高二数学用向量法解几何题目PPT优秀课件
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数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共17张ppt)
几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
课件_人教版高中数学必修-平面几何中的向量方法PPT课件_优秀版
（2）平面向量基本定理
（3）平面向量的数量积
ab a bcos
平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
A
D
E
B
（2）A 勾股定理
C
（3）圆周角定理
C
A
B
O
C
B
明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 （1）三角形中位线定理 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 2、预习教材P124-125，思考下列问题 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
因为有了运算，向量的 力量无限，如果不能进 行运算，向量只是示意 方向的路标。
课后作业
1、教材P125 习题2.5 A组 1、2 2、预习教材P124-125，思考下列问题 （1）怎么样把物理问题转化为数学问题？ （2）如何用数学模型解释相应的物理现象？
谢谢光临
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 如图，
（3）平面向量的数量积
ab a bcos
平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
A
D
E
B
（2）A 勾股定理
C
（3）圆周角定理
C
A
B
O
C
B
明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 （1）三角形中位线定理 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 2、预习教材P124-125，思考下列问题 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
因为有了运算，向量的 力量无限，如果不能进 行运算，向量只是示意 方向的路标。
课后作业
1、教材P125 习题2.5 A组 1、2 2、预习教材P124-125，思考下列问题 （1）怎么样把物理问题转化为数学问题？ （2）如何用数学模型解释相应的物理现象？
谢谢光临
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 如图，
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
用向量方法研究立体几何中的度量关系(夹角问题)(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
则 sin θ＝
＝
π
0，2
设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，
|n1·n2|
|cos<n1，n2>| |n |·|n |
则 cos θ＝
＝ 1 2
π
0，2
BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值.
设AC'与A'D所成角为θ，则
cosθ= ﹤1, 2﹥ =
1·2
1 2
=
8
4 35
=
.
140 35
4 35
故AC'与A'D所成角的余弦值为
.
35
你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角
的一般方法吗？
化为向量问题
进行向量运算
（1）二面角的平面角与点的位置无
关，只与二面角的张角大小有关。
B
（2）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
B
A
注：
（3）二面角的取值范围一般规定
为[0,π]。
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
A
o
B
l
探究点
用向量求两个平面所成的角
注意法向量的方向：
同进同出，二面角等
于法向量夹角的补角；
一进一出，二面角等
于法向量夹角
u v
, 的夹角为，cos
| u || v |
夹角问题：设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，
＝
π
0，2
设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，
|n1·n2|
|cos<n1，n2>| |n |·|n |
则 cos θ＝
＝ 1 2
π
0，2
BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值.
设AC'与A'D所成角为θ，则
cosθ= ﹤1, 2﹥ =
1·2
1 2
=
8
4 35
=
.
140 35
4 35
故AC'与A'D所成角的余弦值为
.
35
你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角
的一般方法吗？
化为向量问题
进行向量运算
（1）二面角的平面角与点的位置无
关，只与二面角的张角大小有关。
B
（2）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
B
A
注：
（3）二面角的取值范围一般规定
为[0,π]。
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
A
o
B
l
探究点
用向量求两个平面所成的角
注意法向量的方向：
同进同出，二面角等
于法向量夹角的补角；
一进一出，二面角等
于法向量夹角
u v
, 的夹角为，cos
| u || v |
夹角问题：设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共18张ppt)
与两条邻边和的长度之间的关系吗？
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，
如图，取{，}为基底，设 = ，
Ԧ
= ，
则 = Ԧ + ， = Ԧ − .
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ， 2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 .
何选择？
基底法：能选取到适当的基底（作为基底的向量尽量有模长和夹角）
坐标法：图形中有明显垂直关系或边角条件丰富，可计算点的坐标时可用
坐标法其实是选择了特殊的基底，其有点是运算简洁，但建系受图形限制，
能建系找点时就用坐标法，否则用基底法
环节三 互动探究 动态生成
课本例2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度
上面两式相加，得 2 + 2 = 2(Ԧ 2 + 2 ).
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
2 + 2 = 2(2 + 2 ).
环节三 互动探究 动态生成
问题3：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
2
+
2
=
2(2
+ 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
问题2：如何利用向量证明？
（1）请用向量将条件和结论分别表示出来。
1
=
2
1
=
2
1
BC.
2
A
D
E
1
2
求证： =
B
（2）如何在待证的两个向量之间建立联系？基底法
高二数学平面向量在解析几何中的应用课件 人教版
欢迎交流指导……
y 2 2 px( p 0)的焦点F的直线交抛物线于M、N 例2.过抛物线
两点，自M、N向准线作垂线得垂足A、B 。
求证： A FB 90 。
y
A M
o
F B N
x
p 证明：焦点 F( ,0)，设A、B两点的纵坐标分别为 y1、y 2 2
p p FB A ，y1 、B ，y 2 ,于是 FA (p，y1 )， (p，y 2 ) 2 2
距离等于向量1 P在向量 方向上射影长, P n d
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n
Ax0 By0 C A2 B 2
当B 0时，可直接由图形证得 （略）
x2 y2 例2.椭圆 1 的焦点为 F1 , F2 ，点P为 9 4 其上的动点，当∠ F1PF2 为钝角时，求点P横坐标
因A、B、F三点共线，则有 AF BF R ） （
p y12 p y 22 即（ 2 2p , y1 ) ( 2 2p , y 2 )亦即
y
A
2 p y 2 y 2 1 ( p y 2 ) 1 ( p ) 2 2p 2 2p 2p 2 y y y1 y 2 1 2
（4）两个非零向量夹角公式：cos
a b a b (0 0 1800 )
典例分析
例1.点到直线距离公式的推导。 已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则
d
Ax0 By0 C A2 B 2
高二数学 用向量法求二面角 ppt名师课件
(1)直线NR和MS的夹角 (2)二面角P-OA-B的大小
z
《名师》Ｐ79 考点３
P
O
D
AR
SM
N
C
B
y
x
练习1：若正四棱锥P—ABCD的侧面是 正三角形。求
(1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角 (2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角 (3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角
练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
( 1 ) 求 c o sB E,D E
V
(2)若∠BED是二面角 B—VC—D的平面角, 求∠BED
A
E
C D
O
y
B
x
2.(2004年浙江高考题)如图,已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M为EF的中点.
