤+=-+x x x 。
现在让流动点x 由点1ξ向左移动，这样它到点3ξ的距离变，而到点1ξ与2ξ的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于13-=ξ与11=ξ之间的某一个点1x 。
由),1()2()1(111--≤-+-x x x 可得.321≥x 再让流动点x 由点2ξ向右移动，虽然这种点到1ξ与2ξ的距离的和及到3ξ的距离和都在增加，但两相比较，到1ξ与2ξ的距离的和增加的要快。
所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点2x 而止。