(1)求证:AM//平面BDE.
E
(2)求二面角A—DF— B的大小
M FB
C
D
A
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角. z S
y
C
arccos 6 3
B
A
Dx
作业：
1.(2001年高考题)如图,以正四棱锥V—
ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直
角坐标系O—xyz,其中ox//BC,oy//ab.E 为
ＶC的中点.底面边长为2a,高为h z
(1)求P到底面的距离
1.5
(2) 面PAB与面CPB 所成二面角的大小
O
π
arccos2 7 7
或π arctan
3 2
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用向量法解立体几何复习课
一、立体几何的主要题型：
夹角：
（1）线线的夹角（如01天津卷、洛阳卷、南京 卷、汕头一模、调研）
（2）线面的夹角（如天津卷、04二模） （3）面面的夹角（如01天津卷（甲）（乙）、
南京二模、长春卷、三校联考）
距离：
（4）两点间的距离（即线段的长度）（如02天 津卷、汕头一模）
（5）点到面的距离（如03辽宁卷、04一模） （6）异面直线间的距离（如调研）
垂直和平行：
（7）线线垂直（如洛阳卷） （8）线面垂直（如三校联考、04一模） （9）面面垂直（如长春卷） （10）线面平行（如南京二模、04二模）
二、题型解法：
（1）求直线a,b的夹角：
coas,b
a•b
ab
α
A E
AB n n
F
B
(7)直线AB与CD垂直： AB CD 0
ABCD，AB EF
（8）直线AB⊥平面 ：CD，EF
CDEF P
（9）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直
（10）直线AB与平面 平行：
方法一：证直线AB与平面α的法向量垂直，即 ABn0
方法二：直线AB与平面 α 的夹角为0
方法三：直线AB上两点（如点A、B）到平面 α 的距离 相等，且这两点在平面 α 的同侧
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方法四：在平面 α 内找出 AB 的共线向量
三、空间直角坐标系的建立：
直接建系： 不方便直接建系：
四、易错处：
（1）不规则几何体空间直角坐标系的建立
（2）用平面法向量 n1, n2 的夹角 n1,n2 求面面夹角
时，两个角何时相等何时互补
n2
n1
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
（2）求直线AB与平面 的夹角β：
A
sincoA s B•n AB•n
ABn
（3）求面面的夹角：
Bβ
O
若 n1,n2 分别是两个平面的法向量，则 n1,n2 就是 所求二面角的平面角或其补角的大小
（4）两点A、B间的距离：AB
（5）点A到平面α的距离：
AAB n dn来自BO（6）异面直线a,b间的距离|EF|=
一、立体几何的主要题型：
夹角：
（1）线线的夹角（如01天津卷、洛阳卷、南京 卷、汕头一模、调研）
（2）线面的夹角（如天津卷、04二模） （3）面面的夹角（如01天津卷（甲）（乙）、
南京二模、长春卷、三校联考）
距离：
（4）两点间的距离（即线段的长度）（如02天 津卷、汕头一模）
（5）点到面的距离（如03辽宁卷、04一模） （6）异面直线间的距离（如调研）
垂直和平行：
（7）线线垂直（如洛阳卷） （8）线面垂直（如三校联考、04一模） （9）面面垂直（如长春卷） （10）线面平行（如南京二模、04二模）
二、题型解法：
（1）求直线a,b的夹角：
coas,b
a•b
ab
α
A E
AB n n
F
B
(7)直线AB与CD垂直： AB CD 0
ABCD，AB EF
（8）直线AB⊥平面 ：CD，EF
CDEF P
（9）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直
（10）直线AB与平面 平行：
方法一：证直线AB与平面α的法向量垂直，即 ABn0
方法二：直线AB与平面 α 的夹角为0
方法三：直线AB上两点（如点A、B）到平面 α 的距离 相等，且这两点在平面 α 的同侧
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方法四：在平面 α 内找出 AB 的共线向量
三、空间直角坐标系的建立：
直接建系： 不方便直接建系：
四、易错处：
（1）不规则几何体空间直角坐标系的建立
（2）用平面法向量 n1, n2 的夹角 n1,n2 求面面夹角
时，两个角何时相等何时互补
n2
n1
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
（2）求直线AB与平面 的夹角β：
A
sincoA s B•n AB•n
ABn
（3）求面面的夹角：
Bβ
O
若 n1,n2 分别是两个平面的法向量，则 n1,n2 就是 所求二面角的平面角或其补角的大小
（4）两点A、B间的距离：AB
（5）点A到平面α的距离：
AAB n dn来自BO（6）异面直线a,b间的距离|EF|=